1. Módulo 1:
Métodos de Prova de Teoremas
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
•Professor Ulrich Schiel
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
•Professor Ulrich Schiel
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
•Professor Ulrich Schiel

2. Prova
• Filosofia (silogismo)
• Direito (elemento de convicção ao julgamento)
• Lógica (Linguagem, Axiomas, Regras de Dedução)
• Matemática(comprovar uma conjectura a partir de axiomas e regras)
É um procedimento sistemático de determinar a
veracidade de um novo fato a partir de fatos
conhecidos

3. Métodos de Prova de Teoremas
Teoremas matemáticos são expressos, geralmente, na
forma:
“Se P então Q”
onde P e Q representam sentenças simples ou
compostas.
Exemplos:
• Se A ⊆ B, então A ∩ B = A
• Se um número inteiro é divisível por 6, então ele é
divisível também por 3
• Se x é primo e maior que 2 então x é ímpar.

4. Teorema = Conjectura + Prova
Provar/demonstrar a conjectura (“se P então Q”) é
deduzir/inferir Q (conclusão/tese) a partir de P
(hipótese/premissa) usando axiomas e regras da lógica
e conhecimento específico sobre o assunto ou domínio.
Uma conjectura passa a se chamar um teorema depois
de provada.
• Conjectura: (se P então Q)
• Tese: Q
• Hipótese: P

5. Teoria
a partir de axiomas e teoremas aplica-se
regras de dedução para obter novos
teoremas.
• Linguagem: (fórmulas bem formadas)
• Axiomas: [(x=y e P(x)) então P(y) - substituição]
• Regras de dedução: (modus ponens)

6. Prova: Abordagens
Negar (refutar) ou Demonstrar (provar)
Negar (refutar):
Procurar um exemplo (contra-exemplo) no qual P é
verdadeiro e Q é falso
Exemplos:
• Todo inteiro menor que 10 é maior que 5
– Reescrevendo:
– Se um inteiro é menor que 10, então ele é maior que 5.
• contra-exemplo: 3
• A soma de quaisquer três inteiros consecutivos é par.
• contra-exemplo: 2+3+4 é ímpar.

7. Refutação
• Assumir a conjectura e chegar a um absurdo
• Encontrar um contra-exemplo.

8. Refutação
• Um único contra-exemplo é suficiente para se refutar
a conjectura
• procurar um contra-exemplo e não achá-lo não
constitui prova de que a conjectura é verdadeira
• ainda que um simples contra-exemplo seja suficiente
para refutar a conjectura, muitos exemplos não
provam a suposição. Eles simplesmente fortalecem
sua inclinação a procurar uma demonstração.
• (única exceção quando se está fazendo uma
asserção sobre uma coleção finita) –
Exemplo: “entre 20 e 30 só existem dois números primos”

9. Demonstrar/Provar
Demonstração direta: “Se P, então Q”
• Assume-se a hipótese P como verdadeira e procura-
se deduzir a tese Q
Exemplo:
Se um inteiro é divisível por 6 então ele também é
divisível por 3

10. Se um inteiro é divisível por 6 então ele é
também divisível por 3
HípóteseHípótese: x é divisível por 6
1. x = 6.k , para algum inteiro k (definição de divisibilidade)
2. 6 = 2.3 (fato numérico)
3. x =(2.3). k (substituição (2) em (1))
4. x = (3.2). k (comutatividade do produto)
5. x = 3.(2.k) (associatividade do produto)
6. 2.k é inteiro (propriedade dos inteiros)
7. x = 3.m , para o inteiro m = 2.k
ConclusãoConclusão: x é divisível por 3 (definição de divisibilidade)

11. Se um inteiro é divisível por 6 então duas vezes
o inteiro é divisível por 4
HípóteseHípótese: x é divisível por 6
• x = k.6 , para algum inteiro k (definição de divisibilidade)
• 2.x = 2.k.6 (se x=y então kx=ky)
• 2x = k.2.6(comutatividade)
• 2x = k.12 (fato numérico)
• 2x = k.3.4(fato numérico)
• 2x = m.4 , para inteiro m igual a k.3
ConclusãoConclusão: 2x é divisível por 4 (definição de divisibilidade)

12. O produto de dois pares é par
Se x e y são pares, então x.y é par.
• Hípótese: x e y são pares
• x = 2m , para algum inteiro m (definição de par)
• y = 2n , para algum inteiro n ( “ “ )
• x.y = 2m.2n
• x.y = 2.(m.2n) (associatividade)
• x.y = 2.k , onde k é inteiro igual a 2mn
• Conclusão: x.y é par.

13. Se A⊆B então A∩B = A
Hipótese: A⊆B
• PARTE 1: A ⊆ A∩B
– Para todo x ∈ A, temos x ∈ B (hipótese)
– Mas, x ∈ A & x ∈ B ⇒ x ∈ A ∩B (definição de ∩)
– Logo A ⊆ A∩B (definição de ⊆)
• PARTE 2: A∩B ⊆ A
– Para todo x ∈ A∩B
– Então x ∈ A (definição de ∩ )
– Então A∩B ⊆ A (definição de ⊆)
• Tese: A∩B = A.
• definição: X = Y def X ⊆Y e Y ⊆X

14. Dupla implicação
Teoremas são, às vezes, enunciados na forma:
“P se, e somente, Q”
significando:
“Se P, então Q” e “Se Q, então P”
Para se provar um teorema dessa forma deve-se
provar tanto uma quanto outra implicação.
Exemplo: x < y se, e somente se, x2
< y2
.

15. x < y se, e somente se, x2
< y2
→Se x < y então x2
< y2
• Hipótese: x < y
• y = x + k , para algum inteiro positivo k (hipótese)
• y2
= (x + k)2
(fato numérico)
• y2
= x2
+ 2xk + k2
(fato numérico)
• y2
> x2
• Conclusão: x2
< y2
←Se x2
< y2
então x < y
• Hipótese: x2
< y2
• y2
= x2
+ k
• y = (x2
+ k)½ > (x2
)½ = x
• Conclusão: x < y
O que acontece com
x = -2 e y = 1 ???

16. Demonstrar/Provar
Demonstração por contraposição: “Se P então Q”
Provar “se não Q então não P” é provar “Se P
então Q”
Exemplo:
Se um inteiro é divisível por 6 então ele também é
divisível por 3
Contrapositiva:
Se um inteiro não é divisível por 3 então ele também
não é divisível por 6.

17. Se um inteiro não é divisível por 3 então ele
também não é divisível por 6
• Hipótese: x não é divisível por 3.
• x ≠ k.3 , p/ todo inteiro k (negação de divisibilidade)
• x ≠ (2.d).3 , para todo inteiro d (já que 2.d é inteiro)
• x ≠ d.(2.3) , para todo inteiro d (associatividade da
multipl.)
• x ≠ d.6, para todo inteiro d (fato numérico)
• Conclusão: x não é divisível por 6.
• Exercício: Se o quadrado de um número é ímpar, então o
número também é ímpar.

18. xy é ímpar se e somente se x e y são ímpares
←Se x e y são ímpares então xy é ímpar
• Hipótese: x e y são ímpares
• x = 2n + 1 e y = 2m + 1, p/ m e n inteiros
• xy = 2.(2nm+m+n) + 1
• Conclusão: xy é ímpar.
→Se xy é ímpar então x e y são ímpares
• Vamos provar essa parte por contraposição

19. Se xy é ímpar então x e y são ímpares
• Se x ou y não é ímpar então xy não é ímpar
• Hípóteses:
- x é par e y é par ou
- x é par e y é ímpar ou
- x é ímpar e y é par
• x é par e y é par
• Conclusão: x.y é par (já provado)
• x é par e y é ímpar
• x = 2m e y = 2n + 1, p/ m e n inteiros
• xy = 2.(2mn + m)
• Conclusão: xy é par.

20. Demonstrar/Provar
Ex.: Se um número somado a ele próprio resulta
no próprio número, então ele é igual a zero.
• Hipótese:x + x = x Tese: x=0
• Negação da tese: x ≠ 0
• 2.x = x (hipótese e x + x = 2.x)
• 2.x/x = x/x (pois x ≠ 0)
• 2 = 1 Absurdo
• Conclusão: x = 0.
Demonstração por contradição ou por absurdo:
“Se P, então Q”
Assumir “P ∧ ¬Q” é provar “Se P então Q”

21. “Existem infinitos números primos”
Refutar: o número de primos é finito
• Sejam p1, p2, ..., pn todos os primos
• Seja agora k = p1 x p2 x ..., x pn + 1
• k não é divisível por nenhum pi, pois sempre
resta 1
• Como todo primo é um inteiro maior que 0, k >
pn
• Logo k é primo e maior que todos os outros
• CONTRADIÇÃO

22. 2½
não é um número racional
Def.: um número racional é um número que pode ser
escrito na forma p/q onde p e q são inteiros, tal que p
e q não têm fatores comuns além da unidade.
Por contraposição:
• Negação da tese: 2½
é racional
• 2½
= p/q com p e q primos entre si (definição)
• 2 = p2
/q2
• 2q2
= p2
• 2 divide p2
• p2
é par
• p é par (p é par – teorema anterior)
• 2 divide p

23. 2½
não é um número racional
• 4 é um fator de p2
(2 divide p)
• 2q2
= p2
(já estabelecido)
• 2q2
= 4k (4 é um fator de p2
)
• q2
= 2k
• 2 divide q2
• 2 divide q
• Conclusão: 2 divide tanto de p quanto de q,
contrariando a suposição inicial que p e q não tem
fatores comuns além da unidade (2½
= p/q é racional)

24. Exercício
1) Dado uma conjectura
1. P → Q, a negação de P é denotada por ~P, chamamos
2. ~Q → ~P de contrapositiva
3. Q → P de recíproca
4. ~P → ~Q de condicional inverso
a) Quais são equivalentes?
b) Dado “Todo número par entre 4 e 12 é uma soma de dois primos”,
Identifique P e Q e dê suas contrapositivas, recíprocas e condicional
inverso e mostre quais são teoremas.
2) Prove que “se x é positivo então x+1 é positivo”
a) por contraposição
b) por contradição (absurdo)

25. Demonstrar/Provar - Princípio da Indução Finita
Demonstração por indução:
“Todo inteiro positivo x tem a propriedade P”
∀nP(n)
Se pudermos mostrar que:
1. P(1) é verdadeiro, ou seja, 1 tem a propriedade;
2. P(k)→P(k+1), ou seja se um inteiro qualquer tem a
propriedade P então o inteiro seguinte também a
tem;
Então a conjectura ∀nP(n) é verdadeira (é um
teorema).

26. Prova por Indução
Passos:
• provar a veracidade de P(1); (base da indução)
• Admitir P(k) como verdadeiro (hipótese de indução)
• demonstrar que, P(k+1) é verdadeiro;

27. exemplo de prova por indução
Provar que a equação 1 + 3 + 5 +...+ (2n - 1) = n2
é
verdadeira para qualquer inteiro positivo n.
• Base de indução: P(1) é verdadeira, ou seja, 1 = 12
.
• Hipótese de indução:
P(k) : 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
• Temos que mostrar então:
P(k+1): 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k+1) - 1] = (k+1)2
•

28. 1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) = k2
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1]
= k2
+ [2(k + 1) - 1] (hipótese de indução)
= k2
+ [2k + 2 - 1]
= k2
+ 2k + 1
= (k + 1)2
ou seja, 1 + 3 + 5 + ... + [2(k+1) - 1] = (k+1)2
então, como P(1) e P(k)→P(k+1), para k arbitrário,
podemos afirmar que ∀xP(x), ou seja:
1 + 3 + 5 +...+ (2n - 1) = n2
é verdadeira para qualquer
inteiro positivo n.

29. exemplo de prova por indução
Provar que a equação 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 é
verdadeira para qualquer inteiro positivo n.
• P(1) é verdadeira, ou seja, 1 = 1(1+1)/2.
• Hipótese de indução: P(k)
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2
• Temos que mostrar então: P(k+1)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)[(k+1)+1]/2
• O lado esquerdo dessa expressão pode ser reescrito
como:
k(k+1)/2 + (k+1) (pela hipótese de indução)

30. 1 + 2 + 3 +...+ n = n(n+1)/2
• = k(k+1)/2 + (k+1)
• = (k+1) (k/2 + 1)
• = (k+1) (k/2 + 2/2)
• = (k+1)(k+2)/2
• = (k+1)[(k+1)+1]/2
ou seja, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)[(k+1)+1]/2.
então, como P(1) e P(k)→P(k+1), para k arbitrário,
podemos afirmar que ∀xP(x), ou seja:
1 + 2 + 3 +...+ n = n(n+1)/2 para todo inteiro n.

31. Indução completa
Passos:
• estabelecer a veracidade de P(1); (base da indução)
• assumir a veracidade de P(r) para todos os inteiros r
entre 1 e um inteiro arbitrário k; (hipótese de
indução);
• provar a veracidade de P(k+1);
• Então, podemos afirmar que todo inteiro positivo tem
a propriedade P, ou ∀xP(x).

32. Exercício
• Mostre, por indução completa que, para a seqüência
de Fibonacci, vale a relação
F(n) < 2n
• N.B. A seqüência de Fibonacci é dada por
F(1)=1;
F(2)=2 e
• F(n)=F(n-1) + F(n-2)), para n>2

33. Exercícios
Provar uma das duas fórmulas abaixo:
• a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma
progressão geométrica (n ≥ 1) é:
a + ar + ar2
+...+ arn-1
= (a-arn
)/(1-r).
• a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética (n≥1) é:
a + (a+r) + (a+2r) +...+ (a+(n-1)r) = an + r(n-1)n/2.
• Dado uma conjectura
P → Q, a negação de P é denotada por P’, chamamos
• Q’ → P’ de contrapositiva
• Q → P de recíproca
• P’ → Q’ de condicional inverso
1. Quais são equivalentes?
2. Dado “Se n é um número par com 4 ≤ n ≤ 12, então n é uma
soma de dois primos”, dê suas contrapositivas, recíprocas e
condicional inverso e mostre quais são teoremas.