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Les additions... plus de 10
Un échange sur un de nos forums entre
Cécile Ginhoux
et
Maurice Laurent
Les additions... plus de 10
par Cécile Ginhoux - dimanche, 1 avril 2012, 03:21 PM
Bonjour à tous,
Je viens ici poser mon problème actuel.
Jusqu'à présent j'ai travaillé avec les réglettes les nombres de 1 à 10 , jusque là pas de souci
particulier.
Puis j'ai commencé les nombres 11, 12, 13, 14 de la même façon (avec la construction des
tableaux de ces nombres)
Et là je ressens bien que je dois faire quelque chose de plus qu'avant car les élèves se
trouvent en difficulté lorsque je leur demande 5 + 8 par exemple.
Du coup je me suis arrêtée là pour l'instant et je travaille encore ces tableaux là.
Mais je sens bien que je pourrai faire quelque chose de plus.
Peut-être en posant des questions plus judicieuses.
Je me suis penché sur ma façon de faire et je me suis aperçu que je n'ai pas toujours la même
stratégie de calcul.
Certains calculs se font trop vite et j'aurai tendance à croire que je le sais par coeur point.
Mais pour d'autres c'est différent.
Par exemple je m'appuie sur le double de 6 pour effectuer 6+7.
Mais pour 5 + 8 je me dis 8+2=10 ...+ 3 = 13 ce qui est différent.
Et puis quand j'ajoute 9 je fais encore autre chose : je me dis que 9 = 10-1
Alors que faire pour mes élèves ?
Je connais bien mes faiblesses de calcul mental, même si j'ai l'impression que je vais à
l'économie dans mes stratégies, alors je me méfie de mes habitudes.
Et puis, je me demande si il n'y aurait pas des conséquences de tels choix de stratégie. Je
veux dire que je me pose la question de savoir s'il y en a qui ont plus d'avenir que d'autres. Et
là, il me semble que le passage par 10 a peut-être plus d'avenir.
J'ai pensé à la première stratégie (car les doubles sont assez bien retenus par mes élèves) et je
me suis dit que je pourrais proposer de faire faire des équivalences qui mettent en lumière ce

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lien comme un train 6+6 avec un train 6+7 et les faire parler de ce qui est pareil et de ce qui
est différent.
Mais comment m'y prendre pour les autres ? Est-ce une bonne solution ?
Du coup pourquoi prendre cette stratégie et pas une l'autre 6+7 = 6+4+3 = 13 qui est
applicable à tous les cas ? (et qui est apparue dans les productions des élèves lors de la
production libre de trains de + de 2 réglettes équivalents à 13 même si je ne pense pas que
tous ont fait le lien)
Et pour + 9 alors ?
Et pourquoi pas faire les trois stratégies pour découvrir des relations entre les nombres et les
laisser choisir ce qui leur convient ?
Mais si je fais cela, il faudra aussi les faire parler de ce qui est le plus économique pour eux
mais là j'induis ma propre façon de calculer que je reconnais quelques fois défaillante car
non efficace.
Qui a déjà eu à faire à cette (ces) question(s) ?
Qu'avez-vous fait ?
Y-a-t-il plus d'avenir dans une stratégie que dans une autre ?
Est-ce seulement une question d'entraînement (et de pratique) des tableaux de ces nombres
qui doit être plus long qu'avec les nombres précédents ?
Merci d'avance à toutes celles et tous ceux qui voudront bien répondre à mon message.
Au plaisir de vous lire !
Re: Les additions... plus de 10
par Maurice Laurent - lundi, 2 avril 2012, 10:10 AM
Bonjour Cécile,Pour savoir ce que font 8 et 5, il y a des stratégies mentales, pas une! Et
toutes sont valables, et ce n'est pas à toi de choisir, mais à chaque élève de faire son choix
pour résoudre ce problème.Par contre, mon travail de maître de mathématiques est justement
de faire prendre conscience à mes élèves des différentes possibilités, et même du fait qu'il y
en a beaucoup, et que toutes sont acceptables: alors, un jour je vais leur en faire travailler
une, un autre jour une autre, et ainsi de suite, de sorte que in fine ils aient des outils.C'est
ainsi que 8 et 5 pourra être vu comme 8 et (2 et 3), ce qui fait (8 et 2) et 3, ce qui fait 10 et 3
ce qui fait 13 (dissociation, compléments à 5)... ou comme (5 et 3) et 5, ce qui fait (3 et 5) et
5, ce qui fait 3 et (5 et 5), ce qui fait le double de 5 et 3, ce qui fait 10 et 3, ce qui fait 13
(dissociation, compléments à 8, connaissance des doubles des nombre de 1 à 9...)... ou
comme 5 et 8, puis comme 5 et 5 et 3, puis comme 10 et 3 puis comme 13 (dissociation
compléments à 8, connaissance du double de 5...), ... ou comme le double de 8 moins 3...
etc.Mais, quelle que soit la stratégie mentale choisie, qui puisse remplacer celle du comptage
sur les doigts, elle est rendue possible soit par la connaissance des compléments à 10, 9, 8 ...,
soit par celle des doubles des nombres de 1 à 9, ... soit par celle de la commutativité et de
l'associativité-dissociativité de l'addition. Alors, c'est ça qu'il faut faire travailler!Par
exemple, comme situation, avoir au tableau sous 8+5, tous les compléments à 8 et à 5 et lire
et lire et lire... des possibilités à trois ou à quatre composantes comme 4+4+4+1... ce qui fait
12+1 ce qui fait 13... ou comme 8+2+3... ou comme 3+5+5... qui rendent les calculs faciles

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car utilisant du maîtrisé: 8+2=10 et 10+3=13, 5+5=10 et 3+10=13...Alors, et seulement alors,
les élèves pourront choisir la solution qu'ils préfèrent, celle qui sera, pour chacun, sûre,
rapide, facile, évidente, jolie... Et alors, et seulement alors, chacun ayant le choix de sa
stratégie mentale, on pourra parler d'enseignement différencié, et alors seulement, ils
préféreront l'élégance et la rapidité de la dynamique mentale au comptage laborieux sur les
doigts.Amitiés, en espérant que ça aide...Maurice
Re: Les additions... plus de 10
par Cécile Ginhoux - lundi, 2 avril 2012, 08:12 PM
Bonsoir Maurice !
Je te lis ce soir avec beaucoup de joie !
Je me sentais à la fois devant un mur et devant un carrefour, incapable de faire un pas.
Ouf ! je me sens plus libre !
Là je sens que je vais faire bouger les choses.
Une profusion d'idées me viennent.
Merci, merci !
Je te tiens au courant.
Amitiés
Cécile
Re: Les additions... plus de 10
par Cécile Ginhoux - mercredi, 4 avril 2012, 07:20 PM
Bonjour,
J'ai fait une séance très agréable hier.
J'ai voulu vérifier certaines choses que tu as dites et :
- Tous les élèves ont bien compris la propriété de commutativité (sûrement grâce aux travaux
sur les nombres déjà réalisés)
- Tous les élèves ont compris la dissociativité aussi (certainement pour les même raisons)
Là où cela se gâte c'est que les compléments à 10 ,9, 8 et 7 ne sont pas assez sus de certains
élèves (environ 10 sur les 20 élèves de ma classe)
Du coup, pendant que la moitié de ma classe était en autonomie sur des opérations du style
(7+8) j'ai sorti les réglettes pour les autres.
Je leur ai demandé de construire le tableau de 10 et de le garder sur leur table. Ensuite nous
avons travaillé la passage par 10.
En construisant le train correspondant à l'addition, nous nous sommes entraîné à échanger un
des wagons avec un train comportant un wagon qui fera 10 avec l'autre wagon. Puis nous
changions de wagon à échanger. Je ne me trouve pas très claire alors voici un exemple.
- Pour 7+8 nous avons vu que dans le tableau de 10, 8 était avec 2 et nous avons chercher ce

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qui manque à 2 pour faire 7 , 5
Alors nous avons remplacer le wagon 7 avec 2+5. J'ai demandé aux élèves de dire : Je vois
que pour faire 10 avec 8 il faut 2 alors je remplace 7 par 2+5. Ce qui fait 2 + 5 + 8 = 5 + 2 +
8 = 5 +10 = 15 Mais très vite je n'ai pas eu à passer par par 2 + 5 = 5 + 2 car d'office les
élèves ont mis la réglettes 2 à côté de la 8 en pointant 2 + 5 de la droite vers la gauche.
Idem dans l'autre sens (en regardant 7 + ... = 10)
Les enfants se sont régalés au bout de 10 minutes tout d'abord lentes et laborieuses.
Maintenant je me demande si je ne devrai pas proposer des additions types afin de leur faire
plus acquérir les compléments à 10, 9, 8 et 7.
Je veux dire de nombreuses additions avec 7 puis avec 8 ... Sachant que 10 sera toujours
revu.
Qu'en penses-tu ?
Re: Les additions... plus de 10
par Cécile Ginhoux - mercredi, 4 avril 2012, 10:09 PM
Ah! J'ai une autre question qui me vient (grâce à un mail que je viens de lire)
Est-ce que si je travaille les additions (comme décrit dans ton message Maurice) avec un
résultat compris entre 11 et 17, ces compétences seront suffisantes pour que l'élève réponde
facilement à 11 moins 4 par exemple ?
Pendant que j'écris ce message je me rends compte que ma réponse serait non.
Ce que je fais dans ma tête c'est 11-4=(10+1)-4 (étape 1)= 10+1-3-1(étape 2)= 10 -3 +1-
1(étape 3)= 10-3= 7
Et il me semble que comprendre ceci demande quelque chose en plus entre l'étape 1 et 2, non
?
A moins que je regarde le problème avec le mauvais angle car mon calcul mental est quelque
fois défaillant.
... Et si c'était plutôt une étude de la conservation de la différence qui aide au calcul ? Je sais
que si le rajoute 3 à 11 et 3 à 4 la différence est la même (constat avec les réglettes) et si
j'enlève 1 à 11 et 1 à 4 alors la différence est toujours la même ce qui donne 11-4 = 10-3 = 7
La conservation de la différence me semble une stratégie plus rapide et sûre.
Si c'est le cas, cette prise de conscience est à faire en plus du travail sur les additions, non?
Quel est ton avis sur ce point Maurice ?
Cécile
PS : c'est fou ce que cela m'aide à la réflexion de rédiger ces messages.

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Re: Les additions... plus de 10
par Maurice Laurent - jeudi, 5 avril 2012, 10:13 AM
Bonjour Cécile!
Là encore, plusieurs stratégies mentales sont possibles. En voici quelques-unes!
La 1ère, c'est la conscience des différences équivalentes et de la loi de conservation d'une
différence: ainsi, (11 - 4) équivaut à (10 - 3), ce qui fait 7. On se ramène à un problème que
l'on sait résoudre: si je lève mes 10 doigts et si j'en baisse 3, il m'en reste 7 qui sont dressés.
(Transformer une question à laquelle je ne sais pas répondre immédiatement en une à
laquelle je sais répondre vite, bien, facilement et avec sûreté.)
Pour y parvenir, travailler sur les doigts levés et baissés que l'on voit ensemble comme une
somme,(paumes des mains tournées vers soi) et travailler sur les doigts levés et baissés que
l'on voit comme une différence (paumes des mains tournées vers l'extérieur): à ce moment-
là, je ne vois plus les 3 qui sont baissés et il m'en reste 7 que je vois dressés... Là sont les
consciences différenciées de addition et soustraction.
La deuxième stratégie me vient par introspection: ce que je fais moi pour 15-7 par exemple,
c'est que je me dis, en une fraction de seconde: 7, 10, 15, ce qui veut dire: de 7 à 10, 3, et de
10 à 15, 5, et 3+5=8. Il s'agit là de voir 15-7 non pas comme une soustraction, mais comme
une équation-addition: que faut-il ajouter à 7 pour avoir 15, ou que manque-t-il à 7 pour
avoir 15?
Il faut là prendre conscience que répondre à (15 - 7) équivaut à répondre à (7 + ? = 15), sur le
plan du résultat.
Pour que cette conscience-là existe, il faut travailler sur des triplets, des triplets de réglettes
d'abord si l'on veut, des triplets de segments de droite dont on connait la longueur si l'on
veut, des triplets de nombres de..., des triplets de nombres pour terminer.
Comme nous l'avons vu durant le dernier séminaire, (j + v = m) peut être lu de 8 manières,
dont 4 additives et 4 soustractives, auxquelles on peut faire correspondre 24 exercices à
trous, 16 étant des équations: (quoi? + j = m) par exemple, ou (j + quoi? = m), ou (m - quoi?
= j), ou (m - j = quoi?)... Mais on peut dire autrement ce qu'on a compris: quelle réglette
ajouter à la jaune pour avoir un train long comme marron? quelle réglette serait égale à ce
qui resterait de la marron si je lui enlevais la longueur jaune? quelle réglette est égale à la
différence entre la marron et la jaune? etc.
On peut faire la même chose avec (8cm = 5 cm + 3 cm)
On peut faire la même chose avec (5 pommes + 3 pommes = 8 pommes)
On peut finalement faire la même chose avec (3 + 5 = 8).
Quant à la question posée dans ton avant dernier mail, oui, il faut donner de l'exercice, mais
attention, de l'exercice pour entraîner les fonctionnements, pas de l'exercice pour mémoriser!
parce que moi-même, je ne sais pas ce que font (23 - 7), je le calcule encore: 7, 10, 20, 23
par exemple, donc 16, ou (20-4, 6, 10, donc 16), ou (2x7 + 2) ou (7,17,20,23 = 16)... et ça va
à une vitesse folle, et c'est à cette rapidité, facilité et sûreté que je veux amener mes élèves,

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parce qu'ils ont démontré avoir tous les pouvoirs mentaux pour y parvenir.
Maurice LAURENT
Re: Les additions... plus de 10
par Cécile Ginhoux - jeudi, 5 avril 2012, 07:20 PM
Bonsoir,
Je pense que je comprends bien ce que tu veux dire dans
il faut donner de l'exercice, mais attention, de l'exercice pour entraîner les fonctionnements, pas de
l'exercice pour mémoriser!
Mais pour autant, je vois que mes élèves en difficulté ne connaissent pas suffisamment les
compléments à 7, 8, 9 et 10.
Je m'explique :
Ils connaissent sans sourciller 5+.?. = 10 et 4 + .?. = 8 donc les doubles plus petits que 10,
mais pour ce qui est de 7+.?.= 10 ils ont du mal. Je l'ai encore vu aujourd'hui même.
C'est pour cela que je me demande s'il ne faudrait pas que je travaille à des exercices qui les
aident à retenir ces compléments.
Tu me dis ...
moi-même, je ne sais pas ce que font (23 - 7), je le
calcule
d'accord, mais 23-7 pour un adulte, est-ce vraiment la même chose que ? + 7 = 10 pour un
enfant de 6 ans ou 6 ans et quelques ?
A la relecture de ce message, je me demande si je ne suis pas trop exigeante avec mes élèves.
Peut-être que je devrais laisser les réglettes pour un temps et reprendre cela avec les doigts
en disant 7 dans la paume et 8, 9, 10 en levant les doigts au fur et à mesure du
comptage pour qu'ils trouvent 3. Ce qui équivaudrait à ta manière de procéder pour résoudre
23-7.
à réfléchir...
Re: Les additions... plus de 10
par Cécile Ginhoux - jeudi, 5 avril 2012, 10:17 PM
Petites précisions, les cas difficiles pour certains de mes élèves sont :
3+4= 7
3+5= 8
3+6= 9
4+5= 9
(2+7= 9)
3+7= 10
4+6= 10

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et pour 3 de mes élèves celles-ci en plus :
2+5= 7
2+6= 8
2+8= 10
Si je regarde d'un point de vue positif, je vois que la plupart se débrouille avec les
compléments utilisant 2 et cela correspond bien aux travaux réalisés dans la classe (même si
je vois que 2+7 est encore hésitant) Ensuite les doubles ne posent pas de souci.
Il ne reste que ces 7 opérations. Avec le cas des trois élèves.
Si je m'appuie sur ce constat, alors je devrais travailler avec additionner 3, compter de 3 en 3,
... afin qu'ils maîtrisent environ 60% des égalités restantes.
... Cela me donne encore à réfléchir...
... Et si les autres pouvaient se retrouver en dissociant ?
4+5 = 4+4+1 = 8 + 1= 9
ou 4+5 = 5+5 -1 = 10-1 = 9 ou ...
ET
4+6 = 5+5 -1 = 10-1 = 9
ou 4+6 = 4+4+2 = 8+2= 10 ou ...
...
C'est pas fini ...mais je vais me coucher dessus ... et demain il fera jour...
Amitiés, Maurice et merci pour ces échanges si précieux pour moi.
Vous pouvez continuer la discussion sur le Forum de discussion sur la pédagogie Gattegno :
http://uepd.quizport.com
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© Cécile Ginhoux et Maurice Laurent, 2012