Matemática Financeira em

Matemática Financeira
PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES

O que é melhor juros simples ou juros compostos?
Pagar a vista ou comprar a prazo?
Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor daqui a um ano?
Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinheiro envolvido
numa transação financeira varia com o tempo. Em geral, todo empreendimento
envolvendo dinheiro necessita de avaliações periódicas, antes de ser aceito e no
decorrer do prazo até a data final do empreendimento. Portanto, necessitamos de
procedimentos de avaliação do resultado de uma operação em qualquer data. A
Matemática Comercial e Financeira é a disciplina dedicada ao estudo do
comportamento do dinheiro em função do tempo.
O livro Matemática Financeira para Cursos de Graduação, tem como objetivo
capacitar e atender as necessidades de conhecimentos e atualizações dos profissionais
e de graduando de todas as áreas do conhecimento, proporcionando maior agilidade
na tomada de decisão. Além de permitir ao profissional maior capacitação para o
competitivo mercado de trabalho.
Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática
Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes
e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara
das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos
negócios, como também com fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se
consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área
pela primeira vez.
Neste livro, antes do estudo dos tópicos da Matemática Financeira, serão
relembradas algumas operações básicas da Matemática que facilitarão o uso das
ferramentas em Operações Elementares da Matemática. Em seguida, abordaremos as
Regras de Sociedade e Regra de Três Simples e Compostas. No terceiro tópico serão

tratados os tópicos da Matemática Comercial. O tópico seguinte apresenta o conceito
de porcentagem, dos juros simples e descontos simples. Logo após, são tratados os
juros compostos e descontos compostos. No sexto tópico, será apresentado o valor do
dinheiro no tempo, através das anuidades e suas diversas classificações. Por fim,
serão apresentadas as diversas modalidades de sistemas de amortização e Análise de
Investimentos.
Os exemplos estão de forma de facilitar a compreensão dos conceitos e dos
exercícios propostos, para que o estudante possa fixar e aplicar, os conceitos
apresentados em novas situações.
A matemática financeira por muitas vezes é considerada matéria difícil porque
as pessoas tentam usá-la sem método. Antes de se lançar de cabeça na resolução dos
problemas lembre-se que existem passos a serem seguidos. Primeiro é necessária
uma correta interpretação dos problemas, ver realmente o que ele quer que seja
calculado; segundo organize os dados do problema, veja o que se tem e o que se quer
calcular e quais são as ferramentas (fórmulas) que se tem disponível e, por fim, faça
o desenvolvimento do raciocínio aplicando o método correto, sempre testando para
ver se o resultado encontrado e condizente com os dados do problema.
Neste trabalho quase todos os exercícios estão resolvidos apenas com a
utilização das fórmulas, somente os de Analise de Investimentos no calculo da Taxa
Interna de Retorno é que serão resolvidos pela calculadora HP 12 C e pela planilha do
Excel devido a sua complexidade na resolução pelas fórmulas.
Recomendamos o livro Matemática Financeira com a calculadora HP 12 C para
que você possa ir se identificando com a utilização dessa calculadora que é uma das
ferramentas de gestão financeira, moderna, eficiente e com condições de resolver a
maioria dos problemas gerados no dia a dia do gestor de negócios financeiros.
Portanto prepare-se, já estamos no século XXI, e o mundo não acabou, pelo
contrário, estamos mais vivos do que nunca. Entramos na era do “saber” fazer a
diferença, aprender a fazer coisas novas, desaprender as velhas e reaprender
novamente.

ÍNDICE
INTRODUÇÃO............................................................................................06
OPERAÇÕES ELEMENTARES DA MATEMÁTICA FINANCEIRA.......................08
RAZÃO.........................................................................................................09
PROPORÇÃO...................................................................................................10
DIVISÃO PROPORCIONAL....................................................................................11
DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAL....................................................13
DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL.................................................................15
DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA......................................................................17
REGRAS DE SOCIEDADE............................................................................20
REGRAS DE SOCIEDADE SIMPLES..........................................................................21
REGRAS DE SOCIEDADE COMPOSTA.......................................................................22
REGRA DE TRÊS SIMPLES...................................................................................23
REGRA DE TRÊS COMPOSTA................................................................................26
OPERAÇÕES COMERCIAIS.........................................................................32
PORCENTAGEM................................................................................................33
ACRÉSCIMOS SIMPLES......................................................................................35
ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS................................................................................35
ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS.................................................................................36
DESCONTOS SIMPLES.......................................................................................37
DESCONTOS SIMULTÂNEOS.................................................................................37
DESCONTOS SUCESSIVOS..................................................................................38
LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO........................................................................39
LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA........................................................................40
PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO....................................................................41
PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA....................................................................41
CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA SIMPLES....................................................45
NOMENCLATURA..............................................................................................46
TAXA NOMINAL...............................................................................................47
TAXAS PROPORCIONAIS.....................................................................................47
OUTROS TIPOS DE TAXAS..................................................................................48
JUROS.........................................................................................................49
JUROS SIMPLES..............................................................................................51
MONTANTE SIMPLES.........................................................................................52
TAXA EFETIVA SIMPLES.....................................................................................56
DESCONTO SIMPLES.........................................................................................59

DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO....................................................60
DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA......................................................61
DESCONTO BANCÁRIO.......................................................................................62
CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA COMPOSTA.................................................65
JUROS COMPOSTOS..........................................................................................66
MONTANTE COMPOSTO......................................................................................66
TAXAS EQUIVALENTES.......................................................................................72
TAXA EFETIVA COMPOSTA..................................................................................74
DESCONTO COMPOSTO......................................................................................75
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO.........................................................................75
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO.......................................................................76
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO............................................................80
ANUIDADES OU RENDAS CERTAS..........................................................................81
VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA....................................................83
VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA.....................................................87
ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA..............................................................90
VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA......................................................92
VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA........................................................95
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO.........................................................................97
ANUIDADES PERPÉTUAS.....................................................................................99
VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL........................................................100
VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL...........................................................101
ANUIDADE EM QUE O PERÍODO DE TEMPO NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE REFERE À TAXA.103
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO....................................................................105
SISTEMA DO MONTANTE....................................................................................107
SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS........................................................................108
SISTEMA AMERICANO........................................................................................111
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE – SPC................................................112
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC.........................................................113
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM...............................................................115
SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS.................................................................116
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS...................................................................120
VALOR PRESENTE LIQUIDO – NPV.........................................................................121
TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR........................................................................125
QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS PÚBLICOS..............................131
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................158

Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o
dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática
financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro e de
capitais, e atuar em administração financeira com baixo tempo e custo de decisão.
Ao longo da história, o homem notou uma possível relação entre o tempo e o
dinheiro, ele percebeu que o dinheiro perdia valor de acordo com o tempo, dessa
forma, a correção monetária deveria ser feita, aumentando o poder de compra do
capital. A ideia de juros pode ser atribuída aos primeiros indícios de civilizações
existentes, fatos históricos relatam que, na Babilônia, comerciantes emprestavam
sementes aos agricultores que, ao colherem a plantação, pagavam as sementes
emprestadas mais uma determinada parte da colheita.
As práticas financeiras eram utilizadas no intuito da acumulação de capital, as
formas econômicas de movimentação dos capitais foram adaptadas de acordo com a
evolução das sociedades. O escambo era utilizado porque não existia uma moeda de
troca, o surgimento do dinheiro originou a criação de mecanismos controlados
inicialmente por pessoas denominadas cambistas. Eles exerciam a profissão que hoje
é atribuída aos banqueiros, sentados num banco, nos mercados, eles realizavam
operações de empréstimo, que eram quitados acrescidos os juros e na organização de
ordens de pagamentos para particulares. Dessa forma, os cambistas tinham seus
lucros e comissões pelos serviços prestados.
A necessidade de organização desse tipo de comércio fez surgir os bancos, que
dinamizaram a economia, eles tiveram papel importante nas negociações entre os
povos que realizavam operações comerciais no Mar Mediterrâneo. Fenícios, Gregos,
Egípcios e Romanos possuíam importante participação nos métodos bancários.
Foram os bancos que contribuíram para o aprimoramento das técnicas
financeiras e surgimento dos juros compostos. Atualmente, a Matemática Financeira
possui inúmeras aplicabilidades no cotidiano, englobando situações relacionadas ao
ganho de capital, pagamentos antecipados e postecipados, porcentagem,
financiamentos, descontos comerciais entre outros produtos do meio financeiro.
Qual o objetivo principal da matemática financeira?

A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro
ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo.
A Matemática Financeira é a parte da Matemática que tem por objetivo resolver
problemas relacionados às Finanças. Possui técnicas e fórmulas próprias que
permitem estudar o comportamento do dinheiro em função do tempo, considerando
algumas das características do mercado.
O conhecimento da Matemática Financeira permite o melhor uso dos conceitos
da Administração Financeira, pois, através de suas técnicas, o indivíduo é capaz de
tomar decisões mais seguras em relação aos investimentos. Não deve ser usada
somente pelos chamados ‘financistas’ nas questões organizacionais, mas sim por
todos os indivíduos em quaisquer situações em que uma decisão financeira deva ser
tomada.

Para uma melhor compreensão e uso das ferramentas da Matemática
Financeira, faz-se necessário uma breve apresentação de algumas operações
elementares da Matemática.
Estas operações são:
> RAZÃO
> PROPORÇÃO
> DIVISÃO PROPORCIONAL
> REGRA DE SOCIEDADE

 RAZÃO
Você já deve ter ouvido expressões como: “de cada 20 habitantes, 5 são
analfabetos”, “de cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “um dia de sol, para cada
dois de chuva”.
Em cada uma dessas frases há sempre clara uma comparação entre dois
números. Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no segundo, 2 entre 10, e
no terceiro, 1 para cada 2.
Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente
chamado razão. Teremos, pois que:
A Razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente
b
a
ou a : b.
Exemplos:
 De cada 10 alunos, 6 gostam de matemática: Razão =
10
6
 De cada 100 parafusos, 1 sai com defeito: razão =
100
1
 A razão entre 2 +
2
1
e 3 –
2
1
: razão =
1
2
2
1
3
2
+
−
→ Razão = 1
 Carlos acertou 15 exercícios em 30 e Mário acertou 20 em 45 exercícios. Quem
apresentou o melhor resultado? Resposta: Carlos
 De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão =
10
2
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
1. No vestibular de 2008 na Faculdade de Ciências de Wenceslau Brás concorreram,
para 50 vagas da opção Administração, 650 candidatos. Qual a relação candidato
vaga para essa opção? Resposta: 13
2. Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e
1.116 litros de água. A segunda contém 1.155 litros de álcool e 5.775 litros de
água. Qual das duas soluções tem maior teor alcoólico? Resposta: A primeira
3. A massa de João é de 86 kg e a de Márcio é de 43.000 gramas. Qual a razão entre
as massas de João e Márcio? Resposta: 2

meios
4. Numa prova de 45 questões uma pessoa acertou 15. Calcule a razão entre o
número de acertos e o número de questões. Resposta:
3
1
5. Numa turma de alunos, a razão do número de moças para o número de rapazes é
de
2
3
. Se na turma existem 14 rapazes, qual é o número de moças? Resposta: 21
6. Uma garrafa de cerveja tem capacidade para 600 ml e uma garrafa de refrigerante
tem capacidade para 300 ml. A razão entre as capacidades da garrafa maior para a
menor é: Resposta: 2
7. A altura de Beatriz é 1,50 m e a altura de Clovis é de 120 cm. A razão entre a
altura de Beatriz e a altura de Clovis é: Resposta: 1,25
8. Sabendo que a velocidade média é a razão entre o trajeto percorrido e o tempo do
percurso, calcule a velocidade média de um automóvel que percorre 100 km num
tempo de 2 horas. Resposta: 50 km/h.
9. Hamilton possui 1,80 m de altura e seu cachorro 40 cm. Qual a razão entre a
altura do cachorro e a de Hamilton? Resposta:
9
2
 PROPORÇÃO
Há situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser
expressas por razões de antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o
mesmo quociente. Dessa maneira, quando um pesquisa escolar revelar que, de 40
alunos entrevistados, 10 gostam de matemática, poderemos supor que, se forem
entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na
verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em
80.
A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção.
Dadas duas razões
d
c
e
b
a
, com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se
a c
=
b d
ou a : b = c : d
Propriedades:

1ª) Propriedade fundamental: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios:
6 24
=
24 96
∴ 6 x 96 = 24 x 24 = 576
2ª) Em toda proporção existe uma constante ‘k’
3ª) Somando-se ou subtraindo-se os antecedentes e os conseqüentes a proporção
não se altera (desde que o denominador não seja nulo):
a c
=
b d
→
a c a c
=
b d b d
±
=
±
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:
10. Determine o valor de x nas proporções:
a)
8 10
=
7 x
(x=8,75) b)
x+4 2
=
125 25
(x=6)
11. Calcular x e y na proporção
217
yx
= , sendo x + y = 24 (Resposta:
x=6; y=18)
12. Na série de razões
7105
zyx
== , calcular x, y e z, sabendo que x +
y + z = 44
(Resposta: x=10; y=20; z=14).
13. Calcular x, y e z, na série de razões
6102
zyx
== , sabendo que 3x
+ y + 2z = 140 (Resposta: x=10; y=50; z=30).
14. A importância de $ 21,70 foi dividida entre três pessoas. Sabendo
que a parte do 1º está para a parte do 2º como 7 para 9, e que a do 2º está para
o 3º como 3 para 5, determine as três partes. (Resposta: 1º: R$ 4,90; 2º R$ 6,30;
3º: R$ 10,50).
15. Dois números têm por soma 30 e estão para si como 1 pra 5. Calcule
esses números. Resposta: 25 e 5
16. Determine os valores desconhecidos na sentença
342
zyx
== ,
sabendo que x + y + z = 72. Resposta: x = 6; y = 32; z = 24
17. Calcule o valor de x na proporção 1
1
3
1
+
−
=
x
x
. Resposta: 2
18. Uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios.
Se ela construiu no fim do mês 42 relatórios, quanto recebeu? Resposta: R$
525,00
 DIVISÃO PROPORCIONAL

GRANDEZA é todo valor que ao ser relacionado a um outro certo valor de tal
forma que, quando um varia, como conseqüência direta o outro valor também varia.
Por grandezas variáveis entende-se aquelas que, uma ao sofrer um incremento,
acarretará em um mesmo incremento na segunda variável. À variação da proporção,
dá-se o nome de razão ‘r’. A relação entre as grandezas variáveis pode ser direta ou
inversamente proporcional.
Vários aspectos do dia-a-dia podem ser analisados através da proporção:
consumo de gasolina x quilometragem rodada, velocidade x tempo do percurso. Vê-se
aqui, que uma variável depende da outra. O consumo de gasolina depende da
quilometragem rodada, e o tempo de percurso depende da velocidade. Diga se o
problema é diretamente ou inversamente proporcional
a) Número de pessoas em uma festa e a quantidade de salgados que cada um
poderá consumir.
Resposta: Esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se aumentarmos o
número de pessoas da festa, conseqüentemente diminuirá o número de salgados para
cada um.
b) Número de erros em um questionário e a nota obtida neste.
Resposta: esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se a pessoa erra
uma menor quantidade de questões tira uma notar maior, e se a pessoa erra uma
maior quantidade de questões, conseqüentemente ela tira uma nota menor.
c) Quantidade de alimentos que uma pessoa poderá consumir para que possa não
passar fome.
Resposta: Esta é uma divisão diretamente proporcional, pois quanto mais alimento
a pessoa tiver mais dias ela passará sem fome, e quanto menos dias a pessoa tiver
comida, mais rápido a pessoa sentirá fome.
Desta forma, podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma
de divisão no qual determinam-se valores que, divididos por quocientes previamente
determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação.
A divisão proporcional pode ser: Direta, Inversa e Direta e Inversa ao mesmo tempo.

 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o
número proporcional está para a parte que a representa.
Exemplo 1: Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente
proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que a + b = 120, cuja solução
segue de:
7224
3
4824
2
24
5
120
3232
=→=
=→=
=→
+
+
→=
b
b
a
a
baba
Exemplo 2: Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e
2. Desta forma, será montado o sistema de modo que a + b = 60, cuja solução segue
no cálculo abaixo:
2010
2
4010
4
10
6
60
2424
=→=
=→=
=→
+
+
→=
b
b
a
a
baba
Exemplo 3: Uma pessoa divide o valor de R$ 12.000,00 proporcionalmente as idades
de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qual o valor que cada um receberá?
Resolução:
O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.000,00 +
R$ 4.000,00 + R$ 6.000,00 tendo o resultado geral o capital de R$ 12.000,00.
000.6000.1
6
000.4000.1
4
000.2000.1
2
000.1
12
000.12
624642
=→=
=→=
=→=
=→
++
++
→==
c
c
b
b
a
a
cbacba

Exemplo 4: Dividir o número 2.400, em partes diretamente proporcional a 3, 5 e 4.
Resolução:
000.1200
5
800200
4
600200
3
200
12
400.2
534543
=→=
=→=
=→=
=→
++
++
→==
c
c
b
b
a
a
cbacba
19. Dividir o número 360, em partes diretamente proporcional a 4, 5 e 6. Resposta:
96, 120, 144
20. Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a 4
1
,
3
1
,
2
1
.
Resposta: 78, 52, 39
21. Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.
Resposta: 100, 60 ,50
22. Dividir o número 200 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3. Resposta:
80 e 120.
23. Carlos, Daniel e João resolveram aplicar em um fundo de investimento, que
exigia um capital inicial de R$100 mil. Carlos deu R$50 mil, Daniel R$30 mil e João
R$20 mil. Ao final do período de carência do plano, eles resolveram sacar o
dinheiro. O valor era R$120 mil. Quanto cada um retirou? Resposta: 60 mil, 36
mil, 24 mil.
24. Uma herança de R$ 240.000,00 deve ser dividida em partes
diretamente proporcionais as idades dos herdeiros que são 36, 40 e 44 anos.
Quanto receberá cada herdeiro? Respostas: R$ 72.000,00, R$ 80.000,00 e R$
88.000,00
25. Em certa empresa de informática, a produção dos quatro técnicos de
montagem de microcomputadores é de 3, 5, 8 e 4 unidades semanais,
respectivamente. Num lote de 80 computadores, quanto cada técnico montará?
Respostas: 12; 20; 32 e 16

26. .Determinado prêmio foi dividido entre José, Pedro e Antônio, em
partes diretamente proporcionais a seus tempos de serviço: 2, 3 e 5 anos.
Sabendo que a parte de Pedro foi R$ 3.600,00, qual o valor do prêmio? Respostas:
R$ 720,00; R$ 1.080,00 e R$ 1.800,00
 DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL
Para decompor um determinado número N em duas partes, sejam X e Y, que
sejam inversamente proporcionais a X e Y, deve-se decompor este número N em duas
partes X e Y diretamente proporcionais a y
e
x
11
, que formam, desta forma, os
números inversos.
Em princípio, a divisão proporcional inversa não existe, pois neste caso, basta
inverter os termos da razão para transformá-la em uma divisão direta. Assim, por
exemplo, para dividir em partes inversamente proporcionais a
3
2
4
1
e equivale a
dividir em partes diretamente proporcionais a 4 e
2
3
Exemplo 5: Dividir o número 441 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.
Solução:
10521
5
12621
6
21021
10
21
21
441
30
5610
6
1
5
1
3
1
=→=
=→=
=→=
=→
++
++
→==
c
c
b
b
a
a
cbacba
Exemplo 6: Dividir o número 676 em partes inversamente proporcionais a 5, 0,5 e
3
1
.
Solução:

39026
15
26026
10
2626
1
26
26
676
5
1510132
5
1
=→=
=→=
=→=
=→
++
++
→==
c
c
b
b
a
a
cbacba
Exemplo 7: Duas pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para
fabricar e vender por $ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3
dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão?
a: parte inversamente proporcional à 3 (a) → a/1/3
b: parte inversamente proporcional à 5 (b) → b/1/5
160
1/3 1/5
a b
a b
+ =


=
→ 300
15/8
160
5/13/15/13/1
==
+
+
==
baba
→
1/3 1/5 1/3 1/5
a b a b+
= =
+
300
3/1
=
a
→ a = 100
300
5/1
=
b
→ b = 60
R: (a) receberá $ 100,00 e (b), $ 60,00.
27. Dividir 1.600 em partes inversamente proporcionais a
5
2
4
1
,
3
2
e .
(Resposta: 300; 800; 500)
28. Dividir o número 24 em partes inversamente proporcionais aos números 1 e 5.
Resposta: 20; 4
29. Divida o número 224 em partes inversamente proporcionais a
5
1
3
1
e .
Respostas: 84; 140
30. Dividir o número 90 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 5.
Resposta: 50 e 40
31. Dividir o número 1.225 em partes inversamente proporcionais aos números 1,
2, 3, 4, 5 e 6. Resposta: 500; 225; 166,6; 125; 100; 83,4

 DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA
Divisão proporcional composta ocorre quando se divide proporcionalmente a mais
de um grupo de números.
Vejamos a situação seguinte:
Exemplo 8: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o
trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi
realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5
dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a
empreiteira tinha R$ 29.400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia
entre as duas turmas de trabalho?
Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão
composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais
a dois números de homens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando
veremos que:
- Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em
um dia (10 . 5).
- Na segunda turma: 12 homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único
dia (12.4)
Neste caso, divide-se o número em partes diretamente proporcionais aos
produtos dos números da proporcionalidade.
Então, resolvendo o problema, temos:
98
400.29
485048504.125.10
⇒
+
+
⇒=⇒=
yxyxyx
000.15
98
000.470.1
000.470.1.98
5098
400.29
=⇒=⇒=⇒= xxx
x
Como x + y = 29.400 → y = 19.400 – 15.000 → y = 14.400
Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15.000,00 da empreiteira e a
segunda R$ 14.400,00.
Outra forma de divisão proporcional composta é a divisão em partes
diretamente proporcionais a um grupo de números e inversamente a outro. Parece ser
mais complexo; no entanto, basta dividir o número em partes diretamente ao produto
de cada elemento do primeiro grupo da proporcionalidade pelo inverso de seu
correspondente no segundo grupo.

Exemplo 9: Dividir o prêmio de R$ 7.200,00 em partes diretamente proporcionais ao
tempo de serviço de João e Pedro e inversamente às suas idades, sabendo que os
tempos de serviço são, respectivamente, 5 e 9 anos e as idades, 25 e 30 anos. Basta
multiplicar o primeiro grupo (5 e 9) pelo inverso do segundo grupo (25 e 30) e após,
dividir a importância em partes diretamente proporcionais ao produto obtido.
Fazendo x+ y = 7.200,00
2
1
200.7
10
5
10
32
10
3
5
1
10
3
5
1
30
1
.9
25
1
.5
⇒
+
⇒
+
+
⇒
+
+
⇒=⇒=
yxyxyxyxyx
880.2
5,0
440.1
400.1.
2
1
5
1
.200.7.
2
1
5
1
2
1
200.7
=⇒=⇒=⇒=⇒= xxxx
x
Como x + y = 7.200 → y = 7.200 – 2.880 → y = 4.320
João deverá receber R$ 2.800,00 e Pedro R$ 4.320,00
Exemplo 10: Uma fábrica pretende premiar três operários, de modo que o prêmio seja
DP ao número de peças perfeitas produzidas por cada um num único dia e IP a cada
peça defeituosa que cada um produziu no mesmo dia. Os operários produziram 250,
300 e 150 peças perfeitas cada um e, respectivamente 1, 3 e 3 peças defeituosas. A
quantia estipulada como prêmio foi de $ 500,00. Quanto recebeu cada operário?
A (1º op): parte DP a 250 e IP a 1 = 250 . 1 = 250 →
250
x
B (2º op): parte DP a 300 e IP a 3 = 300 . 1/3 = 100 →
100
y
C (3º op): parte DP a 150 e IP a 3 = 150 . 1/3 = 50 →
50
z
500
250 100 50
A B C
A B C
+ + =


= =
→
4
5
400
500
5010025050100250
==
++
++
===
CBACBA
2504
5 A
= → A = 312,50
1004
5 B
= → B = 125,00
504
5 C
= → C = 62,50
R: O 1º operário receberá R$ 312,50; o 2º, R$ 125,00; e o 3º, R$ 62,50.

32. Dividir 860 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e
inversamente proporcionais a
2
1
7
1
,
6
1
e . Respostas: 240; 420; 200
33. A importância de R$ 43.500,00 deve ser dividida entre 3 pessoas,
em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais às idades e inversamente
proporcionais ao tempo de serviço na empresa. Considerando que suas idades são
35, 30 e 36 anos e que estão no trabalho, respectivamente, há 10, 6, e 6 anos,
calcular quanto receberá cada um. Respostas: R$ 10.500,00, R$ 15.000,00 e R$
18.000,00
34. Divida o número 981 em partes diretamente proporcionais a 2, 6 e 3
e inversamente proporcionais a 5, 9 e 4, respectivamente. Respostas: 260; 360;
405
35. Divida o número 1228 em partes diretamente proporcionais a 1, 2, 3
e 4 e inversamente proporcionais a 5, 6, 7 e 8, respectivamente. Respostas: 168;
280; 360 e 420

São aplicações dos casos de divisão em partes proporcionais.
Sociedade: um grupo de duas ou mais pessoas que se juntam, cada uma com
um determinado capital, que deverá ser aplicado por um certo tempo numa atividade
qualquer e com o objetivo de obter lucro.
Neste tópico iremos estudar:
> REGRAS DE SOCIEDADE SIMPLES
> REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA
> REGRA DE TRÊS SIMPLES
> REGRA DE TRÊS COMPOSTA

 REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES
1º caso: capitais diferentes e tempos iguais.
Exemplo 11: Cris e Joana se associaram para jogar na loto. Cris deu R$ 1,80 e Joana
$ 1,20. Tendo acertado um terno, elas ganharam R$ 1.600,00. Quanto cada uma
receberá?
x: parte proporcional à R$ 1,80 (Cris) →
80,1
x
y: parte proporcional à R$ 1,20 (Joana) →
20,1
y
1600
1,80 1,20
x y
x y
+ =


=

→
1,80 1,20 1,80 1,20
x y x y+
= =
+
1600
3 1,80
x
= → x = 960
1600
3 1,20
y
= → y = 640
R: Cris receberá R$ 960,00 e Joana, $ 640,00.
2º caso: capitais iguais e tempos diferentes.
Exemplo 12: Três sócios formaram uma sociedade com capitais iguais. O primeiro
permaneceu durante 2 anos, o segundo, 3 anos e o terceiro durante 4 anos. A
sociedade deu o lucro de R$ 900,00, como dividir essa quantia entre os três?
x: lucro do 1º →
2
x
y: lucro do 2º →
3
y
z: lucro do 3º →
4
z
900
2 3 4
x y z
x y z
+ + =


= =
→
2 3 4 2 3 4
x y z x y z+ +
= = =
+ +
900
9 2
x
= → x = 200
900
9 3
y
= → y = 300
900
9 4
z
= → z = 400

R: O 1º receberá $ 200,00; o 2º, $ 300,00; e o 3º, $ 400,00.
 REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA
Tanto os capitais quanto as períodos de investimentos são diferentes para cada
sócio.
Exemplo 13: Uma loja com duas sócias lucrou $ 7.200,00. A 1ª sócia empregou R$
1.000,00 durante um ano e oito meses; a 2ª, $ 2.000,00 durante oito meses. Quanto
recebeu cada sócia?
A: lucro da 1ª ∴ 1 000 x 20m →
000.20
A
B: lucro da 2ª ∴ 2 000 x 8m →
000.16
B
7200
20000 16000
A B
A B
+ =


=
→
20000 16000 20000 16000
A B A B+
= =
+
7200
36000 20000
A
= → A = 4 000
7200
36000 16000
B
= → B = 3 200
R: A 1ª sócia receberá $ 4.000,00 e a 2ª, $ 3.200,00.
36. Três sócios formaram uma sociedade. O primeiro entrou com
3
1
do capital, o
segundo com
4
1
e o terceiro com
12
5
. A sociedade deu um lucro de $ 1.440,00.
Calcular o lucro de cada um. (Resposta: $ 480,00: $ 360,00; $ 600,00)
37. Dois sócios formam uma sociedade entrando com capitais iguais. O primeiro
permaneceu durante 2 meses e o segundo, durante 8 meses. A sociedade deu $ 2
000,00 de prejuízo. Calcular o prejuízo de cada sócio. (Resposta: $ 400,00;
1.600,00).
38. Três sócios formaram uma sociedade com o capital de $ 3 000,00. Sabe-se que
o primeiro recebeu $ 150,00 de lucro; o segundo, $ 200,00; e o terceiro, $ 250,00.
Calcular o capital de cada um. (Resposta: $ 750,00: $ 1 000,00; $ 1.250,00)

39. Certa sociedade constituída por três sócios, com o capital de $ 180.000,00
obteve em determinado período $ 25 200,00 de lucro. Sabendo que o sócio A
entrou com 1/3 do capital, que o sócio B entrou com 2/5 e que o sócio C entrou
com o restante, determine o lucro de cada sócio. (Resposta: A. 8.400,00; B.
10.080,00; C. 6.720,00)
40. Ao constituírem uma sociedade, dois sócios entraram com os capitais de $ 56
500,00 e R$ 42 500,00, respectivamente. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu
$ 518,00 a mais que o segundo. Quando recebeu cada sócio? (Resposta:
$ 2. 090,50; $ 1.572,50).
41. Marcos e Francisco montaram uma locadora de vídeo empregando
respectivamente capitais de R$ 50.000,00 e R$ 30.000,00. Em determinado mês,
a loja obteve um lucro de R$ 3.200,00. Quanto coube a cada um? Resposta: R$
2.000,00 e R$ 1.200,00
42. Dois sócios lucraram, em um determinado período, R$ 28.200,00. O primeiro
aplicou R$ 80.000,00 na sociedade, durante 9 meses, e o segundo R$ 20.000,00,
durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? Resposta: R$ 21.600,00 e
R$ 6.600,00
43. Três amigas Alessandra, Gabriela e Juliana resolveram montar uma butique. No
final de um determinado mês, o negócio apresentou um lucro de R$ 6.300,00.
Ficou acertado que a divisão do lucro seria proporcional ao tempo que cada uma
dedicava à loja diariamente. Alessandra trabalha das 8 às 12, Gabriela trabalha
das 10 às 13 e Juliana das 13 às 18 horas. Dessa forma, quanto coube a cada
uma? Resposta: A = 12.100,00; G = 1.575,00, J = 2.625,00
 REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
 Passos utilizados numa regra de três simples
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplo 14: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2
, uma lancha com
motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia.
Aumentando-se essa área para 1,5m2
, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2
) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª
coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma
outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
Exemplo 15: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 Km/h, faz um
determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a
velocidade utilizada fosse de 480 km/h?
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x

Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª
coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que
as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra
seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
Exemplo 16:0 Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se
comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

Exemplo 17: Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou
determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5
horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para
término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que
as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo
a equação temos:
 REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas
grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplo 18: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3
de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3
?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma
espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo
na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir
o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para
cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões.
Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de
acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
Exemplo 19: Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.
Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos
aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a
razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a
relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Logo, serão montados 32 carrinhos.
Exemplo 20: Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura.
Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo
necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois
colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais
com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra
a figura abaixo:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
44. Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo
levará para se consumir? Resposta: 3 horas e 20 minutos
45. Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e
meia. Nas mesmas condições e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo

gastará para percorrer a mesma distância? Resposta: 2 horas, 37 minutos e 30
segundos
46. Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasará:
Resposta: 30 minutos
47. Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 15 000 reais. Quantos dias terá que trabalhar
para receber 20 000 reais? Resposta: 40 dias
48. Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos
dias percorrerá 500 km, viajando 5 horas por dia? Resposta: 5 dias
49. Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade
permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 330 segundos?
Resposta: 5.500
50. Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas
de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para
produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
Resposta: 32 horas
51. Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos
dias percorrerá 500 km, viajando 5 horas por dia? Resposta: 5 dias
52. Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para
atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36
clientes? Resposta: 60 minutos
53. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10
torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.
54. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de
carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair
5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.
55. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um
muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9
horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
56. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a
uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para

entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta:
10 horas por dia.
57. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com
90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20
centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025
metros.
58. Um operário recebe R$ 16.800,00 por 30 dias de trabalho. Quanto receberá por
55 dias de trabalho? Resposta: R$ 30.800,00
59. De cada lote de 90 kg de café cru obtemos 78 kg de café torrado. Quantos kg
de café cru serão necessários para obtermos 624 kg de café torrado? Resposta:
720 kg
60. Numa indústria metalúrgica, a produção diária de um certo componente de
motor é de 16.000 unidades. Foram admitidos mais 100 operários e a produção
diária passou a ser de 20.000 unidades. Qual era o número de operários que
trabalhavam na produção da indústria antes dessa admissão? Resposta: 400
operários.
61. Um avião comercial, com velocidade de 400 km/h, efetua a viagem entre
Salvador e Brasília em 3 horas. Em quanto tempo um avião a jato, com velocidade
de 1.200 km/h, faria essa mesma viagem? Resposta: 1 hora.
62. Uma torneira despeja 4,25 litros de água por minuto e, assim, enche uma caixa
em três horas e meia. Quanto tempo gastará uma outra torneira para encher a
mesma caixa, se ela despeja 3,5 litros de água por minuto? Resposta: 4 horas e 15
minutos.
63. Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600km. Determine o
consumo desse mesmo carro, em condições equivalentes, para que ele percorra
840km Resposta: 70 litros.
64. O preço de um artigo varia de modo inversamente proporcional à demanda. O
artigo custa R$ 450,00 quando são fabricadas 200.000 unidades. Qual o novo
preço para a fabricação de 450.000 unidades? Resposta: R$ 200,00.

65. Uma fábrica de refrigerantes utiliza uma máquina que rotula 2.000 garrafas em
5 dias, funcionando 8 horas por dia. Em quantos dias essa mesma máquina
rotulará 6.000 garrafas, funcionando 12 horas por dia? Resposta: 10 dias.
66. Se 8 homens recebem um total de R$ 11.000,00 por 5 dias de trabalho de 9
horas diárias, quantas horas diárias deverão trabalhar 5 homens para ganhar um
total de R$ 13.750,00 em 9 dias? Resposta: 10 horas diárias.
67. Um certo serviço pode ser realizado por um grupo de 12 operários em 20 dias
de trabalho de 8 horas diárias. Se esse mesmo trabalho tivesse que ser feito em
apenas 16 dias, com 16 operários igualmente eficientes, quantas horas por dia eles
deveriam trabalhar? Resposta: 7 horas e 30 minutos por dia.
68. Um contratorpedeiro, com guarnição de 300 homens, necessita de 120.000
litros de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a guarnição em
50 homens e a água em 6.000 litros, qual deverá ser a duração da viagem?
Resposta: 18 dias.
69. Em
um tangue há duas torneiras. A primeira enche o tangue em 4 horas e a segunda o
esvazia em 12 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo e estando o
tanque vazio, em quantas horas ficará cheio? Resposta: 6 horas

Embora esses cálculos não sejam objeto da Matemática Financeira, mas da
Matemática Comercial, alguns deles serão analisados neste capítulo a título de pré-
requisito, pois sua compreensão poderá facilitar o estudo dos cálculos necessários à
realização das operações financeiras.
> PORCENTAGEM
> ACRÉSCIMOS SIMPLES
> ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS
> ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
> DESCONTOS SIMPLES
> DESCONTOS SIMULTÂNEOS
> DESCONTOS SUCESSIVOS
> LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
> LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
> PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
> PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA

 PORCENTAGEM
A expressão por cento que costuma ser usada na linguagem comum, e é indicada
pelo símbolo %, pode sempre se entendida com o mesmo significado de
centésimo. Assim, quando se diz que dos 80 milhões de habitantes adultos de um
país, 30% são analfabetos, isto significa que os analfabetos representam uma
fração igual a
100
30
, em outras palavras, para cada 100 habitantes 30 são
analfabetos.
Use uma regra de três simples para calcular quantos habitantes são analfabetos
neste país.
O valor, 80 milhões, que corresponde ao total de habitantes adultos do país, sobre
o qual foram calculados os 30%, é chamado de principal. Os 24 milhões, que
correspondem aos 30% desse total, chama-se porcentagem. A fração 0,30, razão
entre a porcentagem e o principal, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente
taxa. Quando a taxa é escrita na forma de fração (centésimos), é chamada taxa
unitária; quando é multiplicada por 100 e seguida do símbolo %, é chamada taxa
centesimal ou taxa percentual.
A taxa unitária é mais cômoda quando se efetuarem cálculos e, por essa
razão, será sempre empregada nas formulas que serão deduzidas e
utilizadas.
O cálculo percentual é usado quando se quer comparar partes de dois totais
diferentes ou quando se quer estuda a variação de valor de uma grandeza, de ordem
financeira ou não.
O cálculo de porcentagem é feito de forma mais rápida e mais prática pelo método
direto. Por isso vamos procurar generalizá-lo.
P = i . p1 ► Fórmula para o cálculo da Porcentagem
onde:
P = Porcentagem P1 = principal i = taxa
Embora esta fórmula seja muito eficiente o mais correto é utilizar a calculadora
e realizar a operação mais rapidamente.

70. Calcular 20% de R$ 1.700,00. Resposta: 340
71. Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00.
Determinar a taxa de lucro sobre o preço de compra e a taxa de lucro sobre o
preço de venda. (Resposta: sobre o preço de compra: 60%; sobre o preço de
venda: 37,5%).
72. Um funcionário recebe um salário base de R$ 850,00. Recebe também um
adicional por tempo de serviço de 5% sobre o salário base. Além disso, está
respondendo pela chefia da seção, recebendo por isso 8% sobre o salário base. O
empregador desconta 8,5% sobre seu salário total para a contribuição
previdenciária. Quanto recebe esse funcionário? (Resposta: R$ 878,86).
73. Um vendedor é contratado na condição de ganhar 4% sobre a venda de cada
dia. Quanto receberá num dia em que vendeu R$ 2.500,00? Resposta: 100,00
74. Ao pagar uma dívida no valor de R$ 3.500,00, tive que pagar R$ 700,00 de
multa. De quanto por cento foi a multa? Resposta: 20%
75. O preço de um veículo passou de R$ 13.000,00 para R$ 18.200,00. Qual foi o
percentual de aumento? Resposta: 40%
76. Uma turma de 40 alunos. Destes 60% são moças e 40% são rapazes. Em um
determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes.
Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem que compareceu às
aulas nesse dia? Resposta: 26 alunos correspondem a 65%
77. No mês de janeiro, Carlos ganhava de salário R$ 560,00. Nos mês de fevereiro,
março e abril seu salário foi aumentado em 10%, 12% e 18% respectivamente.
Qual o salário de Carlos referente ao mês de abril? Resposta: R$ 814,10
78. Determine 3,5% de 800 (Resposta: 28)
79. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas
serão aprovadas num concurso público com 6 500 inscritos? (Resposta: 1.170)
80. Determine 35% de 8.000 (Resposta: 2.800)

 ACRÉSCIMOS SIMPLES
São calculados acréscimos sempre que se quer atualizar preços de bens ou de
serviços, calcular preços de vendas a partir dos preços de custos das mercadorias de
moda a garantir ao comerciante certa taxa de lucro, enfim, numa série de ocasiões.
Chamamos de Po o preço inicial que deve ser acrescido e de i a taxa (unitária), o
acréscimo será a fração calculada sobre Po (preço inicial).
V = P + i . PC ⇒ V = P (1+i) ► Fórmula para o cálculo de Acréscimo
V = Valor ou Preço final P = preço inicial ou preço de custo i = taxa (unitária)
Exemplo 21: Em julho de 2002, o salário mínimo de um empregado estava fixado em
R$ 4.904,76. Em agosto desse mesmo ano, teve um acréscimo de 6,09%. Qual foi o
acréscimo e qual o valor do novo salário desse empregado?
V = P (1 + i)
V = 4.904,76 (1 + 0,0609)
V = 4.904,76 . 1,0609
V = 5.203,45
Exemplo 22: Um comerciante vende suas mercadorias com acréscimos de 20% sobre
o preço de custo. Qual foi o preço de custo de uma mercadoria que vendeu por R$
300,00?
V = P (1 + i)
300 = P (1 + 0,2)
300 = P . 1,2
P = 250,00
 ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS
Às vezes ocorre que um mesmo valor P0 está sujeito a dois ou mais acréscimos,
que incidem sobre ele ao mesmo tempo, com taxas diferenciadas. Neste caso o valor
final P será calculado como:

V = P (1 + i1 + i2 + in) ► Fórmula para o cálculo de Acréscimo Simultâneos
onde:
V = Preço final P = Preço inicial i1= 1ª taxa i2 = 2ª taxa in = enésima taxa
Exemplo 23: Um funcionário recebe um salário –base de R$ 350,00. Tem um adicional
de 20% de acréscimo para responder pela chefia da seção e outro adicional de tempo
de serviço correspondente a 5% de acréscimo, ambos calculados sobre o salário base.
Quanto recebe ao todo? Qual a taxa total de acréscimos que tem sobre o salário-base
pela incidência dos adicionais?
V = P (1 + i1 + i2)
V = 350 (1 + 0,2 + 0,05)
V = 350 ( 1 + 0,25)
V = 350 . 1,25
V = 437,50
 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
Suponha-se, agora, um valor inicial P0 que sofreu vários acréscimos sucessivos, de
diferentes taxas, de tal modo que cada acréscimo, a partir do segundo, incide sobre o
valor já acrescido dos acréscimos anteriores. Nesse caso, tem-se, a cada acréscimo,
novos valores P, que podem ser calculados com a seguinte relação:
V = P (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) (1 + in) ► Fórmula para o cálculo de Acréscimos
Sucessivos
Exemplo 24: O preço de fábrica de uma mercadoria é de R$ 3.500,00, mas, ao
comprá-la na fábrica, o revendedor deve pagar ainda um imposto no valor de 10%
desse preço. Quando a mercadoria é comprada no varejo por um consumidor, seu
preço final é acrescido de 20%. Calcular seu preço no varejo e a taxa total de
acréscimo sobre o preço de fábrica.
V = P (1 + i1) (1 + i2)
V = 3.500 (1 + 0,1) (1 + 0,2)
V = 3.500 . 1,1 . 1,2
V = 4.620,00

 DESCONTOS SIMPLES
As operações envolvendo descontos ou abatimentos sobre preço de
mercadorias, ou sobre quaisquer valores, são comuns em nosso dia a dia. A
antecipação de um pagamento, muitas vezes, recebe um desconto; nas liquidações
promovidas pelo comercio, há o desconto; em nosso salário há o desconto de várias
taxas, entre elas o imposto de renda, etc.
O estudo do desconto é, portanto, muito útil é será objeto de estudo durante todo
o curso.
O desconto é proporcional ao valor inicial, onde a constante de proporcionalidade é
a taxa percentual de desconto, isto é: d = i.p
O valor final, ou valor descontado, é o resultado da diferença entre o valor final e o
desconto, ou seja:
V = P (i – 1) ► Fórmula para o cálculo de Desconto
onde:
V = valor final ou descontado P = preço ou valor inicial i = taxa de desconto
Exemplo 25: Quanto de deve pagar por uma mercadoria de R$ 350,00, se houver um
desconto de 3%? Qual o valor do desconto?
V = P (i – 1)
V = 350 (1 – 0,03)
V = 350 . 0,97
V = 339,50
 DESCONTOS SIMULTÂNEOS
Se o valor inicial P, sofrer vários descontos simultâneos de taxas diferentes, tem-se
vários descontos, e o valor final V será dado pela relação:
V = P (1 - i1 - i2 - i3 - in) ► Fórmula para o cálculo de Desconto Simultâneos
Exemplo 26: Um funcionário público do Estado do Paraná tem um salário-base de R$
825,00 com desconto de 6% para o ACA e 2% para o IPB, ambos calculados sobre o
salário-base. Qual o líquido a receber por esse funcionário?
V = P (1 - i1 - i2)

V = 825 (1 – 0,06 – 0,02)
V = 825 (0,94 – 0,02)
V = 825 . 0,92
V = 759,00
 DESCONTOS SUCESSIVOS
Se um valor inicial P for aplicado um desconto i1, obteremos V1. Se a este valor
V1 for aplicada uma taxa i2, obteremos V2, formando assim um desconto sucessivo.
Calculado pela relação”.
V = P (1 - i1) (1 - i2) (1 - i3) (1 - in) ► Fórmula para o cálculo de Descontos
Sucessivos
Exemplo 27: Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50.000
unidades, em 5%. Um mês depois, resolve diminuir novamente sua produção em
mais 7%. Qual a produção atual dessa indústria?
V = P (1 - i1) (1 - i2)
V = 50.000 (1 – 0,05) (1 – 0,07)
V = 50.000 . 0,95 . 0,93
V = 44.175,00
 Porcentagem sobre o preço de custo
Operações de compra, venda, permuta, etc. de mercadorias, feitas com objetivo
de obter lucro, são chamadas operações comerciais, sendo o lucro a diferença entre o
preço de venda e o preço de custo.
Convém ressaltar que o custo de uma mercadoria não se limita ao seu preço de
aquisição. No custo também entram alguns fatores como: gasto com armazenagem,
transporte, comercialização etc. O levantamento sistemático do custo de uma
mercadoria é feito, nas empresas mais estruturadas, através de uma planilha. No
entanto, é muito comum o empresário simplesmente arbitrarem uma determinada
taxa de lucro a qual imaginam cobrir suas despesas e permitir um lucro liquido
razoável.
Em diversas situações envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos
frases como:
“Vendi uma mercadoria com 20% de lucro”
“Vendi uma mercadoria com 32,5% de prejuízo”

Frases como essas são motivos de dúvidas e confusão: 20% de lucro sobre o
quê? Trinta e dois e meio por cento de prejuízo sobre o quê?
É claro que, na maioria das vezes, a taxa de lucro (ou prejuízo) refere-se ao
preço de compra da mercadoria, pois este é o capital empregado pelo comerciante. No
entanto algumas vezes, é mais prático trabalhar com taxas sobre o preço de venda,
pois esse, em geral, é o que está escrito nas tabelas, cartazes, etiquetas, etc.
Quando o cálculo de lucro ou prejuízo é calculado, em bases percentuais, em
cima do preço de custo do produto adquirido, temos o que é chamado de
porcentagem sobre o custo.
Todo comerciante compra uma certa mercadoria por um determinado preço,
que é chamado de preço de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com
lucro ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi passada ao mercado
consumidor. Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra e venda de
mercadorias, temos os seguintes casos distintos:
» porcentagem (%) sobre venda
» porcentagem (%) sobre custo
Este é o processo normal, e que é usado e adotado no mercado comercial.
E porque ter noção desta distinção? Ela se torna muito importante na resolução
de problemas envolvendo dinheiro.
 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
O lucro sobre o custo é dado pela soma do preço de custo (PC) com o produto
de uma taxa percentual (i) e o preço de custo (PC). Então podemos escrever a
seguinte equação:
PV = PC (1 + i) ► Fórmula para calcular o Lucro sobre o preço de custo
Exemplo 28: Um comerciante fixou em 20% o lucro sobre o preço de aquisição de
suas mercadorias. Uma delas custou R$ 1.200,00. Por quanto deverá vendê-la?
V = P (1 + i)
V = 1.200 (1 + 0,2)
V = 1.200 . 1,2
P = 1.440,00

Exemplo 29: Um objeto que custou R$ 285,00 foi vendido por R$ 319,20. Qual foi a
taxa de lucro sobre o perco de custo?
V = P (1 + i)
319,20 = 285 (1 + i)
285
20,319
= 1 + i
1,12 = 1 + i
1,12 – 1 = i
i = 0,12 (x 100)
i = 12%
 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
O lucro sobre a venda é dado pela soma do preço de custo (PC) com o produto
de uma taxa percentual (i) e o preço de venda (PV). Então podemos escrever a
seguinte equação.
i
PC
PV
−
=
1
► Fórmula para calcular o Lucro sobre o preço de venda
Exemplo 30: Uma mercadoria custou R$ 22,50. Pretendo vendê-la com 25% de lucro
sobre o preço de venda. A que preço devo vendê-la?
00,30
75,0
50,22
25,01
50,22
1
=
=
−
=
−
=
PV
PV
PV
i
PC
PV
 Operações com Prejuízo
O prejuízo é caracterizado por uma taxa de lucro negativa. Significa dizer que o
produto foi vendido por um preço menor que o de aquisição. Neste caso provoca
mudança nos sinais dos números que exprimem as fórmulas acima:
 PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

PV = PC (1 - i) ► Fórmula para calcular o Prejuízo sobre o preço de custo
Exemplo 31: Comprei um aparelho de som por R$ 450,00. Precisando de dinheiro fui
obrigado a vendê-lo, com 22% de prejuízo. Qual foi o meu prejuízo? Por quanto vendi
o aparelho?
PV = PC (1 - i)
PV = 450 (1 -0,22)
PV = 450 . 0,88
PV = 396
 PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA
i
Pc
PV
+
=
1
► Fórmula para calcular o Prejuízo sobre o preço de venda
Exemplo 32: Um objeto foi vendido com um percentual de prejuízo de 30% sobre o
preço de venda. Sabendo que o preço de custo foi de R$ 2.300,00, por quanto foi
vendido este objeto? Qual foi o prejuízo?
23,1769
3,1
300.2
3,01
300.2
1
=
=
+
=
+
=
PV
PV
PV
i
Pc
PV
81. Escreva as taxas centesimais correspondentes a:
a) 25%
b) 5%
c) 1%
d) 0,5%
e) 12,5%
f) 100%
g) 300%
h) 1000%

82. No mês passado recebi R$ 2.600,00. Quanto deve receber neste mês se tive um
aumento de 7,2% no meu salário? Resposta: R$ 187,20
83. Escreva as taxas centesimais correspondentes a:
a) 0,4
b) 0,8
c) 0,07
d) 0,67
e) 1,2
f) 4.7
g) 0,725
h) 6,8
84. Recebi R$ 2.787,20 de salário após ter tido um aumento de 7,2%. Quanto
recebia antes do aumento? Resposta: R$ 2.600,00
85. No mês passado recebi R$ 2.600,00 de salário e neste mês, após um aumento,
recebi R$ 2.782,20. Qual foi a taxa de aumento? Resposta: 7%
86. Um atacadista, quando vende no varejo, cobra 25% a mais sobre os preços
marcados em suas mercadorias:
a) Quanto cobra para vender no varejo uma mercadoria cujo preço marcado é
R$ 45,20? Resposta: R$ 56,50
b) Qual o preço marcado em uma mercadoria que é vendida no varejo por R$
18,45? Resposta: R$ 14,76
87. Um comerciante desconta 5% dos preços marcados nas suas mercadorias
quando os compradores pagam a vista:
a) Qual o preço a vista de uma mercadoria cujo preço marcado é de R$
105,00? Resposta: R$ 99,75
b) Qual o preço marcado em uma mercadoria vendida a vista por R$ 11,40?
Resposta: R$ 12,00
88. Uma loja distribuidora de certo produto oferece um desconto de 10% nos
preços das mercadorias quando as compras são feitas no atacado. Desconta ainda
5% do preço final para pagamento a vista. Que desconto teve um revendedor que
comprou nesta loja por atacado e pagou a vista? Resposta: R$ 85,50
89. Um comprador pagou por uma mercadoria a quantia de R$ 6.720,00, resultante
da inclusão de uma taxa de imposto de 5% sobre o preço de venda, Qual o preço

de custo dessa mercadoria, para o vendedor, se seu lucro é de 25% sobre o custo?
Resposta: R$ 5.107,20
90. No mês passado, uma loja remarcou os preços de suas mercadorias com
acréscimos de 12% e neste mês acrescentou mais 15% sobre os preços
remarcados:
a) Quanto custa hoje uma mercadoria que antes dessas duas remarcações
custava R$ 2.500,00? Resposta: R$ 3.220,00
b) Uma mercadoria que hoje custa R$ 1.030,40, quanto custava antes das
remarcações? Resposta: R$ 799,50
c) Qual a taxa acumulada de aumento que sofreram os preços nestes dois
meses? Resposta: 28,88%
91. Um objeto foi comprado por R$ 2.800,00 e vendido por R$ 3.500,00.
a) Qual a taxa de lucro sobre o preço de custo? Resposta: 25%
b) Qual a taxa de lucro sobre o preço de venda? Resposta: 20%
92. O que é mais vantajoso: um lucro de 25% sobre o preço de venda ou de 30%
sobre o preço de custo? Resposta: 25% sobre o preço de venda
93. Um comerciante comprou 40kg de feijão e quer vendê-los no varejo de modo a
poder comprar, com o dinheiro da venda, 50 kg do mesmo feijão. Qual deve ser a
taxa de lucro sobre a compra? Resposta: 25%
94. Um objeto cujo preço normal é de R$ 80,00 foi vendido a R$ 50,00. Qual foi a
taxa de desconto? Resposta: 37,5%
95. Qual o percentual de prejuízo que tive sobre a venda de um objeto que custou
R$ 300,00 e foi vendido por R$ 1.200,00? Resposta: 300%
96. Uma loja pretende fazer uma promoção, oferecendo a seus clientes 40% de
desconto. No entanto, a fim de minimizar seus prejuízos, aumentou primeiro seus
preços. Que taxa de aumento deve aplicar a um artigo que custava R$ 100,00 de
modo que, quando anunciado com 40% de desconto, seja vendido por R$ 72,00?
Resposta: R$ 120,00 ou 20%
97. Um lote de livros foi impresso em duas tipografias, A e B. A imprimiu 70% e B
imprimiu 30% do total. Abe-se que 3% dos livros impressos em A e 2% dos livros

impressos em B são defeituosos. Qual a porcentagem dos livros defeituosos do
lote? Resposta: 2,7%
98. Um objeto foi vendido por R$ 450,00 com 30% de prejuízo sobre o preço de
custo. Qual foi o preço de custo? Resposta: 642,85
99. O preço de venda de um eletrodoméstico é de $6.500,00. o dono da loja Paga
ao vendedor uma comissão de 10% sobre o preço de venda e ainda ganha 30%
sobre o preço de custo. O preço de custo desse eletrodoméstico é: Resposta: R$
4.500,00
100. Certa mercadoria foi comprada e revendida, sucessivamente, por dois
negociantes. O primeiro teve um lucro de 10% sobre o preço de compra e o
segundo, um prejuízo de 10%. Se o último revendeu a mercadoria por $ 3.960,00,
o primeiro, ao adquiri-la, pagou: Resposta: R$ 4.000,00
101. Comprei uma casa por R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em
impostos e 3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que
desembolsar? Resposta: 216 000,00
102. O preço de uma mercadoria foi remarcado três vezes neste mês, passando a
custar R$ 27.716,00. Quanto custava no mês passado se a primeira remarcação
correspondeu a um acréscimo de 2,5% e as duas seguintes de 4% cada uma?
Resposta: R$ 25.082,35
103. Sobre uma compra de R$ 400,00 foi-me concedido um desconto de 12%. Como
ainda achei o preço muito alto, solicitei e consegui, sobre o novo valor, outro
desconto de 5%. Quanto paguei. Teria sido melhor conseguir 17% sobre o
primeiro valor ou não? Resposta: R$ 334,40, sim teria pago R$ 332,00
104. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar:
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; Resposta: 33,33%
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. Resposta: 25%
105. Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos
deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele prepara a tabela
de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o
cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto
que ele pode concede ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter
prejuízo? Resposta: 20% sobre o preço de venda

O estudo de matemática financeira concentra-se na análise do crescimento do
capital em função dos juros a ele acrescidos através de regimes de capitalização. Os
regimes de capitalização normalmente utilizados são simples (ou linear) e composto
(ou exponencial).
Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de
cada período têm sempre o capital inicial como base de cálculo. Sua aplicação está
mais relacionada com períodos de capitalização inferiores a um mês (taxa de juros do
cheque especial cobrada dentro de um mês) e a desconto de títulos junto a agentes
financeiros (desconto de cheques pré-datados nos bancos)
Neste tópico iremos estudar:
> TAXA NOMINAL
> TAXA PROPORCIONAL
> OUTROS TIPOS DE TAXA
> JUROS SIMPLES
> MONTANTE SIMPLES
> TAXA EFETIVA SIMPLES
> DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO
> DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA
> DESCONTO BANCÁRIO

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em
empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um
Fluxo de Caixa.
 Nomenclatura
 Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira.
Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras
financeiras).
 Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma
atividade produtiva. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele
existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a
pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a
quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a
emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por
esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O
tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos
definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
 Tempo: Refere-se ao período de tempo, prazo, que o dinheiro deverá ficar
emprestado. Exemplo: 5 meses, 8 anos, 58 dias, 4 bimestres, etc..
 Taxa de juros: A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro
emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da
forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se
refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa
percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
 Forma de resgate ou amortização: é a forma como o capital é resgatado (pelo
aplicador) ou amortizado (pelo tomador do empréstimo). Pode ser de uma única
vez no vencimento final da operação ou em parcelas intermediárias.
 Forma de pagamento de juro: determina as condições de periodicidade de
pagamento de juro.

 Spread: é a taxa de determinação cobrada pelo intermediário financeiro.
 O Fluxo de Caixa: é o gráfico da matemática financeira. Serve para demonstrar
graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é
representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes
para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais
apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas
verticais apontadas para baixo.
 TAXA NOMINAL
É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com
a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida
em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais,
mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente;
• 24% ao ano, capitalizados semestralmente;
• 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
• 18% ao ano, capitalizados diariamente.
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma
taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de
juros compostos.
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a
taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva
implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
 TAXAS PROPORCIONAIS
São aquelas que aplicadas sobre um mesmo capital inicial, durante um mesmo
período de tempo, geram montantes iguais, embora seus períodos de incidência
sejam diferentes.
É utilizada nos contratos de crédito quando expressa a taxa nominal, porém
não possuímos nenhuma operação de crédito que seja atualizada por taxa nominal.
As taxas proporcionais incidem sempre sobre o capital inicial, pois se baseiam
em Juros Simples. São calculadas através de uma proporção (regra de três).

Exemplo 33: A taxa de 24% ao semestre é proporcional a:
12% ao trimestre, pois (24 :2) = 12
4% ao mês, pois (24 : 6) = 4
48% ao ano, pois (24 x 2) = 48
 OUTROS TIPOS DE TAXAS
A Taxa Acumulada de juros com taxas variáveis é, normalmente utilizada em
situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis,
saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou
com taxas negativas.
A Taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em
relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa
dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.
Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em
um determinado período de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de
8%, é correto afirmar que o ganho real desta aplicação não foram os 10%, tendo em
vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo
período de tempo; desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em
relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros.
A Taxa Aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se
considerar os efeitos da inflação.
Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.
A Taxa Over equivalente é uma taxa usada pelo mercado financeiro para
determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão
do mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor
taxa para investimento.
Esta prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 90.
Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos
as operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários.
A Taxa Média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média
geométrica.
Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de
um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de
termos do próprio conjunto de taxas.

A Taxa Efetiva: É a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona
efetivamente.
A taxa efetiva pode ser utilizada no regime de juros simples e no regime de
juros composto
106. Calcule a taxa proporcional nas hipóteses seguintes:
a) 96% ao ano é proporcional à taxa de................... % ao mês.
b) 4,2% ao semestre é proporcional à taxa de...........% ao ano.
c) 6% ao mês é proporcional à taxa de.....................% ao ano.
d) 0,20% ao dia é proporcional à taxa de..................% ao ano.
e) 16,3% ao bimestre é proporcional à taxa de .........% ao quadrimestre.
f) 45% ao trimestre é proporcional à taxa de............% na quinzena.
 OS JUROS
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a
maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço
por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente
para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a
alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção
do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de
dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a
remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: O juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre
o capital inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: O juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir
do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de
tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
 Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão
incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito,
empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança
e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime
de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de
desconto simples de duplicatas.
 Juro Comercial e Juro Exato
Nas operações financeiras em que o prazo é contado em dias, o juro obtido recebe
uma denominação especial dependendo do tipo de prazo que se considera.
Juros Comercial: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério
comercial, isto é, consideram-se todos os meses com 30 dias e por conseqüente o ano
com 360 dias.
Juros Exato: é aquele que se obtém contando-se o número exato de dias pelo
critério do prazo exato, isto é, considera-se os dias dos meses conforme concebidos
no calendário.
 Conversão de Datas
Suponha que você faça um crediário no dia 10 e, claro, precisa calcular quantos
dias restam até o final do mês . "Ora (Pensa você) é só verificar qual dia termina o
mês (se dia 28, 30 ou 31) e subtrair a diferença. Você estará, na verdade, 50% certo.
Na verdade, existem 2 métodos para calcular um intervalo entre duas datas:
• Tempo exato : é o referido acima . Você verifica em que dia, exato, termina o
prazo que você tem e calcula a diferença. Por exemplo, entre 25 de abril e 27 de
setembro você tem 155 dias.
• Tempo aproximado ou comercial : é aquele no qual assumimos que cada mês
possui 30 dias. Assim, Seguindo o intervalo de datas acima temos decorridos 5
meses de 25 de abril a 25 de setembro ( ou seja 150 dias ) mais 2 dias até 27 de
setembro e temos como total 152 dias. A diferença, é claro, acaba sendo mínima
mas quando altas quantias estão envolvidas, um dia faz muita diferença.

 OS JUROS SIMPLES
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o
capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados. a taxa varia linearmente
em função do tempo.
 Cálculo dos Juros
Valor dos juros é obtido da expressão:
J = PV . i . n ► Fórmula para o cálculo dos Juros Simples
onde:
j = valor dos juros
PV = valor do capital inicial ou principal
i = taxa
n = prazo
Exemplo 34: Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$
10.000,00, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a m.?
Dados: Solução:
PV = 10.000,00
n = 15 meses
i = 3% a m.
j = ?
j = PV . i . n
j = 10.000,00 x 0,03 x 15
j= 4.500,00
Exemplo 35: Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de
R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente?
Dados: Solução:
PV = 25.000,00
j = 5.000,00
n = 10 meses
i = ?
j = PV . i . n
5.000 = 25.000,0 x i x10
i = 0,02 ou 2% a. m.
Exemplo 36: Calcule o tempo que um capital de $ 2.500,00, fica aplicado a uma taxa
simples de 9% ao mês e rende de juros R$ 2.250,00.

Dados: Solução:
PV = 2.500,00
n = ?
i = 9% a m.
j = 2.025,00
j = PV x i x n
2.025 = 2.500,00 x 0,09 x n
2.025= 225 x n
n = 9 meses
Exemplo 37: Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um
rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa diária correspondente a essa
aplicação?
Dados: Solução:
PV = 50.000,00
j = 8.250,00
n = 180 dias
i = ?
j = Pv . i . n
8.250 = 50.000,00 x i x 180
8.250 = 9.000.000 x i
i =
000.000.9
250.8
i = 0,00091667 (x 100).
i = 0,091667% ao dia.
 Observação: Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos
será diária; se o prazo for em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a
taxa será trimestral, e assim sucessivamente.
 MONTANTE SIMPLES
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido
como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras
financeiras pela tecla FV. O montante é dado pela fórmula:
FV = PV (1 + i . n) ► Fórmula para o cálculo do Montante Simples
onde:
FV = Valor Futuro ou Montante
PV = Valor Presente ou Capital
i = Taxa unitária
n = Tempo ou prazo
Exemplo 38: Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de
10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:

( )
42,960.72$
)
360
145
100
5,10
1(70000
.1
RFV
FV
niPVFv
=
×+=
+=
Exemplo 39: Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pressionado pelo
Sindicato, informou que, no mês que vem, dará um aumento de 3% no salário de
todos os funcionários . Supondo-se que você ganhe $ 1.100,00, para quanto vai o seu
salário?
Dados: Solução:
PV = 1.100,00
n = 1
i = 3% a m.
FV = ?
FV = PV (1 +i . n)
FV = 1.100 (1 + 0,03 x 1)
FV = 1.100 (1 + 0,03)
FV = 1.100 . 1,03
FV = 1.133,00
107. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00 a juros simples, durante 5
meses, à taxa de 80% a.a.? Resposta: R$ 21.333,33
108. Um capital de $1.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de
42% a.a.. Qual o montante? Resposta: R$ 1.070,00
109. Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu
$9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a.m.
110. Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante
recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. Resposta: 6 anos.
111. Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo
prazo de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o
montante recebido foi de $5.360,00. Resposta: $360,00
112. Mara aplicou $800,00 a juros simples e à taxa de 12% a.a.. Se ela recebeu
$384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. Resposta: 4 anos

113. Uma geladeira é vendida à vista por $1.500,00 ou então à prazo com $450,00
de entrada mais uma parcela de $1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de
juros simples do financiamento? Resposta: 3,57% a.m.
114. Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.400,00 ou então à prazo com
20% de entrada mais uma parcela de $2.150,00 dois meses após a compra. Qual a
taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 5,99% a.m.
115. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de
8% a.a. para que duplique? Resposta: 12,5 anos
116. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo?
Resposta: 25 meses
117. Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16 meses, rendeu
determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital,
para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses
118. Dois capitais, um de $200.000,00 e outro de $222.857,00, foram aplicados
numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro à taxa de 168% a.a. e o
segundo à de 120% a.a.. Qual o prazo para que os montantes se igualem?
Resposta: 4 meses
119. Dois capitais, o primeiro igual a $1.100,00 e o segundo igual a $500,00,
estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a taxa de aplicação do
primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $246,00 menos que o
primeiro? Resposta: 12% a.m.
120. Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a.,
durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplicadas por um
ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda à 32% a.a.. Determinar a
taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por
um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações
mencionadas. Resposta: 30% a.a.
121. Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de
alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de
$3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o
estoque por $2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de

5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria,
utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: R$ 1.050.000,00
122. Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na
expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque
à razão de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $12,00 a
saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule
o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples.
Resposta: Lucro de R$ 102.000,00
123. Uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 tem prazo de 3 meses, rende juros
simples à taxa de 1,8% a.m., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um
imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o valor resgatado
pelo investidor. Resposta: R$ 1.043,20
124. Uma aplicação financeira de R$ 6.500,00 tem prazo de 4 meses, rende juros
simples à taxa de 24% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um
imposto de renda igual a 23% do valor do juro auferido. Qual o valor resgatado
pelo investidor. Resposta: R$ 6.900,40
125. Dividir $1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros
simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda,
aplicada a 10% a.m. durante 3 meses. Resposta: R$ 782,61 e $417,39
126. Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro,
aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo,
aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 10% a.m.
Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros
auferidos foi de $1.824,00. Resposta: R$ 1.800,00 e $1.200,00
127. Certo comerciante poderia ter vendido uma mercadoria, a vista, por R$
1.000,00 e aplicado a taxa de juros simples de 3,4% ao mês no Banco Quebrado
S.A. No entanto preferiu aumentar seu preço para R$ 1.153,00 e conceder um
prazo de 120 dias para seu pagamento. Ele fez um bom negócio? Justifique
resolvendo o exercício.
128. Um banco cobra uma taxa de 10% de juros simples ao mês para os excessos
em conta corrente e um cliente utilizou R$ 1.540,00 durante 15 dias. Qual deverá
ser o valor dos juros a serem pagos? Resposta: R$ 77,00

129. Uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4.000,00, usando o que tem
depositado em uma aplicação que rende 1% de juros simples ao mês. Do ponto de
vista financeiro, qual plano é mais vantajoso: pagar à vista ou pagar em duas
prestações iguais de R$ 2.010,00 sendo uma na entrada. Resposta: melhor
comprar a vista.
 TAXA EFETIVA SIMPLES
É a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente.
Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões
que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios
diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da taxa
efetiva, como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um
total que na realidade é pago em parcelas.
Esses e outros artifícios às vezes são utilizados conscientemente para mascarar
a taxa efetiva ou fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a
conveniência.
Para calcular a taxa efetiva simples usamos as fórmulas derivada do Montante
Simples.
n
PV
FV
ie
1−
=
► Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Simples
Exemplo 40: Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% ao mês de juros
simples que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que
o tomador pagou por um empréstimo de R$ 50.000,00 por três meses?
* Primeiramente temos que calcular os juros pagos antecipadamente.
J = PV . i . n
J = 50.000 . 0,08 . 3
J = 12.000,00
Como ele pagou R$ 12.000,00 de juros acabou levando R$ 38.000,00.
Para entendermos o que significa a taxa efetiva, devemos pensar a seguinte
situação. Imagine que o negócio que o tomador do empréstimo iria fazer não se
concretizou. Ele não pode ficar com o dinheiro parado, pois terá que devolver á
instituição financeira o valor emprestado. Então, qual a taxa que deverá ser aplicado

os R$ 38.000,00 para que no final do período o tomador do empréstimo tenha o valor
de R$ 50.000,00 para pagar a dívida?
3
1
000.38
000.50
1
−
=
−
=
ie
n
PV
FV
ie
⇒
( )
%52,10
100105263,0
3
315789,0
3
1315789,1
=
=
=
−
=
ie
xie
ie
ie
Portanto ele terá que aplicar o dinheiro em uma instituição que remunere a uma
taxa de 10,52% ao mês. Logo a taxa efetiva corresponde a 10,52% ao mês.
130. Foi feito um empréstimo no valor de r$ 2.500,00, pagando-se no final R$
2.640,00, porém o cliente pagou no ato da operação um total de despesas de R$
31,25, determine as taxas: Resposta: Efetiva para o cliente = 6,94% Nominal
oferecida pelo banco.= 5,60%
131. Um cliente fez uma aplicação no valor de R$ 2.000,00, para resgatar bruto no
final R$ 2.055,20, porém pagou R$ 5,52% de IR no final da operação. Calcule:
a)Taxa Nominal, Resposta: Resposta: 2,76%
b)Taxa Efetiva; Resposta: Resposta: 2,48%
132. Foi feito um empréstimo no valor de R$ 3.200,00, e os juros pagos no final da
operação foram de R$ 358,40. Sabendo-se que o banco, cobrou no ato da
operação R$ 13,00 referente a despesas e mais R$ 25,00 de cadastramento,
pergunta-se:
a) Qual a taxa nominal oferecida pelo banco? Resposta: 11,20%
b) Qual a taxa efetivamente paga pelo cliente? Resposta: 12,54%
133. No financiamento de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, o cliente recebeu o
valor liquido de R$ 12.525,00. Se a taxa de juros for fixada em 27% ao ano,
existirá taxa de serviço cobrada no desconto bancário? Resposta: Sim, 3%
134. Calcular o desconto comercial de uma duplicata cujo valor nominal de R$
7.500,00, considerando-se a taxa de juros de 28,8 % ao ano e o prazo de
antecipação do resgate como sendo de 50 dias. Que taxa de juros efetiva está
sendo adotada? Resposta: Dc = R$ 300,00; Te = 0,0833% a. d. ou 30% a.a.

135. As lojas Enairam oferecem um produto pelo preço de R$ 1.800,00 a vista.
Esclarece que o comprador poderá pagar em duas vezes com um pequeno
aumento de 5% a mais sobre o preço total, isto é, poderá pagar R$ 945,00 no ato
da compra e R$ 945,00 após 30 dias. Qual a taxa efetiva que essa loja esta
cobrando? Resposta: 10,52%
136. Um capitalista depositou R$ 200.000,00 num banco, a prazo fixo por dois
meses, à taxa de 1.2% ao mês. Sabendo que sobre os juros incide uma taxa de
30% de Imposto de Renda, determine:
a) Imposto de Renda retido; Resposta: R$ 1.440,00.
b) O valor líquido de resgate; Resposta: R$ 203.360,00.
c) A taxa efetiva mensal do rendimento. Resposta: R$ 1,8%

 DESCONTOS SIMPLES
Entende-se por desconto o abatimento que se faz sobre um título de crédito
quando resgatado antes da data do vencimento. Os títulos que sofrem operações de
desconto, geralmente são: nota promissória1
, a duplicata2
e a letra de câmbio3
. O
desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro. Em ambos os casos há
um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício,
obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.
Diz-se:
Dia do vencimento - é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da
aplicação;
Valor nominal - (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor
indicado no título(importância a ser paga no dia do vencimento);
Valor atual - é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento;
Desconto - é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o
valor nominal e o valor atual, isto é : D = VN - VA.
Todo título tem um valor nominal (ou valor de face) que é o valor declarado
no mesmo e corresponde à data de seu vencimento. O valor pelo qual o título é
resgatado antes da data de seu vencimento é denominado de valor atual (ou valor
presente ou valor descontado ou valor líquido).
Independentemente do tipo de desconto utilizado na operação (comercial ou
racional), defini-se o valor atual (VA) como a diferença entre o valor nominal (VN)
do título e o desconto concedido (D), isto é, VA = VN - D
As operações de desconto podem ocorrer tanto no regime de capitalização
simples – Desconto Simples – quanto no regime de capitalização composta –
Desconto Composto.
Em qualquer dos regimes, existem dois tipos de descontos:
1
A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título
muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.
2
A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela
vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.
3
A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento
predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

 Desconto Comercial (ou bancário ou por fora) – aquele cuja base de cálculo é
o valor nominal do título;
 Desconto Racional (ou por dentro) – aquele cuja base de cálculo é o valor
atual do título.
 DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO”
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um
compromisso saldado n período antes do vencimento
O Desconto Racional, possui a mesma operação que a do Juros, sendo que no
Desconto Simples, o rD é o produto do valor atual VA do título pela taxa de desconto
i contratada na operação e pelo prazo de antecipação n do resgate, isto é,
Dr = VA . i . n ► Fórmula para o cálculo do Desconto Racional
ni
VN
VA
.1+
=
► Fórmula para o cálculo do Valor Atual
ni
niVN
Dr
.1
..
+
=
► Fórmula para o cálculo do Desconto Racional
Exemplo 41: Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de
seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o
desconto obtido e quanto vai obter ?
VA
VN
D
VN
V
N
3 meses
00,500
10,1
550
10,01
10,0.500.5
3
12
40,0
1
3
12
40,0
500.5
1
=
=
+
=
+
=
+
=
Dr
Dr
Dr
x
xx
D
in
Nin
D
r
r
00,000.5
500500.5
=
−=
−=
VA
VA
DrVNVA

Exemplo 42: Um título de valor nominal R$ 600.000,00 é descontado 2 meses antes
de seu vencimento à taxa de juros simples de 2% a.m.. Qual o desconto racional
concedido?
?De0,02a.m.2%i,meses2n,000.600 r =====VN
23.076,92D
2.0,021
2.0,02.600.000
D
.1
n.i.
rr =⇒
+
=⇒
+
=
ni
VN
Dr
 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA”
É o valor que se obtém pelo cálculo dos juros simples sobre o valor nominal do
compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento.
Desconto Comercial Simples cD é o produto do valor nominal VN do título pela
taxa de desconto i contratada na operação e pelo prazo de antecipação n do resgate,
isto é,
Dc = VN . i . n ► Fórmula para o cálculo do Desconto
VA = VN ( 1 – i. n) ► Fórmula para o cálculo do Valor Atual
Exemplo 43: Uma duplicata de valor nominal R$ 600.000,00, foi resgatada 2 meses
antes do vencimento através de desconto comercial à taxa de 2% a.m.. Qual o
desconto Comercial concedido e o valor atual comercial?
?De0,02a.m.2%i,meses2n,000.600 c =====VN
24.000,00D
2.0,02.600.000D
n.i.VN
c
c
=
=
=cD
576.000,00VA
24.000600.000VA
DVN
c
c
c
=
−=
−=cVA
Exemplo 44: Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês.
Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
a) O valor do desconto comercial;
VN
VN
D
FV
2 meses

b) O valor atual comercial.
189,00D
1,5.0,021.6.000D
n.i.VN
c
c
=
=
=cD
5.811,00VA
1896.000VA
DVN
c
c
c
=
−=
−=cVA
 DESCONTO BANCÁRIO
Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa administrativa
prefixada, cobrada sobre o valor nominal.
Taxa Administrativa: Cobrada muitas vezes pelas instituições financeiras
visando cobrir certas despesas de abertura, concessão e controle do crédito. É
calculada geralmente de uma única vez sobre o valor do título e descontada na
liberação dos recursos. Esses encargos financeiros de desconto bancário são
referenciados, para o cálculo de seus valores monetários, pelo critério de juros
simples. Evidentemente, para uma apuração rigorosa da taxa de juros efetiva destas
operações é adotado o regime composto, conforme amplamente discutido.
Para o cálculo do Desconto Bancário utilizamos a fórmula do Desconto
Comercial acrescida da taxa administrativa do banco, isto é:
Db = VN (i . n + h) ► Para calcular o Valor do Desconto Bancário
VA = VN [1 – (i . n + h)] ► Para calcular o Valor Atual Bancário
Exemplo 45: Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como
despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu
vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 48% a.a., qual o
desconto bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título?
Cálculo do Desconto Bancário Cálculo do Valor Atual
Db = VN (i . n + h)
Db = 5.500 (0,04 . 3 + 0,02)
Db = 5.500 (0,12 + 0,02)
Db = 5.500 . 0,14
Db = 770,00
VA = VN [1 – (i . n + h)]
VA = 5.500 [1 – (0,04 . 3 + 0,02)]
VA = 5.500 [1 – 0,14]
VA = 5.500 . 0,86
VA = 4.730,00

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