Allumettes

2. Contexte :
Cycle d’orientation de Cayla
Classe de 10ème LC; 18 élèves présents (1 absent)
Classe assez faible, participative mais plutôt agitée
Habitude de travail individuelle ou par binôme
Activité proposée avant l’introduction du chapitre « calcul littéral »
Deuxième démarche d’investigation de l’année
Motivations :
• Réfléchir à la diversité des programmes de calcul pour la résolution d’un
problème
• Travailler la généralisation d’un résultat
• Introduire la lettre
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3. Énoncé original : Les allumettes
http://pegame.ens-lyon.fr
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4. Énoncé final :
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5. Objectifs d’apprentissage :
Objectifs généraux :
• modéliser une situation ;
• reconnaitre les caractéristiques mathématiques d'une situation et la traduire
en écritures numériques ou littérales ;
• mobiliser l'algèbre comme outil de généralisation ;
• travailler en groupe pour mettre en oeuvre une stratégie de résolution d’un
problème ;
• communiquer une démarche et un résultat en utilisant un vocabulaire, une
syntaxe ainsi que des symboles adéquats.
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6. Objectifs d’apprentissage :
Objectifs spécifiques à la leçon:
à la fin du cours, les élèves doivent :
· savoir qu’il peut y avoir plusieurs programmes de calcul équivalents pour
résoudre un problème;
· savoir qu’un nombre limité d’exemples ne suffit pas à donner une réponse
générale;
· être capables de représenter à l’aide d’une formule une situation donnée;
· être capables d’utiliser une lettre pour désigner un nombre quelconque.
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7. Mise en ouvre :
· Durée prévue: 2 x 45 min; durée effective: 3 x 45 min
· 5 groupes de 3-4 élèves; dans la planification de l’activité formés par
l’enseignante, dans la pratique casuels
· porte-parole désigné à la fin, avant la phase de présentation du travail de
groupe
· fiches pour la recherche individuelle préparées sur les pupitres avant
l’entrée en classe
· pupitres séparés pendant la phase de recherche individuelle
· phases de travail avec durée et consignes affichées au tableau pendant
l’activité
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8. 8

9. 9

10. Recherche individuelle:
· Presque tous les élèves n’ont pas de difficulté à rentrer dans le problème
· Plusieurs élèves utilisent la proportionnalité après avoir compté le nombre
d’allumettes nécessaires pour une et deux cabines
· Pas d’élèves qui vérifient leur réponse en comptant pour 8 cabines
· Certaines élèves donnent une réponse sans expliquer la démarche suivie
· Peu d’élèves répondent à la deuxième question dans la phase individuelle
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Proportionnalité
Corrigé après
relance
(Trouves-tu une
autre manière de
vérifier tes
résultats?)
Corrigé pendant la phase de présentation
Corrigé pendant le travail
de groupe

12. 12
Encore proportionnel mais…
… pas proportionnel et
faux
correct mais calcul faux en
dernier
un nombre limité d’exemples
suffit pour donner la réponse

13. 13 pas de justification
formalisme qui se
prête à l’écriture
d’une formule
calcul non formalisé
Justification assez
claire et complète

14. Productions de groupe et présentation:
· Dans les productions de groupe la démarche du « bon élève » du groupe
a souvent primé
· Peu de discussions sur la deuxième question, relances nécessaires
· Par hasard, un groupe a été formé de 4 élèves qui avaient utilisé la
proportionnalité
· 4 groupes sur 5 ont trouvé le bon nombre d’allumettes pour 264 cabines
avec 3 méthodes différents
· Un seul groupe des 4 n’a pas réussi à expliquer de manière générale
pourquoi le nombre d’allumette nécessaire est toujours impair
· Le porte-parole du dernier groupe ne présente pas le travail écrit sur le
transparent mais sa propre méthode (nouvelle par rapport à celles déjà
présentées)
· Une synthèse des propositions a été préparée par l’enseignante au
tableau blanc pendant la phase de présentation
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15. 15

16. 16

17. 17

18. 18 proportionnalité
5 + 4 x 263 = 1057
1 + 4 x 264 = 1057
5 x 264 – 263 = 1057
Le porte-parole présente
un calcul diffèrent:
5 x 264 – 263 = 1057

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Synthèse et institutionnalisation :
· Faite sur la troisième période de 45 minute
· L’enseignante reprend les propositions des élèves et refait la synthèse au
tableau
· Discussion sur le pourquoi la première proposition est fausse
· Discussion sur les différents calculs qui ont porté à la bonne réponse
· Généralisation du résultat: l’enseignante demande comment écrire un
calcul qui vaut pour n’importe quel nombre de cabines
· Deux élèves proposent l’utilisation de la lettre « a » (relance: est-ce qu’on
est obligé d’utiliser « a »)
· Discussion sur la signification de la lettre
· Discussion sur quel est le calcul le plus simple pour répondre à la question
· Institutionnalisation sur fiche à trous

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Bilan de l’activité :
Points positifs:
• Élèves participatifs et motivés
• Activité adaptée au niveau des élèves
• Consignes claires, entrée dans le problème facile
• Tous les objectifs spécifiques ont été travaillés
Points à améliorer:
• optimiser la gestion du temps
• préparer une synthèse sur transparent et la projeter
• deuxième question vue comme annexe (peu d’engagement); la mettre sur
une feuille séparée pour lui donner plus d’importance
• entamer une discussion sur la signification différente des lettres dans les 3
calculs proposés