cKȼ, un modèle de connaissance : spécificité et utilisations

cK¢
origine, cadrage théorique, utilisations et questions
Nicolas Balacheff
CNRS – Laboratoire d’informatique de Grenoble
@imag.fr
1

Une problématique de modélisation
« modéliser c’est-à-dire trouver une
représentation, […] une interprétation des mesures
qui permet d’envisager des prédictions […] Les
modélisations sont partiellement formalisées. Elles
doivent être comprises et sont donc constituées de
langage ordinaire et de symboles chargés de sens. »
Nicolas Bouleau in « Enquête sur le concept de modèle » (PUF 2002)
Notre problématique : l’ingénierie didactique ...
« en dernier ressort, c’est l’action du sujet en
situation qui constitue la source et le critère de la
conceptualisation » (Vergnaud 1991 p.166)
2

un concept didactique en acte
Conception
Nicolas Balacheff, PME-NA 2013, November the 14th 3

Conception
Le terme «conception» répond à deux
nécessités (Artigue 1991) :
« mettre en évidence la pluralité des points de vue
possibles sur un même objet mathématique,
différencier les représentations et modes de
traitement qui lui sont associés, mettre en
évidence leur adaptation plus ou moins bonne à la
résolution de problèmes. »
« aider le didacticien à […] différencier le savoir
que l’enseignement veut transmettre et les
connaissances effectivement construites par
l’élève »
4

Conception
 Analogue sujet, à un moment donné, du concept
(Vergnaud 1982)
 Connaissances locales, opérantes sur des sous-
clans du champ conceptuel, et pour certaines
valeurs des variables des situations concernées,
c’est ce savoir local que nous appelons
conception (Duroux 1982)
 Les connaissances locales sont des connaissances
limitées. Au titre de connaissances elles sont
valides, cohérentes et efficaces […]
(Léonard et Sackur 1991)
5

cadre théorique : la TSD
cK¢
6

cK¢, cadre théorique : la TSD
Des postulats :
 La connaissance est le produit de l’adaptation
à une situation.
 chaque savoir peut être caractérisé par une
situation adidactique qui en préserve la
signification.
 L’enseignant est engagé dans un jeu déterminé
par un système d’interactions qui implique
l’élève et l’environnement social et matériel
dans la classe, cette situation est la situation
didactique.
7

Au cœur de la TSD : le concept de situation
8
dévolution institutionalisation
situation adidactique
situation didactique
situation d’enseignement effective
situation fondamentale
restriction
déformation
analyse des savoirs

Situation d'enseignement
 jeu spécifique du savoir
visé, entre différents sous-
systèmes :
le système didactique
le système élève
le milieu
…
 caractérisation des systèmes, des
conditions de leur évolution et du
contrôle de cette évolution
 Décrire ces sous-systèmes par le
seul recours aux relations qu'ils
entretiennent

Problème
Action
Représentation
Contrôle
Situation d'enseignement
 jeu spécifique du savoir
visé, entre différents sous-
systèmes :
le système didactique
le système élève
le milieu
…
 caractérisation des systèmes, des
conditions de leur évolution et du
contrôle de cette évolution
 Décrire ces sous-systèmes par le
seul recours aux relations qu'ils
entretiennent.

Provoquer les adaptations
 les problèmes
 la réponse de l'élève
doit être motivée par les
nécessités de ses
relations avec le milieu.
Le milieu est le système
antagoniste du système
enseigné
Les relations entre l’élève
et le milieu appartiennent
à trois catégories
Action
Formulation
Validation
11
le milieu peut être matériel,
« virtuel », social ou
symbolique
il est le plus souvent une
hybridation de ces modalités

Le sujet et le milieu se définissent mutuellement et
dialectiquement dans le jeu de leurs actions et rétroactions
La connaissance est « attribuée » à l’élève
dans le cadre de l’interaction
relativement aux caractéristiques de la situation
 propriété de l’interaction entre l’élève et le milieu
La construction d’une situation repose sur
un raisonnement sur les comportements de l’élève (analyse a priori)
 hypothèse d’adéquation du milieu
 caractérisation de l’interaction entre le milieu et l’élève
L’évaluation d’une situation (apprentissage résultant) repose sur
l’observation des actions et des productions
de l’élève actant et du milieu réactant
12

construction du modèle
cK¢
13

cK¢ construction du modèle
Conception
 propriété du système S/M
 état d'équilibre de la boucle action/rétroaction
S /M sous des contraintes proscriptives de viabilité
14
S M
rétroaction
contraintes
action
Pour mémoire : organiser les
relations entre les notions de
- Concept
- Savoir
- Connaissance
- Conception

cK¢ construction du modèle
Point de départ : Vergnaud (1991 p.145)
- situations qui donnent du sens au concept
(la référence)
- invariants sur lesquels repose
l’opérationnalité des schèmes (le signifié)
- formes langagière et non langagières qui
permettent de représenter symboliquement
le concept, ses propriétés, les situations et
les procédures de traitement (le signifiant)
Pour un concept donné, la connaissance
d’un sujet peut s’actualiser en des
conceptions distinctes, selon les
caractéristiques des situations
Les éléments de caractérisation sont…
Les problèmes liés à des situations
Les systèmes de représentation
Les moyens de traitement
actions
décisions
15
S M
rétroaction
contraintes
action

C = (P, R, L, ∑)
P ensemble de problèmes
décrit le domaine de validité de la
conception, sa sphère de pratique.
Problèmes comme perturbation du
système.
R ensemble d’opérateurs
ils permettent la transformation des
problèmes (résolution)
ils sont attestés par des productions
et des comportements
L système de représentation
représentation langagière ou non
registre sémiotique au sens de Duval
Σ structure de contrôle
détermine la validité des actions et
leur adéquation, l’évaluation de l’état
d’une résolution, assure la non
contradiction, fonde les décisions
16
S M
rétroaction
contraintes
action

C = (P, R, L, ∑)
Problèmes
perturbation du système S/M
- capacité de S à identifier la
perturbation,
- capacité de M à attester de la
perturbation
Nécessité de la situation comme
source de la perturbation et
justification de l’intérêt qui lui est
porté (dévolution)
Difficulté
Caractériser l’ensemble des
problèmes définitoires : sphère
de pratique
17
S M
rétroaction
contraintes
action

C = (P, R, L, ∑)
Représentation
(i) des traces identifiables
(ii) règles de transformation pour
produire d'autres représentations
(iii) règles de conversion vers un
autre système de représentation
(iv) règles de conformité pour la
constitution des unités de niveau
supérieur.
18
signifié
signifiant
signification référence
représentation
objet
S M
rétroaction
contraintes
action
(Duval)

C = (P, R, L, ∑)
Contrôles
 juger
 la validité et
 adéquation des actions
 évaluer une résolution
 assurer la non contradiction
 fonder les décisions
méta-connaissances
(Rogalski, Robert et al.)
Deux difficultés
 ils sont le plus souvent implicites
 la distinction entre contrôle et
opérateur n’est pas absolue mais
relative à une conception
19
S M
rétroaction
contraintes
action
(a+b)² = a²+2ab+b²
 opérateur de réécriture
 identité remarquable

Une illustration en arithmétique
cK¢ pour modéliser les conceptions
20

Addition, from fingers to keystrokes
C1: Verbal counting IIIII & III
P – Quantify union of two sets, objects are
physically present, both cardinals are small.
R – match fingers or objects and number
names, pointing objects
L – body language, counting
Σ – not counting twice the same, counting
all, order of the number names
C3: written addition 381+97
P – adding two integers
R – algorithm of column addition
L – decimal representation of
numbers
Σ – check the implementation of the
algorithm, check the layout of
number addition
C 2: Counting on 15+8
P – The numbers are given, but the
collections are not present, one of the
numbers must be small enough
R – choose the greater number, count-on to
determine the result.
L – body language, number naming, verbal
counting.
Σ – order of the number names , match
fingers to number names
C4: Pocket calculator
P – adding two integers
R – keystroke to represent a number, to
process number addition
L – body language (keystrokes), decimal
representation of numbers on the screen
Σ – keystrokes verification, order of
magnitude.

Addition, from fingers to keystrokes
operators  actions at the interface of the
learner/milieu system;
representation system  semiotic means to
represent problems, support interaction and
represent operators
set of problems  problems for which the
conception provides efficient means
control structure  making choices, assessing
action and feedback, taking decisions, judging the
advancement of the problem or task

La somme des angles…
Calcul de situations didactiques
23

Le calcul de situations didactiques
Déterminer un objet
d’enseignement en termes de
conception cible
C = (P, R, L, ∑)
C = (P, R, L, ∑)

conception cible
C = (P, R, L, ∑)
C = (P, R, L, ∑)
action
rétroaction
contraintes
S M
Quel milieu
Quelles
contraintes
Quelles
conceptions

conception cible
C = (P, R, L, ∑)
C = (P, R, L, ∑)
action
rétroaction
contraintes
S M
Quel milieu
Quelles
contraintes
Quelles
conceptions
Action
Décision
Représentation
Rétroaction
Interface
Perturbation
Dévolution

C = (P, R, L, ∑)
C = (P, R, L, ∑)
Quel est le périmètre d'un triangle ?
Quelle est la somme des angles d'un rectangle ?
Quelle est la somme des angles d'un triangle ?
Langage de la familiarité (les
formes et les dessins) et une
pratique
Obtenir une évolution des contrôles

1. Tracer un triangle, mesurer
les angles et calculer la
somme des résultats
obtenus… tous les
résultats sont acceptés
2. Un même triangle pour
tous les élèves… un pari,
des résultats…
3. Trois triangles, très
différents de forme… les
élèves sont par groupes de
quatre… un pari, des
résultats...
4. Enoncé d'une conjecture,
preuve et argumentation
P - activité familière de mesure
R - manipulation des instruments,
arithmétique élémentaire
L - spatio-graphique,
représentation numériques, gestes
∑ - règles de l’art, ordres de
grandeur, contrôles perceptivo-
gestuel
Dessin
figure
Invariant
Propriété géométrique

Thèse de Salima Tahri (1993)
La conception d’un tuteur hybride
29

Conception d’un tuteur hybride
Thèse de Salima Tahri, première utilisation de cKc (1993)
Un contexte
- étude des décisions
didactiques
- conception d’EIAH
Deux verrous
 diagnostic des
conceptions
 choix d'une situation et
du feedback approprié.
Deux niveaux de modélisation
 comportemental
 épistémique
30
EIAO : enseignement intelligemment assisté par
ordinateur. Aujourd’hui EIAH : environnement
informatique et apprentissage humain

construire le symétrique
d’un segment
(source Grenier)
dans le contexte de la
géométrie dynamique
31
un binôme d’élèves
un binôme tuteur (formateur, élève-maître
distance physique et
un guide diagnostic/feedback

32
un binôme d’élèves
un binôme tuteur (formateur, élève-maître
distance physique et
un guide diagnostic/feedback

30 figures réalisables (sur 81)
Répertoire de conception (Grenier)
exemple
« Le rappel vertical: les élèves
tracent les images du segment sur
une direction verticale au lieu de
faire un report orthogonal à l'axe
(voir Fig.3, 14). Dans le cas où l'axe
est horizontal, elle se confond alors
avec un report orthogonal à l'axe. »
33
Axe Segment Angle Intersection
H Horizontal 0° oui
(quelconque
ou extrémité)
V Vertical 90° inclusion
O Oblique α non

Thèse de Salima Tahri, première utilisation de cK¢ (1993)
Morad : Vas dans création ... point de base
Antony : Eh oui, si jamais tu mets, euh .. .il faut que ça soit
symétrique ... Parce que si tu replies, ça se met
parfaitement (soupirs)
Morad : On fait un losange. ( ... ) Ben c'est ça.
Antony : Il faudrait faire un point qui soit pareil là ... je vais
faire un point qui soit parallèle à cette droite pour
ensuite mettre le cercle, mettre le point, juste par là
34

35

« La prise en compte de l'intention du binôme dans le
diagnostic d'une action a été l'aspect le moins évident
pour les tuteurs humains […] la question de l'intention
soulève celle des implicites » (p.216)
Philippe: mais non c'est faux là, parce qu'il est pas
perpendiculaire à l'axe.
Nathalie: la droite, elle est pas perpendiculaire ?
Philippe: j'étais persuadé qu'elle était
perpendiculaire! Non, voilà! non, c'est pas une
droite ...
Nathalie: bon, l'extrémité 2, la droite elle est pas
perpendiculaire à l'axe, elle est perceptivement
orthogonale à l'axe et le premier elle est comment?
Philippe : elle est perpendiculaire.
Nathalie: et c'est dommage parce qu'on va dire que
c'est faux et c’est presque juste
36

Projet Baghera (début des années 2000)
cK¢ à l’épreuve de l’IA
37

Baghera : cK¢ à l’épreuve de l’IA
- élèves
- enseignants
- agents artificiels
un environnement de
géométrie dynamique
et d’expression du
raisonnement
38

39

40
1. N est le milieu de [AC].
2. O est sur la même droite que N mais de l’autre coté de la ligne (d).
3. M est sur (d).
4. Donc, M est son propre symétrique par rapport à (d).
5. O est l’opposé de N, son symétrique.
6. Donc, [MN] est le symétrique de [MO].
le symétrique
de [NM] par
rapport à (d)
est [MO].

41
le symétrique
de [NM] par
rapport à (d)
est [MO].
R
∑

Les leçons de l’utilisation de HOARD-
ATINF (Caferra et al.)
- Le operateurs ne suffisent pas à
déterminer une conception.
- Les contrôles sont discriminants

A
B A´
B´
D
A
B
A´
B´
D
Conception « parallélisme » Conception « symétrie
orthogonale »
correctincorrect
A
B
A´
B´
D
Quelle conception ?

Agent Problème
reconnait la catégorie du problème
exemple : (a: vertical; s: vertical/oblique; intersection: vide; angle: qcq)
Agent Opérateur
identifie les opérateurs dans la résolution observée
exemple : transitivite_parallelisme, sym_ax_para
Agent Contrôle
identifie les contrôles explicités ou probables
(appartenant au répertoire d’une conception)
exemple : orthogonalité par rapport à l’axe

p1 r2
C2 C3 C4
∑RP L∑RP L∑RP L
s3r2
P R L ∑
p2 p3 r1 r3 l1 l2 l3 s1 s2p1
C1
s3
Thèse Carine Weber, dir. Sylvie Pesty, NB, 2003
Les composants élémentaires ne sont pas spécifiques d’une conception, la reconnaissance de
celle-ci a donc en générale un solution non déterministe. Principe : constituer des coalitions
favorables à telle ou telle conception hypothétique (approche supervisée)

AB//d, A’B’//d (symétrie)
donc AB//A’B’ car quand deux droites sont parallèles à une troisième droite,elles sont parallèles.
AM d; BN d (symétrie axiale)
donc AA’ et BB’ sont perpendiculaires à d
donc AA’ et BB’ sont parallèles car si deux droites sont perpendiculaires à une droite, elles sont
parallèles.
Donc AA’BB’ est un parallélogramme.
(ABB’A’) est un rectangle
car AB parallèle à A’B’, puisque A’B’ est la symétrie de AB donc AB//A’B’, puis ils sont
isométriques.
d
A
B
A'
B'
M
N
Soit le segment [AB] parallèle à la droite d. Soit [A'B'] le
symétrique de [AB] par rapport à d. Le segment AB ne touche
pas la droite d.
Quelle est la nature du quadrilatère ABB'A' ?
Transitivité du
parallélisme
Perpendiculaire
Parallélisme
Orthogonalité
axe : vertical;
segment: vertical;
intersection: vide;
angle: 0°.
Baghera : cK¢ à l’épreuve

État initial t0
Agent Tuteur
Agents problèmes,
opérateurs et contrôle.
Preuve de l’élève Problème conceptions
ParallélismeS.CentraleS.Oblique S.Orthogonale

État t1
Agent inactifAgent actif
Transitivité_parallélisme
Parallélisme

C2 C3 C4C1
11 votes 7 votes4 votes1 vote
Configuration stable
Agent Tuteur
État tn

Analyse indépendante
 28 copies
 trois équipes de pays différents
 liberté sur la méthode
Niveau d’accord
 19 accord sur le diagnostic
 5 accord sur son incertitude
avec Baghera
 17 accords total parmi les 19 sur
lesquels les humains s’accordaient.
50

Thèse Vilma Mesa, 1996, Michigan
cK¢, guide d’analyse des manuels

1. Quelles conceptions de
la notion de fonction
suggèrent les manuels ?
2. Qu’en est-il selon les
différents pays ?
3. Quels impacts sur les
apprentissages ?
Etude TIMSS par Vilma Mesa, Michigan

Quel usage de la notion de fonction dans les problèmes ?
critère de construction de P
De quoi l’élève a-t’il besoin pour résoudre les problèmes ?
détermination de R
Quelles représentations sont nécessaires ?
détermination de L
Comment l’élève sait que sa réponse est correcte ?
détermination de Σ
En relation avec les catégories prototypiques de Biehler.

 Formalisation de la procédure de codage,
méthode des juges
 Corpus d’ouvrages de 48 pays
 2304 énoncés
 P - 10 catégories
 R - 39 items
 L - 9 items (graphique, numérique, verbal,
 Σ - 9 items
Conception : Formule, paire ordonnée, données sociales (contrôle
par le contexte), phénomène physique (contrôle modélisation),
image contrôle (représentation multiples)

Analyse de fréquence des quadruplets pour
dégager les « types » et « antitypes »
Types dominants
 Symbolic rule 20 %
 Ordered pair 14 %
 Social data 7 %
 Physical phenomena 4 %
 Controlling image 3 %
“ the TIMSS items, as a set, do not share the same characteristics
as those depicted by the tasks in the textbooks”

Retour sur les origines
cK¢ et le lien preuve connaissance
56

A partir d'un segment AB, on construit
un cercle ayant AB comme diamètre.
Partager AB en deux parties égales,
AC et CB. On construit deux cercles
ayant pour diamètres respectivement
AC et CB. On continue à découper les
segments résultant en deux moitiés,
et on construit sur ces parties les
cercles ayant pour
diamètres ces segments.
Comment varie la longueur totale
des périmètres ?
Comment varie l'aire totale des
cercles ?
cK¢, retour sur les origines…
A B
C

Ludovic : oui, par contre l'aire…
l'aire c'est πr2 au carré
[…]
Vincent : Oui, π(r/2)2 plus
π(r/2)2 est égal à
Ludovic : est égal à … πr2/2 […]
et donc c'est toujours la
moitié de la précédente
Vincent : l'aire est à chaque fois
divisée par deux…et à la
limite? A la limite c'est une
droite, confondue avec le
segment de départ …
[…]
Ludovic : oui c'est vrai que si on
continue…
Vincent : elle tend à zéro
Vincent : oui mais alors le
périmètre ?
Ludovic: non, le périmètre est
toujours le même
Vincent : au pire le périmètre il
tombe jusqu'à deux fois le
segment
[…]
Vincent : oui mais quand l'aire
tend à zéro ça sera presque
égale…
Ludovic: non, je pense non
Vincent : si on fait tendre à zéro
l'aire on fait tendre le
périmètre aussi… je ne sais
pas…
Ludovic: Je finis la première
démonstration

Cadre algébrique
aire/périmetre
formuleLudovic
Conception algébrique
Vincent
conception
arithmétique
symbolique

Étudier la complexité de la
relation entre preuve et
argumentation impliquant
les connaissances
(conceptions) engagées dans
la résolution du problème
Avec Bettina Pedemonte (article soumis)

61

62

et la TAD dans tout ça ?
à coup sûr vous alliez me le demander
63

et la TAD dans tout ça…
dans le cadre de la TAD,
modéliser les connaissances de
l’apprenant
Croset et Chaachoua
praxéologie personnelle
organisation praxéologique de
l'activité d'un sujet institutionnel
caractérisée par…
Un type de tâches personnel --
ensemble des tâches que le sujet
perçoit comme similaires,
provoquant chez lui l'application
d'une technique.
Une technique personnelle --
permet de résoudre un seul type de
tâches personnel.
Une technologie personnelle,
explicite ou non, gouverne et
légitime l'utilisation de praxis
personnelles
Une théorie personnelle qui justifie
la technologie personnelle.
64
P
R
L
Σ
?
?
?

ce dont je n’ai pas parlé…
Conclusion

ce dont je n’ai pas parlé…
du développement du modèle :
 les rapports entre conception, connaissance et
concept (c.f. cours école d’été 2003)
 la contre-transposition (thèse Keskessa)
 la relation duale conception et problème
 de la modélisation de l’apprentissage comme
parcours dans un espace conception/problème
 de la modélisation des décisions didactiques
 de l’ambition d’une encyclopédie des
conceptions comme préalable…
66

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