1. L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
Le equazioni di Richards in un versante
Riccardo Rigon
JayStrattonNoller,OregonInteriors,2009
Thursday, May 30, 13
2. R. Rigon
L’equazione di Richards su un versante piano
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
2
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
3. R. Rigon
3
Osserviamo che l’equazione, scritta nel campo delle pressioni è più generale di
quella scritta nel campo del contenuto d’acqua. Infatti, si pu`ø pensare che la
pressione vari (in campo positivo, anche quando
L’equazione di Richards su un versante piano
In questo caso C diventa
proporzionale alla storatività
specifica.
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
4. R. Rigon
4
Ipotesi
Perchè, per esempio, siamo in prossimità della saturazione e supponiamo che il
profilo di umidità pur variabile con la profondità non alteri significativa la
conducibilità idraulica
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
5. R. Rigon
4
Ipotesi
Perchè, per esempio, siamo in prossimità della saturazione e supponiamo che il
profilo di umidità pur variabile con la profondità non alteri significativa la
conducibilità idraulica
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
6. R. Rigon
Tenuto conto delle precedenti posizioni, l’equazione di Richards si può, a
scala di versante separare in due contributi. Quello nel riquadro rosso
relativo all’infiltrazione verticale. Quello nel riquadro verde relativo ai
moti laterali
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
5
L’equazione di Richards su un versante piano
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
7. R. Rigon
6
Questa decomposizione
E’ possibile nell’assunzione che il tempo in cui avviene l’infiltrazione
normale al pendio attraverso il suolo sia minore del tempo impiegato
dall’acqua per infiltrarsi:
Tempo scala dell’infiltrazione
profondità del suolo
diffusività costante
tempo scala del deflusso
laterale
l u n g h e z z a d e l
versante
conducibilità idraulica
di riferimento
capacità idraulica di riferimento
Iverson,2000;CordanoandRigon,2008
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
9. R. Rigon
C(⇥)
⇤⇥
⇤t
=
⇤
⇤z
⇤
Kz
⇤⇥
⇤z
cos
⇥⌅
+ Sr
Infiltrazione verticale: agisce su
un tempo scala relativamente
veloce perchè propaga un segnale
su uno spessore di pochi metri
7
L’equazione di Richards!
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
11. R. Rigon
Sr =
⇤
⇤y
⇤
Ky
⇤⇥
⇤y
⌅
+
⇤
⇤x
⇤
Kx
⇤⇥
⇤x
sin
⇥⌅
Opportunamente trattato si riduce al moto
laterale della falda, in particolare alla
equazione di Boussinesq ed agisce su un
tempo scala più lento
8
L’equazione di Richards!
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
12. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come somma di due contributi:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
9
L’equazione di Richards su un versante piano
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
13. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come somma di due contributi:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
9
L’equazione di Richards su un versante piano
Risposta lenta dovuta
al deflusso laterale
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
14. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come somma di due contributi:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
10
L’equazione di Richards su un versante piano
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
15. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come somma di due contributi:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
10
L’equazione di Richards su un versante piano
R i s p o s t a
t r a n s i e n t e
d o v u t a
all’infiltrazione
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
16. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
11
L’equazione di Richards su un versante piano
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
17. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
11
L’equazione di Richards su un versante piano
Profondità
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
18. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
11
L’equazione di Richards su un versante piano
Profondità
Profondità
della falda
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
19. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
11
L’equazione di Richards su un versante piano
Profondità
Profondità
della falda
Pendenza
del terreno
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
20. R. Rigon
Le indagini di campo, oltre che la teoria, insegnano che le variazioni di
pressioni più intense avvengono per effetto della infiltrazione verticale. Su
questo tema hanno lavorato, tra gli altri, Iverson, 2000 e D’Odorico et al.,
2003, linearizzando l’equazione.
12
L’equazione di Richards!
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
21. R. Rigon
13
Ancora un po’ di discussione sulla condizione
iniziale
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
22. R. Rigon
13
Ancora un po’ di discussione sulla condizione
iniziale
sulla falda la
pressione è nulla
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
23. R. Rigon
13
Ancora un po’ di discussione sulla condizione
iniziale
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
24. R. Rigon
13
Ancora un po’ di discussione sulla condizione
iniziale
sotto la falda, la pressione, in condizioni
statiche, segue la legge idrostatica
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
25. R. Rigon
14
Ancora un po’ di discussione sulla condizione
iniziale
sopra la falda, in condizioni, insature, all’equilibrio, la pressione varia pure
idrostaticamente
Text
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
27. R. Rigon
Il termine transiente della pressione si può calcolare se si
assume K ~ costante e trascurando i termini sorgente
16
L’equazione Richards 1-D:
C( )
@
@t
= Kz 0
@2
@z2
D0 :=
Kz 0
C( )
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
28. R. Rigon
Il termine transiente della pressione si può calcolare se si
assume K ~ costante e trascurando i termini sorgente
⇤⇥
⇤t
= D0 cos2 ⇤2
⇥
⇤t2
16
L’equazione Richards 1-D:
C( )
@
@t
= Kz 0
@2
@z2
D0 :=
Kz 0
C( )
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
29. R. Rigon
Il termine transiente della pressione si può calcolare se si
assume K ~ costante e trascurando i termini sorgente
⇤⇥
⇤t
= D0 cos2 ⇤2
⇥
⇤t2
16
L’equazione Richards 1-D:
C( )
@
@t
= Kz 0
@2
@z2
D0 :=
Kz 0
C( )
Diffusività idraulica
L’equazione di Richards semplificata
Thursday, May 30, 13
32. R. Rigon
17
Dove:
L’equazione Richards 1-D
Capacità idraulica
dei suoli
Pressione dell’acqua
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
33. R. Rigon
17
Dove:
L’equazione Richards 1-D
Capacità idraulica
dei suoli
Pressione dell’acqua
Conducibilità idraulica
verticale di riferimento
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
34. R. Rigon
⇤⇥
⇤t
= D0 cos2 ⇤2
⇥
⇤t2
18
L’equazione Richards 1-D
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
35. R. Rigon
L’equazione diventa LINEARE e, trovata una soluzione con
un impulso unitario istantaneo al contorno, la soluzione
dipendente da una precipitazione variabile viene a dipendere
dalla convoluzione di questa soluzione e la precipitazione.
⇤⇥
⇤t
= D0 cos2 ⇤2
⇥
⇤t2
18
L’equazione Richards 1-D
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
36. R. Rigon
19
Assunta che f(t,z) sia una soluzione dell’equazione
di Richard - 1D sottoposta ad un impulso di pressione
Questo significa che:
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
37. R. Rigon
19
Assunta che f(t,z) sia una soluzione dell’equazione
di Richard - 1D sottoposta ad un impulso di pressione
Questo significa che:
Condizione
iniziale
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
38. R. Rigon
19
Assunta che f(t,z) sia una soluzione dell’equazione
di Richard - 1D sottoposta ad un impulso di pressione
Questo significa che:
Condizione
iniziale
Soluzione
Impulsiva
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
39. R. Rigon
19
Assunta che f(t,z) sia una soluzione dell’equazione
di Richard - 1D sottoposta ad un impulso di pressione
Questo significa che:
Condizione
iniziale
Soluzione
Impulsiva
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
40. R. Rigon
19
Assunta che f(t,z) sia una soluzione dell’equazione
di Richard - 1D sottoposta ad un impulso di pressione
Questo significa che:
Condizione
iniziale
Soluzione
Impulsiva
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
41. R. Rigon
19
Assunta che f(t,z) sia una soluzione dell’equazione
di Richard - 1D sottoposta ad un impulso di pressione
Questo significa che:
Condizione
iniziale
Soluzione
Impulsiva
Variazione di pressione
in superficie dovuto
alla precipitazione
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
43. R. Rigon
21
Per un impulso di precipitazione di intensità costante, la soluzione
può scriversi:
D’Odoricoetal.,2003
L’equazione Richards 1-D
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
44. R. Rigon
In quel caso l’equazione ammette una soluzione analitica
D’Odoricoetal.,2003
22
L’equazione Richards 1-D
R(t/TD) :=
⇤
t/( TD)e TD/t
erfc
⇤
TD/t
⇥
TD :=
z2
D0
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
45. R. Rigon
In quel caso l’equazione ammette una soluzione analitica
D’Odoricoetal.,2003
22
L’equazione Richards 1-D
R(t/TD) :=
⇤
t/( TD)e TD/t
erfc
⇤
TD/t
⇥
TD :=
z2
D0
Tempo scala infiltrazione
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
47. R. Rigon
I metodi di soluzione analitica dell’equazione di avvezione-dispersione
(anche non lineare) che risulta dall’equazione di Richards, si possono
trovare nei libri che trattano la diffusione del calore (l’equazione
linearizzata è la stessa), per esempio in Carslaw e Jager, 1959, pg 357.
In genere, le strategie di soluzione sono 4 e basate:
- Sul metodo di separazione delle variabili
- L’uso delle trasformate di Fourier
- L’uso delle trasformate di Laplace
- Metodi geometrici basati sulla simmetria delle equazione (e.g.
Kevorkian, 1993)
Tutti i metodi mirano a ridurre l’equazione differenziale alle derivate
parziali ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie
L’EQUAZIONEDIRICHARDS1D
24
Una soluzione dell’equazione di Richards
Thursday, May 30, 13
51. R. Rigon
28
Ma valgono le condizioni ?Kz~ Kx
Nelle condizioni invocate, la condizione iniziale è idrostatica con
Conseguentemente in superficie, avendo scelto come condizioni iniziali
Discussioni
Thursday, May 30, 13
52. R. Rigon
29
Per il suolo rappresentato nella figura
sottostante
assumendo la falda ad una profondità di un metro
significa che la conducibilità idraulica diminuisce di circa un ordine di grandezza:
forse una variazione entro la quale si può pensare di usare un valore medio,
efficace, e considerare l’equazione semplificata ancora valida.
Discussioni
Thursday, May 30, 13
53. R. Rigon
30
Ma siamo al limite di applicabilità !
Discussioni
Thursday, May 30, 13
54. R. Rigon
31
Cerchiamo in effetti di capire che cosa succede
esattamente utilizzando un integratore accurato delle
equazioni di Richards 3D
(GEOtop, Rigon et al., 2006)
Discussioni
Thursday, May 30, 13
55. R. Rigon
32
igure 2: Experimental set-up. (a) The infinite hillslope schematization. (b) The initial suction head pr
il-pixel hillslope numeration system (the case of parallel shape is shown here). Moving from 0 to 900
sponds to moving from the crest to the toe of the hillslope
The OpenBook hillslope
Discussioni
Thursday, May 30, 13
57. R. Rigon
34
- 54 LANNI ET AL.: HYDROLOGICAL ASPECTS IN THE TRIGGERING OF SHALLOW LANDSLIDES
(a) DRY-Low (b) DRY-Med
Simulations result
Lanni and Rigon
Discussioni
Thursday, May 30, 13
58. R. Rigon
35
All’inizio della precipitazione, a parte nella
zona vicino allo spartiacque la pressione è
costante su tutto il transetto
Discussioni
Thursday, May 30, 13
59. R. Rigon
36
Dopo un certo tempo (25h nella
simulazione) le pressioni lungo il pendio
cominciano a differenziarsi. Una grande
differenziazione appare nella parte finale
del pendio, dove si raggiunge la
saturazione.
Discussioni
Thursday, May 30, 13
60. R. Rigon
37
(a) (b)
Figure 6: Temporal evolution of the vertical profile of hydraulic conductivity (a) and hydraulic conductivity at the soil-bedrock interface
E’ la variazione di 3 ordini di grandezza della conducibilità
idraulica in prossimità del substrato
La chiave per capire
Lanni and Rigon
Discussioni
Thursday, May 30, 13
61. R. Rigon
38
In questo caso
Iverson,2000;CordanoandRigon,2008
Si innesca in prossimità del bedrock un flusso laterale il cui tempo scala è
governato da una diffuvità D1 molto più grande di D0 in superficie.
Allora:
Non è più verificata e, piuttosto è:
Thursday, May 30, 13
62. R. Rigon
39
When simulating is understanding
courtesyofE.Cordano
come si può dedurre dal grafico sottostante
Discussioni
Thursday, May 30, 13
63. R. Rigon
40
Capire dalle simulazioni
All’inizio del processo di infiltrazione, sul bedrock siamo la pressione è
quella della linea rossa, in superifice la pressione è quella indicata dalla
linea blu.
courtesyofE.Cordano
Discussioni
Thursday, May 30, 13
64. R. Rigon
41
When simulating is understanding
Quando si innesca il deflusso laterale, la situazione è quella illustrata (la
linea blue, sempre per la superficie, la linea rossa per il bedrock)
courtesyofE.Cordano
Discussioni
Thursday, May 30, 13
65. R. Rigon
42
Così
All’inizio le condizioni per ottenere un flusso praticamente verticale
sono soddisfatte
courtesyofE.Cordano
Discussioni
Thursday, May 30, 13
66. R. Rigon
43
So
Alla fine, le medesime condizioni non sono soddisfatte e, viceversa,
domina il deflusso laterale.
courtesyofE.Cordano
Discussioni
Thursday, May 30, 13
67. R. Rigon
44
Il deflusso laterale
•E’ veloce .... il suo tempo scala ... comparabile inferiore a quello
dell’infiltrazione verticale, che avviene in condizioni insature.
•In effetti, il meccanismo per cui si ha prima infiltrazione verticale e poi
deflusso laterale dipende dalla struttura delle curve di ritenzione idrica, e,
nel caso dal fatto che il suolo considerato è un limo sabbioso.
•Per altri tipi di suolo, la situazione potrebbe essere differente
Discussioni
Thursday, May 30, 13
68. L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
L’effetto del bedrock e dei macropori
Riccardo Rigon
JayStrattonNoller,AmityatSchmidtfarm,2010
Thursday, May 30, 13
69. R. Rigon, C. Lanni
46
CAPITOLO 5. IL BACINO DI PANOLA
Figura 5.2: Rappresentazione della profondit`a del suolo del pendio di Panola.
costante su un campione prelevato a 10 cm di profondit`a, risulta pari a 64 [cm/h]; per ci`o che concerne
il valore della conducibilit`a idraulica a saturazione del bedrock, non esistono misure dirette e↵ettuate
su campioni prelevati in sito; tuttavia si stima che il suo valore sia 2-3 ordini di grandezza inferiore
rispetto a quella del terreno soprastante. Entrambi i valori di conducibilit`a idraulica satura (del bedrock
e del terreno) saranno comunque oggetto di calibrazione numerica all’atto delle simulazioni svolte con
GEOtop, utilizzando come valori di partenza quelli qui citati.
Il bacino sperimentale di Panola
Bedrock
Thursday, May 30, 13
70. R. Rigon, C. Lanni
47
Superficie del terreno
Superficie del substrato
Lo spessore del suolo
varia
Depressione
Il bacino sperimentale di Panola
Bedrock
Thursday, May 30, 13
71. R. Rigon, C. Lanni
48
α = 13°
Suolo (sabbia lmosa) Ksat = 10-4 m/s
Substrato Ksat = 10-7 m/s
Pioggia Intensità = 6.5 mm/h
Durata = 9 hours
Pendenza
Proprietà idrauliche dei suoli di Panola
Bedrock
Thursday, May 30, 13
72. R. Rigon, C. Lanni
49
Q(m3/h)
t=9h
t=18h
t=22h
La portata generata presenta due picchi
α = 13°
t=6h t=9ht=7h t=14h
Lannietal.,2011
Bedrock
Thursday, May 30, 13
73. R. Rigon, C. Lanni
50
1D
3D
No role played by hillslope
gradient
1°:
Lavora l’infiltrazione verticale
2°:
Si innesca il deflusso laterale
Il fronte di infiltrazione si propaga
Il drenaggio può essere controllato dalla forma del
bedrock
Come nel caso planare ideale
Lannietal.,2011
Bedrock
Thursday, May 30, 13
74. R. Rigon
51
CAPITOLO 5. IL BACINO DI PANOLA
Figura 5.4: Immagine tratta da Tromp-van Meerveld e McDonnell, (2006a) [24]; (a) deflusso sub-
superficiale totale per i segmenti in cui `e stata suddivisa la trincea e (b) numero di eventi meteorici che
producono deflussi misurabili.
5.2.1 Il ruolo dei macropori
TrompVanMeerveldetal.,2006
Anisotropie
Macropori
Thursday, May 30, 13
75. R. Rigon
52
Macropore Flow
Initiation
Water supply to the
macropores
Interaction
Water transfer between
macropores and the
surrounding soil matrix
Macropori
M.Weiler,fromMochaproject
Macropori!
Thursday, May 30, 13
76. R. Rigon
53
Infiltration of both
water and solutes is
due to the space and
connectivity within the
3D macropores
[Perret et al, 1999, Soil Sci. Soc. Am. J.]
Macropori
M.Weiler,fromMochaproject
Macropori!
Thursday, May 30, 13
77. R. Rigon
54
CAPITOLO 5. IL BACINO DI PANOLA
Figura 5.5: Immagine tratta da Tromp-van Meerveld e McDonnell, (2006a) [24]; relazione tra flusso
totale attraverso i macropori e deflusso sub-superficaile totale. Il riquadro mostra la relazione in
un grafico bi-logaritmico per ampliare la scala di visualizzazione. La linea continua rappresenta la
regressione lineare, mentre quella tratteggiata la scala 1:1.
TrompVanMeerveldetal.,2006
Macropori
Due tipi di flusso ?
Thursday, May 30, 13
78. R. Rigon
55
CAPITOLO 5. IL BACINO DI PANOLA
Figura 5.6: Immagine tratta da Tromp-van Meerveld e McDonnell, (2006a) [24]; rappresentazione della
relazione a soglia tra precipitazione totale e (a) flusso totale, (b) flusso totale attraverso il terreno, e
(c) flusso totale attraverso i macropori. I riquadri riportano i medesimi andamenti in scala lineare. La
linea tratteggiata costituisce la soglia di precipitazione di 55 mm.
TrompVanMeerveldetal.,2006
Macropori
Due tipi di flusso ?
Thursday, May 30, 13
79. R. Rigon
56
0.00
date (dd/mm) 2002
01/01 11/01 21/01 31/01 10/02 20/02 02/03 12/03 22/03 01/04 11/04 21/04 01/05 11/05 21/05
Figura 5.16: Confronto tra flussi misurati e computati attraverso la Simulazione 0 presso la trincea
alla base del pendio.
0.000.020.040.060.080.10
Simulazione 0 - evento 6 febbraio
date (dd/mm) 2002
portate[l/s]
05/02 06/02 07/02 08/02 09/02 10/02 11/02 12/02
Flussi misurati
Simulazione 0
0.000.020.040.060.080.10
Simulazione 0 - evento 30 marzo
date (dd/mm) 2002
portate[l/s]
29/03 30/03 31/03 01/04 02/04 03/04 04/04 05/04 06/04 07/04
Flussi misurati
Simulazione 0
Figura 5.17: Confronto tra flussi misurati e computati attraverso la Simulazione 0 presso la trincea
alla base del pendio: a sinistra si riporta l’evento del 6 febbraio 2002, a destra quello del 31 marzo.
pu`o essere causata da diversi fattori, quali un’errata assegnazione delle caratteristiche del suolo o del
bedrock, oppure un errore nello stabilire la condizione iniziale circa la quota della falda.
Un aspetto decisamente importante da considerare, tanto in questi risultati quanto in quelli presentati
successivamente, `e che nella creazione della geometria di calcolo 3D utilizzata da GEOtop non `e
DaPrà,2013
Macropori
Certamente il volume non può essere simulato
con le sole Equazioni di Richards
Thursday, May 30, 13
81. R. Rigon
58
What I mean with Richards ++
Extending Richards to treat the transition saturated to unsaturated zone.
Which means:
At the transition with saturation
R. Rigon and E. Cordano
Thursday, May 30, 13
82. R. Rigon
59
So we switch to a generalised
groundwater equations
which has been obtained by modifying the SWRC
At the transition with saturation
R. Rigon and E. Cordano
Thursday, May 30, 13