Pt scoala gimnaziala (medium school)

1. Constructii geometrice
Obectiv principal:
• Pot construi figuri geometrice cu
compasul si rigla.
Autor: Prof. Valeriu Licu

2. Exemple
Copierea unui segment
Copierea unui unghi
Bisectoarea unui unghi
Divizarea unui segment in parti egale
Mediatoarea
Perpendiculara intr-un punct
pe o dreapta
Perpendiculara pe o dreapta dintr-un punct exterior
Paralela la o dreapta
Δ echilateral inscris in cerc
Hexagon inscris in cerc
Patrat inscris in cerc
Octogon inscris in cerc
Tangente exterioare cercurilor
Triunghiuri cu perimetru si unghiuri
Exercitii
Unghiul de 30°
Unghiul de 45
Unghiul de 60°
Unghiul de 90°
Hexagon cu latura cunoscuta
Δ echilateral cu latura cunoscuta
Δ cu trei laturi cunoscute
Δ unghi-latura-unghi ULU
Δ latura-unghi-latura LUL
Triunghi - Mediana
Triunghi – Ortocentrul
Determinarea centrului
Cercului
Tangenta la un cerc dintr-un punct exteri
Tangenta la un punct de pe cerc
Pentagonul
CUPRINS

3. 1: Copierea unui segment
1. Deseneaza un segment de dreapta, capete A si B.
2. Deseneaza o semidreapta incepand din C mai lunga decat
segmentul AB.
3. Pune varful compasului in A si intinde-l pana varful
creionului ajunge in B. Compasul are acum deschiderea cat
lungimea lui AB. Traseaza un arc prin B pentru verificare.
4. Fara schimbarea deschiderii pune varful compasului in C si
traseaza un arc de cerc sa intersecteze semidreapta.
5. Inscrie punctul de intersectie obtinut cu D si avem
AB=CD.
BA
C
D
CUPRINS

4. 1: Copierea unui segment
Clic pe zona alba
CUPRINS

5. 2: Copierea unui unghi
1. Deseneaza un unghi cu varful in V.
2. Deseneaza omsemidreapta din punctul E.
3. Pune varful compasului in V si deschide-l cat doresti. Apoi deseneaza
un arc de cerc care intersecteaza ambele laturi ale unghiului.
4. Fara schimbarea deschiderii compasului pune varful in E si traseaza
acelasi arc chiar, vizibil, mai lung decat primul pornind de la
intersectia cu semidreapta.
5. Masoara cu compasul distanta dintre intersectiile arcului cu laturile
unghiului. Traseaza un arc cu aceasta masura care sa intersecteze al
doilea arc de la punctul 4.
6. Deseneaza semidreapta din E care trece prin ultima intersectie
creiata.
V
E
CUPRINS

6. 2: Copierea unui unghi
Clic pe zona alba
CUPRINS

7. 1. Deseneaza un unghi mare si noteaza-l cu
PQR varful fiind in Q. Cu varful in Q
traseaza arcul care intersecteaza ambele
laturi QP si QR.
2. Pune varful compasului intr-una din
intersectii si deseneaza un arc in interiorul
unghiului.
3. Fara schimbarea deschiderii compasului
pune varful in cea de-a doua intersectie si
traseaza al doilea arc in interiorul unghiului
pana obtii intersectia X.
4. Uneste varful V cu X printr-o semidreapta
care este bisectoarea. Marcheaza
unghiurile congruente.
3: Bisectoarea unui unghi
P
Q
R
1 2
3
4
CUPRINS

8. 3: Bisectoarea unui unghi
Clic pe zona alba
CUPRINS

9. 1. Deseneaza un segment cu capetele A si B.
2. Din A, deseneaza un alt segment la un unghi cu cel anterior si de
lungime (fara importanta) aproximativ mai mare.
3. Pune varful compasului in A si deschide-l putin mai scurt decat o cincime
din ultimul segment.
4. Deseneaza cap la cap 5 arce pe ultimul segment si noteaza-l pe ultimul
cu C.
5. Cu deschiderea CB a compasului, deseneaza un arc din A sub el.
6. Cu deschiderea AC, deseneaza un arc din B care intersecteaza cel
desenat la punctul 5 si se obtine punctul D.
7. Uneste D cu B.
8. Folosind aceeasi deschidere a compasului de la arcele pe AC, deseneaza
patru arce de la D la B.
9. Uneste punctele corespondente de pe AC asi DB.
10. Liniile de unire divide segmentul AB in 5 parti congruente.
4: Divizarea unui segment in parti egale
CUPRINS

10. 4: Divizarea unui segment in parti egale
CUPRINS

11. 4: Divizarea unui segment in parti egale
Clic pe zona alba
CUPRINS

12. 5: Mediatoarea
1. Deseneaza un segment cu capetele A si B.
2. Pune varful compasului in A si deschide-l cu mai mult de jumatate din
lungimea lui AB.
3. Deseneaza un arc de cerc de fiecare parte a segmentului.
4. Cu aceeasi deschidere pune varful in B si intersecteaza ambele arce
desenate anterior.
5. Uneste intersectiile
si obtii mediatoarea lui AB.
A B
CUPRINS

13. 5: Mediatoarea
Clic pe zona alba
CUPRINS

14. 1. Deseneaza o linie m si un punct P pe
aceasta.
2. Pune varful compasului in P si deschidel cat
doresti.
3. Deseneaza arce la stanga si la dreapta care
sa intersecteze linia m.
4. Pune varful compasului in una dintre
intersectii si deschide-l mai mult decat
distanta pana la P.
5. Deseneaza un arc deasupra sau sub P.
6. Fara schimbarea deschiderii compasului
pune varful in intersectia opusa de pe lini si
deseneaza un arc de aceeasi parte a lui P ca
si primul pana se intersecteaza X.
7. Uneste P si X cu o linie. Marcheaza
perpendicularitatea in P.
6: Perpendiculara intr-un punct
pe o dreapta
P
1
2
3 4
5
m
CUPRINS

15. 6: Perpendiculara intr-un punct pe o dreapta
Clic pe zona alba
CUPRINS

16. 1. Deseneaza o linie m si un punct P exterior.
2. Pune varful compasului in P si deschidel
pana depaseste linia.
3. Deseneaza doua arce la stanga si la dreapta
punctului astfel incat sa intersecteze linia.
4. Pune varful compasului pe intersectia (X)
din stanga si deschidel mai mult decat
jumatatea distantei dintre intersectii.
5. Deseneaza un arc de cerc in partea opusa
lui P.
6. Fara schimbarea deschiderii compasului,
pune varful in intersectia din dreapta X si
deseneaza un arc de cerc pana avem o noua
intersectie X.
7. Uneste P si ultima intersectie X si
marcheaza perpendicularitatea.
7: Perpendiculara pe o dreapta
dintr-un punct exterior
P
1 2
3 4
5
m
CUPRINS

17. 7: Perpendiculara pe o
dreapta dintr-un punct exterior
Clic pe zona alba
CUPRINS

18. 1. Deseneaza liniile m si t care o
intersecteaza pe m in R.
2. Pune un punct P pe linia t.
3. Cu varful compasului in R, traseaza un
arc sa intersecteze liniile m si t.
4. Fara schimbarea deschiderii
compasului, pune varful in P si traseaza
la fel arcul sa intersecteze linia t.
5. Deschide compasul cu masura primului
arc dintre liniile m si t.
6. Cu deschiderea astfel masurata, pune
varful compasului in intersectia a doua
a liniei t si deseneaza un arc care
intersecteaza arcul al doilea construit
la punctul 4.
7. Uneste P cu ultima intersectie creeata
si se obtine linia n paralela cu m.
8: Paralela la o dreapta
t
m
R
1
3
2
4 n
P
Unghiuri corespondente
CUPRINS

19. 8: Paralela la o dreapta
Clic pe zona alba
CUPRINS

20. 9: Unghiul de 30°
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

21. 10: Unghiul de 45°
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

22. 22
11: Unghiul de 60°
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

23. 23
12: Unghiul de 90°
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

24. 1. Construieste un cerc mai mare cu centrul O.
2. Construieste un punct A oriunde pe cerc.
3. Pune varful compasului in A si masoara raza cercului in
deschidere.
4. Realizeaza un arc de cerc sa intersecteze cercul, muta apoi
varful in intersectie si realizeaza o noua intersectie cu
cercul. Continua pana ajungi cu varful creionului de la
compas in A. Noteaza punctele obtinute B, C, D, E, si F.
5. Triunghiul: Uneste A, C, si E.
6. Hexagonul: Uneste punctele unul dupa altul.
13: Δ echilateral inscris in cerc
14: Hexagon inscris in cerc
CUPRINS

25. O
1
A
2
3
B
4
C
5 D
6
E
7
F
88
13: Δ echilateral inscris in cerc
14: Hexagon inscris in cerc
CUPRINS

26. 15: Hexagon inscris in cerc
Clic pe zona alba
CUPRINS

27. 16: Hexagon cu latura cunoscuta
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

28. 17: Δ echilateral cu latura cunoscuta
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

29. 18: Δ cu trei laturi cunoscute
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

30. 17: Δ unghi-latura-unghi ULU
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

31. 17: Δ latura-unghi-latura LUL
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

32. 17: Triunghi - Mediana
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

33. 17: Triunghi - Ortocentrul
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

34. 1. Construieste un cerc mai mare cu centrul O.
2. Deseneaza un diametru cu rigla.
3. Construieste-i mediatoarea cu compasul.
4. Construieste bisectoarele a doua unghiuri drepte.
5. Noteaza punctele alaturate in ordine cu A, B, C, D, E,
F, G, si H.
6. Patrat: Uneste patru puncte nealaturate (ex.
A,C,E,G).
7. Octogon: Uneste toate punctele, punct dupa punct.
18: Patrat inscris in cerc
19: Octogon inscris in cerc
CUPRINS

35. Serra - Discovering Geometry
Chapter 3: Using Tools of Geometry
A
B
C
D
E
F
O
H
G
18: Patrat
19: Octogon
CUPRINS

36. 20: Determinarea centrului
cercului
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

37. 21: Tangenta la cerc
dintr-un punct exterior
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

38. 21: Tangenta intr-un
punct de pe cerc
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

39. 21: Pentagonul inscris in cerc
Descrieti si justificati constructia!
Clic pe aria alba!
CUPRINS

40. 1: Construim doua cercuri (cele date) C(O,R) si
C’(O’R’) cu R>R’.
2: Reconstruim cercul C’’(OR’) C’(O’R’) cu centrul in≡
O=O’.
3: Tangenta din O’ la C’’(OR’) unde C se obtine din
intersectia cercului de raza OO’/2 cu centrul in
intersectia mediatoarei lui OO’.
4: Unim O cu C si prelungim OC C(O,R) si obtinem A∩
5: Din O’ ducem paralela la OA, O’A’ OA unde║
A’C(O’R’).
6: Unim A cu A’ si obtinem AA’ tangenta cautata.
22: Tangentele comune a doua
cercuri care nu se intersecteaza (exterioare)
CUPRINS

41. 22: Tangentele comune a doua
cercuri care nu se intersecteaza (exterioare)
CUPRINS
O
O’
B’
A’
A
C
B
Date:
R R’
O
O’

42. 23: Triunghi cu unghiurile si
perimetrul cunoscute
CUPRINS
Pasul1: Construim perimetrul A’B’ cu
deschiderea compasului 2p, vezi a.
Pasul2: Construim la capete in A’ respectiv B’
unghiurile α°/2 si βº/2 obtinem punctul C varful
triunghiului A’CB’ cazul ULU, vezi c.
Pasul3: Construim mediatoarele lui A’C si B’C
prelungite la intersectia cu A’B’ unde vom obtine
punctele A si B varfurile triunghiului cerut.

43. 23: Triunghi cu unghiurile si
perimetrul cunoscute
CUPRINS
Date:
B’A’ A B
C
PQ
α°/2 βº/2
α° βº
A’ B’
2
0
α
2
0
β

44. 24: Cerc tangent la doua secante
CUPRINS
Date:
x
y
Pasul1: Construim bisectoarele z si z’
Pasul2: Se construieste paralela x’ cu
x║x la d(x,x’)=R si obtinem C1 si C2
Pasul3: Se construieste paralela x’’ cu
x║x la d(x,x’’)=R si obtinem C3 si C4
R

45. 24: Cerc tangent la doua secante
CUPRINS
O
z
z’
x
y
x’
x’’
C1
C4
C3
C2
R
R

46. 26: Triunghi cu inaltimea, bisectoarea
si mediana duse din acelasi punct, cunoscute
CUPRINS
Date: Inaltimea
Bisectoarea
Mediana
ΔABC dreptunghic
A
A
A
D
I
M
Pasul1: Se construieste dreapta x
Pasul2: In punctul D ales pe x se ridica AD
Pasul3: Din A cu compasul avand deschiderea AI se
intersecteaza x in I
Pasul4: Cu centrul in I se construieste cercul de raza ID
Pasul5: Din A se construieste tangenta la cercul construit si se
obtine M=AV x∩
Pasul 6: Se construieste cercul de raza AM cu centrul in M si
se obtine B si C la intersectia cu dreapta x, respectiv triunghiul
cautat.

47. 26: Triunghi cu inaltimea, bisectoarea
si mediana duse din acelasi punct, cunoscute
CUPRINS
A
D I MB C
r
r V