1. Módulo 4:
Relações
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
•Professor Ulrich Schiel

2. Relações
Ao estudarmos conjuntos:
• propriedades de seus elementos
• relações entre elementos de conjuntos
• relações entre subconjuntos de um conjunto.

3. Relações
Modelos matemáticos de fenômenos da natureza
podem ser divididos em três grandes categorias:
Estruturas de Ordem <C, R>
Estruturas Algébricas <C, Op>
Estruturas Topológicas (Geometria, Análise) <C, P(C)>

4. Relações Binárias
Na vida real, quando dizemos que duas pessoas, Maria e José, se
relacionam, entendemos que Maria e José se distinguem dos demais
pares de pessoas por haver uma relação que eles satisfazem ou
verificam.
Ex.Maria e José são casados.
Maria é mãe de José.
Maria e José não se entendem.
Maria manda em José
Em matemática é análogo: distinguimos determinados pares de objetos
dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os
elementos dos demais pares, em geral, não satisfazem.
Notação: casado-com(Maria, José),
mora-em(Maria, Campina Grande)
(Maria, casado-com, José)
(Maria, mora-em, Campina Grande)

5. Relações Binárias
Dados dois conjuntos S e T
Uma relação R entre S e T é dada por
R ⊆ SxT
Uma relação binária R em S é dada
por
R ⊆ SxS = S2

6. Relações Binárias
Ex.: Sejam S= {1,2} e T = {2,3}
Temos que SxT = {(1,2). (1,3), (2,2), (2,3)}
• Relação de igualdade: os elementos do par são
iguais.
O único par do “universo” (SxT) que satisfaz essa
relação é (2,2),
• Relação menor do que: isto é, primeiro elemento do
par é menor do que o segundo.
Três pares se distinguem: (1,2), (1,3), (2,3).

7. Relações Binárias
Definição de uma relação ρ ⊆ S×T:
• com palavras
• pela enumeração dos pares ordenados que a
satisfazem.
• Por uma fórmula relacional
• Pela definição do conjunto ρ
Usaremos a notação xρy ou ρ(x,y) para indicar que o par
ordenado (x,y) satisfaz ou pertence à relação ρ:
x ρy ⇔ (x,y) ∈ ρ.
Uma relação ρ ⊆ S×T também é denotada por ρ(S,T)

8. Relações Binárias
• Exemplos. Sejam S = {1,2} e T = {2,3,4} :
– descrição: x ρ y são todos pares cuja soma é
ímpar.
– x ρ y ⇔ x+y = 2n+1, com n ∈ N
– x ρ y = {(1,2), (1,4), (2,3)}
– ρ = {(x,y) | x ∈ S e y ∈T e x+y é ímpar}
Seja PESSOA um conjunto de pessoas, podemos
ter:
casado-com(PESSOA, PESSOA)

9. Relações Binárias
• Para cada uma das seguintes relações binárias ρ
em N×N, determine quais dos pares ordenados
apresentados pertencem à ρ:
a. x ρ y ⇔ x = y+1 (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)
b. x ρ y ⇔ x divide y (4,2), (2,4), (2,5), (2,6)
c. x ρ y ⇔ x é ímpar (2,3), (3,3), (4,5), (5,6)
d. x ρ y ⇔ x > y2
(1,2), (2,1), (5,2), (5,4), (4,3)
e. x ρ y ⇔ y é uma (a,b), (b,a), (b,i), (b,c), (o,o).
vogal após a letra x

10. Relações n-árias
→Dados os conjuntos S1, S2, ..., Sn, uma relação n-ária
em S1×S2×...×Sn é um subconjunto de S1×S2×...×Sn.
Neste caso para uma relação ρ em S1×S2×...×Sn
escrevemos ρ(s1, s2, ...,sn) se s1, s2, ...,sn pertence à
relação.
→Exemplo: A= {1,2}, B = {2}, C = {2,3}.
A×B×C = {(1,2,2), (1,2,3), (2,2,2), (2,2,3)}
ρ(x,y,z) ⇔ x=y=z ρ = {(2,2,2)}
ρ(x,y,z) ⇔ x>y ρ = ??

11. Relações unárias
• Uma relação unária ρ em um conjunto S é um
subconjunto particular de S.
• Um elemento x de S satisfaz ou pertence a ρ se, e
somente se, x pertence ao subconjunto que define a
relação.
• Exemplo 1: O conjunto dos números pares P
(subconjunto de N) é definido pela relação:
x ∈ρ ⇔ x é par.
• Exemplo 2: Para o conjunto pessoa podemos ter a
relação unária maior-de-idade(PESSOA).

12. Relações em um conjunto S
→ Uma relação binária em um conjunto S é um
subconjunto de S2
= (SxS).
Ex.: x ρ y ⇔ x≤y em N
→ Analogamente, uma relação n-ária em um conjunto
S é um subconjunto de Sn
.
→ Ex.: (x,y,z) ∈ρ ⇔ x+y=z em N.

13. Tipos de relações
Dado uma relação ρ ⊆ S×T
→ ρ é uma relação um-para-um se cada primeiro elemento s
e cada segundo elemento t aparecem exatamente uma
vez na relação.
→ Formalmente:
→ (i) todos elementos de S e T participam da relação
→ (ii) se (s,t) ∈ ρ e (s,t’) ∈ ρ então t=t’
→ (iii) se (s,t) ∈ ρ e (s’,t) ∈ ρ então s=s’
→ Ex.: Sejam S = {2,5,7,9} e T = {1,3,4,5}
→ ρ = {(2,4), (5,5), (7,3), (9,1)}

14. Definições
→ ρ é uma relação um-para-vários se algum primeiro
elemento s aparece mais de uma vez.
→ Ex.: ρ = {(7,4), (2,5), (2,3)}
→ ρ é uma relação vários-para-um se algum segundo
elemento t fizer par com mais de um primeiro
elemento s..
→ Ex.: ρ = {(2,4), (3,4), (5,2)}
→ ρ é uma relação vários-para-vários se pelo menos
um s fizer par com mais de um t e pelo menos um t
fizer par com mais de um s..
→ Ex.: ρ = {(7,4), (2,5), (9,4), (2,3)}

15. Definições fracas
→ ρ é uma relação um-para-um fraca se cada primeiro
elemento s e cada segundo elemento t aparecem no
máximo uma vez na relação
→ ρ é uma relação um-para-vários fraca se algum primeiro
elemento s pode aparecer mais de uma vez.
→ ρ é uma relação vários-para-um fraca se algum segundo
elemento t pode fazer par com mais de um primeiro
elemento s..
→ ρ é uma relação vários-para-vários fraca se é um-para-
vários e vários-para-um.
EXERCÍCIO: Defina formalmente todas estas relações

16. Operações sobre relações
• Seja B o conjunto de todas as relações binárias em
um dado conjunto S:
B = P(SxS) = {ρ: ρ é uma relação binária em S}
• Isto é, se ρ ⊆ S2
, então ρ ∈ B.
• Assim, se ρ e σ ∈ B, então podemos aplicar as
operações de conjuntos a ρ e σ resultando em novos
subconjuntos de S2
, isto é, em novas relações
binárias:
• x (ρ ∪ σ) y ⇔ x ρ y ou x σ y.
• x (ρ ∩ σ) y ⇔ x ρ y e x σ y.
• x ρ’ y ⇔ não x ρ y.

17. Exercícios
1. Sejam ρ e σ duas relações binárias em S={1,2,3,4,5}
definidas por:
x ρ y ⇔ x = y+1. e x σ y ⇔ x < y+1. Encontre:
a. ρ e σ
β. ρ ∪ σ
c. ρ’
d. σ’
e. ρ ∩ σ
f. ρ ∪ ρ’
2. Analise as relações
pai-de(PESSOA,PESSOA),
casado-com(PESSOA, PESSOA) e
trabalha-em(PESSOA, EMPRESA)
Quanto às características
um-para-um forte/fraca,
um-para-muitos forte/fraca, etc.)

18. Propriedades das relações
Seja ρ uma relação binária em S2
.
→ρ é reflexiva quando
xρx para todo x ∈ S.
→ρ é simétrica quando
xρy se, e somente se yρx para todo x e y ∈ S.
→ρ é transitiva quando,
xρy e yρz implica xρz para todo x, y e z ∈ S.
→ρ é anti-simétrica quando
xρy e yρx implica x = y para todo x e y ∈ S.

19. Exemplos
Seja S = P(N) e seja A ρ B ⇔ A ⊆ B. Então:
ρ é reflexiva.
ρ é transitiva.
ρ é anti-simétrica.
Seja S = N os naturais, e x ρ y ⇔ o resto da divisão de
x e y por 10 é o mesmo.
• ρ é reflexiva.
• ρ é transitiva.
• ρ é simétrica

20. Fecho de uma relação
Se uma relação ρ em um conjunto S não tem uma
certa propriedade, podemos tentar estender ρ a fim
de obter uma relação ρ* em S que tenha a
propriedade.
→ Uma relação binária ρ* em um conjunto S é dita ser
o fecho de ρ em S relativo à propriedade P se:
1. ρ* tem a propriedade P;
2. ρ ⊆ ρ* ;
3. ρ* é a ‘menor’ relação contendo ρ com a
propriedade P, ou seja
∀ ρ’ com P e ρ ⊆ ρ’ vale ρ* ⊆ ρ’

21. Fecho de uma relação
• Exemplo:
• Seja S = {1,2,3} e ρ = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3)}
• Então,
- o fecho reflexivo de ρ em S é:
ρ* = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}
- o fecho simétrico de ρ em S é:
ρ** = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3), (1,3), (2,1), (3,2)}
- o fecho transitivo de ρ em S é:
ρ**' = ρ ∪ {(1,3), (3,2), (3,3)}
- o fecho transitivo do fecho simétrico ρ∗∗
em S é:
ρ**” = ρ∗∗
∪ {(3,2), (3,3), (2,2)}

22. Exercício
Seja S = {a,b,c,d} e
ρ = {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)}
• Encontre os fechos reflexivo, simétrico e
transitivo de ρ.
• E o fecho anti-simétrico??
Não existe fecho anti-simétrico mas sim,
redução anti-simétrica

23. Relações de Ordem
Ordem Parcial
• Uma relação binária em um conjunto S que seja
reflexiva, anti-simétrica e transitiva é dita ser uma
relação de ordem parcial (ordenação parcial) em S.
• Exs.:
- x ρ y ⇔ x ≤ y (em N)
- A ρ B ⇔ A ⊆ B (em P(N))
- x ρ y ⇔ x divide y (em N)
- x ρ y ⇔ x = y2
(em {0,1}).
- x ρ y ⇔ x é uma subcadeia de y (no conjunto de
todas as cadeias de símbolos)

24. Ordem Parcial
→ Se ρ é uma relação de ordem parcial em S, então o par (S, ρ) é
chamado de um conjunto parcialmente ordenado (POSET).
Obs.: Notação: (S,≤)
• Seja (S, ≤) um poset e seja A ⊆ S.
O conjunto formado pelos pares ordenados de A que pertencem a
≤ é dito ser a restrição de ≤ à A (notação ≤|A e constitui uma
ordenação parcial em A.
• Exemplo: (N, x divide y) é um poset.
• Então, ({1,2,3,6,12,18}, x divide y) também é um poset.

25. Grafo de um Poset
• Se S é finito, então o POSET (S, ≤) pode ser
representado visualmente através de um grafo
(Diagrama de Hasse): A ordem é dada pela posição
vertical do vértice.
Exemplo: (P({1,2}), ⊆)= {∅, {1}, {2}, {1,2}}:
{1}
{1,2}
{2}
∅

26. Ordem Parcial
→Notação visual de um POSET (Diagrama de
HASSE):
• Exemplo: ({1,2,3,6,12,18}, x divide y)
1
2 3
6
12 18

27. Grafo de um Poset
• Exemplo: Diagrama de Hasse dos divisores de 60

28. Predecessor e Sucessor
→ Seja (S,≤) um poset e x ≤ y,
→ Se x ≤ y e x ≠ y, então x é um predecessor de y ou
y é um sucessor de x (notação x < y ).
→ Um dado y pode ter diversos predecessores mas, se x <
y e não há z tal que x < z < y, então dizemos que x é um
predecessor imediato de y.
→ Exercício: Considere a relação “x divide y” em
{1,2,3,6,12,18}:
a. Escreva os pares ordenados desta relação;
b. Escreva todos os predecessores de 6;
c. Escreva todos os predecessores imediatos de 6.

29. Mínimo/Máximo e Minimal/Maximal
→Seja (S, ≤) um POSET. Um elemento y ∈ S é dito ser
minimal se não houver outro x ∈ S tal que x ≤ y.
→ ou seja, y não tem predecessores
→Seja (S, ≤) um POSET. Se houver um x ∈S tal que x
≤ y para todo y ∈ S, então, x é um elemento mínimo
do conjunto.
Obs.1: um elemento mínimo, se houver, é único.
Obs.2: o mínimo é minimal
Obs.3: Um POSET que possuir um único elemento
minimal, este será o elemento mínimo.
→ Analogamente define-se elemento maximal e
elemento máximo.

30. Posets especiais
Uma árvore com raiz é um poset (S, ≤) que
• tem um elemento mínimo, chamado de raiz da árvore.
• todo elemento de S, exceto a raiz, possui um
único predecessor imediato.
EXEMPLO:
.
b
c
a
d
e

31. Posets especiais
Dado um poset (S, ≤) e dois elementos r,s ∈ S,
Definimos t=sup(r,s) como o ‘menor’ elemento t tal que
r ≤ t e s ≤ t. Analogamente define-se q = inf(r,s)
Escrevemos t = r+s e q = r.s.
Note que em um poset nem sempre existem r+s e r.s
Uma árvore sempre terá r.s para todos r e s em S
Uma árvore nunca terá r+s para r ≠ s.

32. Posets especiais
DEFINIÇÃO: Um reticulado é um poset (S, ≤)
em que para quaisquer r,s ∈ S, existe um (único)
sup(r,s) e um (único) inf(r,s).
• Dado um reticulado finito (S, ≤), definimos
• sup(S) o elemento máximo de S e
• inf(S) o elemento mínimo de S
EXEMPLO:

33. Exercícios
• Mostre que um reticulado finito tem um único elemento
minimal (o mínimo) e um único maximal (o máximo).
Questão:
• Um poset que tem um elemento mínimo e um
elemento máximo sempre é um reticulado?

34. Exercício
1. Desenhe o grafo da relação “x divide y” em
{1,2,3,6,12,18}.
Obs. Podemos reconstruir o POSET da relação a
partir do grafo.
1. Seja o grafo de uma ordenação parcial ≤ em um
conjunto S = {a,b,c,d,e},
1. analise a relação ≤
2. Existem sup(S) e inf(S)?
b
c
a
d
e

35. Exercícios
1. Mostre que para todo conjunto S, <P(S),⊆> é um
reticulado.
2. Encontre
1. Para quaisquer A,B ∈ P(S), sup(A,B) e inf(A,B)
2. sup(P(S)) e inf(P(S)).
3. Um reticulado pode ser uma árvore? Porque?

36. Ordem Total
→Uma ordem parcial na qual todo elementos estão
relacionados entre si é chamado de cadeia (ordem
total).
→ em outras palavras, (S, ≤) é uma ordem total se para
todo (x,y), vale, ou x ≤ y ou y ≤ x.
• Obs.: o grafo de uma ordem total tem a forma de
uma linha.
• Exemplo: a relação “≤” em N é uma ordem total.

37. Exercícios
1. Analise os conjuntos totalmente ordenados
quanto aos conceitos de árvore, reticulado,
mínimo, minimal, etc.

38. Exercícios
1. Desenhe o grafo de um POSET tal que
1. Tenha 2 elementos minimais e um elemento máximo.
2. Que não seja uma árvore.
2. Desenhe o grafo dos POSETs abaixo e identifique quais
são árvores ou reticulados:
1. S = {1,2,3,5,6,10,15,30} e x ρ y ⇔ x divide y.
2. S = P({1,2,3}) e A ρ B ⇔ A ⊆ B.
3. Para S = {a,b,c,d} e ρ = {(a,a), (d,d), (a,b), (b,c), (a,d),
(c,d)}. encontre ρ’ o fecho simétrico de ρ e ρ” o fecho
transitivo de ρ’ .

39. Relação de Equivalência
→ Uma relação binária em um conjunto S que seja
reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma
relação de equivalência em S.
→ Exs.:
1. x ρ y ⇔ x + y é par (em N)
2. x ρ y ⇔ x = y2
(em {0,1})
3. x ρ y ⇔ x senta na mesma coluna que y (em sala)
4. ρ = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)} (em{1,2,3})

40. Partição
Seja ρ a relação em S definida por:
xρy ⇔ x senta na mesma coluna que y (S = alunos na sala)
ρ particiona o conjunto S em subconjuntos de forma que
todo aluno da classe pertence a um, e apenas um,
subconjunto.
→ Uma partição de um conjunto S é uma coleção de
subconjuntos disjuntos não-vazios de S cuja união resulta
em S.
Toda relação de equivalência em S determina uma
partição (cada parte é uma classe de equivalência).

41. Classe de Equivalência
→Seja ρ uma relação de equivalência em S e x um elemento
de S (x ∈S).
→[x] é o conjunto de todos os elementos de S que se
relacionam com x. É a classe de equivalência de x.
Assim, [x] = { y : y ∈S e x ρ y}.
Exemplo: No caso da relação “x senta na mesma coluna
que y”, suponha que João, Pedro e Maria sentam todos
na coluna 3. Então:
[João] = [Pedro] = [Maria] = {João, Pedro, Maria}.

42. Relação de Equivalência
• Teorema: Seja ρ uma relação de equivalência em S.
Então, as classes de equivalência distintas de S
formam uma partição S, ou seja,
– (1) a união das classes resulta em S e
– (2) classes distintas são disjuntas.

43. Relação de Equivalência
Prova: (1) a união das classes resulta em S e .
• Seja Ux∈S[x] ≡ união de todas as classes de
equivalência de S.
• 1. Ux∈S[x] = S
- Ux∈S[x] ⊆ S. Cada classe [x] é um subconjunto de
S. Portanto, Ux∈S[x] também é um subconjunto de
S.
- S ⊆ Ux∈S[x]. Seja x ∈S . Como xρx (reflexiva).
temos x ∈ [x]. Portanto, como x é qualquer, todo
elemento de S pertence a alguma classe de
equivalência e, portanto, pertence à união das
classes.

44. Relação de Equivalência
• (2) classes distintas são disjuntas
• Se [x] ≠ [z], então [x] ∩ [z] = ∅.
• Vamos mostrar por contradição.
• Vamos assumir que [x] ∩ [z] ≠ ∅.
• Se [x] ∩ [z] ≠ ∅, então existe y∈S tal que y ∈[x] ∩ [z]:
- y ∈[x] ∩ [z]
- y ∈[x] e y ∈[z]
- xρy e zρy
- xρy e yρz
- xρz
• O que nos permite dizer que [x] = [z], o que contradiz
a premissa [x] ≠ [z].

45. Relação de Equivalência
• Corolário: Uma relação de equivalência em um
conjunto S determina uma partição de S e uma
partição de S determina uma relação de
equivalência.
• Prova:
• Do teorema anterior e do fato de que a relação
xρy ⇔ “x está no mesmo subconjunto da partição
que y” é uma relação de equivalência.

46. Exemplo
Seja S = { a/b : a, b ∈Z e b ≠ 0}, ou seja, o conjunto de
todas as frações de inteiros.
→Definimos uma relação ≈ como sendo:
a/b ≈ c/d ⇔ ad = bc
• A relação ≈ é uma relação de equivalência.(verificar).
• Algumas classes de equivalência de ≈ :
• [1/2] = {..., -3/-6, -2/-4, -1/-2, 1/2, 2/4, 3/6,...}
• [3/10]= {..., -9/-30, -6/-20, -3/-10, 3/10, 6/20, 9/30,...}
• Obs.: O conjunto Q dos números racionais pode ser
visto como o conjunto de todas as classes de
equivalência de S por ≈.

47. Exercício
1. Seja S = N os números naturais e a partição:
→N = P ∪ IP (em que P são os números pares e IP
os números ímpares)
• Defina uma relação de equivalência ≈
determinada por esta partição.
2. Dadas as funções f(x)=x2
+1 e g(x) = cos(2x). O que
seria a classe de equivalência [π] para cada uma
dessas funções. (N.B. xρy <=> f(x) = f(y)
Se R é o conjunto dos números reais, descreva as
partições de S criadas por ρ sob f(x) e sob g(x).

48. Exercício
cos(2* π) = 1 π 2
+1 = 10,8696
x2
+1cos(2*x)

49. Aritmética Finita ou Modular
É uma aritmética com um número finito de números
inteiros
0,1,2,3,4,..,n-1, n, n+1, n+2, n+(n-1), 2n,..
Com 0 ≈ n ≈ 2n ..., 1 ≈ n+1 ≈ n+2...
EXEMPLOS:
- O relógio
- O computador
- notação decimal

50. Aritmética Modular
Exemplo: Seja Z o conjunto dos inteiros e seja ≡3 a relação
congruência módulo 3 em Z definida da seguinte forma:
• x ≡3 y ⇔ x-y = k.3, para algum k ∈Z . ( x ≡ y (mod 3) )
• Essa relação é uma relação de equivalência:
1. REFLEXIVA: x ≡ x (mod 3) ⇔ x-x = 3.0 (k=0)
2. SIMÉTRICA: Se x ≡ y (mod 3) então y ≡ x (mod 3).
1. x-y=k.3, para algum k
2. y-x = -k.3
3. y-x = m.3 ⇔ y ≡ x (mod 3).
3. TRANSITIVA: Se x ≡ y (mod 3) e y ≡ z (mod 3) então x ≡ z
(mod 3).

51. Aritmética Modular
→Seja Z o conjunto dos inteiros e seja n ∈ Z+
.
→ Então, a relação
x ≡n y (mod n) ⇔ x-y = k.n, para algum k ∈Z,
é uma relação de equivalência.
•

52. Aritmética Modular
→APLICAÇÃO:.
• Toda máquina tem um limite no tamanho dos
inteiros que ela pode armazenar que depende do
número fixo de bits que ela pode armazenar em
uma posição de memória.
• Suponha que n-1 é o maior inteiro que pode ser
armazenado e que x e y são inteiros tais que
0≤x≤n-1 e 0≤y≤n-1.
• O que acontece se for solicitado a soma x+y e
ela exceder o limite n-1?
• R.: ela não pode ser armazenada.
• O que fazer?

53. Aritmética Modular
• Realizar a adição módulo n e armazenar o resto
r da divisão de x+y por n.
• Se x+y > n-1, então podemos escrever:
• x+y = q.n +r, 0 ≤ r < n.
• Esta equação pode ser escrita como:
• (x+y) – r = q.n
• Ou seja, (x+y) – r é um múltiplo de n, e assim,
pela definição acima:
• x+y ≡ r (mod n)
• Isto quer dizer que r está na mesma classe de
equivalência [x+y] e, como 0 ≤ r ≤ n, está na
faixa dos inteiros que podem ser armazenados.

54. Aritmética Modular
• Portanto, todo número inteiro z em uma
base n pode ser representado como:
– z = q.n + r, para algum 0 ≤ r < n
. NOTAÇÃO: zn = (r,q)
Com isso podemos armazenar números
maiores que n, enquanto tivermos q < n

55. Adição e Multiplicação Modular
→Seja Zn = {0, 1, 2, ..., n-1}. A adição módulo n,
denotada por +n em Z é definida por x +ny = r,
onde r é o resto da divisão de x+y por n.
• Exemplo: 1 +5 3 = 4 ou seja 45 = (4,0)
• 3 +5 4 = 2 ou seja 75 = (2,1)

56. Adição e Multiplicação Modular
→A multiplicação módulo n, denotada por •n em
Z é definida por x •n y = r, onde r é o resto da
divisão de x . y por n.
• Exemplo: 2 • 5 3 = 1 ou seja 65 = (1,1)
• 4 • 5 4 = 1 ou seja 165 = (1,3)

57. Exercícios
1. Complete as tabelas abaixo para definir + 5 e • 5 na notação (r,q):
+5 0 1 2 3 4
0
1 (3,0)
2
3
4
• 5
0 1 2 3 4
0
1
2 (3,1)
3
4
2. Considerando a população de uma cidade, as relações
mesmo-bairro(x,y) e mesma-rua(x,y) são duas relações de equivalência.
Mostre que a relação
mesmo-bairro(x,y) ∪ mesma-rua(x,y) não é uma relação de
equivalência.

58. Exercícios
1. Dadas as funções f(x)=x2
+1 e g(x) = cos(2x). O que
seria a classe de equivalência [π] para cada uma
dessas funções.
2. Se R é o conjunto dos números reais, descreva as
partições de S criadas por ρ sob f(x) e sob g(x).
3. Defina a relação de equivalência que particiona os
números inteiros em pares e ímpares.