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Photo: NASA, J. Bell (Cornell U.) and M.                      Wolff (SSI)Photo: EUMETSAT/DLR                              ...
Zahlensysteme - Additionssysteme                  1, 2, 3, 4, 5                 1, 2, 3, 4, 5                 1, 2, 3, 4, ...
Additionssysteme – römische Zahlen I =1 V= 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M =1.000 V = 5.000 X = 10.000 C = 100.000 M = 1...
Additionssysteme – römische ZahlenMMMMMMMMMMCCCXXVM = ?                                     48
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Die π-zza-Salami-Methode                           53
π = 3,141592653589793...                                          Umfang = π * Durchmesser                                ...
Pizzeria Italia   chiuso                  55
π mit der Stäbchen-Methode                             56
Wir brauchen:Zwei Essstäbchen der Länge a.Eine Fläche mit parallelen Linien mit Abstand b.                                ...
Wahrscheinlichkeit(Linie wird geschnitten) =Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unsererVersuchsanordnung malen wir ...
Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unsererVersuchsanordnung malen wir parallele Striche mit Abstand 280 mm        ...
π mit der Stäbchen-Methode – Der Film                                        60
Wenn genau die Hälfte der Stäbchen die Linie berührt                                          220 mm                      ...
Wenn alle Stäbchen die Linie berühren                                        220 mm                       2               ...
Wenn kein Stäbchen die Linie berührt                                       220 mm                     2             0     ...
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Mit Pi-zza durchs All - Mathematik nicht nur für Außerirdische

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Der Vortrag "Mit Pi-zza durchs All: Mathematik nicht nur für Außerirdische" war der Plenarvortrag zum Jahr der Mathematik am Schülertag der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung am 18. September 2008 in Erlangen.

Der Vortrag zeigt auf vergnügliche und unterhaltsame Weise, dass die Mathematik durchaus universell ist. Mit Hilfe von Äpfeln wird bewiesen, dass die Mathematik als "lingua cosmica" zur interstellaren Kommunikation geeignet ist und auch auf Aldebaran oder Proxima Centauri die gleiche Mathematik "gesprochen" wird. Der Ausflug in das Universum der Zahlen endet mit zwei ungewöhnlichen Verfahren zur Bestimmung der Kreiszahl Pi: der Pi-zza-Methode und der chinesischen Stäbchen-Methode.

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Mit Pi-zza durchs All - Mathematik nicht nur für Außerirdische

  1. 1. π π π π πMit Pi-zza durchs All:Mathematik nicht nur für AußerirdischeVortrag zum Jahr der MathematikJahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung18. September 2008Thomas FerberForschung und LehreSun Microsystems GmbH 1
  2. 2. Stand 13. September 2008: Wir kennen 309 Planeten außerhalb unseres Sonnensystems. Introduction Photo: ESO 2008Photo: ESO 18a-06 Photo: ESO 2007 Photo: ESA/ NASA/ UCL (G. Tinetti), Extrasolar planet HD 189733b 2
  3. 3. Es gibt Planeten außerhalb unseres Sonnensystems.Es gibt erdähnliche Planeten außerhalb unseres Sonnensystems!Gibt es auch außerirdisches Leben?Und dann auch noch intelligentes Leben? Photo: ESO 18a-06 3
  4. 4. Unsere GalaxieDie Milchstraße 100 -300 Milliarden Sterne 100.000 Lichtjahre Durchmesser 3.000 -13.000 Lichtjahre dick Photo: ESO phot-41-99 Es gibt ca. 100 Milliarden Galaxien im Universum Photo: NASA 4
  5. 5. Anzahl der technischen, intelligentenZivilisationen in unserer GalaxieDrake-Gleichung N = R · fS · fp · ne · fl · fi · fc · L Photo: ESO phot-41-99 5
  6. 6. Anzahl der technischen, intelligentenZivilisationen in unserer Galaxie Drake-Gleichung N = R · fS · fp · ne · fl · fi · fc · LR = Sternentstehungsrate pro Jahr in unserer Galaxie ≈ 10 ... 20fS = Anteil sonnenähnlicher Sterne ≈ 10% Photo: ESO phot-41-99Fp = Anteil Sterne mit Planeten = 0% ... 100%... 6
  7. 7. Anzahl der technischen, intelligentenZivilisationen in unserer Galaxie Drake-Gleichung N = R x fS x fp x ne x fl x fi x fc x LDies ist eine Abschätzung und ergibt je nacheingesetzten Werten Ergebnisse zwischen 1und 4.000.000Zivilisationen in unserer Galaxie. Photo: ESO phot-41-99 7
  8. 8. Fermi ParadoxEnrico Fermi: “Where is everybody?” 8
  9. 9. Nehmen wir doch einfach einmal an ...es gäbe außerirdisches Leben,es gäbe intelligentes außerirdisches Leben.Doch wie wollen wir miteinander kommunizieren?Auf Deutsch, Englisch, Latein, .... Chinesisch, .... 9
  10. 10. Und wie ist es mit der Mathematik ...Betreiben unsere hypothetischen intelligentenAußerirdischen überhaupt die gleiche Mathematik wie wir?Am Beispiel der Zahlen möchte ich zeigen, das dieMathematik universell ist und auch in einem anderen Teilder Galaxis “gesprochen” wird.Photo: ESO phot-37d-98 10
  11. 11. Sind die Zahlen universell? 11
  12. 12. Natürliche ZahlenWir betrachten die AnZAHLEN beliebiger Objekte.Z.B Äpfel ... 12
  13. 13. Natürliche Zahlen N ={ , , , . . .}Damit haben wir die Menge der natürlichen Zahlen gefunden. Und es ist völlig gleich, ob wir als ObjekteÄpfel, Eier, pangalaktische Donnergurgler oder Sandkörner auf Gliese 581c oder Aldebaran nehmen. N = { 1, 2, 3, 4, . . . } 13
  14. 14. Rechnen mit natürlichen Zahlen + = + = ... + = 14
  15. 15. Multiplikation 15
  16. 16. Quadratzahlen 16
  17. 17. Rechnen mit natürlichen Zahlen Die Addition alleine reicht aber nicht aus, wir benötigen auch die Subtraktion, d.h. wir geben etwas her, wir ziehen etwas ab. - = - = 17
  18. 18. Rechnen mit natürlichen Zahlen - = ?Jetzt haben wir ein Problem. Die Menge der natürlichen Zahlen reicht nicht aus. 18
  19. 19. Die Null Wir führen ein neues Zahlenelement ein, die Null, und erweitern die Menge der natürlichen Zahlen um die Zahl Null. N0 = N + { 0 } - =0 19
  20. 20. Von den natürlichen zu den ganzen ZahlenDoch was ist mit Subtraktionsaufgaben des folgenden Typs, bei dem wir mehr abziehen als wirhaben? - =?Wir führen weitere neue Zahlenelemente ein, die negativen Zahlen, und erweiterndie Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Zahl Null mit den negativen Zahlenund nennen diese neue Menge die Menge der ganzen Zahlen.Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . } 20
  21. 21. Die ganzen ZahlenZ = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . } Mit den ganzen Zahlen können wir nun nach Herzenslust rechnen. Ob Addition oder Subtraktion, jede Zahlenkombination ist möglich. Eine beliebige ganze Zahl mit einer beliebigen ganzen Zahl addiert oder subtrahiert ergibt wieder eine ganze Zahl. Damit könnten wir jetzt aufhören, wenn nicht .... 21
  22. 22. Die rationalen Zahlen : = 22
  23. 23. Die rationalen Zahlen ¼ ¾ ½ Q = { m/n | m, n ε Z, n≠0 } 23
  24. 24. Von den natürlichen zu den rationalenZahlen 1/2 5/3 17/4 N Z N0 Q 1, 2, 3, 4, ... -3/2 0 -1, -2, -3, ... m/n 24
  25. 25. PrimzahlenEine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zweinatürlichen Zahlen als Teiler,nämlich der Zahl 1 und sich selbst. 25
  26. 26. Das “Wurzel von zwei”-Problem √2 1 √2 = p/q? 1 26
  27. 27. Die irrationalen Zahlen√2 = 1,41... Irrational, weil nicht rational darstellbar. D. h. nicht als Bruch darstellbar. π = 3,141592653589793... 27
  28. 28. Indirekter BeweisAnnahme des Gegenteils: p √2 = q p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen 28
  29. 29. Indirekter BeweisAnnahme des Gegenteils: p √2 = q p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen p2 2q = p2 2= q2 2 29
  30. 30. Indirekter BeweisAnnahme des Gegenteils: p √2 = q p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen p2 2q= p2 2= q2 2 p2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl 30
  31. 31. Indirekter BeweisAnnahme des Gegenteils: p √2 = q p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen p2 2q= p2 2= q2 2 p2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl p = 2a (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl) 31
  32. 32. Indirekter BeweisAnnahme des Gegenteils: p √2 = q p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen p2 2q= p2 2= q2 2 p2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl p = 2a (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl) 2q2 = (2a)2 q2 = 2a2 32
  33. 33. Indirekter Beweis q2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl 33
  34. 34. Indirekter Beweis q2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahlq = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl) 34
  35. 35. Indirekter Beweis q2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahlq = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)Damit sind sowohl p als auch q gerade Zahlen und damitdurch zwei teilbar. Dies steht im Widerspruch zurAnnahme der Teilerfremdheit. 35
  36. 36. Indirekter Beweis q2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahlq = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)Damit sind sowohl p als auch q gerade Zahlen und damitdurch zwei teilbar. Dies steht im Widerspruch zurAnnahme der Teilerfremdheit. √2 ist nicht als rationale Zahl darstellbar 36
  37. 37. Die reellen ZahlenDas heißt, dass wir die Menge der Brüche (rationalen Zahlen) Q um alleirrationalen Zahlen (nicht als Brüche darstellbar) erweitern müssen.Wir gelangen zur Menge der reellen Zahlen R = Q + { irrationale Zahlen } 37
  38. 38. Die Zahlen sind universell. Die Mathematik ist universell. Photo: ESO phot-37d-98Foto: ESO eso9846a 38
  39. 39. Und was bringt uns das?Foto: ESO eso9846a 39
  40. 40. Und was bringt uns das?LINCOS: Design of a Language for Cosmic Intercourse Hans Freudenthal Wikimedia Commons: Hans_Freudenthal.jpg, Urheber: Konrad Jacobs, Erlangen; Quelle: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 40
  41. 41. LINCOS: Design of a Language for Cosmic Intercourse Lincos Bedeutung XOX 1=1 XX O XX 2=2 XXX O XXX 3=3 X OO XX 1<2 X OO XXX 1<3 XX OO XXX 2<3 XX OOO X 2>1 XXX OOO XX 3>2 41
  42. 42. Bilder sagen mehr als tausend Worte 11110000011100011111110........11011110001 14.111 Bits 14.111 = 137 x 103 137 103 1 13 0 7 3 42
  43. 43. Versuch 1 Versuch 2 Versuch 3 43
  44. 44. 7.109.411 = 3.079 x 2.309 44
  45. 45. Photo: NASA, J. Bell (Cornell U.) and M. Wolff (SSI)Photo: EUMETSAT/DLR 45
  46. 46. Zahlensysteme - Additionssysteme 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5 1, 10, 100, 1.000, ... 46
  47. 47. Additionssysteme – römische Zahlen I =1 V= 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M =1.000 V = 5.000 X = 10.000 C = 100.000 M = 1. 000 000. M = 1. 000. 000. 000 ... .. 47
  48. 48. Additionssysteme – römische ZahlenMMMMMMMMMMCCCXXVM = ? 48
  49. 49. Sol systemi pusilliAdditionssysteme – römische ZahlenMMMMMMMMMMCCCXXVM =10 x 1.000.000 = 10.000.000+ 3 x 100.000 = 300.000+ 2 x 10.000 = 20.000+1x 5.000 = 5.000+1x 1.000 = 1.000 10.326.000 49
  50. 50. Zahlensysteme - StellenwertsystemDezimalsystem Wikimedia Commons, Arabic_numerals-de.svg 853 = 8·100 + 5·10 + 3·1 50
  51. 51. Zahlensysteme - StellenwertsystemDualsystem: Basis = 2Ternärsystem: Basis = 3Quinärsystem: Basis = 5Hexalsystem: Basis = 6Oktalsystem: Basis = 8Dezimalsystem: Basis = 10Duodezimalsystem: Basis = 12Hexadezimalsystem: Basis = 16Sexagesimalsystem: Basis = 60 51
  52. 52. π-zza π-kant 52
  53. 53. Die π-zza-Salami-Methode 53
  54. 54. π = 3,141592653589793... Umfang = π * Durchmesser π= Umfang Durchmesser 22 Salamischeiben = 3,1428..... 7 SalamischeibenMan nehme eine Pizza und eine Salami von geeigneter Größe (7 x Durchmesser der Salami =Durchmesser der Pizza). Von der Salami schneidet man 29 Stücke ab. Das Verhältnis Umfangzu Durchmesser ergibt mit der π-zza-Salami-Methode schon ein sehr gutes Ergebnis. Diebeiden ersten Nachkommastellen sind richtig. 54
  55. 55. Pizzeria Italia chiuso 55
  56. 56. π mit der Stäbchen-Methode 56
  57. 57. Wir brauchen:Zwei Essstäbchen der Länge a.Eine Fläche mit parallelen Linien mit Abstand b. 57
  58. 58. Wahrscheinlichkeit(Linie wird geschnitten) =Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unsererVersuchsanordnung malen wir parallele Striche mit Abstand 280 mm 280mm 58
  59. 59. Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unsererVersuchsanordnung malen wir parallele Striche mit Abstand 280 mm 280mm 59
  60. 60. π mit der Stäbchen-Methode – Der Film 60
  61. 61. Wenn genau die Hälfte der Stäbchen die Linie berührt 220 mm 2 1 280 mm = 2 x 2 x 220/280 = 4 x 0,7857... = 3,14.. 61
  62. 62. Wenn alle Stäbchen die Linie berühren 220 mm 2 2 280 mm = 2 x 1 x 220/280 = 2 x 0,7857... = 1,57.. 62
  63. 63. Wenn kein Stäbchen die Linie berührt 220 mm 2 0 280 mm 63
  64. 64. 64

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