1. TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----
BAØI TAÄP
OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC
Naêm 2010

2. Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
CHƯƠNG 0
ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
I. QUAN HỆ SONG SONG
1. Hai đường thẳng song song
ìa, b Ì (P )
a) Định nghĩa: aP b Û í
îa Ç b = Æ
b) Tính chất
ì( P ) ¹ (Q) ¹ ( R)
ï( P ) Ç (Q ) = a ì( P ) Ç (Q ) = d
ï é a, b, c ñoàng qui ï éd P a P b
· í Þê · í( P ) É a,(Q) É b Þ ê
ï( P ) Ç ( R) = b ëa P b P c ïa P b ë d º a ( d º b)
î
ï(Q) Ç ( R) = c
î
ìa ¹ b
·í Þ aP b
î a P c, b P c
2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Định nghĩa: d // (P) Û d Ç (P) = Æ
b) Tính chất
ìd Ë ( P), d ' Ì ( P ) ìd P ( P )
·í Þ d P (P) ·í Þd P a
îd P d ' î(Q) É d ,(Q ) Ç ( P) = a
ì( P ) Ç (Q ) = d
·í Þd P a
î( P ) P a,(Q) P a
3. Hai mặt phẳng song song
a) Định nghĩa: (P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Æ
b) Tính chất
ì( P ) É a, b ì( P ) ¹ (Q ) ì(Q) P ( R)
ï ï ï
· ía Ç b = M Þ ( P ) P (Q) · í( P ) P ( R) Þ ( P ) P (Q ) · í( P ) Ç (Q ) = a Þ a P b
ïa P (Q ), b P (Q )
î ï(Q) P ( R)
î ï( P ) Ç ( R) = b
î
4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
· Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)
· Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
· Áp dụng các định lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh d P ( P ) , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một
đường thẳng d¢ nào đó nằm trong (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai
đường thẳng trong mặt phẳng kia.
Trang 1

3. Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Hai đường thẳng vuông góc
a) Định nghĩa: a ^ b Û ( a, b ) = 90 0
¶
b) Tính chất
r r rr
· Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a ^ b Û u.v = 0 .
ìb ¤¤ c
·í Þa^b
îa ^ c
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa: d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P)
b) Tính chất
ìa, b Ì (P ), a Ç b = O
· Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng: íd ^ a, d ^ b Þ d ^ (P )
î
ìa P b ìa ¹ b
· í Þ (P) ^ b ·í ÞaP b
î( P ) ^ a îa ^ ( P ), b ^ ( P)
ì( P ) P (Q ) ì( P ) ¹ (Q)
·í Þ a ^ (Q ) · í Þ ( P ) P (Q )
îa ^ ( P ) î( P ) ^ a,(Q) ^ a
ìa P ( P ) ìa Ë (P )
· í Þb^a · í Þ a P ( P)
îb ^ ( P ) îa ^ b,( P ) ^ b
· Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại
trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng đó.
· Định lí ba đường vuông góc
Cho a ^ ( P), b Ì ( P ) , a¢ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ^ a Û b ^ a¢
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa: (
(P) ^ (Q) Û · ) = 900
( P ),(Q )
b) Tính chất
ì( P ) É a
· Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: í Þ ( P ) ^ (Q )
îa ^ (Q)
ì( P ) ^ (Q )
ì( P ) ^ (Q),( P) Ç (Q) = c ï
· í Þ a ^ (Q ) · í A Î (P) Þ a Ì (P)
îa Ì (P ), a ^ c ïa ' A, a ^ (Q )
î
ì( P ) Ç (Q ) = a
ï
· í( P ) ^ ( R) Þ a ^ ( R)
ï(Q) ^ ( R)
î
4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh d ^ a , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
· Chứng minh góc giữa a và d bằng 900.
· Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.
· Chứng minh d ^ b mà b P a .
· Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
· Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
Trang 2

4. Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
· Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
· Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
· Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
· Chứng minh d // a và a ^ (P).
· Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
· Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) và (R) ^ (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
· Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ^ (Q).
· (
· Chứng minh ( P ),(Q ) = 90 0 )
III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' Þ ( a, b ) = ( a ', b ' )
¶ ·
Chú ý: 00 £ ( a, b ) £ 900
¶
b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
· (
· Nếu d ^ (P) thì d ,( P ) = 900. )
· (
· Nếu d ^ ( P) thì d ,( P ) = ( d , d ' ) với d¢ là hình chiếu của d trên (P).
· )
· (
Chú ý: 00 £ d ,( P ) £ 900 )
c) Góc giữa hai mặt phẳng
ìa ^ ( P ) · ¶ (
íb ^ (Q) Þ ( P ),(Q ) = ( a, b ) )
î
· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Î c, dựng í
ìa Ì ( P), a ^ c
Þ ( P ),(Q ) = ( a, b )
· ¶ ( )
îb Ì (Q ), b ^ c
Chú ý: · (
00 £ (P ),(Q) £ 90 0 )
d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H)
· ( )
trên (Q), j = ( P ),(Q) . Khi đó: S¢ = S.cosj
2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:
· Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
· Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.
· Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
Trang 3

5. Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
IV. Nhắc lại một số công thức
trong Hình học phẳng
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH.
1 1 1
· AB 2 + AC 2 = BC 2 · AB 2 = BC.BH , AC 2 = BC .CH · 2
= 2
+
AH AB AC 2
· AB = BC.sin C = BC .cos B = AC.tan C = AC. cot B
b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính
đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
· Định lí hàm số cosin:
a2 =b 2 + c2 – 2bc.cosA; b 2 = c 2 + a 2 - 2ca.cos B; c 2 = a 2 + b 2 - 2ab.cos C
a b c
· Định lí hàm số sin: = = = 2R
sin A sin B sin C
· Công thức độ dài trung tuyến:
2 b 2 + c 2 a2 2 c2 + a2 b2 2 a 2 + b2 c 2
ma = - ; mb = - ; mc = -
2 4 2 4 2 4
2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
1 1 1 1 1 1
· S = a.ha = b.hb = c.hc · S = bc sin A = ca. sin B = ab sin C
2 2 2 2 2 2
abc
· S= · S = pr · S = p ( p - a )( p - b )( p - c )
4R
· DABC vuông tại A: 2S = AB. AC = BC. AH
a2 3
· DABC đều, cạnh a: S=
4
b) Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: ·
S = đáy ´ cao = AB. AD.sinBAD
e) Hình thoi: · 1
S = AB. AD.sinBAD = AC.BD
2
1
f) Hình thang: S = (a + b ).h (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC.BD
2
Trang 4

6. Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
CHƯƠNG I
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
V = abc với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:
1
V = Sñaùy .h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3
3. Thể tích của khối lăng trụ:
V = Sñaùy .h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích bằng công thức
· Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
· Sử dụng công thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể
tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm
vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B'
trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:
VOABC OA OB OC
= . .
VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC '
* Bổ sung
· Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
· Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với
diện tích các đáy.
Baøi 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa
mặt bên và mặt đáy bằng a (450 < a < 900). Tính thể tích hình chóp.
1 1
HD: Tính h = a tan a Þ V = a3 tan a
2 6
Baøi 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên
SA = a 5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và
SD tại C¢ và D¢. Tính thể tích của khối đa diện ADD¢.BCC¢.
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD
5a3 3
ÞV=
6
Baøi 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tính thể tích hình chóp theo x và y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)
Trang 5

7. Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
xy
ÞV= 4 - x 2 - y2
12
Baøi 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính thể
tích tứ diện theo a, b, c.
HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của
1
PQ, QR, RP. Chú ý: VAPQR = 4VABCD = AP. AQ. AR
6
2
ÞV= (a2 + b2 - c2 )(b2 + c2 - a2 )(c 2 + a2 - b2 )
12
Baøi 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^
(ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể
tích khối chóp A.BCNM.
2
V SA SM SN æ SA 2 ö 16 3a3 3
HD: SAMN = . . =ç ÷ = Þ V=
VSABC SA SB SC ç SB 2 ÷
è ø 25 50
Baøi 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB
= 7 3 cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Baøi 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC =
4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Baøi 8. Cho hình tứ diện ABCD có AD ^ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC =
5cm.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Baøi 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có mp(ABC¢) tạo với đáy một góc 450 và
diện tích DABC¢ bằng 49 6 cm2. Tính thể tích lăng trụ.
Baøi 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với
mp(ABCD) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy các
điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2 , SA
^ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM.
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Baøi 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^ (ABC).
Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối
chóp A.BCNM.
Trang 6

8. Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
ÔN TẬP KHỐI ĐA DIỆN
Baøi 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và · = a .
ASB
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.
a a
b) Chứng minh chiều cao của hình chóp bằng cot 2 - 1
2 2
c) Tính thể tích khối chóp.
a 1 3 a
HD: a) Sxq = a2 cot c) V = a cot 2 - 1
2 6 2
Baøi 2. Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC là
tam giác cân đỉnh A, trung tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc a và tạo với
mp(SAD) góc b.
a) Xác định các góc a, b.
b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp.
HD: a) · = a ; · = b
SBA BSD
1 a2 a 2 sin b
c) Stp = (sin 2a + sin 2b ) +
2 cos 2 a - sin 2 b cos 2 a - sin 2 b
a3 sin a .sin b
V=
3(cos2 a - sin 2 b )
Baøi 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam
giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di động
trên đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng SH ^ (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD.
b) Tìm tập hợp các hình chiếu của S lên DM.
c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.
a 7 a 2 - 4ax + 4 x 2
HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK =
2 a2 + x 2
Baøi 4. Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta
lấy điểm S với SA = 2a. Gọi B¢, D¢ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB¢D¢)
cắt SC tại C¢. Tính thể tích khối chóp SAB¢C¢D¢.
VSAB¢C ¢ 8 16a3
HD: = Þ VSAB¢C¢D¢ =
VSABC 15 45
Baøi 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA,
SB, SC, SD lần lượt tại A¢, B¢, C¢, D¢. Chứng minh:
SA SC SB SD
+ = +
SA¢ SC¢ SB¢ SD¢
HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp
Baøi 6. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH.
a) Chứng minh SA ^ BC.
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC.
Trang 7

9. Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau.
a3 2
HD: b) V = ; Stp = a2 3 .
12
Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy
bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và
hình chóp.
a3 6 a2 3
HD: a) V = b) S =
6 3
Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là
a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
4h 2 tan a 4h3
HD: a) Sxq = ; V=
tan 2 a - 1 3(tan 2 a - 1)
Baøi 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 £
x £ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người
ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính thể tích khối chóp SABCM.
d) Với giả thiết x 2 + y 2 = a 2 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM.
e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên
đoạn AD.
x 2 1 1 3
HD: b) d = c) V = ay( x + a) d) Vmax = a 3
2 6 24
Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b.
a2
a) Chứng minh: SC2 = .
cos 2 a - sin 2 b
b) Tính thể tích khối chóp.
a3 sin a .sin b
HD: b) V =
3(cos2 a - sin 2 b )
Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD. Chứng minh SC ^ (AEF).
Baøi 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.
Baøi 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB =
AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD) và SD = a .
a) Chứng minh DSBC vuông. Tính diện tích DSBC.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Trang 8

10. Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB =
AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD = a 3 . Từ trung điểm E của DC dựng
EK ^ SC (K Î SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^ (EBK).
Baøi 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết
rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
Baøi 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông
góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ^ SB và AE ^ SC. Biết AB = a, BC = b, SA =
c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Baøi 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a.
a) Xác định góc a.
a3 3 sin 3a
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: .
8 sin3 a
HD: a) · ¢ với I¢ là trung điểm của A¢B¢
C ¢BI
Baøi 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD: V = h3 tan 2 a - 1 , Sxq = 4h 2 tan 2 a - 1 .
Baøi 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA¢ đến mặt
bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a.
a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chứng minh: AH = a, · ¢ = a, CK = b.
CAC
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi. Định a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
ab3 2
HD: b) V = c) a = arctan
sin 2a b2 - a 2 sin 2 a 2
Baøi 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 600. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a3 6 ; Sxq = 4a2 6
Baøi 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt
bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là a. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.
1 - cos a
HD: Sxq = 4h2 .
cos a
Baøi 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC¢) hợp với
mp(BCC¢B¢) một góc a. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢.
a) Chứng minh · = a.
AJI
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
3a3 3
HD: b) V = ; Sxq = 3a2 .
2
4 tan a - 3 tan 2 a - 3
Baøi 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b.
Trang 9

11. Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢. Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ
nhật.
b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 600.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được.
7 a2
HD: b) b = a c) Stp = (7 3 + 21)
12 6
Baøi 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhị diện có số đo a (0 < a < 900).
a) Chứng minh: · = a.
A¢AB
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác định thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi b là góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tanb = 2 tana.
1
HD: b) V = a3sina c) Sxq = a2(1 + sina + 1 + sin 2 a )
2
Baøi 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A¢ lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho ·¢ = 450.
BAA
a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
a2 2 2
HD: a) V = b) Sxq = a2(1 + ).
8 2
Baøi 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn
tâm O. Hình chiếu của C¢ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC¢ là d và số đo
nhị diện cạnh CC¢ là 2j.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢.
b) Gọi a là góc giữa 2 mặt phẳng (ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 900).
Tính j biết a + j = 900.
2d 3 tan 3 j 1 2
HD: a) V = b) tana = ; j = arctan
3 tan 2 j - 1 3 tan 2 j - 1 2
Baøi 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt
bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai
mặt này hợp với nhau một góc a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢). Xác định góc a.
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ .
a 3
HD: a) . Gọi AK là đường cao của DABC; vẽ KH ^ BB¢. · = a.
AHK
2
3a3
b) V = cot a .
2
Baøi 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo
ACC¢A¢, BDD¢B¢ là S1, S2.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết · = 1v. Tính thể tích khối hộp.
BA¢D
Trang 10

12. Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
2 2 2 S1S2
HD: a) Sxq = 2 S1 + S2 b) V = .
2 4 S2 - S 2
2 1
Baøi 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một góc b.
a) Chứng minh: · ¢ = a vaø · = b .
CAC AC ¢B
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sina.sinb cos(a + b ). cos(a - b )
c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuông. Cho d không đổi, a và b thay đổi mà
A¢D¢CB luôn là hình vuông, định a, b để V lớn nhất.
d3 2
HD: c) 2(cos2a – sin2b) = 1 ; Vmax = khi a = b = 300 (dùng Côsi).
32
Baøi 30. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µ = 600. Chân
A
đường vuông góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy.
Cho BB¢ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
3a3
HD: a) 600 b) V = ; Sxq = a2 15 .
4
Baøi 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và · = 600;
BAD
A¢A = A¢B = A¢D và cạnh bên hợp với đáy góc a.
a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A¢ và góc a. Tính thể tích hình hộp.
b) Tính diện tích các tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢.
c) Đặt b = · ) . Tính a biết a + b = .
( ABB¢A¢, ABCD p
4
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.
a2 3 17 - 3
b) SBDD¢B¢ = ; SACC¢A¢ = a2tana c) a = arctan
3 sin a 4
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
transitung_tv@yahoo.com
Trang 11

13. Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
CHƯƠNG II
KHỐI TRÒN XOAY
I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa
· Mặt cầu: S(O; R) = { M OM = R} · Khối cầu: V (O; R) = {M OM £ R}
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
· Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán kính r = R 2 - d 2 .
· Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
· Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính
bằng R đgl đường tròn lớn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).
· Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
· Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (D đgl tiếp tuyến của (S)).
· Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều Tất cả các mặt của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
trên mặt cầu mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
đáy của hình nón đường sinh của hình nón
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
· Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục D của đáy (D là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Cầu Trụ Nón
Sxq = 2p Rh Sxq = p Rl
Diện tích S = 4p R 2
Stp = Sxq + 2Sñaùy Stp = Sxq + Sñaùy
4 1
Thể tích V = p R3 V = p R2h V = p R2h
3 3
Trang 12

14. Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu
Baøi 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ^ ( ABC ) .
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A,
SC
B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính R = .
2
b) Cho SA = BC = a và AB = a 2 . Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Baøi 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngồi d. Một góc xAy di
động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S.
Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, · = 6 00 .
BAC
Baøi 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ ( ABCD) và
SA = a 3 . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm
điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Baøi 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc
với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD = a 3 .
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Baøi 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 600. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung
trực của cạnh SA, cắt SO tại K.
a) Tính SO, SA.
b) Chứng minh DSMK : DSOA ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Baøi 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng IS = R 3
Baøi 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
600.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và
bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
Baøi 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R =
5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính
Trang 13

15. Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác.
Baøi 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baøi 12. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baøi 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. Gọi O là tâm của
ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I.
Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này.
Baøi 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK
lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Baøi 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ^
(ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H,
M, K.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ
Baøi 1. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện
OO¢AB bằng 8 cm3. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Baøi 2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy một góc 600 .
Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Baøi 3. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B
sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
Baøi 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai
bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300. Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối
trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Baøi 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một
thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết
diện.
Baøi 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai
(
đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi h > a < h 2 + 4 R 2 . )
a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
Baøi 7. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình
trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên.
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó.
Trang 14

16. Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Baøi 8. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Baøi 9. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3 ; A và B là hai điểm trên hai
đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Baøi 10. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên
hai đường tròn đáy (O, R) và (O¢, R) sao cho OA và O¢B hợp với nhau một góc bằng x và
và hai đường thẳng AB, O¢O hợp với nhau một góc bằng y.
a) Tính bán kính R theo h, x, y.
b) Tính Sxq, Stp và thể tích V của hình trụ theo h, x, y.
Baøi 11. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính của
hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 300.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’.
b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’.
c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’.
Baøi 12. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao
h = R 2 . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn
tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ số
thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ.
b) Gọi (a ) là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’
và mặt phẳng (a ) .
c) Chứng minh rằng (a ) là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng
R 2
.
2
VẤN ĐỀ 3: Mặt nón – Hình nón – Khối nón
Baøi 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢D¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích
khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối
nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một
góc 600 . Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S
và đáy (C).
Baøi 4. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a.
Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành
một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành.
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành.
Trang 15

17. Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Baøi 5. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông
bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này.
Baøi 6. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và · = 300 , · 00 . Tính độ dài đường
SAO SAB=6
sinh của hình nón theo a.
Baøi 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Baøi 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình
nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A’B’C’D’.
Baøi 9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một
tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể tích
của khối nón.
Baøi 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và
mặt đáy là a . Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy
tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và a .
Baøi 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và · = a ( a > 450).
SAB
Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình
vuông ABCD.
Baøi 12. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là a .
a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.
SI
b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho = k (0 < k < 1) . Tính diện
SO
tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục.
Trang 16

18. Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY
Baøi 1. Cho một tứ diện đều có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Baøi 2. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
600 .
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Baøi 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là a.
a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
b) Tính giá trị của tan a để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Baøi 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD)
và (BCD) vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Baøi 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS¢. Một mặt phẳng vuông góc với
SS¢ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < 2R).
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
b) Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh
rằng các đường thẳng S¢A, S¢B, S¢C đôi một vuông góc với nhau.
Baøi 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a.
Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng
qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính
diện tích của mặt cầu đó.
b) Co SA = a 3 . Tính diện tích của tứ giác APQR.
Baøi 7. Cho một đoạn thẳng IJ có chiều dài c. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại I ta lấy
hai điểm A, A¢ đối xứng qua I và IA = IA¢ = a. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại J
và không song song với AA¢ ta lấy hai điểm B, B¢ đối xứng qua J và JB = JB¢ = b.
a) Chứng minh rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B nằm trên đường thẳng
IJ.
b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B theo a, b, c.
Baøi 8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC)
vuông góc với nhau và · = 900 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
BDC
ABCD.
Baøi 9. Cho hình cầu bán kính R. Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu, dựng ba cát tuyến bằng
nhau, cắt mặt cầu tại A, B, C sao cho: · = · =BSC = a . Tính thể tích V của tứ
ASB ASC ·
diện SABC theo R và a .
Baøi 10. Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a) · = 900
BAC b) · = 600 , b = c
BAC c) · = 1200 , b = c.
BAC
Baøi 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định
tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
Trang 17

19. Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Baøi 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính Sxq và Stp của hình trụ.
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Baøi 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3 . A và B là 2 điểm trên 2 đường
tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300 .
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ.
b) Tính Sxq và Stp của hình trụ.
c) Tính thể tích khối trụ tương ứng.
Baøi 14. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh
liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường
tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc
450 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
Baøi 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông
bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích khối nón tương ứng.
Baøi 16. Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn OS,
đặt OM = x (0 < x < h).
a) Tính diện tích thiết diện (C) vuông góc với trục tại M.
b) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy (C) theo R, h và x. Xác định x sao cho V
đạt giá trị lớn nhất.
Baøi 17. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy. Một
hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy hình nón.
a) Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.
b) Tính diện tích của phần mặt nón nằm trong mặt cầu.
c) Tính S mặt cầu và so sánh với diện tích toàn phần của mặt nón.
Baøi 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội
tiếp, cạnh bằng a. Biết rằng · = 2a , (00 < a < 450 ) . Tính thể tích khối nón và diện
ASB
tích xung quanh của hình nón.
Baøi 19. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2 a . Trong hình nón có một
hình trụ nội tiếp. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua trục
của hình trụ là một hình vuông.
Baøi 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là a .
Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h, cắt
hình nón theo đường tròn (C). Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và a .
Trang 18

20. Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
ÔN TẬP TỔNG HỢP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và
·
SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt ACM = a , hạ SH vuông góc với
đường thẳng CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.
a3
HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxVSAHC=
12
asin a a a3 sin 2a
b) AK = , SK = ,V=
1 + sin 2 a 1 + sin 2 a 24(1 + sin 2 a )
·
Baøi 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc BAC = 2a . Trên đường thẳng d qua A
và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của
BC. Hạ AH ^ SI.
a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a.
AK
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt = x . Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc
AI
với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Tính diện tích tứ giác này.
2a.cos a
HD: a) AH = b) SMNPQ = 4a 2 x (1 – x )sin a .
cos 2 a + 4
æ 2ö
Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x ç 0 < x < ç ÷ và AC = AD = BC = BD = 1.
è 2 ÷
ø
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn
nhất đó.
2 x2 1 - 2x2 2 3
HD: b) V = ; MaxV = khi x =
3 9 3 3
Baøi 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai
điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O
là: 2xy = a 2 .
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác
a3
định x, y để thể tích tứ diện này bằng .
4
a3 æ aö æa ö
HD: a) MN = 2a 2 + ( x - y )2 b) V = ( x + y) , (x, y) = ç a; ÷ hoặc ç ; a ÷ .
6 è 2ø è2 ø
Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi
Trang 19

21. Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
a là góc nhọn tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD.
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABCD theo a và a.
b) Xác định đường vuông góc chung của SA và CD. Tính độ dài đường vuông góc chung
đó theo a và a.
a3 æ 1 ö a tan a
HD: a) V = tan a , Stp = a2 ç 1 + ÷ b) d =
6 è cos a ø cos a
Baøi 6. Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R lấy một điểm C tùy ý. Dựng CH vuông
góc với AB (H thuộc đoạn AB) và gọi I là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng It
·
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I lấy điểm S sao cho góc ASB = 90o.
a) Chứng minh tam giác SHC là tam giác đều.
b) Đặt AH = h. Tính thể tích V của tứ diện SABC theo h và R.
3
HD: b) V = Rh ( 2R – h )
2
Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua trung điểm I của cạnh AB
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E sao cho IE = a. M là điểm thay đổi trên
cạnh AB, hạ EH ^ CM. Đặt BM = x.
a) Chứng minh điểm H di động trên một đường tròn. Tính độ dài IH.
b) Gọi J là trung điểm của đoạn CE. Tính độ dài JM và tìm giá trị nhỏ nhất của JM.
2
2a x - a æ a ö 5a2 a 5 a
HD: a) IH = b) JM = ç x- ÷ + MinJM = khi x =
2
4a + x 2 è 2ø 4 2 2
Baøi 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' và điểm M trên cạnh AD. Mặt phẳng (A'BM)
cắt đường chéo AC' của hình hộp tại điểm H.
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh AD thì đường thẳng MH cắt đường thẳng
A'B tại một điểm cố định.
b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo bởi mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trong
trường hợp M là trung điểm của cạnh AD.
c) Giả sử AA' = AB và MB vuông góc với AC. Chứng minh rằng mặt phẳng A'BM
vuông góc với AC' và điểm H là trực tâm của tam giác A'BM.
V 1
HD: a) MH cắt A¢B tại trung điểm I của A¢B. b) 1 =
V2 11
Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. I là trung điểm AB. Qua I dựng đường vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho 2IS = a 3 .
a) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuông.
b) Tính thể tích khối chóp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
a3 3
HD: b) V = 3, d= a
12 2
Baøi 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
AM
b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số = 3 . Hãy tính khoảng cách từ điểm
MD
M đến mặt phẳng (AB’C).
c) Tính thể tích tứ diện AB’D’C.
a 2a3
HD: a) d(AD¢, B¢C) = a b) d(M, (AB¢C)) = c) V =
2 3
Baøi 11. Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất
Trang 20

22. Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt
CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và
(SAN) tạo với nhau một góc 45°.
HD: a) V = pa3 6 b) 2a2 – 2 ( m + n ) a + mn = 0
Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ ( ABCD ) và
SA = a 2 .Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc · = a . Hạ SN ^ CM .
ACM
a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo
a và a .
b) Hạ AH ^ SC , AK ^ SN . Chứng minh rằng SC ^ ( AHK ) và tính độ dài đoạn HK.
a3 2
HD: a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố định, V = sin 2a
6
a cos a
b) HK =
1 + sin 2 a
Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a,
SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c.
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N.
AB AC
i) Chứng minh rằng + = 3.
AM AN
ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng
(P). Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC
1 2 2 2 1
HD: a) SG = a +b +c b) V = abc
3 9
Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc
·
SCB = 60° .
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi ( a ) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích
thiết diện tạo bởi ( a ) và hình chóp S.ABCD.
a 6 a2 6
HD: a) d(BC, SD) = b) S =
3 4
Baøi 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x
(0 £ x £ a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy
điểm S sao cho SA = y (y > 0).
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC).
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
d) Biết rằng x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.
2x 1
HD: b) d(M, (SAC)) = c) V = ya(a + x)
2 6
3
a 3 a
d) MaxV = khi x =
8 2
Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; · = 300 ; SBC là tam
ABC
Trang 21

23. Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
giác đều cạnh a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC. M là trung điểm SB.
a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt
phẳng (SAC) và (ABC).
b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC.
a3 2
a) cos· =
1
HD: SAB b) V =
3 24
Baøi 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc µ = 1200 , BD = a > 0. Cạnh
A
bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng
(P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp
do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.
V1 1
HD: =
V2 12
a 3
Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = và góc
2
· = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh
BAD
rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
3a3
HD: V=
16
Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Trên cạnh SA lấy
a 3
điểm M sao cho AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích
3
khối chóp S.BCNM .
10 3a 3
HD: V=
27
Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc · = 600 , SA
BAD
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P)
đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’.
Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
a3 3
HD: V=
18
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
transitung_tv@yahoo.com
Trang 22

24. Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
· Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
· Lưu ý: uuu uuu uuu
r r r
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC
uuu uuu uuu
r r r
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC
uuu uuu uuur uuuu
r r r
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có: AB + AD + AA ' = AC '
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
uu uu r
r r uuu uuu
r r uur
Ta có: IA + IB = 0 ; OA + OB = 2OI
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam uuu ABC, O tuỳ ý.
uuu uuu uuu r
r r r uuu giác uuu
r r r uuur
Ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý.
uuu uuu uuu uuur r
r r r uuu uuu uuu uuu
r r r r uuur
Ta có: GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG
r r r r r r
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông (a ¹ 0) Û $! k Î R : b = ka
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý.
uuur uuu r
uuur uuur uuur OA - kOB
Ta có: MA = k MB; OM =
1- k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
r r r r r
· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , trong đó a vaø b không cùng
r r r r r r
phương. Khi đó: a, b , c đồng phẳng Û $! m, n Î R: c = ma + nb
r r r r
· Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý.
r r r r
Khi đó: $! m, n, p Î R: x = ma + nb + pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ
· Góc giữa hai vectơ trong không gian:
uuu r uuu r
r r r r
AB = u , AC = v Þ (u , v ) = · (00 £ · £ 1800 )
BAC BAC
· Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
r r r rr r r r r
+ Cho u , v ¹ 0 . Khi đó: u.v = u . v .cos(u , v )
r r r r rr
+ Với u = 0 hoaëc v = 0 . Qui ước: u.v = 0
r r rr
+ u ^ v Û u.v = 0
r r
+ u = u2
Trang 23

25. PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
r r r
i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa
độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
r2 r 2 r 2 rr rr r r
Chú ý: i = j = k = 1 và i. j = i.k = k . j = 0 .
2. Tọa độ của vectơ:r r r r r
a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) Û u = xi + y j + zk
r r
b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k Î R
r r
· a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
r
· ka = (ka1; ka2 ; ka3 )
r r ìa1 = b1
ï
· a=b Û ía2 = b2
ïa = b
î 3 3
r r r r
· 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1)
r r r r r r
· a cùng phương b (b ¹ 0) Û a = kb (k Î R)
ìa1 = kb1
ï a a a
Û ía2 = kb2 Û 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ¹ 0)
ïa = kb b1 b2 b3
î 3 3
rr r r
· a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 · a ^ b Û a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0
r r
· a 2 = a1 + a2 + a3
2 2 2 2 2
· a = a1 + a2 + a22
rr
r r a.b a1b1 + a2 b2 + a3b3 r r r
· cos(a , b ) = r r = (với a, b ¹ 0 )
a.b a 2 + a 2 + a2 . b 2 + b2 + b 2
1 2 3 1 2 3
3. Tọa độ của điểm: uuur
a) Định nghĩa: M ( x; y; z) Û OM = ( x; y; z) (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: · M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0
· M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB )
uuu
r
· AB = ( xB - x A ; yB - y A ; zB - zA ) · AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 + ( zB - zA )2
æ x - kxB yA - kyB zA - kzB ö
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M ç A ; ; ÷
è 1- k 1- k 1- k ø
æ x + x B y A + y B zA + zB ö
· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M ç A ; ; ÷
è 2 2 2 ø
· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
æ x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC ö
Gç A ; ; ÷
è 3 3 3 ø
· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
Trang 24

26. Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
æ x + xB + xC + x D y A + y B + yC + yD zA + zB + zC + zC ö
Gç A ; ; ÷
è 4 4 4 ø
4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
r r
a) Định nghĩa: Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) .
r r r r æ a2 a3 a3 a1 a2 ö
a1
[a, b ] = a Ù b = ç ; ; ÷ = ( a2 b3 - a3b2 ; a3b1 - a1b3 ; a1b2 - a2 b1 )
çb b b3 b1 b1 b2 ÷
è 2 3 ø
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất: r r r r r r
r r r r r r r r r
· éi , j ù = k ;
ë û é j,k ù = i ;
ë û [k , i ] = j · [a, b] ^ a; [a, b] ^ b
r r r r r r r r r r r
· [a, b] = a . b .sin ( a, b ) · a, b cùng phương Û [a, b] = 0
c) Ứng dụng của tích có hướng: r r r r r r
· Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng Û [a, b].c = 0
uuu uuu
r r
· Diện tích hình bình hành ABCD: SY ABCD = é AB, AD ù
ë û
1 uuu uuu
r r
· Diện tích tam giác ABC: SD ABC = é AB, AC ù
ë û
2
uuu uuu uuu
r r r
· Thể tích khối hộp ABCD.A¢ B¢ C¢D¢: VABCD . A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ]. AA '
1 uuu uuu uuu
r r r
· Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = [ AB, AC ]. AD
6
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc,
tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối
tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh
các vectơ cùng phương.
r r rr
a ^ brÛ a.b = 0
r r r r
a vaø b cuøng phöông Û [ a , b ] = 0
r r r r r r
a, b , c ñoàng phaúng Û [ a , b ] .c = 0
5. Phương trình mặt cầu:
· Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2
· Phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a2 + b 2 + c 2 - d > 0 là phương trình
mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2 + b2 + c2 - d .
Trang 25

27. PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây:
r r r r r r r r r r r r
a = -2i + j ; b = 7i - 8k ; c = -9k ; d = 3i - 4 j + 5k
r r r
Baøi 2. Viết dưới dạng xi + yj + zk mỗi vectơ sau đây:
r æ 1 ö r r æ4 1 ö r æ 1 1 ö
a = ç 0; ; 2 ÷ ; b = (4; -5; 0) ; c = ç ; 0; ÷; d = çp; ; ÷
è 2 ø è3 3ø è 3 5ø
r r r r
Baøi 3. Cho: a = ( 2; -5; 3) , b = ( 0; 2; -1) , c = (1; 7; 2 ) . Tìm toạ độ của các vectơ u với:
r r 1r r r r r r r r 2r
a) u = 4a - b + 3c b) u = a - 4b - 2c c) u = -4b + c
2 3
r r r r r 1r 4 r r r r 3 r 2r
d) u = 3a - b + 5c e) u = a - b - 2c f) u = a - b - c
2 3 4 3
r
Baøi 4. Tìm tọa độ của vectơ x , biết rằng:
r r r r r r r r
a) a + x = 0 với a = (1; -2;1) b) a + x = 4a với a = ( 0; -2;1)
r r r r r
c) a + 2 x = b với a = ( 5; 4; -1) , b = ( 2; -5; 3)
r
Baøi 5. Cho a = (1; -3; 4) .
r r
a) Tìm y và z để b = (2; y; z) cùng phương với a .
r r r r r
b) Tìm toạ độ của vectơ c , biết rằng a vaø c ngược hướng và c = 2 a .
r r r
Baøi 6. Cho ba vectơ a = (1; -1;1) , b = ( 4; 0; -1) , c = ( 3; 2; -1) . Tìm:
rr r r rr r r r r r r
a) ( a.b ) c b) a 2 ( b .c ) c) a 2 b + b 2 c + c 2 a
r rr r r r rr r r
d) 3a - 2 ( a.b ) b + c 2 b e) 4a.c + b 2 - 5c 2
r r
Baøi 7. Tính góc giữa hai vectơ a và b :
r r r r
a) a = ( 4; 3;1) , b = ( -1; 2; 3) b) a = ( 2; 5; 4 ) , b = ( 6; 0; -3)
r r r r
c) a = (2;1; -2), b = (0; - 2 ; 2 ) d) a = (3; 2; 2 3 ), b = ( 3; 2 3; -1)
r r r r
e) a = (-4; 2; 4), b = (2 2; -2 2; 0) f) a = (3; -2;1), b = (2;1; -1)
r
Baøi 8. Tìm vectơ u , biết rằng:
r r r r r r
ìa = (2; -1; 3), b = (1; -3; 2), c = (3; 2; -4)
r ìa = (2; 3; -1), b = (1; r 2; 3), c = (2; -1;1)
-
a) í r r r rr b) í r r r rr
îa.u = -5, u.b = -11, u.c = 20 îu ^ a , u ^ b, u .c = -6
r r r r r r
ìa = (2; 3;1), b = (r ; -2; -1), c = (-2; 4; 3)
1 ìa = (5; -3; 2), b = (1; 4; -3), c = (-3; 2; 4)
rr
c) í r r r rr d) í r r rr
îa.u = 3, b .u = 4, c .u = 2 îa.u = 16, b .u = 9, c .u = -4
r r r
ìa = (7; 2; 3), b = r4; 3; -5), c = (1;1; -1)
(
e) í r r r r r
îa.u = -5, b .u = -7, c ^u
r r
Baøi 9. Cho hai vectơ a , b . Tìm m để:
r r r r
ìa = (2;1; -2), b = (0; - 2 ; 2 ) ìa = (3; -2;1), b = (2;1; -1) r
a) í r r r r r r b) í r r r r r
îu = 2a + 3mb vaø v = ma - b vuoâng goùc îu = ma - 3b vaø v = 3a + 2mb vuoâng goùc
r r
ìa = (3; -2;1), b = (2;1; -1) r
c) í r r r r r
îu = ma - 3b vaø v = 3a + 2mb cuøng phöông
r r
Baøi 10. Cho hai vectơ a , b . Tính X, Y khi biết:
Trang 26