Matemática para concursos

M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA

Prezado(a) Aluno(a),
Lembre-se dos motivos que o
levam a estudar para o
concurso. Faça um cronograma de
estudos e avalie constantemente
como está seu desempenho
conforme você faz exercícios e
questões de provas anteriores.
Planeje o tempo de estudo e de
descanso. Com organização,
disciplina e força de vontade é
possível conciliar estudo eficiente
com lazer e trabalho.
Procure resolver todas as questões
da apostila. Em caso de dúvida,
use o blog:

(www.valclides.blogspot.com)

ou e-mail:

Conteúdo abordado nesta apostila: (valclidesguerra@gmail.com).

1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.); Lembre-se de que é necessário
2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números acompanhar todas as aulas, pois
Racionais; números Irracionais e números Reais; cada uma pode abordar conteúdos
3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau,
Problemas do 1º Grau; diferentes.
4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e
inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e Bem vindo ao Curso e sucesso em
Composta;
5. Porcentagem. sua caminhada!
Valclides Guerra
Professor

Matemática Prof.: Valclides Guerra
1
VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM


MATEM ÁTICA você pode resolvê-lo de outra forma, talvez por um
caminho mais curto!!! Perceba conexões entre os
dados. Talvez seja conveniente considerar
problemas auxiliares ou particulares, se uma
conexão não for achada em tempo razoável.
1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);
2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números  E claro, o conhecimento dos conteúdos
Racionais; números Irracionais e números Reais. matemáticos – (execute a estratégia).
3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau, Frequentemente esta é a etapa mais fácil do
Problemas do 1º Grau; problema. Preste atenção às incógnitas e procure
4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e perceber se será necessário fazer uso de alguma
inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e
Composta;
fórmula.
5. Porcentagem.
 REVISE – examine a solução obtida e verifique o
resultado e o argumento.

RESUMINDO:
Apresentação
1) Ler atentamente o problema;

M atemática é uma das ciências mais aplicada em
nosso cotidiano. Se prestarmos atenção
notaremos que em simples atitudes utilizamos
os nossos conhecimentos básicos de matemática, como:
olhar as horas, medir o comprimento de algum objeto,
2)
3)

4)
Estabelecer qual a incógnita;
Montar uma equação traduzindo os dados do
problema;
Resolver a equação;
5) Verificar se a raiz da equação é resposta do
fazer relação de distâncias entre cidades etc. Por tudo problema;
isso, caros estudantes, a Matemática exercita nossa 6) Dar a resposta do problema.
mente, nos torna mais racionais. Começamos ter uma
visão: do espaço, das pessoas, dos acontecimentos em Logo, percebemos que resolver problemas depende
geral, de forma mais ampliada. Portanto, caros de um grande esforço pessoal
concurseiros, o estudo da Matemática não é uma
OBRIGAÇÃO, e sim uma NECESSIDADE.
Simbologia Matemática mais usual
DICA para resolver problemas Na Matemática, muitas informações são
apresentadas em forma simbólica, o que faz necessário
Prezados concurseiros, em concurso conhecermos alguma simbologia básica, vamos lá?
público, as questões de Matemática
são quase sempre constituídas por = (igual à)
problemas. O que faz uma boa parte (diferente de)
dos candidatos ter dificuldades para ou { } (conjunto vazio)
entender o que, de fato, está sendo (pertence à)
perguntado e o que temos para (não pertence à)
podermos garantir a resposta correta e em um curto (está contido)
espaço de tempo. E para resolvermos estes problemas (não está contido)
devemos desenvolver: (contém)
(não contém)
 Uma boa interpretação de texto – procure (existe pelo menos um)
lembrar se você já resolveu uma questão correlata e
(não existe)
aplique o mesmo método. Primeiro, você tem de | (existe e é único)
entender o problema: Qual é a incógnita? Quais são | (tal que / tais que)
os dados? Quais são as condições? É possível (ou)
satisfazer as condições? Elas são suficientes para (e)
determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou A B (interseção dos conjuntos A e B)
redundantes? Ou contraditórias? Faça uma figura.
Outra se necessário, introduza notação adequada. A B (união dos conjuntos A e B)
(para todo, qualquer que seja)
Separe as condições em partes.
(implica)
(implica e a recíproca é equivalente)
 A linguagem Matemática – (construa uma (donde se conclui)
estratégia para resolução do problema): perceba se
2


A CRIAÇÃO DOS NÚMEROS Para indicar quantidades a partir de 4000, os
romanos usavam um traço horizontal sobre as letras
Os números foram inventados pelos homens. Mas correspondentes à quantidade de milhares:
sua criação não aconteceu de repente surgiu da
__
necessidade de contar coisas (lembram daquelas aulas lá
IV = 4.000
do primário?). O homem primitivo, por exemplo,
contava traçando riscos na madeira ou no osso, ou ainda, _
fazendo nós em uma corda. Como era difícil contar V = 5.000
quantidades grandes e efetuar cálculos com pedras, nós _____
XXIII = 23.000
ou riscos simples, a necessidade de efetuar cálculos com
maior rapidez levou o homem a criar símbolos, para
representar quantidade. Na antiguidade, nem todos os Observação: Os romanos não conheciam um símbolo
para representar o número zero.
povos usavam os mesmos símbolos. Vamos conhecer
como alguns povos dessa época contavam.
A NUMERAÇÃO DOS HINDUS
A numeração dos romanos
Foram os hindus que inventaram os símbolos que
usamos até hoje:
Os romanos representavam quantidades usando as
próprias letras de seu alfabeto:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
I- valia uma unidade
V- valia cinco unidades Esses símbolos, divulgados pelos árabes, são
X- representava dez unidades conhecidos como algarismos indo-arábicos e com eles
L- indicava cinqüenta unidades escrevemos todos os números. Mais adiante vamos falar
C- valia cem unidades sobre o sistema de numeração que usamos. Você sabe,
D- representava quinhentas unidades por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem
M- indicava mil unidades diferentes.

As quantidades eram representadas colocando se os
símbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte
regra:
NÚMEROS NATURAIS
Os símbolos iguais juntos, até três, significava
soma de valores: Quando contamos uma quantidade de qualquer
coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc.)
III = 1 + 1 + 1 = 3 empregamos os números:
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
CCC = 100 + 100 + 100 = 300 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,...

Dois símbolos diferentes juntos, com o número Esses números são chamados de números naturais.
menor aparecendo antes do maior, significava Existem infinitos números naturais os números que
subtração de valores: aparecem juntos, como na seqüência acima são
chamados números consecutivos.
IV = 5 - 1 = 4
XL = 50 - 10 = 40 Exemplo: 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem
XC = 100 - 10 = 90 depois) e 12 é o antecessor (vem antes) de 13.

Dois símbolos diferentes juntos, com o maior Lembrem-se concurseiros, conjunto dos números
aparecendo antes do menor, significa soma de naturais é baseado na existência do ZERO e na
valores: propriedade que todo número tem sucessor e antecessor.
Apenas o Zero não tem antecessor.
LX = 50 + 10 = 60
CCXXX = 200 + 30 = 230 Observações:
DC = 500 + 100 = 600
MMMD = 3.000 + 500 = 3.500 1) Todo número natural tem um sucessor (é o que vem
depois).

3


2) Todo número natural tem um antecessor (é o que  De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes
vem antes), com exceção do zero. como unidade e 10 vezes como dezena. Logo, de 1
a 100 cada algarismo aparece 20 vezes.
3) Um número natural e o seu sucessor são chamados
números consecutivos.  De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes
como unidade, 100 vezes como dezena e 100 vezes
PAR OU IMPAR como centena. Logo, de 1 a 1000 cada algarismo
aparece 3000 vezes.
Um número natural é par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou
– 1
8.  De 1 a 10n qualquer algarismo aparece 10n
Os números pares são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16... vezes como unidade, 10n – 1 vezes como dezena e
Um número é ímpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9.
10n – 1 vezes como centena.
Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...

Conjuntos Numéricos 01) A diferença entre o menor número de três algarismo
e o maior número de dois algarismos é:
a) 5
CONJUNT O DOS NÚMEROS NAT URAIS b) 3
c) 1
Como decorrência da necessidade de contar objetos d) 2
surgiram os números naturais que é simbolizado pela e) 4
letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:
N = {0; 1; 2; 3; …}. Um subconjunto de N muito usado é 02) Quantos números da sucessão de números inteiros
o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja, existem de 12 a 98
N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que a) 87
é representado por N*. b) 86
c) 88
Observações: d) 85
e) 110
1) Em N são definidas apenas as operações de adição
e multiplicação, apenas estas são garantidas nas GABARITO: 01) C 02) A
operações dentro do conjunto N;
CONJUNT O DOS NÚMEROS I NT EIROS
2) Isto é fato, pois se a e b são dois números naturais
então a + b e a.b são também números naturais.
Esta propriedade é conhecida como fechamento da
operação;

3) Valem as propriedades associativa, comutativa e
elemento neutro (0 para a adição e 1 para a
multiplicação) para as duas operações e a
distributiva para a multiplicação em N. Em N a Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros.
subtração não é considerada uma operação, pois se
a diferente de zero pertence a N o simétrico -a não Chama-se o conjunto dos números inteiros,
existe em N. representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

DICCA para o aluno Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

 Caso você escreva do número a até o número b, No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos
você escreverá ao todo (b – a + 1) números. notáveis que possuem notação própria para representá-
los:
Exemplo: de 23 a 58 = 58 – 23 + 1 = 36.
a) Conjunto dos inteiros não negativos:
 Caso você escreva os números existentes entre a e
b, você escreverá ao todo (b – a – 1) números. Z+ = {0; 1; 2; 3; …}
Exemplo: Entre 23 e 58 = 58 – 23 – 1 = 34.
4


b) Conjunto dos inteiros não positivos: A ordem dos inteiros:

Z- = {…; -3; -2; -1; 0} Há uma classe de inteiros, chamada classe dos
inteiros positivos (ou classe dos números naturais), que
c) Conjunto dos inteiros não nulos: goza das seguintes propriedades:

Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}  A soma de dois inteiros positivos é um inteiro
positivo;
d) Conjunto dos inteiros positivos:
 O produto de dois inteiros positivos é um inteiro
positivo;
Z+* = {1; 2; 3; …}
 Para cada inteiro A, uma e somente uma das
e) Conjunto dos inteiros negativos: seguintes alternativas é verdadeira, ou A = 0, ou A é
negativo, ou A é positivo (lei da tricotomia).
Z-* = {…; -3; -2; -1}
Definimos as relações ≥, ≤, <, > por:
Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto
de Z. A > B (A é maior do que B) se e só se A - B é positivo
A < B (A é menor do que B) se e só se B > A
Observações: A ≥ B (A é maior ou igual a B) se e só se A > B ou A =
B
1) No conjunto Z, além das operações e suas A ≤ B (A é menor ou igual a B) se e só se A < B ou A =
propriedades mencionadas para N, vale a B
propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto É claro que A é positivo se e só se A > 0.
é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma
que a + (-a) = 0; Multiplicação de Números Inteiros
2) Devido a este fato podemos definir a operação de
O conjunto dos números inteiros
subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b
surgiu da necessidade de o homem
pertencente a Z;
manipular valores negativos,
relacionados a assuntos comerciais
3) Note que a noção de inverso não existe em Z. Em e financeiros. Nesse conjunto, cada
outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente número inteiro positivo possui sua representação
de 1 e de -1, 1/q não existe em Z; negativa. Na multiplicação de números inteiros, devemos
seguir algumas condições de acordo com o sinal dos
4) Por esta razão não podemos definir divisão no números. Nessas operações o jogo de sinal é usado de
conjunto dos números inteiros; forma sistemática, de acordo com o seguinte quadro de
sinais:
5) Outro conceito importante que podemos extrair do
conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é (+).(+)= +
divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se (+).(–)= –
existe um inteiro c tal que b = ca; (–).(+)= –
(–).(–)= +
6) Os números inteiros podem ser representados por
pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos
Os dois números possuem o mesmo sinal.
um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda
associam-se ordenadamente os inteiros negativos e
Número positivo multiplicado por número positivo
à sua direita os inteiros positivos, separados por
intervalos de mesmo comprimento;
(+ 3) . (+ 7) = + 21
(+ 5) . (+ 9) = +45
7) Cada ponto da reta orientada é denominado de
(+ 21) . (+ 10) = + 210
abscissa;
(+ 4) . (+ 9) = +36
8) Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou (+ 8) . (+ 10) = +80
valor absoluto: |x| = x se x ≥ 0 e |x| = -x se x < 0, (+ 22) . (+ 5 ) = +110
para todo x pertencente a Z. Como decorrência da
Número negativo multiplicado por número negativo
definição temos que |x| ≥ 0 para qualquer número
inteiro.
(– 9) . (– 5) = + 45
5


(–12) . (– 4) = + 48 DIVISIBILIDADE POR 2:
(– 3) . (– 7) = +21
(– 8) . (– 9) = +72
(– 10) . (– 7) = +70 Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja,
(–12) . (–5) = +60 termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Os dois números possuem sinais diferentes. DIVISIBILIDADE POR 3:

Número positivo multiplicado por negativo e vice-versa: Um número é divisível por 3 se a soma de seus
algarismos é divisível por 3.
(+ 7) . (– 9) = – 63
(– 4) . (+ 7) = – 28 DIVISIBILIDADE POR 4:
(– 6) . (+ 7) = – 42
(+ 8) . (– 6) = – 48
Um número é divisível por 4 se o número formado
(+ 6) . (– 5) = –30
pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4
(–120) . (+ 3) = – 360
ou terminar em 00.
Lembrem-se candidatos de que o elemento neutro da
multiplicação é o número 1 (um). Veja: DIVISIBILIDADE POR 5:

Um número é divisível por 5 se o seu último
(+ 1 ) . ( + 96) = + 96 algarismo é 0 (zero) ou 5.
(–1) . (–98) = + 98
(– 14) . (+ 1) = – 14
DIVISIBILIDADE POR 6:
(–1) . (+ 9) = – 9
(+ 2) . (+ 1) = +2
(–32) . (–1) = +32 Um número é divisível por 6 se é par e a soma de
seus algarismos é divisível por 3.
Podemos verificar que na multiplicação de números
inteiros ao multiplicamos números com sinais iguais, DIVISIBILIDADE POR 7:
temos que o resultado é um número positivo, e quando
multiplicamos números com sinais diferentes, o resultado Um número é divisível por 7 se o dobro do último
é um número negativo. algarismo, subtraído do número sem o último
algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o
MÓDULO: número obtido ainda for grande, repete-se o
processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Definimos o módulo ou valor absoluto do inteiro A,
A DIVISIBILIDADE POR 8:
representado por , pondo:
A, se A 0 pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8
A
A, se A 0 ou terminar em 000.

DIVISIBILIDADE: DIVISIBILIDADE POR 9:

Um inteiro A é divisível por um inteiro B se e só Um número é divisível por 9 se a soma dos seus
existe um inteiro C, tal que A = B x C. Neste caso, algarismos é um número divisível por 9.
dizemos que A é múltiplo de B, ou que B divide A, e
escrevemos: B | A Chamamos de pares os inteiros que DIVISIBILIDADE POR 10:
são divisíveis por 2 e de ímpares os que não são
divisíveis por 2. Um número é divisível por 10 se termina com o
algarismo 0 (zero).
EX.: 2n , com n inteiro (par)
2n 1 , com n inteiro (ímpar) DIVISIBILIDADE POR 11:

CRIT ÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Um número é divisível por 11 se a soma dos
algarismos de ordem par Sp menos a soma dos
6


algarismos de ordem ímpar Si é um número 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é
divisível por 11 ou igual a zero. um número primo.

DIVISIBILIDADE POR 12: Observações:

=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas
Um número é divisível por 12 quando é divisível um divisor que é ele mesmo.
por três e quatro ao mesmo tempo. => 2 é o único número primo que é par.

DIVISIBILIDADE POR 13: Reconhecimento de um número primo:

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 Para saber se um número é primo, dividimos esse
vezes) do último algarismo, somado ao número sem número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até
o último algarismo, resultar um número divisível que tenhamos:
por 13. Se o número obtido ainda for grande,
repete-se o processo até que se possa verificar a => ou uma divisão com resto zero e neste caso o
divisão por 13. Este critério é semelhante àquele número não é primo,
dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que => ou uma divisão com quociente menor que o divisor
no presente caso utilizamos a soma ao invés de e o resto diferente de zero. Neste caso o número é
subtração. primo.

Exemplos:
1) O número 161:
Um número é divisível por 15 quando é divisível Não é par, portanto não é divisível por 2;
por três e cinco ao mesmo tempo.
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
Não termina em ―00‖, nem os dois últimos
algarismos pode ser dividido por 4, logo não é
divisível por 4;
pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por Não termina em 0 nem em 5, portanto não é
16 ou terminar em 0000. divisível por 5;
Por 7: 161/7 = 23, com resto zero, logo 161 é
NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS: divisível por 7, e portanto não é um número primo.

Número Primo: um número inteiro p > 1 é primo se só é 2) O número 113:
divisível por 1 e por ele próprio. A divisão por um Não é par, portanto não é divisível por 2;
número não resulta em um número natural (ou inteiro). 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
Para saber se um número grande é primo, basta dividi-lo Não termina em ―00‖, nem os dois últimos
sucessivamente pelos números primos até que o
quociente seja menor ou igual ao seu divisor. algarismos pode ser dividido por 4, logo não é
divisível por 4;
Os primeiros números primos são: Não termina em 0 nem em 5, portanto não é
divisível por 5;
Por 7: 113/7 = 16, com resto 1. O quociente (16)
ainda é maior que o divisor (7).
Por 11: 113/11 = 10, com resto 3. O quociente (10)
é menor que o divisor (11), e além disso o resto é
diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um
número primo.

Exemplos: Decomposição em fatores primos

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um Todo número natural, maior que 1, pode ser
número primo. decomposto num produto de dois ou mais fatores.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um
número primo. Decomposição do número 24 num produto:

7


24 = 4 x 6 Logo: 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
24 = 2 x 2 x 6 630 = 2 x 32 x 5 x 7.
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
Vejamos a decomposição dos números 28 e 200:
Número Composto: é todo número que possui mais de
dois divisores.Todo o número natural (diferente de 1) 28 2 200 2
escreve-se de forma única como um produto de números 14 2 100 2
primos. Este Teorema é conhecido por Teorema 7 7 50 2
Fundamental da Aritmética. 1 28 = 22 x 7 25 5
5 5
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores. Logo, 15 é um 5 1 200 = 23 x 52
número composto.
A DIVISÃO DE INT EIRO S:
Dois números naturais a e b são primos entre si, se
mdc(a, b)=1. O resultado da divisão de dois números inteiros,
dividendo e divisor, nem sempre é um número inteiro.
Quaisquer dois números primos são primos entre si, Ao maior número inteiro menor do que a divisão chama-
mas o recíproco não é verdadeiro. se quociente é a diferença entre o dividendo e o produto
do divisor pelo quociente chama-se resto. Se D for o
NÚMEROS PRIMOS ENT RE SI: dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto tem-se
que:
Dizemos que A e B são primos entre si se e só se D = q × d + r, com 0 ≤ r < d
MDC[A, B] = 1.
Por exemplo, se dividirmos 31 por 7 obtemos o resultado
TEOREM A FUNDAM ENTAL DA ARITM ÉTICA: 4,428... , e por isso o quociente desta divisão é 4. O resto
é igual a 31 − 7 × 4 = 3.
fácil obter MDC e MMC de números dados, se

É conhecermos suas decomposições em fatores
primos. É fácil perceber que os fatores do MDC são
os fatores dos números tomados sempre com o menor
Dizemos então que na divisão de D por d o quociente é q
e o resto é r, D é chamado de dividendo e d de divisor.

dos expoentes e os do MMC com o maior dos expoentes. DIVISORES DE UM NÚM ERO NATURAL

Todo número A maior que um, ou é primo ou pode
ser representado como um produto de fatores primos.

FAT ORAÇÃO

É a decomposição de um número em um produto de
fatores primos.

Existe um dispositivo prático para fatorar um
número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
esse dispositivo:

1º) dividimos o número pelo seu menor divisor primo; Um inteiro positivo d é o MDC dos inteiros A e B
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor (usaremos a notação d = MDC[A, B]) se e só se possui
divisor primo desse quociente e assim as seguintes propriedades:
sucessivamente até obter o quociente 1.
a) d|a e d|b (d é um divisor comum de A e B)
A figura a baixo mostra a fatoração do número 630.
b) Se C|A e C|B, então C|d (isto é todo divisor comum
de A e B também divide d)

Teorema: Se A e B são inteiros não nulos
simultaneamente, então MDC[A, B] existe e é único.

OBS.: Convencionou-se que o MDC(0, 0) = 0.

Propriedades do MDC:
8


• MDC(a, b) = MDC(b, a). multiplicado ainda pelos expoentes dos fatores
• MDC(a, b) = MDC(−a, b). pares sem acrescentar a unidade.
• MDC(a, b) = MDC(|a|, |b|).
• MDC(a, 0) = |a|.  Fatora-se o número
• MDC(a, ka) = |a| para todo k Z.
 Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímpar
O ALGORITMO DE EUCLI DES:
 Multiplicamos o resultado obtido, também pelos
O processo que usamos para determinar o MDC de expoentes de fator par
dois inteiros, não nulos simultaneamente é o algoritmo de
Euclides.

a) Dados A e B, dividimos A por B
b) Depois dividimos B pelo resto desta divisão R1 01) O número de divisores de 120 é:
c) Depois dividimos R1 pelo resto desta última divisão a) 12
R2 e assim sucessivamente. b) 14
d) Quando chegarmos a um resto igual a zero o MDC c) 16
procurado será o último divisor, isto é: d) 20
e) 25
q q2 q3 ... qn qn+1
02) Determinar o número N, sabendo-se que ele admite 8
A B R1 R2 ... r n-1 rn= MDC[A,B] divisores e que é da forma: N = 2.3x.
a) 10
R1 R2 R3 R4 ... 0 b) 15
c) 32
d) 54
DICA para o aluno e) 24

03) Calcular o valor de m na expressão 2m + 1.3.5,
Cálculo do número de divisores: sabendo-se que este produto indicado resulta da
decomposição de um número que possui 16
É o produto de todos os expoentes acrescido de divisores.
uma unidade. a) 2
b) 4
 Fatora-se o número c) 6
d) 8
 Somamos uma unidade a cada expoente e) 10

 Multiplicamos o resultado obtido. 04) Determinar o valor de N na igualdade N = 2x.34, para
que o número N tenha 20 divisores.
a) 648
Cálculo do número de divisores ímpares: b) 448
c) 243
d) 824
É o produto dos expoentes de fatores ímpares e) 100
acrescido de uma unidade.
 Fatora-se o número

 Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímpar

 Multiplicamos o resultado obtido GABARITO: 01) C 02) D 03) A 04) A

Cálculo do número de divisores pares:

É o produto dos expoentes de fatores ímpares
acrescidos de uma unidade cada um,
9


MÍNIMO MÚLTIPLO COM UM (MMC) MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144

Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais Dividindo-se os números por 3, o MMC ficará
números é o menor de seus múltiplos comuns, diferente dividido por 3.
de zero.
Importante:
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....} MDC(a, b) x MMC(a, b) = A x B
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....}
M(3) ∩ M(4) = {0, 12, 24, 36, ... }
CONJUNTO DOS NÚM EROS RACIONAIS
MMC (3, 4) = 12

PROCESSOS PARA O CÁL UCULO DO MMC

1º Processo: Decomposição de fatores primos em
separado
a) Decompõem-se os números em fatores primos;
b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e
não comuns elevados ao maior de seus expoentes;
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e
2º Processo: Decomposição de fatores primos em Racionais.
conjunto.
a) Decompõem-se em fatores primos, dividindo os O conjunto dos números racionais, simbolizado
números pelos fatores comuns e não comuns. pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser
b) Toma-se o produto desses fatores primos comuns e escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros
não comuns. quaisquer e q diferente de zero:

CONSEQUÊNCIAS DO MMC

1ª) O MMC entre dois números primos entre si é igual
ao produto entre eles.

MMC (12, 25) = 12 . 25 = 300
MMC (4, 9) = 4 . 9 = 36

2ª) O MMC entre dois ou mais números, em que o
maior é múltiplo dos menores, é o maior número.

MMC (40, 120) = 120
MMC (50, 150, 300) = 300

3ª) Os múltiplos comuns de dois ou mais números são
os múltiplos do MMC entre esses números.
Como todo número inteiro pode ser escrito na
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....} forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....} também para os conjuntos dos números racionais as
MMC (3, 4) = 12 notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos),
M(3) ∩ M(4) = M(12) Q + (conjunto dos números racionais não negativos) e Q -
(conjunto dos números racionais não positivos).
4ª) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais
números por um mesmo número, o MMC entre eles Observações:
ficará multiplicado ou dividido, respectivamente,
por esse mesmo número. a) São válidas todas as propriedades vistas para o
conjunto dos números inteiros;
MMC (12, 18) = 36
b) Além disso, é válida a propriedade simétrico ou
Multiplicando-se os números por 4, o MMC ficará inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b
multiplicado por 4. pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em
Q tal que (a/b).(b/a) = 1;
10


c) Decorre da propriedade acima que é possível definir Exemplos:
a operação de divisão em Q* da seguinte forma
(a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d
pertencente a Q;

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM
DENOM INADORES IGUAIS

Conserva-se o denominador, adicionando ou
subtraindo os numeradores.
Como vemos nos exemplos acima, para transformar
um número misto na fração imprópria correspondente
3 5 7 3 5 7 1 multiplica-se o número da frente pelo denominador e o
20 20 20 20 20 resultado soma-se ao numerador, formando o numerador
da fração. Para transformar uma fração imprópria em um
número misto, faça a divisão inteira do numerador pelo
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM
denominador. O quociente será o primeiro número, o
DENOM INADORES DIFERENTES
resto será o novo numerador e denominador permanece.
Por exemplo: 5/2. 5 dividido por 3 dá 1 e sobra 2. Assim
Substituem-se as frações dadas por outras, temos que 5/3 =1 e 5/3 Os números mistos são práticos
equivalentes, cujo denominador será o MMC dos quando se deseja marcar a fração na reta numerada. Para
denominadores dados: fazê-lo, localiza-se primeiro a parte inteira e depois
acrescenta-se a parte fracionária, assim, para localizar na
1 3 1 2 9 6 5 reta a fração através do seu número misto 1 , vai-se até
mmc(6,4,2) 12
6 4 2 12 12 o 1 e acrescenta-se o .

M ULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Para multiplicar duas ou mais frações, deve-se:

1º) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo
numerador.

2º) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo
denominador.

2 3 1 2 3 1 6
simplificando por 6
1 Dízimas periódicas
5 4 6 5 4 6 120 20
Todo número racional p/q pode ser escrito como um
DIVISÃO ENVOLVENDO F RAÇÕES número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma
dízima periódica (1/3 = 0,333…). Veremos como
Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos transformar dízima em fração!!!
números envolvidos é uma fração devemos multiplicar o
primeiro número (dividendo) pelo inverso do segundo Como dito, há frações que não possuem representações
(divisor). decimal exata. Por exemplo:

2 4 2 7 14 7
simplificando por 2
3 7 3 4 12 6

NÚMEROS MISTOS

Número misto é um número racional escrito na
forma da soma de sua parte inteira com a sua parte Aos numerais decimais em que há repetição periódica e
fracionária (esta é sempre uma fração própria). Os infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de
números mistos também se podem escrever como frações numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.
impróprias.

11


Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que Exemplos:
se repetem infinitamente, constituem o período dessa
dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples
e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da

forma , onde
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período
apresenta-se logo após a vírgula. n é a parte não periódica seguida do período, menos
a parte não periódica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do
período seguidos de tantos zeros quantos forem os
algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o
período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o
termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos DICA para o aluno
portanto da parte não periódica o inteiro.
 Não faça contas com dízimas periódicas. Substitua
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes todas elas por frações geratrizes antes de fazer
maneiras: qualquer cálculo.

NÚM EROS IRRACIO NAIS

Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional)
que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos É um numero irracional. π = 3,141592 ...
esta fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma O número irracional é aquele que não admite a
dízima: representação em forma de fração (contrário dos
números racionais) e também quando escrito na forma de
decimal ele é um número infinito e não periódico.
Dízima simples
Exemplo:
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que
tem para numerador o período e para denominador tantos • 0,232355525447... é infinito e não é dízima
noves quantos forem os algarismos do período. periódica (pois os algarismos depois da vírgula não
repetem periodicamente), então é irracional.
12


• 2,102030569... não admite representação existem vários números reais tais como: 1,01; 1,001;
fracionária, pois não é dízima periódica. 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... . Escrever
todos os números entre, por exemplo, 1 e 2, representa
• Se calcularmos em uma calculadora veremos que um intervalo de tais números onde, se inclui os extremos,
√2, √3, π são valores que representam números considera-se fechado e se não inclui, considera-se aberto.
irracionais. Os intervalos podem ser classificados em abertos,
fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda
A representação do conjunto dos irracionais é feita pela ou à direita).
letra I maiúscula.
Notação em símbolos de um intervalo
CONJUNTO DOS NÚM EROS REAIS
Habitualmente se utilizam os colchetes – ―[" e "]‖ –
O conjunto dos números reais, representado por IR, para indicar que um dos extremos do intervalo é parte
é a união entre os conjuntos dos números racionais, Q, e deste intervalo e os parênteses – ―(‖ e ―)‖ – ou, também,
dos irracionais. Portanto, os números naturais, inteiros, os colchetes invertidos – ―]‖ e ―[" para indicar o
racionais e irracionais são todos, números reais. contrário. Assim, por exemplo, dados a e b números
reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o
R* conjunto dos números reais não nulos. conjunto dos x R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz
R+ conjunto dos números reais positivos e o zero. parte do intervalo.
R*+ conjunto dos números reais positivos.
R - conjunto dos números reais negativos e o zero.
R*- conjunto dos números reais negativos menos o Representação de um intervalo na reta real
zero.
Um intervalo é representado na reta real utilizando-
se de uma pequena ―bolinha vazia‖ para indicar que um
dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma
―bolinha cheia‖ para indicar que o ponto extremo
pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente
ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar
os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:

[a,b] = {x R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de
comprimento finito c = b – a:

[a,b[ = [a,b) = {x R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de
comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x R | a < x ≤ b}
INTERVALO REAL
d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:
Ainda, caros estudantes, para complementar o
assunto sobre Conjuntos Numéricos veremos a parte de ]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}
intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R.
Perceba que entre dois números inteiros existem infinitos e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:
números reais. Por exemplo, entre os números 1 e 2
13


]-∞,b[ = (-∞,b) = {x R | x < b} Sejam A = [-1,6] = {x R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) =
{x R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito: B e A ∩ B.

]-∞,b] = (-∞,b] = {x R | x ≤ b} Primeiramente, caros alunos, marcamos todos os
pontos que são extremos ou origens dos intervalos em
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta,
infinito: traçamos os intervalos que representam graficamente os
conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x R | a ≤ x} união e intersecção para determinar os trechos que estão
em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩
infinito: B na figura a seguir e de onde é também facilmente
observado o resultado de A U B:
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x R | x > a}
A ∩ B = {x R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x R | -1 ≤ x}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado,
então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto
unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Vejamos mais exemplos:

EX PR ESS ÕES NUM ÉR IC AS

As expressões numéricas podem ser definidas
através de um conjunto de operações fundamentais. As
operações que podemos encontrar são: radiciação,
potenciação, multiplicação, divisão, adição e subtração.
Como uma expressão numérica é formada por mais de
uma operação, devemos saber que resolvemos
primeiramente as potências e as raízes (na ordem que
aparecerem), depois a multiplicação ou divisão (na
ordem) e por último, adição e subtração (na ordem).

É comum o aparecimento de sinais nas expressões
numéricas, eles possuem o objetivo de organizar as
expressões, como: ( ) parênteses, [ ] colchetes e {}
chaves, e são utilizados para dar preferência para
algumas operações. Quando aparecerem em uma
expressão numérica devemos eliminá-los, essa
eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses,
colchetes e, por último, as chaves.

Exemplo 1:
União e Intersecção de Intervalos
– 62 : (– 5 + 3) – [– 2 * (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²]
Como intervalos são conjuntos é natural que as =
operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se elimine parênteses.
de um procedimento muito comum na resolução de – 62 : (– 2) – [– 2 * (2 – 1)² – 16 : 2²] =
alguns problemas. E a maneira mais fácil e intuitiva de continue eliminando os parênteses.
realizar essas operações é através da representação – 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 2²] =
gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo resolva as potências dentro do colchetes.
prático de como efetuar tais operações. – 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 4] =
14


resolva as operações de multiplicação e divisão nos
colchetes. QUEST ÕES
– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] =
– 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete. 01) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA
– 62 : (– 2) + 6 = efetue a divisão. MUNICIPAL) Um tanque tem duas torneiras. A
31 + 6 = 37 efetue a adição. primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda,
O valor numérico da expressão é 37. em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se
as duas torneiras durante 5 horas, enche-se uma
Lembrem-se, em expressões numéricas com sinais parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda
associativos de: torneira encherá o restante do tanque em
A) 14 horas.
1º) Parênteses ( ) B) 10 horas.
2º) Colchetes [ ] C) 7 horas.
3º) Chaves { } D) 8,5 horas.
E) 8 horas.
efetuam-se, primeiro as operações dentro deles, na ordem
mostrada: ( ), [ ] e { }, respeitando-se ainda, a prioridade 02) (UPENET) O Quíntuplo de um número, dividido
das operações. por este número aumentado de duas unidades, dá
quociente 3 e deixa resto 2. Qual é este número?
Exemplo 2: A) 4
B) 6
36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} = C) 8
= 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} = D) 10
= 36 + 2.{25 + [18 – 9]} = E) 12
= 36 + 2.{25 + 9} =
= 36 +2.34 = 03) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A
= 36 + 68 = 104 caixa d’água de um edifício foi revitalizada, e o
engenheiro solicitou ao síndico que trocasse as
Exemplo 3: bombas, pois as atuais estão obsoletas. As bombas
compradas pelo síndico enchem o reservatório
[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = muito mais rápido e com baixo consumo de
= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa de
=[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = água sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8
= [1.3 + 12] : 5 = horas. Um porteiro por displicência liga as duas
= [3 + 12 ] : 5 = simultaneamente para encher essa caixa de água.
= 15 : 5 = 3 Estando a caixa d’água vazia, assinale o tempo, em
minutos, gasto para que as duas encham o
Exemplo 4: reservatório.
A) 167 minutos.
B) 163 minutos.
C) 150 minutos.
D) 156 minutos.
E) 160 minutos.

04) (UPENET) Num salão de cabeleireiro, 2/4 das
mulheres eram loiras, 1/3, ruivas, e as 5 restantes,
morenas. Se 1/3 das loiras pintam os cabelos de
preto, quantas loiras restam?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10

05) (UPENET) O valor de 1/3 de 1/4 de 1/5 de 360 é
igual a
A) 60
B) 50
C) 6
15


D) 5 certeza de que o projeto em pauta na reunião será
E) 4 votado, é necessário que a informação do número
de pessoas presentes seja, no mínimo, de:
06) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A) 15 pessoas.
Rebeca faz um desafio a Letícia: “Qual a terça B) 3 pessoas.
parte de 312 + 310?”. Assinale a alternativa que C) 20 pessoas.
corresponde à resposta CORRETA de Letícia. D) 35 pessoas.
A) 11 x 311 E) 36 pessoas.
B) 12 x 312
C) 10 x 39 12) (UPENET 2005) Eduarda, certo dia, fez compras
D) 6 x 35 em 5 lojas do Shopping Center. Em cada uma
E) 8 x 37 gastou a metade do que possuía e pagou, na saída,
R$ 2,00 (dois reais) de estacionamento. Após as
despesas, restaram a Eduarda R$ 20,00 (vinte
07) A expressão é igual a: reais). Quanto Eduarda possuía antes de fazer as
A) 0 compras?
B) 9 A) R$ 820,00
C) –3 B) R$ 1 102,00
D) 3 C) R$ 502,00
D) R$ 704,00
08) Calculando-se os ¾ dos 2/5 dos 7/3 de 120, obtém- E) R$ 602,00
se:
A) 95 13) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE RECIFE)
B) 87 Numa escola, os alunos da 8ª série vão realizar uma
C) 84 observação num poço com o caminhar de lesmas.
D) 21 Observou-se que, em média, uma lesma sobe dois
E) 16,8 metros por dia, pára um pouquinho e cai um metro.
Supondo que o poço tenha sete metros de
09) Qual o valor de a + b, se a/b é a fração irredutível profundidade e que uma lesma esteja no fundo
deste poço, para chegar no topo deste poço, essa
lesma levará
equivalente a ? A) 4 dias.
A) 42/9 B) 5 dias.
B) 21/9 C) 6 dias.
C) 21 D) 7 dias.
D) 42 E) 8 dias.

10) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos e Pedro são 14) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE
alunos muito aplicados em matemática. Certo dia, SURUBIM) A calculadora de Juliana é bem
Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a diferente. Ela tem uma tecla D que duplica o
seguinte questão: Determine o algarismo das número escrito no visor e a tecla T, que apaga o
unidades do número (8325474)642. Pedro resolveu o algarismo das unidades do número escrito no visor.
problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor
resultado a que Pedro chegou? e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T,
A) 4 teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Se
B) 2 apertamos D, depois T, em seguida D, depois T,
C) 5 teremos o número
D) 6 A) 96
E) 1 B) 98
C) 123
11) (UPE 2008) O Conselho Superior de uma D) 79
Universidade é composto por 43 membros com E) 99
direito a voto, sendo 20 diretores de Unidades, 15
diretores de Centros, 8 representantes dos 15) (UPENET 2009 – PMPE) Uma livraria pretende
professores. Para que haja votação de um projeto na fazer seu balanço anual. Pedro e João são os
reunião, é necessário que esteja presente, pelo contabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassem
menos, um membro de cada uma das três juntos no serviço, eles fariam o balanço em 6 dias,
representações. Se a única informação que o Reitor porém, se João trabalhar sozinho, realizará o
da Universidade tem, durante cada reunião do serviço em 18 dias. Em quantos dias, Pedro,
Conselho, é o número de pessoas presentes, para ter trabalhando sozinho, concluirá o balanço?
16


A) 15 E) múltiplo de 3.
B) 13
C) 9 Texto para as questões 20 e 21
D) 8
E) 20 O Programa Nacional do Livro Didático e o
Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino
16) (UPENET 2009 – PMPE) Um número é composto Médio são realizados pela ECT em parceria com o Fundo
por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do Nacional de Desenvolvimento da Educação.
algarismo das dezenas com o algarismo das
unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do A operação consiste na entrega, todos os anos, de
número formado, permutando-se o algarismo das 100 milhões de livros didáticos a escolas públicas de
unidades com o das dezenas, o resto dessa ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume
subtração é um número terminado em 6. É equivalente à metade de toda a produção gráfica do
CORRETO afirmar que o produto dos algarismos Brasil. Para a distribuição desses livros são realizadas
das dezenas com o das unidades do número é viagens de carretas das editoras para os centros de
A) 40 tratamento da empresa instalados em pontos estratégicos
B) 30 do país. Nessas unidades, as encomendas são tratadas e,
C) 45 depois, entregues nas escolas.
D) 21 Internet: <www.correios.com.br> (com adaptações).
E) 12 QUESTÃO 22
20) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando que e
17) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos disse a Renato 13% dos livros didáticos sejam 7/40 distribuídos,
que era capaz de acertar um número que ele respectivamente, para as regiões Nordeste e Norte,
pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato então a quantidade, em milhões, de livros didáticos
achou graça e disse: pensei em um número. Então, destinada a essas duas regiões pelos programas
Carlos disse: some ao número pensado o número 5, mencionados no texto é
multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto. A) superior a 15 e inferior a 25.
Informe o resultado das operações, e Renato B) superior a 25 e inferior a 35.
afirmou 80. Carlos, então, informou corretamente o C) superior a 35 e inferior a 45.
número que Renato havia pensado. O produto dos D) superior a 45.
algarismos do número que Renato pensou é igual a E) inferior a 15.
A) 12
B) 15 21) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que 3
C) 10 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e
D) 48 volta entre determinada editora e um centro de
E) 50 tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias,
respectivamente, e, ao completar um percurso de
18) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) Uma ida e volta, elas retomem imediatamente esse
Padaria promove as seguintes ofertas relativas a percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem
manteigas da mesma marca: simultaneamente da editora, então elas voltarão a
partir juntas novamente dessa editora após
A) 45 dias.
B) 60 dias.
C) 10 dias.
D) 15 dias.
E) 30 dias.
Assinale a alternativa CORRETA.
A) A oferta I é a melhor. 22) (FCC - 2010 - TRT - 12ª Região (SC) - Técnico
B) A oferta II é a melhor. Judiciário - Área Administrativa)
C) A oferta III é a melhor. Sistematicamente, dois funcionários de uma
D) As ofertas I e III são iguais. empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias,
E) As ofertas II e III são iguais. e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados,
domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010
19) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável
soma de três números naturais consecutivos é coincidência de horários das suas horas-extras
sempre um número ocorrerá em
A) par. a) 9 de dezembro de 2010.
B) ímpar. b) 15 de dezembro de 2010.
C) primo. c) 14 de janeiro de 2011.
D) quadrado perfeito. d) 12 de fevereiro de 2011.
17


e) 12 de março 2011. b) 14 horas do dia 12/10/2000.
c) 18 horas do dia 12/10/2000.
23) (FCC - 2010 - DPE-SP - Oficial de Defensoria d) 2 horas do dia 13/10/2000.
Pública) Duas polias conectadas por uma correia e) 6 horas do dia 13/10/2000.
têm comprimentos de 12 cm e 22 cm.
27) Num reservatório há duas torneiras, a primeira
enche-o em 3 horas, a segunda em 6 horas; porém
há um sifão que o esvazia em 12 horas.
Funcionando as torneiras e o sifão simultaneamente
em quanto tempo o reservatório se encherá?
a) 3h
b) 2h24min
c) 5h
d) 1h30min
O menor número de voltas completas que a polia e) 2h30min
menor deve dar para que a polia maior dê um
número inteiro de voltas é 28) (TRT 24ª REGIÃO 2011 - FCC) Todos os 72
a) 7 funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional
b) 8 do Trabalho de Mato Grosso do Sul deverão ser
c) 9 divididos em grupos, a fim de se submeterem a
d) 10 exames médicos de rotina. Sabe-se que:
e) 11 − o número de funcionários do sexo feminino é igual
a 80% do número dos do sexo masculino;
24) (FCC - 2008 - MPE-RS - Agente Administrativo) − cada grupo deverá ser composto por pessoas de um
Um agente administrativo foi incumbido de tirar mesmo sexo;
cópias das 255 páginas de um texto. Para tal ele só − todos os grupos deverão ter o mesmo número de
dispõe de uma impressora que apresenta o seguinte funcionários;
defeito: apenas nas páginas de números 8, 16, 24, − o total de grupos deve ser o menor possível;
32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha − a equipe médica responsável pelos exames atenderá
falha. Considerando que em todas as páginas do a um único grupo por dia.
texto aparecem destaques na cor vermelha, então,
ao tirar uma única cópia do texto, o número de Nessas condições, é correto afirmar que:
páginas que serão impressas sem essa falha é
a) 226 A) no total, serão formados 10 grupos.
b) 225 B) cada grupo formado será composto de 6
c) 224 funcionários.
d) 223 C) serão necessários 9 dias para atender a todos os
e) 222 grupos.
D) para atender aos grupos de funcionários do sexo
25) (FCC - 2004 - TRT - 22ª Região (PI) - Técnico feminino serão usados 5 dias.
Judiciário) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a E) para atender aos grupos de funcionários do sexo
um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e masculino serão usados 6 dias.
Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004
ambos estiveram em tal restaurante, outro provável 29) (UPENET) No piso de uma sala de largura 168cm
encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em e comprimento 200cm, um construtor pretende
a) 9 de dezembro de 2004. colocar peças de mármore quadradas do mesmo
b) 10 de dezembro de 2004. tamanho. A menor quantidade dessas peças que ele
c) 8 de janeiro de 2005. pode usar para cobrir totalmente o piso, sem cortar
d) 9 de janeiro de 2005. nenhuma peça é:
e) 10 de janeiro de 2005. A) 420
B) 500
26) (FCC - 2002 - TRE-PI - Técnico Judiciário - C) 525
Área Administrativa) Um médico receitou dois D) 575
remédios a um paciente: um para ser tomado a cada E) 600
12 horas e outro a cada 15 horas. Se às 14 horas do
dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os 30) Sejam os números A = 23 . 32 . 5 e B = 2 . 33 . 52. O
remédios, ele voltou a tomá-los juntos novamente MDC e o MMC entre A e B valem,
às respectivamente:
a) 17 horas do dia 11/10/2000. A) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52
B) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5
18


C) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 Adicionando um mesmo número a ambos os
D) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5 membros de uma equação, ou subtraindo um mesmo
E) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52 número de ambos os membros, a igualdade se mantém.

31) Dados n = 22. 3a. 52. 73 e m = 23. 35. 52. 7b. 11, os Dividindo ou multiplicando ambos os membros de
valores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, são: uma equação por um mesmo número não-nulo, a
A) a = 2 e b = 3. igualdade se mantém.
B) a = 3 e b = 1.
C) a = 0 e b = 2. Exemplo:
D) a = 3 e b = 2.
E) a = 2 e b = 2.

32) Se p e q são números naturais distintos e primos,
então o MDC(p, q) + MMC(p, q) é igual a:
A) p + q
B) pq
C) pq + 1
D) 2
E) nda Vejamos alguns exemplos:

33) O máximo divisor comum dos números 36, 48, 72, Seja a equação:
é:
A) 36
B) 48
C) 72
D) 144
E) 12
Seja a equação:
34) Considerando os números 68 e 36, responda V para
verdadeiro e F para falso:
A) que 4 é o máximo divisor comum de 36 e 68.
B) que 17 é o máximo divisor comum de 36 e 68.
C) que 4 é o mínimo divisor comum de 36 e 68.
D) que 612 é o máximo múltiplo comum de 36 e E.
E) que 2 é o mínimo múltiplo comum de 36 e 68. Seja a equação:
F) que 0 é um múltiplo comum de 36 e 68.

GABARITO:

1-C 2-A 3-E 4-E 5-C 6-C 7-A
8-C 9-D 10-D 11-E 12-D 13-C 14-D
15-C 16-E 17-C 18-C 19-E 20-B 21-B
22- D 23-E 24-C 25-C 26-D 27-B 28-C Membros de uma equação
29-C 30-A 31-B 32-C 33-E 34-VFFFFV
Numa equação a expressão situada à esquerda da
igualdade é chamada de 1º membro da equação, e a
expressão situada à direita da igualdade, de 2º membro
da equação.
EQ UAÇ ÕE S DO 1 º G R AU
Exemplo:

- 3x + 12 = 2x - 9
As equações do primeiro grau são aquelas que 1º membro 2º membro
podem ser representadas sob a forma ax + b = 0, em que
a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a Cada uma das parcelas que compõem um membro de
variável. A resolução desse tipo de equação é uma equação é chamada termo da equação.
fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a
seguir. 4x – 9 = 1 – 2x
Termos:
19


Variável (ou incógnita) de uma equação: Os elementos membro está multiplicando o x então ele passará
desconhecidos de uma equação são chamados de dividindo no segundo membro.
variáveis ou incógnitas.
SIST EMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Exemplos: COM DUAS VARI ÁVEIS
A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x
Um sistema de equações com duas variáveis, x e y,
A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y
é um conjunto de equações do tipo
A equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c

Cada um dos valores que, colocados no lugar da ax + by = c (a, b, c R)
incógnita, transforma a equação em uma sentença
verdadeira é chamado de raiz da equação. Para ou de equações redutíveis a esta forma.
verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma
equação, basta substituirmos a incógnita por esse número Exemplo:
e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira.

1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6

Resolver um sistema significa encontrar todos os
pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y
satisfazem a todas as equações do sistema ao mesmo
tempo.

Exemplo:

No sistema indicado no exemplo anterior, o único
2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6 par ordenado capaz de satisfazer às duas equações
simultaneamente é:

(x; y) = (2; 1) ou seja, x = 2 e y = 1

Resolução algébrica

Dentre os vários métodos de resolução algébrica
O princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem aplicáveis aos sistemas do 1° grau, destacamos dois:
para facilitar o entendimento da solução de uma equação,
mas para resolvê-la existe um método simples e prático • método da adição
que é o seguinte: • método da substituição

Resolver a equação 5x – 8 = 12 + x Para exemplificá-los, resolveremos o sistema
seguinte pelos dois métodos:
Colocamos no primeiro membro os termos que
apresentam variável, e no segundo membro os termos
que não apresentam variável. Os termos que mudam de
membro têm os sinais trocados.

5x – 8 = 12 + x A) Método da Adição
5x – x = 12 + 8
1° passo: Multiplicamos as equações por números
Calculamos a somas algébricas de cada termo: 4.x = 20 escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em
uma das variáveis. No caso, poderemos multiplicar a
Quando se passa de um membro para o outro se usa a equação (I) por -2:
operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passa
dividindo e o que está dividindo passa multiplicando. O
que está adicionando passa subtraindo e o que está
subtraindo passa adicionando. O número 4 no primeiro

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