Maple tiene una interfaz gráfica de usuario que permite interactuar con el programa a través de ventanas, menús y barras de herramientas. La ventana principal contiene las siguientes secciones: - Barra de menú superior: Contiene opciones para abrir, guardar y administrar archivos, imprimir, configurar la interfaz, etc. - Área de trabajo: Es donde se escriben y ejecutan comandos de Maple. Puede contener varias líneas de comandos y texto. - Barra de herramientas: Proporciona acceso rápido a comand

1. MAPLE 10 PARA MATEMÁTICAS BÁSICAS
Autores:
Coronado Ramírez Semei Leopoldo
Gualajara Estrada Víctor Hugo
Sandoval Bravo Salvador
1

2. Producción académica de los miembros del
Cuerpo Académico “Crecimiento Económico y
Cambio Tecnológico -UDG CA 468” en coordinación
con la Maestría en Economía y
el Departamento de Métodos Cuantitativos
2

3. Prólogo
Hoy en día es muy importante contar con diversas habilidades en el uso de herramientas
computacionales que faciliten el procesamiento y el análisis de información para la toma
de decisiones en cualquiera que sea la actividad productiva que desarrollemos.
Maple 10 es una herramienta computacional tecnológicamente avanzada, que incorpora
algoritmos simbólicos propios reconocidos en todo el mundo. Asimismo, Maple incorpora
desde su versión 6 los prestigiosos resolvedores numéricos proporcionados por su socio
Numerical Algorithms Group (NAG).
Además, Maple está compuesto por un ambiente ideal que cubre todos los aspectos
matemáticos necesarios para el desarrollo de actividades en áreas como ingeniería,
economía, finanzas e investigación. Maple incorpora herramientas suficientemente
flexibles para ajustarse a todas las necesidades de cálculo: desde la resolución de
sistemas de ecuaciones diferenciales, hasta el modelado de complejos problemas en el
ámbito económico. Maple es la herramienta que mejor se adecua a cualquier
requerimiento para cálculo técnico.
El presente texto es una excelente opción para todo estudiante que quiera iniciarse en el
uso de Maple 10, cada una de las secciones está claramente detallada y lleva de la mano
al lector a través de los ejemplos que introducen los conceptos matemáticos y el uso de
3

4. los comandos de Maple, además, el libro incluye una serie de prácticas que permitirán la
aplicación del conocimiento adquirido.
Las habilidades que los alumnos puedan adquirir en el uso de herramientas que
disminuyan tiempo de procesamiento y análisis, que reduzcan costos y eleven la
productividad, harán la diferencia competitiva entre profesionales que sean capaces de
alcanzar el éxito en sus actividades productivas.
Dra. Maria Elena Meda Campaña
Profesor e Investigador Titular A
Miembro del Sistema Nacional de Investigadores
4

5. Índice temático
Introducción.............................................................................................. 8
Necesidades del sistema......................................................................... 11
Comandos más utilizados en Maple....................................................... 12
Introducción al entorno de Maple........................................................... 16
Laboratorio 1. Conjuntos ....................................................................... 24
Relación de pertenencia
Operaciones con conjuntos
Relación de inclusión
Conjunto potencia
Práctica
Laboratorio 2. Operaciones aritméticas y variables............................. 31
Operaciones aritméticas
Sustitución de valores en expresiones
algebraicas
5

6. Práctica
Laboratorio 3. Expresiones algebraicas................................................ 38
Uso del comando eval
Uso del comando expand
Uso de comando eval y expand
Uso del comando factor
Uso del comando simplify
Práctica.
Laboratorio 4. Gráficas........................................................................... 47
Gráficas
Gráfica de puntos
Práctica
Laboratorio 5. Ecuaciones....................................................................... 60
Manipulación de un sistema de igualación.
Utilizando el comando fsolve para encontrar las
soluciones aproximadas
Solución de ecuaciones con literales
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
usando el comando solve.
6

7. Solución de un sistema con infinito numero de
soluciones
Práctica.
Laboratorio 6. Matrices............................................................................ 77
Matrices
Operaciones con matrices
Suma y resta
Multiplicación
Potencia de una matriz.
Transpuesta de una matriz
Determinante de una matriz
Inversa de una matriz
Sistemas de ecuaciones
Práctica
Bibliografía…………………………………………………………………….. 101
Índice de gráficas…………………………………………………………….. 102
Índice analítico de comandos.……………………………………………… 103
7

8. Introducción
La necesidad de realizar cálculos algebraicos, de obtener una precisión casi
infinita, de manejar o tratar con expresiones exactas suelen ser una tarea ardua y
en ocasiones fastidiosa para quienes deban realizarla. De igual forma, la
oportunidad de trazar gráficas de funciones en dos y tres dimensiones, de poder
observar su imagen desde distintos puntos de vista suele ser un gran reto;
igualmente que el tratar con animaciones y otras variantes gráficas. Desde hace
algunos años las calculadoras graficadoras y los sistemas algebraicos de
computación surgieron para aliviar esta enorme tarea teniendo una gran
aceptación en el ámbito académico, tanto en la investigación, como en la
docencia. Por lo cual actualmente, podemos hablar de la calculadoras
graficadoras HP 49G o Voyage 200 de Hewlertt Packard y Texas Instruments
respectivamente, de la misma forma, podemos mencionar sistemas algebraicos de
computación como el Matlab, Mathematica o Maple.
Maple es un programa desarrollado desde 1980 por el grupo de Cálculo Simbólico
de la Universidad de Waterloo (Ontario, Canadá). Su nombre viene de las
palabras en inglés “Mathematical Pleasure”. Maple es capaz de desarrollar una
amplia gama de problemas, mediante el uso de comandos predeterminados.
También posee un lenguaje de programación para que el usuario pueda
desarrollar sus propias funciones y programas.
8

9. El objetivo del presente libro es lograr llegar al usuario de éstas operaciones
matemáticas mediante un sencillo texto lo suficientemente claro como para
impulsar y motivar la adaptación del principiante en el entorno de Maple. Se usará
la mayoría de los comandos tradicionales para el álgebra y la graficación,
empleando sólo los parámetros básicos en estas áreas; teniendo el conocimiento
que existen más parámetros a utilizar en otras áreas. Se tiene como herramienta
matemática los contenidos del curso de Matemáticas I que se imparten en el
Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas de la Universidad de
Guadalajara (U de G). Por lo cual se supondrá que el lector de este libro conoce
los temas que esta asignatura contiene.
Para lograrlo, se presentan en 6 secciones o tópicos desde un nivel elemental
hasta cubrir algunos aspectos particulares de teoría de matrices. Cada sección es
presentada con claridad apropiada a cada idea, con ejemplos claros y concretos
que, mas allá de ilustrar el contenido de lo tratado, atraen la atención y curiosidad
del lector interesado en dominar el entorno de este programa, se termina cada
sección con una pequeña práctica, donde se resumen en un número breve de
ejercicios el contenido más importante de cada sección. Asimismo, se incluyen
ejercicios de mayor grado de dificultad señalados con asterisco.
El trabajo se estructura de la siguiente forma: Laboratorio 1, donde se exponen los
concepto elementales de la teoría de conjuntos; Laboratorio 2, que aborda las
9

10. operaciones con expresiones algebraicas; Laboratorio 3, donde se tratan temas
relacionados con expresiones algebraicas y funciones; Laboratorio 4, dedicado
especialmente al desarrollo y construcción de gráficas en el entorno Maple;
Laboratorio 5, se tratan los temas relativos a sistemas de ecuaciones y comandos
para la obtención de soluciones aproximadas; y finalmente, Laboratorio 6, contiene
temas básicos de teoría de matrices tratados con Maple.
Esperamos que este material sirva para despertar en el alumno el interés por
aprender más sobre apoyos tecnológicos que existen en el área de Métodos
Cuantitativos para el área económica administrativa.
Los Autores
CUCEA. Departamento de Métodos Cuantitativos. UDG Diciembre de 2006
10

11. Necesidades del sistema
Para operar Maple 10 convenientemente, de manera que se puedan explotar de la manera
más eficiente todas sus características y posibilidades, se requiere que el equipo cuente con
los requerimientos necesarios, tanto de software como de hardware, mismos que se listan a
continuación.
Windows®
Versión CPU* Mínimo RAM Disco Duro
RAM Recomendado
Windows NT 4
Intel Pentium III 650 MHz + 64 MB 512 MB 400 MB
(with Service Pack 5)
Windows 98 Intel Pentium III 650 MHz + 64 MB 128 MB 400 MB
Windows ME Intel Pentium III 650 MHz + 64 MB 128 MB 400 MB
Windows 2000 Professional Intel Pentium III 650 MHz + 128 MB 512 MB 400 MB
Windows 2000 Server Intel Pentium III 650 MHz + 256 MB 512 MB 400 MB
Windows XP Pro Intel Pentium III 650 MHz + 128 MB 512 MB 400 MB
Windows XP Home Intel Pentium III 650 MHz + 128 MB 512 MB 400 MB
Windows 2003 Server Intel Pentium III 650 MHz + 256 MB 512 MB 400 MB
• CD-ROM driver (instalación para el CD).
• 16-bit color a 800 por 600 (o mayor) resolución recomendada.
• TCP/IP interno para conexiones habilitadas.
• Disponible para Windows 98 y Windows ME
Algunas características de la interfase no están disponibles en el Classic Worksheet.
La instalación del programa esta recomendado al menos que algunos requerimientos puedan limitar su funcionamiento en
algunas características del programa.
Para configuraciones con mínimos requerimientos del sistema, la Interface Classic Worksheet es la más recomendada.
11

12. Comandos más utilizados en Maple.
in Operador de pertenencia para conjuntos.
evalb (exprb) Evalúa una expresión booleana.
union (c1,c2) Operador de unión para conjuntos.
intersection (c1,c2) Operador de intersección para conjuntos.
minus (c1,c2) Operador de diferencia para conjuntos.
subset (c1,c2) Operador de subconjuntos.
powerset (c1) Calcula el conjunto potencia de un conjunto, requiere el
comando with (combinat).
nops (c1) Obtiene la cardinalidad de un conjunto.
restart Limpia la memoria de Maple para todas las definiciones.
unassign ('var') Limpia una variable nombrada var=variable.
unapply (expr) Retorna un operador de una expresión en forma de función.
with ( ) Trae funciones adicionales que se encuentran en la biblioteca
de Maple.
numer ( ) Selecciona el numerador de una fracción.
denom ( ) Selecciona el denominador de una fracción.
ifactor (n) Da la factorización de números primos para un entero dado.
lhs (eqn) Selecciona el lado izquierdo de una ecuación.
rhs (eqn) Selecciona el lado derecho de una ecuación.
rationalize (expr) Racionaliza el denominador de una expresión.
12

13. simplify (expr) Simplifica una expresión.
expand (expr) Expande la expresión dada.
eval (expr,x=v) Evalúa las expresiones en un punto donde x=v.
evalf (expr) Evalúa numéricamente una expresión dando por default 10
dígitos.
evalf (expr,n) Evalúa numéricamente una expresión dando el número de
dígitos que se requieran.
factor (expr) Factoriza una expresión.
fsolve (eqn) Encuentra numéricamente (por aproximación) la solución de
una ecuación, cuando se le da el valor de x.
subs (x= v,expr) Sustituye el valor de una variable en la variable independiente
de la expresión.
solve (eqn) Encuentra la solución exacta de una ecuación incluyendo
ecuaciones con letras y sistemas lineales.
plot ( ) Grafica funciones definidas por expresiones algebraicas,
grafica más de una expresión a la vez, grafica puntos,
ecuaciones paramétricas, etc.
display ( ) Combina graficas de funciones y puntos ( requiere el comando
with (plots)).
implicitplot ( ) Grafica funciones definidas implícitamente
Matrix ([]) Es el comando para crear una matriz.
DeleteRow (M,#) Elimina una fila de una matriz, donde M es la matriz y # es el
número de fila a eliminar.
13

14. DeleteColumn (M,#) Elimina una columna de una matriz, donde M es la matriz y #·
es el número de columna.
RowOperation (M,α,#) Multiplica una fila de una matriz por un escalar, donde M es
la matriz, α, es un escalar y # es el número de la fila.
RowOperation (M,[ ]) Hace el intercambio de filas en una matriz, donde M es la
matriz.
ColumnOperation (M,α,#) Multiplica una columna por un escalar, donde M es la
matriz, α, es el escalar y # el número de columna.
ColumnOperation (M,[ ]) Hace el intercambio de columnas en una matriz, donde M
es la matriz.
MatrixAdd ( ) Suma dos matrices.
Multiply ( ) Multiplica dos matrices.
ScalarMultiply ( ) Multiplica una matriz por un escalar.
MatrixScalarMultiply ( ) Multiplica una matriz por un escalar.
Transpose ( ) Transpone una matriz.
Determinant ( ) Calcula el determinante de una matriz.
MatrixInverse ( ) Calcula la matriz inversa.
ReducedRowEchelonForm (<|>) Resuelve un sistema de ecuaciones por el
método de Gaussiano.
GenerateEquations ( ,[ ]) Convierte una matriz en un sistema de ecuaciones.
GenerateMatrix ( ) Convierte un sistema de ecuaciones en un sistema matricial.
LinearSolve ( ) Resuelve el sistema que está hecho en matrices.
14

15. Constantes Matemáticas
Pi Cuidado: No debes utilizar pi si no Pi con P mayúscula.
exp (1) e
I -1
Otras funciones matemáticas
sqrt (x) x
abs (x) x
exp (x) ex
ln (x) Logaritmo natural.
log (x) Logaritmo natural igual que ln(x).
log [n](x) Logaritmo base n.
sin (x), cos (x), tan (x), cot (x), sec (x), csc (x) Funciones trigonométricas.
arcsin (x), arccos (x), arctan (x) Funciones trigonométricas inversas.
15

16. Introducción al entorno de Maple
Ventana de Maple
A continuación se presenta la ventana de Maple, describiendo brevemente sus
elementos.
16

17. Inserta
Abre un archivo Amplia
expresiones
existente Imprime ventanas
matemáticas no
archivos abiertas
ejecutables Crea una línea
de Comando
Separador de
texto
Detiene un
Crea una línea de proceso
texto
Abre un archivo
Encapsula
nuevo Guarda una sección o
archivos subsección Ir al
hipervínculo
siguiente
Copiar la
selección en el Remover la
sección o
portapapeles Aumento del
subsección Ir al Zoom
hipervínculo
Pegar anterior
17

18. Hoja de trabajo
Crear una nueva línea de comando
Utilizar: CTRL+J
Dar click al icono
Use el Menu: Insert / Execution Group > After Cursor
Crear una línea de texto
Utilizar CTRL+T
Dar Click al icono
Usar el Menu: Insert / Text Input
Uso de un Semicolon vs. Colon
Al finalizar una línea de comandos matemáticos, se debe utilizar (;) el cual es
llamado semicolon. Si requiere utilizar más de una línea de comandos
matemáticos, debe utilizar el colon(:).
¿Cómo remover las salidas de una hoja de trabajo?
Use el Menu: Edit / Remove Output > From Worksheet
¿Cómo expandir o colapsar una sección?
Use el Menu: View / Expand All Sections (or Collapse All Sections)
18

19. Parar el proceso de output de lenguaje matemático:
Para parar un proceso utilice el icono
Crear un Nuevo archive/Guardar un archivo/Abrir un archivo existente e
imprimir
Use el Menu: File / New , Open , Save , Save As, Print, o en su caso CTRL+ P
o dar click a los iconos de abrir un archivo ya existente , un nuevo archivo ,
para guardar y para imprimir .
¿Cómo cortar, copiar o pegar?
Use la barra de herramientas de click al icono de cortar , copiar y pegar
.
También puede cortar, copiar o cortar seleccionando el párrafo o la línea de
trabajo matemático.
Uso de la ayuda
Puede dar click en la barra de herramientas a la palabra Help o en su defecto
escriba la palabra que requiere buscar en comandos matemáticos y de CTRL+ F1.
Por ejemplo factor luego CTRL+ F1 y se desplegará la ayuda sobre esté
comando.
19

20. Auto-Guardar
De click en la barra de herramientas al comando Options y busque Autosave y
seleccione el intervalo que requiera para guardar sus archivos.
Ver las Paletas
Dar click en el menú de View y dar click en Palettes y dar click Show All
Palettes; se desplegarán todas la paletas del Maple.
Insertar expresiones matemáticas no ejecutables
De click al icono y escriba las expresiones matemáticas no ejecutables o texto.
Deshacer la última expresión
De click al icono y entonces deshaga la última operación.
Rehacer la última expresión
De click al icono y entonces rehace la última operación.
Insertar secciones o subsecciones
De click en la barra de herramientas a Insert, luego de click a Section o
Subsection.
Aumento del Zoom
20

21. Dar click al icono para ver al 100%, click al icono para ver al 150% y dar
click al icono para ver al 200%.
Encapsular secciones o subsecciones
Remueve la sección o subsección encapsulada con el icono , encapsula una
sección o subsección con el icono .
Uso de separador de texto o lenguaje matemático
Puede utilizar el icono para ver las separaciones.
Ir a los hipervínculos anteriores o posteriores
Para ir a un hipervínculo anterior de click al icono , para ir a un hipervínculo
posterior de click al icono .
Organización de ventanas
De click al icono éste automático ampliará las ventanas abiertas.
Se revisaran a continuación una serie de ejemplos ilustrados de algunos de los
comandos más usados en Maple, organizados en hojas de trabajo. Se presentan
entornos de hojas de trabajo preparadas con secuencias de comandos listas para
ejecutarse.
21

22. Ejecución de comandos
Para ejecutar comandos en una hoja de cálculo de Maple:
Capturar el comando o la operación a realizar, terminando la instrucción con “;”,
para posteriormente presionar ENTER.
1+1;
limit(x–7,x=3);
Ejecución en grupo
La ejecución en grupo son elementos fundamentales que se realizan en la hoja de
cálculo del Maple. Para avanzar dentro de un grupo de un renglón a otro sin que
se ejecute algún comando será mediante presionando SHIFT+ENTER, por
ejemplo;
solve(a*x^2=4,{x});
> subs(a=16,a*x^2=4);
Interactuar con el procesador de cálculo en Maple
Cuando se introducen datos en Maple, se debe terminar la expresión con un
“punto y coma” (;) o con “ dos puntos” (:);
Por ejemplo, para realizar el siguiente cálculo empleando un comando aritmético
común
ifactor(77777777777);
22

23. Para suprimir la salida de cálculos muy grandes, se colocaran los dos puntos al
término de la expresión
10000!:
Referenciar cálculos
En algunas ocasiones, se requiere referenciar una expresión en Maple o utilizar
alguna expresión ya escrita en el Maple en comandos anteriores existe dos formas
de realizar esto:
Asignando expresiones, por ejemplo;
LaExpresion:=x^2+2*x–3;
factor (LaExpresion);
El símbolo “%” permite el rápido acceso de salidas de cálculos previos, por
ejemplo;
x^2+2*x–3;
function(%);
Organización del Maple
La Librería de Maple esta dividida en dos grandes grupos: la librería principal y los
paquetes. Los paquetes contienen grupos de comandos con cálculos relacionados
a una misma área. Para acceder a las rutinas de los paquete se puede hacer de la
siguiente forma (por ejemplo, para acceder a algún comando del paquete
LinearAlgebra).
23

24. with (LinearAlgebra):
24

25. Laboratorio 1. Conjuntos
En este laboratorio aprenderá a realizar las operaciones básicas con conjuntos, a
saber: unión, intersección, complemento, diferencia; además aprenderá a calificar
de falso o verdadero las relaciones de pertenencia entre conjuntos.
Relación de pertenencia
Para determinar si un elemento pertenece a un conjunto utilizamos el comando in,
de la siguiente manera,
> 1 in {0,1,3};
1 { 0, 1, 3 }
Para evaluar como falso (false) o verdadero (true) una expresión booleana
utilizamos el comando evalb(%), en el que el símbolo % considera el paso anterior
calculado, escribimos entonces,
> evalb(%);
true
De la misma forma para un caso falso, por ejemplo,
> 7 in {8,9,0};
7 { 0, 8, 9 }
> evalb(%);
false
25

26. Operaciones con conjuntos
Para poder explicar el de operaciones binarias entre conjuntos, definimos
primeramente 2 conjuntos A y B, además del conjunto universo U. Para declarar
un conjunto utilizamos el nombre del conjunto, seguido de " := ", a continuación
abrimos llaves, anotando los elementos de dicho conjunto y cerrando llaves, como
se describe a continuación,
> U:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
U := { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
> A:={0,1,2,3};
A := { 0, 1, 2, 3 }
> B:={0,2,4,6};
B := { 0, 2, 4, 6 }
Para obtener la unión de A con B, utilizamos el comando union y escribimos,
> A union B;
{ 0, 1, 2, 3, 4, 6 }
Utilizaremos en lo sucesivo, por cuestiones didácticas el comando " ' ", que
encerrando una expresión retrasa la ejecución de un comando hasta una siguiente
ejecución, al mismo tiempo que se escribe en lenguaje matemático tal comando,
generalmente se utiliza para hacer más descriptivo un cálculo, por ejemplo,
> ''A union B'':%=eval(%);
A B { 0, 1, 2, 3, 4, 6 }
26

27. Lo anterior es claramente mucho más sencillo de leer e interpretar.
Por otro lado, Si queremos calcular la intersección de A con B, utilizamos el
comando intersect, del modo siguiente,
> ''A intersect B'':%=eval(%);
A B { 0, 2 }
También podemos efectuar operaciones entre más de dos conjuntos, por ejemplo,
> ''A union B union {8,9}'':%=eval(%);
(A B) { 8, 9 } { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 }
> ''A intersect B intersect {2,6,7}'':%=eval(%);
(A B) { 2, 6, 7 } { 2 }
Los elementos de los conjuntos pueden ser incluso palabras o letras individuales,
por ejemplo,
> C:={oaxaca, federal,chiapas,guerrero};
C := { guerrero, oaxaca, federal, chiapas}
> E:={sonora, nayarit, tijuana, oaxaca};
E := { oaxaca, sonora, nayarit, tijuana}
Si calculamos nuevamente la unión e intersección con estos dos nuevos
conjuntos, entonces,
> ''C union E'':%=eval(%);
C E { guerrero, oaxaca, federal, chiapas sonora, nayarit, tijuana}
,
> ''C intersect E'':%=eval(%);
C E { oaxaca}
27

28. Asimismo, podemos, obtener la diferencia entre conjuntos, utilizando el comando
minus, por ejemplo,
''A minus B'':%=eval(%);
A B { 1, 3 }
> ''C minus E'':%=eval(%);
C E { guerrero, federal, chiapas}
Note que el símbolo para la diferencia de conjuntos, Maple lo designa con una
diagonal invertida.
También podemos calcular el complemento de un conjunto en relación a su
universo, recordando que A'=U-A, para obtener A' y B' lo hacemos de la siguiente
manera,
> ''U minus A'':%=eval(%);
U A { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
> ''U minus B'':%=eval(%);
U B { 1, 3, 5, 7, 8, 9 }
Relación de inclusión
Además, podemos calificar de falso y verdadero la relación de inclusión entre
conjuntos, utilizando el comando subset, por ejemplo,
> '{5} subset {3,5,0}';
{5} { 0, 3, 5 }
> evalb(%);
28

29. true
> '{8,9} subset {1,2,3,4,5,6,7,8,0}';
{ 8, 9 } { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
> evalb(%);
false
Conjunto potencia
Para generar todos los subconjuntos de un conjunto, es decir el conjunto potencia,
activamos primeramente la librería combinat, que incluye el comando que genera
el conjunto potencia, como a continuación se describe,
> with(combinat);
[ Chi, bell, binomial, cartprod, character, choose, composition conjpart, decodepart,
,
encodepart, fibonacci, firstpart, graycode, inttovec, lastpart, multinomial nextpart,
,
numbcomb numbcomp numbpart, numbperm partition permute, powerset,
, , , ,
prevpart, randcomb, randpart, randperm, setpartition stirling1 stirling2 subsets,
, , ,
vectoint]
Ahora, si podemos construir el conjunto potencia, utilizamos para tal efecto el
comando powerset, por ejemplo, si queremos obtener el conjunto potencia de
{a,b,c} escribimos,
> conpot:=powerset({a,b,c});
conpot := { { }, { a, c, b }, { c, b }, { b }, { a, b }, { a }, { c }, { a, c } }
29

30. La cardinalidad del conjunto „conpot‟ se calcula con el comando nops, de la
siguiente manera
> nops(conpot);
8
Si deseamos obtener el quinto elemento del conjunto potencia, escribimos la
variable que contiene el conjunto potencia y entre corchetes el número del
conjunto deseado tal y como aparece en la enumeración de 'conpot',
> conpot[5];
{ a, b }
Práctica
1. Defina por enumeración los siguientes conjuntos U números dígitos ,
A números primos menores que 10 , B números pares menores que 10 ,
C números impares menores que 10 . Nota: Se utilizarán los conjuntos
definidos anteriormente en los ejercicios siguientes.
2. Califique de falso o verdadero los siguientes: 2 A , 7 C .
3. Determine los siguientes conjuntos:
a) A B
b) B C
A B C
c)
30

31. d) B '
e) B A
4. Obtenga el valor de verdad de
a) 2,7 A
b) A B
5. Calcule el conjunto potencia de A, y la cardinalidad del mismo.
6. (*)Con los conjuntos definidos anteriormente verificar que se cumplen la ley
distributiva (incisos a y b) y las leyes de De Morgan (incisos c y d):
a) A (B C) A B A C
b) A (B C) A B A C
c) A B ' A' B '
d) A B ' A' B '
31

32. Laboratorio 2. Operaciones aritméticas y variables
En este laboratorio aprenderá a resolver expresiones aritméticas, nombrar
variables, sustitución de variables, uso del comando evalf, el comando unassign,
entre otros.
Operaciones aritméticas
Cálculos numéricos
> 7+4;
11
> 16*78963598;
1263417568
> 146^78;
65996780678918288882321420951850915711065483639179945
375049806322604923950238423746220894239544965562
567065493517507948972652557288423323945356491453
91160408523340251136
> 2/5+8/7-5/4;
41
140
32

33. El resultado anterior se da en una expresión de quebrado, si requiere conocer el
resultado numérico, tendrá que utilizar el comando evalf(%): El símbolo %
considera el paso anterior calculado.
> evalf(%);
0.2928571429
Puede utilizar toda la expresión para evaluarla numéricamente, en lugar del
símbolo %.
> evalf(2/5+8/7-5/4);
0.2928571429
A continuación nombraremos a una expresión por una variable
> k:=2/5+8/7-5/4;
41
k :=
140
Entonces puede sustituir la variable k en el comando evalf
> evalf(k);
0.2928571429
Ahora para obtener la raíz cuadrada de cualquier número, se requiere utilizar el
comando sqrt()
> sqrt(31);
31
33

34. El resultado que se obtiene es expresado en forma de raíz; si se requiere la
expresión numérica puede utilizar nuevamente el comando evalf(%)
> evalf(%);
5.567764363
Para el símbolo debe teclear Pi
> 5*Pi;
5p
Por lo que respecta a la expresión exponencial, ex , debemos escribirla de la
siguiente manera:
> exp(x);
ex
Si hacemos algún cálculo diferente del exponente x, por ejemplo e2 , debemos
escribir:
> exp(2);
e2
Para expresiones que involucren valor absoluto, por ejemplo, x , escriba de la
siguiente manera:
> abs(x);
x
Si requiere hacer algún cálculo numérico en valor absoluto, 10 ; escriba :
> abs(-10);
34

35. 10
En lo que respecta al logaritmo natural, ln x , escríbalo de la siguiente forma:
> log(x);
ln x
Si necesita de algún cálculo numérico, como el siguiente, evalf (log(20)) , hágalo de
la siguiente manera:
> evalf(log(20));
2.995732274
Para expresar un logaritmo en cualquier otra base, por ejemplo, evalf (log4 340 ,
> evalf(log[4](340));
4.204695468
Si requiere descomponer un número en sus números primos, puede utilizar el
comando ifactor, de la siguiente forma:
> ifactor(435432654343563425);
2
5 17417306173742537
Si quiere construir una secuencia de números, se debe utilizar el comando seq.
¿Cuales son los resultados de la expresión x2 2x 1 dando valores en el dominio
desde -10 hasta 10?
> seq(k^2+2*k+1,k=-10...10);
35

36. 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,
100, 121
Otro ejemplo es : x 1 , dominio desde 1 hasta 10
> seq(sqrt(k-1),k=1...10);
0, 1, 2, 3 , 2, 5, 6, 7, 2 2, 3
Si requiere conocer los resultados de las raíces deberá utilizar nuevamente el
comando evalf(%)
> evalf(%);
0., 1., 1.414213562 1.732050808 2., 2.236067977
, , ,
2.449489743 2.645751311 2.828427124 3.
, , ,
Sustitución de valores en expresiones algebraicas
2x3
Se tiene la siguiente expresión 2x5 3x4 x2 1, y se requiere evaluarla
3
cuando x=2; a continuación el procedimiento que debe hacerse para evaluar la
expresión antes mencionada en el valor de x:
Nombre a x=2;
> x:=2;
x :=2
Nombre la expresión con alguna letra, por ejemplo z, y obtendrá el resultado final
cuando x=2
36

37. > z:=2*x^5-3*x^4+2/3*x^3+x^2+1;
79
z :=
3
Si requiere sustituir otro valor de x, tendrá que utilizar el comando
unassign(„variable‟),
> unassign('x');
> x:=0;
x :=0
> z:=2*x^5-3*x^4+2/3*x^3+x^2+1;
z :=1
Para cambiar todas las variables hechas, utilice el comando, restart y
automáticamente borrará toda la memoria del programa Maple.
> restart;
Práctica
1. Calcule siguiente expresión numérica 3732:
2. Calcule la raíz de 6789 con 15 dígitos:
5 34
3. De el resultado numérico de la siguiente expresión 10
4. Descomponga en sus factores el siguiente número
49132748923749732047120397
37

38. 5. Evalúe la siguiente expresión cuando x 4 en x3 2x2 x 10 ,
posteriormente utilizando el comando unassign evalúe en x 3.
6. (*)Determine cual de los siguientes números de la sucesión no es primo: 31,
331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331, 333333331.
4
7. (*)Demuestre que la ecuación w x4 y4 z 4 , tiene una solución cuando
w 2682440 x 15365639 y 18796760 y z
, , 20615673.
38

39. Laboratorio 3. Expresiones Algebraicas
En esté laboratorio aprenderá a manejar algunos aspectos algebraicos, por
ejemplo, utilizará el comando eval para evaluar expresiones, el comando expand
para multiplicación de binomios, otros comandos a utilizar son el comando factor el
cual factorizará expresiones algebraicas, el comando simplify el cual simplificará
expresiones; así como también el comando rationalize el cual es útil para
racionalizar expresiones.
Uso del comando eval
Antes de iniciar limpie las variables de Maple con el comando restart
> restart;
Nombre la siguiente expresión 3x3 2x 1 por la letra h
> h:=3*x^3-2*x+1;
h :=3 x3 K 2 x C 1
Evalúe h cuando x 2 ,
> eval(h,x=2);
21
En su caso pudo haber sustituido directamente la expresión en el comando eval,
> eval(3*x^3-2*x+1,x=2);
39

40. 21
x y
Evalúe la siguiente expresión implícita z cuando x 2, y 3
2x 3 y 2
> z:= (x+y)/(2*x+3*y^2);
xC y
z :=
2 x C 3 y2
Cuando se tiene una expresión, donde deben evaluarse dos variables o más, es
necesario utilizar corchetes, para los valores de las variables a evaluar
> eval(z,[x=2,y=3]);
5
31
El resultado obtenido es en fracción, si se requiere el valor en decimales, debe
utilizar el comando evalf y el símbolo %
> evalf(%);
0.1612903226
También puede utilizar este comando para comprobar una ecuación. Por ejemplo,
x2 2x 1 0 , cuando x 2
> ecuacion1:=x^2-2*x+1 = 0;
ecuacion1:=x2 K 2 x C 1 = 0
> eval(ecuacion1,x=2);
1=0
La solución a la ecuación es cuando x 1
40

41. > eval(ecuacion1,x=1);
0=0
Uso del comando expand
Realice la siguiente la siguiente multiplicación, nombrándola por la letra m
3 2
2x 1 3x 1 x 1
> m:=(2*x+1)*(3*x+1)^3*(x+1)^2;
3 2
m := 2 x C 1 3xC 1 xC 1
> expand(m);
54 x6 C 189 x5 C 261 x4 C 182 x3 C 68 x2 C 13 x C 1
5
Desarrolle el siguiente binomio x 1
> d:=(x+1)^5;
5
d := x C 1
> expand(d);
x5 C 5 x4 C 10 x3 C 10 x2 C 5 x C 1
Uso de los comandos eval y expand
En está subsección se combinarán el uso de los dos comandos. En lugar de
sustituir valores de x, se sustituirán expresiones
41

42. Evaluar la siguiente expresión r : x3 2x2 x 2 cuando x x 1
> r:=x^3-2*x^2+x-2;
r :=x3 K 2 x2 C x K 2
> f:=eval(r,x=x+1);
3 2
f := x C 1 K 2 xC 1 C xK 1
> expand(f);
x3 C x2 K 2
Uso del comando factor
Factorizar la siguiente expresión x2 4x 4
> q:=x^2-4*x+4;
q :=x2 K 4 x C 4
> factor(q);
2
xK 2
O en su caso puede sustituir toda la expresión en el comando factor:
> factor(x^2-4*x+4);
2
xK 2
Factorizar x4 5x2 4
> factor(x^4-5*x^2+4);
42

43. xK 1 xK 2 xC 2 xC 1
Factorizar 108a6 180a5 45a4 45a3 18a2
> s:=108*a^6-180*a^5+45*a^4+45*a^3-18*a^2;
s :=108 a6 K 180 a5 C 45 a4 C 45 a3 K 18 a2
> factor(s);
9 a2 a K 1 2 aC 1 2 aK 1 3 aK 2
También puede factorizar expresiones racionales. Por ejemplo, factorizar
3x2 2x 8
x 2
> e:=(3*x^2+2*x-8)/(x+2);
3 x2 C 2 x K 8
e :=
xC 2
> factor(e);
3xK 4
Puede usar el comando factor para factorizar el numerador y denominador de una
y 4 y3 y 1
expresión racional. Por ejemplo,
y2 1
> j:=(y^4-y^3-y+1)/(y^2-1);
y4 K y3 K y C 1
j :=
y2 K 1
> factor(numer(j));
43

44. y2 C y C 1 yK 1 2
> factor(denom(j));
yK 1 yC 1
Uso del comando simplify
1
Simplifique la siguiente expresión:
1
1
1
1
x 1
> r:=1/(1+1/(1+1/(x+1)));
1
r :=
1
1C
1
1C
xC 1
> simplify(r);
xC 2
2xC 3
z 2 z 2
Simplifique: z 2 z 2
z 2
1
z 2
> restart;
> t:=((z+2)/(z-2)-(z-2)/(z+2))/(1+(z+2)/(z-2));
44

45. zC 2 zK 2
K
zK 2 zC 2
t :=
zC 2
1C
zK 2
> simplify(t);
4
zC 2
Uso del comando rationalize
El comando rationalize elimina los radicales del denominador en expresiones
numéricas o algebraicas, por ejemplo,
> (sqrt(5)-sqrt(3))/(sqrt(5)+sqrt(3));
( 1/2 ) ( 1/2 )
5 3
( 1/2 ) ( 1/2 )
5 3
> rationalize(%);
1 ( 1/2 ) ( 1/2 ) 2
(5 3 )
2
Si utilizamos expresiones algebraicas tenemos,
> (sqrt(5)-sqrt(3))/(sqrt(5)+sqrt(3));
5K 3
5C 3
> rationalize(%);
45

46. 1 2
5K 3
2
Ahora, utilizando expresiones algebraicas, construimos los siguientes ejemplos,
> (x-2)/(sqrt(x)-1);
xK 2
x K 1
> rationalize(%);
xK 2 1C x
xK 1
> x/(-5+sqrt(2));
x
$5 C 2
> rationalize(%);
1
$ x 5C 2
23
Práctica
2
1. Nombre la siguiente expresión 2x 3x por la letra f, y evalúe para x 2
2 3
2. Evalúe 8x 12x 5x , cuando x 2
3. Nombre la siguiente expresión 6x 3x2 por la letra v y evalúe cuando
x 3u 2 de su resultado sin factorizar
46

47. 6
3x 2
4. Realice la siguiente operación:
3 2 2
5. Evalúe la siguiente expresión x y x y x y2 , cuando: x 2 y y 3
2
x 1 x 1
6. Realice la siguiente operación
x x2 1
7. Multiplique la siguiente expresión
4
8. Factorice la siguiente expresión 81 c
3 3 2 2
9. Factorice la siguiente expresión a 4b 4ab a b
w 3
w 3 w 3
1 1
10. Simplifique la siguiente expresión w 3 w 3
3
11. Racionalice la siguiente expresión 3 2
12. (*)Simplifique
c c 2 cd
c d3 c d c d3 x 1
c d
z 12 z 1 z2 1
13. (*)Demostrar que
2
2 b b2
ax bx c a x c
2a 4a
47

48. Laboratorio 4. Gráficas
En está sección aprenderá a graficar diferentes expresiones de una variable, así
como también buscar puntos en el plano cartesiano, al mismo tiempo combinar
diferentes estructuras para graficar.
Antes de iniciar está sección debemos ejecutar el ayudante de Maple, el comando
with(plots), junto con el comando restart.
Gráficas
> restart;with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
Usando el comando plot para graficar, grafique x2 40x 80 con un dominio de
10...10
> plot(x^2-40*x+80,x=-10...10);
48

49. Gráfica 1
Grafica la expresión anterior ahora con un dominio de , ;
> plot(x^2-40*x+80,x=-infinity...infinity);
Gráfica 2
Grafica la siguiente expresión x3 3x 8 con dominio de [-1...7]
> plot(x^3-3*x+8,x=-1..7);
49

50. Gráfica 3
La expresión anterior ahora con un dominio de [-10...10]
> plot(x^3-3*x+8,x=-10..10);
Gráfica 4
También puede usted seleccionar el rango de su interés.
> plot(x^3-3*x+8,x=0..10,y=0..10);
50

51. Gráfica 5
Puede buscar puntos sobre la gráfica, dando un click sobre el gráfico, observe
como se activa en la barra de herramientas de Maple, las herramientas para
gráficos. De click a cada uno de ellos y observe lo que sucede con el gráfico.
x2 1
Grafique la siguiente expresión racional con dominio de [1/2..4]
x
> plot((x^2+1)/x,x=1/2...4);
Gráfica 6
> restart;with(plots):
51

52. Warning, the name changecoords has been redefined
> A:=(x^2+1)/x;
x2 C 1
A :=
x
> plot(A,x=-10..10);
Gráfica 7
> plot(A,x=-5..5,y=-5..5);
Gráfica 8
> plot(abs(x),x=-10..10);
52

53. Gráfica 9
> plot(2^x,x=0..10);
Gráfica 10
> plot(2*ln(x+1),x=0..10);
53

54. Gráfica 11
> plot(sqrt(x),x=0..10);
Gráfica 12
Ahora se graficarán dos funciones en un sólo plano: las gráficas de x 2 y de x .
Para graficar las dos funciones tendrán que introducir las dos expresiones entre
corchetes.
> restart;with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
54

55. > plot([x^2,x],x=-5..5,y=-5..5);
Gráfica 13
Además puede cambiar el color de las gráficas a los de su preferencia de acuerdo
a los colores de Maple.
aquamarine black blue navy coral cyan
brown gold green gray khaki magenta
maroon orange pink plum red sienna
tan turquoise violet wheat white yellow
> plot([x^2,x],x=-5..5,y=-5..5,color=[pink,navy]);
55

56. Gráfica 14
Grafique x 2 y también 4 x
> plot([x+2,4-x],x=0...4,y=0..4);
Gráfica 15
Gráfica de puntos
Grafique el punto (-5,6). Para ello tendrá que introducir el punto entre corchetes,
mencionando el estilo de gráfico que requiere, el cual es de punto.
> plot([[-5,6]],style=point);
56

57. Gráfica 16
Grafique los siguientes puntos (-5,5),(0,4),(5,-5)
> plot([[-5,-5],[0,4],[5,-5]],style=point);
Gráfica 17
Ahora una los puntos anteriores por líneas
> plot([[-5,-5],[0,4],[5,-5]],style=line);
57

58. Gráfica 18
Igualmente puede escoger el tipo de punto que requiera de acuerdo a los que
maneja el Maple( diamond, circle, cross por default)
> plot([[1,3],[-8,5],[-1,0],[9,2]],style=point,color=navy,symbol=diamond);
Gráfica 19
Para graficar las siguientes expresiones y sus intersecciones use el comando
display.
> figura1 := plot([-3*x+5,9-x^2],x=-3..5,color=[green,red]):
> figura2 := plot([[-1,8],[4,-7]],style=point,color=blue,symbol=circle):
58

59. > display([figura1,figura2]);
Gráfica 20
De igual forma puede utilizar un grupo de ecuaciones a graficar sin usar el
semicolon, solo con las teclas SHIFT+ENTER.
> figura1 := plot([-3*x+5,9-x^2],x=-3..5,color=[green,red]):
figura2 := plot([[-1,8],[4,-7]],style=point,color=blue,symbol=circle):
display([figura1,figura2]);
Gráfica 21
59

60. Práctica
3
1. Grafique la siguiente expresión 1 x con dominio de [-10..10].
2. Grafique la expresión anterior estableciendo el dominio y el rango,
Rango=[-5..5].
3 2 x 5...5
3. Grafique las siguientes expresiones 1 x , x ,2x 1 cuando ,
y 5...5
el color para la primera expresión: blue, para la segunda: pink y
la tercera: black.
3 2 x 5...5
4. Grafique las siguientes expresiones 1 x , x ,2x 1 cuando ,
y 5...5
el color para la primera expresión: blue, para la segunda: pink y
0,1 0.45,0.15
la tercera: black. También grafique las intersecciones , ,
0.75,0.60
, utilizando el comando display.
5. (*)Construya y grafique una función polinomial de grado 5, con 4 raíces
enteras en el intervalo 5,5
60

61. Laboratorio 5. Ecuaciones
En esté laboratorio aprenderá el comando solve, él cual es utilizado para encontrar
las soluciones exactas de ecuaciones, en su momento utilizar gráficos para
encontrar soluciones aproximadas, al mismo tiempo utilizando el comando fsolve,
él cual da soluciones aproximadas.
Antes de iniciar utilice los comandos siguientes
> restart;with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
Manipulación de un sistema de igualación.
Nombre siguiente sistema de igualación por ecu1, ecu1: x x 1 2x x 1
> ecu1:=x*(x+1)=2*x*(x-1);
ecu1 :=x x C 1 = 2 x x K 1
Obtenga la expresión del lado derecho:
> rhs(ecu1);
2x xK 1
Extraiga la expresión del lado izquierdo
> lhs(ecu1);
61

62. x xC 1
Ahora reste ambas expresiones, nombrándolas ecu2
> ecu2:=lhs(ecu1)-rhs(ecu1)=0;
ecu2 :=x x C 1 K 2 x x K 1 = 0
Luego encuentre la solución para ecu2=0
> solve(ecu2,x);
0, 3
Utilizando N[1], le devolverá la solución 1, utilizando N[2], dará como resultado la
solución 2 de ecu2.
> N:=solve(ecu2,x);
N :=0, 3
> N[1];
0
> N[2];
3
Finalmente sustituya los valores para comprobar si ecu2=0
> eval(ecu2,x=N[1]);
62

63. 0=0
> eval(ecu2,x=N[2]);
0=0
Ahora se resolverá una ecuación, la cual no tiene una solución exacta
Empezaremos por nombrar la ecuación ecu1, ecu1: 3x3 24x2 x 4
>restart;
> ecu1:=3*x^3-24*x^2+x+4;
ecu1 :=3 x3 K 24 x2 C x C 4
Se observa que la solución tiene números imaginarios, entonces encontremos una
solución aproximada, de la siguiente manera, utilizando el comando evalf()
> sol1:=solve(ecu1,x);
1 1/3 21
sol1:= 482C I 17723 C 1/3
3 482C I 17723
8 1 1/3
C ,$ 482C I 17723 K
3 6
21 8
1/3
C
2 482C I 17723 3
1 1 1/3
C I 3 482C I 17723 K
2 3
21
1/3
,
482C I 17723
1 1/3 21
$ 482C I 17723 K 1/3
6 2 482C I 17723
8 1
C K I 3
3 2
1 1/3 21
482C I 17723 K 1/3
3 482C I 17723
63

64. Finalmente se convertirá la sol1 en un vector normal para quitar los números
imaginarios, utilizando el comando fnormal()
> p:=fnormal([sol1]);
1
p :=
3
2/3 1/3
482C I 17723 C 63 C 8 482C I 17723
1/3
,
482C I 17723
1 1 2/3
1/3
$ 482C I 17723 K 63
6 482C I 17723
1/3
C 16 482C I 17723
2/3 1
C I 3 482C I 17723 K 63 I 3 ,
6
1 2/3
1/3
$ 482C I 17723 K 63
482C I 17723
1/3 2/3
C 16 482C I 17723 K I 3 482C I 17723
C 63 I 3
A continuación se ha convertido la sol1 en un vector normal. Ahora
simplificaremos el vector. Finalmente encontremos la solución aproximada
> j:=simplify(p);
1 1 8
j := 2 7 cos arctan 17723 C ,
3 482 3
1 1
$ 7 cos arctan 17723
3 482
8 1 1
C K 7 sin arctan 17723 3,
3 3 482
1 1 8
$ 7 cos arctan 17723 C
3 482 3
1 1
C 7 sin arctan 17723 3
3 482
64

65. >solucion:=evalf(j);
solucion:= 7.936835481 K .3795022885 0.4426668085
, ,
Puede utilizar el comando fsolve() para encontrar directamente la solución de
manera aproximada. Sin embargo, no es muy recomendable aplicar directamente
el comando fsolve, ya que en ocasiones la solución que se arroja es cero o da una
única solución, por lo cual debemos graficar para encontrar los valores donde la
ecuación se hace cero y buscar las aproximaciones. Es recomendable utilizar el
comando fsolve, en ecuaciones no polinómicas, exponenciales o combinación de
diferentes ecuaciones.
> fsolve(ecu1);
K .3795022887 0.4426668082 7.936835480
, ,
Podemos utilizar también el comando solve para resolver desigualdades de la
misma manera que para solucionar ecuaciones, por ejemplo,
> restart;
> solve(4*x+7<-3*x+9,x);
2
RealRange $N , Open
7
Cuya solución en este caso es el intervalo abierto de números reales desde
menos infinito hasta 2/7
Alternativamente se define la desigualdad y se resuelve,
> desig1:=(5*x-2)/4>=-3*x+16;
65

66. 5x 33
desig1:=$3 x% K
4 2
> solve(desig1,x);
66
RealRange ,N
17
De igual manera se solucionan las desigualdades de orden superior, definamos y
resolvamos la siguiente desigualdad,
> desig2:=(-3*x^2-4*x+7<=-4*x^2+x+13);
desig2:=$3 x2 K 4 x%$4 x2 C x C 6
> solve(desig2,x);
RealRange$1, 6
Utilizando el comando fsolve para encontrar las soluciones aproximadas
> restart;with(plots);
Warning, the name changecoords has been redefined
Interactive animate, animate3d animatecurve arrow,
, , ,
changecoords complexplot complexplot3d conformal,
, , ,
conformal3d contourplot contourplot3d coordplot
, , , ,
coordplot3d cylinderplot densityplot display display3d
, , , , ,
fieldplot fieldplot3d gradplot gradplot3d graphplot3d
, , , , ,
implicitplot implicitplot3d inequal interactive
, , , ,
interactiveparams listcontplot listcontplot3d listdensityplot
, , , ,
listplot listplot3d loglogplot logplot, matrixplot, multiple
, , , ,
odeplot, pareto, plotcompare pointplot pointplot3d
, , ,
polarplot polygonplot polygonplot3d polyhedra_supported
, , , ,
polyhedraplot replot, rootlocus semilogplot setoptions
, , , ,
setoptions3d spacecurve sparsematrixplot sphereplot
, , , ,
surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot
66

67. El comando fsolve, ayudará encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones. Sin
embargo se observará como devuelve soluciones cero, lo cuál indica que se
tendrá que graficar para encontrar una solución o soluciones aproximadas.
Nombra la siguiente ecuación ecu1: 3x3 24x2 x 4 (Es el último ejemplo de la
sección anterior)
> ecu1:=x^3-24*x^2+x+4=0;
ecu1 :=x3 K 24 x2 C x C 4 = 0
Ahora utilice el comando fsolve para encontrar la solución:
> fsolve(ecu1,x);
K .3850267687 0.4337509254 23.95127584
, ,
Devuelve las mismas tres soluciones encontradas en la sección anterior.
A continuación observaremos las soluciones que arroja el comando fsolve de éste
problema:
Nombra la siguiente ecuación por ecu2,
> ecu2:=x^3+1-exp(x)=0;
ecu2 :=x3 C 1 K e x = 0
Utilice el comando fsolve, para encontrar la solución:
> fsolve(ecu2,x);
0.
67

68. EL resultado que arroja es cero, lo cual es una solución real. Pero en realidad no
es la solución única, luego entonces debe graficar para darse cuenta cuantas
veces la gráfica corta el eje x:
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3...5,y=-5..15);
Gráfica 22
De acuerdo a la gráfica se hacen cuatro cortes, entonces hay cuatro soluciones,
de hecho una de ellas es cero, la cual nos arrojó la solución anterior al usar el
comando fsolve. Ahora encontrará las soluciones aproximadas dando dominios al
comando fsolve; por ejemplo, la primera parte que corta al eje x está entre
1, 0.3 , aplique el comando fsolve para encontrar la solución en ese dominio
restringido.
> fsolve(ecu2,x=-2..-0.3);
K .8251554697
Ahora encontramos ese valor, resuelva así para encontrar los otros dos valores:
> fsolve(ecu2,x=1..2);
68

69. 1.545007279
> fsolve(ecu2,x=4..5);
4.567036837
De esta forma se tienen las cuatro soluciones de la ecuación.
A continuación se resolverán dos ecuaciones, las cuales se intersectan, por lo cual
se encontrará por graficación y con el comando fsolve, las intersección entre las
graficas y el eje x
Nombre las dos siguientes ecuaciones por y1: 20 x2 y y2: 10 3x
> y1:=-20+x^2;
y1 :=$20 C x2
> y2:=-10-3*x;
y2 :=$10K 3 x
Graficando las dos ecuaciones:
> plot([y1,y2],x=-10..10);
Gráfica 23
69

70. Si se da un click en la gráfica se puede observar de manera aproximada que las
intersecciones entre las graficas son (-5.04,5.50) y (1.89,-15.08); así como
también las intersecciones con el eje x son (-4.67,0) y (4.67,0); también la recta
corta al eje x en (-3.22,0).
A continuación calcule de manera exacta tales puntos de intersección con el
comando fsolve, igualando primeramente las ecuaciones:
> ecuacion:=y1=y2;
ecuacion:=$20 C x2 = $10 K 3 x
Después encuentre la solución con el comando fsolve:
> sol1_x:=fsolve(y1=y2,x=-5.5..-4.8);
sol1_x:=K 5.000000000
> sol2_x:=fsolve(y1=y2,x=0..5.5);
sol2_x:=2.000000000
Finalmente encuentre el valor de y, con el comando eval:
> sol1_y:=eval(y1,x=sol1_x);
sol1_y:=5.00000000
> sol2_y:=eval(y1,x=sol2_x);
sol2_y:=K 16.00000000
Así que las intersecciones de las gráficas son: (-5,5) y (2,-16).
70

71. Ahora se encontrará los valores cuando se hacen cero las ecuaciones:
> sol3_x:=fsolve(y1=0,x);
sol3_x:=K 4.472135955 4.472135955
,
> sol4_x:=fsolve(y2=0,x);
sol4_x:=K 3.333333333
> sol3_x[1];
K 4.472135955
> sol3_x[2];
4.472135955
> sol5_y:=eval(y1,x=sol3_x[1]);
sol5_y:=0.
> sol6_y:=eval(y1,x=sol3_x[2]);
sol6_y:=0.
> sol7_y:=eval(y2,x=sol4_x);
sol7_y:=K 1. 10-9
Los puntos que cruzan al eje x son: (-4.47,0),(4.47,0) y (-3.33,-1.10-9).
Solución de ecuaciones con literales
> restart;
71

72. u
Despeje u de la siguiente expresión: s
au v
Primeramente nombre la expresión por alguna letra.
> z:=s = u/(a*u+v);
u
z :=s =
a uC v
Utilice el comando solve para despejar u
> u=solve(z,u);
sv
u=$
s aK 1
Enseguida resuelve para a
> a=solve(z,a);
svK u
a=$
su
Ahora resuelve para v
> v=solve(z,v);
u s aK 1
v =$
s
Solución de sistemas de ecuaciones lineales, usando el comando solve
> restart;with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
72

73. A continuación se resolverá un sistema de ecuaciones lineales, los cuales son las
siguientes: x y 3, x y 1; se observa cómo las funciones están
implícitamente, aún así se encontrará su solución, usando el comando solve:
> ecu1:=x+y=3;
ecu1 :=x C y = 3
> ecu2:=x-y=-1;
ecu2:=x K y = $1
Para encontrar la solución tendrá que introducir ecu1 y ecu2 entre llaves en el
comando solve
> solucion:=solve({ecu1,ecu2});
solucion:= y = 2, x = 1
Enseguida despejaremos para el valor de y
> y1:=solve(ecu1,y);
y1 :=$x C 3
> y2:=solve(ecu2,y);
y2 :=x C 1
A continuación se graficarán las ecuaciones anteriores, indicando el punto de
intersección; utilizando el comando display
> grafico1:=plot([y1,y2],x=0..5,y=0..5,color=[red,blue]):
> grafico2:=plot([[1,2]],style=point,color=green,symbol=circle):
73

74. > display([grafico1,grafico2]);
Gráfica 24
También se puede graficar como si fueran funciones implícitas, utilizando el
comando implicitplot (en esté comando no puede utilizar la sentencia color, para
especificar el color de los gráficos)
> implicitplot({ecu1,ecu2},x=0..5,y=0..5);
Gráfica 25
Ahora se resolverá un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas;
> restart;
Nombra las tres siguientes ecuaciones
74

75. 2x y z 3
x 2 y 2z 1 . :
x y 3z 6
> ecu1:=2*x+y+z = 3;ecu2:=-x+2*y+2*z = 1;ecu3:=x-y-3*z = -6;
ecu1 :=2 x C y C z = 3
ecu2:=$x C 2 y C 2 z = 1
ecu3:=x K y K 3 z = $6
> sol:=solve({ecu1,ecu2,ecu3});
sol:= z = 3, x = 1, y = $2
> eval(ecu1,sol);
3=3
> eval(ecu2,sol);
1=1
> eval(ecu3,sol);
$6 = $6
Sistemas de ecuaciones simultáneas con un número infinito de soluciones
> restart;
Nombra las siguientes dos ecuaciones:
> ecu1:=x-3*z=-3;ecu2:=2*x-5*y-z=-2;
75

76. ecu1:=x K 3 z = $3
ecu2:=2 x K 5 y K z = $2
> sol:=solve({ecu1,ecu2});
4 3
sol := z = C y, x = $ C 3 y, y = y
5 5
Nos indica que y puede tomar cualquier valor arbitrario.
Práctica
1. Declare ec1 3x 5 17 , ec2 6x 25 12 , construya ec3 ec1 ec2 y
resuelva ec3
2
2. Resuelva la ecuación x 9x 20 0
3. Compruebe para la segunda solución
4. Encuentre las raíces de la función
22
ec7 ex 3x3 x2 x
21
5. Grafique y encuentre las coordenadas de la intersección de las curvas
eq1 x2 x 2
eq2 x 1
6. Despeje x y u de la expresión
3x2 u
y
z
76

77. 7. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas (y grafique
implícitamente)
4x 3 y 17
2x y 1
8. Obtenga el intervalo de números reales que satisfagan la siguiente
desigualdad
5 5x 6
7 8x 3
9. (*)Encuentre y grafique una función polinomial de grado 4, con 3 raíces
racionales en el intervalo 0,1 .
10. (*)Encuentre y grafique las coordenadas de los 4 puntos de intersección de
las curvas definidas por:
x2 y2 9
2
4x 25y 2 100
77

78. Laboratorio 6. Matrices
Para efectuar operaciones con matrices se necesita la biblioteca de matrices, para
ello se utiliza el comando with(LinearAlgebra); recuerde que puede utilizar dos
puntos al final o punto y coma (;) para ver todos los comando que tiene el Maple
para operaciones con matrices.
Luego entonces llamaremos la biblioteca del Maple y borraremos la memoria.
> restart;with(LinearAlgebra);
[ &x, Add, Adjoint BackwardSubstituteBandMatrix Basis, BezoutMatrix
, , , ,
BidiagonalFormBilinearForm CharacteristicMatrixCharacteristicPolynomial
, , , ,
Column, ColumnDimensionColumnOperationColumnSpace CompanionMatrix
, , , ,
ConditionNumberConstantMatrix ConstantVector Copy, CreatePermutation
, , , ,
CrossProduct DeleteColumn DeleteRow Determinant Diagonal DiagonalMatrix
, , , , , ,
Dimension DimensionsDotProduct, EigenConditionNumbersEigenvalues
, , , ,
Eigenvectors Equal, ForwardSubstituteFrobeniusForm GaussianElimination
, , , ,
GenerateEquationsGenerateMatrix GetResultDataTypeGetResultShape
, , , ,
GivensRotationMatrixGramSchmidt HankelMatrix HermiteForm
, , , ,
HermitianTransposeHessenbergForm HilbertMatrix HouseholderMatrix
, , , ,
IdentityMatrix IntersectionBasisIsDefinite IsOrthogonal IsSimilar IsUnitary
, , , , , ,
JordanBlockMatrix JordanForm LA_Main LUDecompositionLeastSquares
, , , , ,
LinearSolve Map, Map2, MatrixAdd MatrixExponentialMatrixFunction
, , , ,
MatrixInverse MatrixMatrixMultiplyMatrixNorm MatrixPower
, , , ,
MatrixScalarMultiplyMatrixVectorMultiplyMinimalPolynomialMinor, Modular,
, , ,
78

79. Multiply, NoUserValue Norm, Normalize NullSpace, OuterProductMatrix
, , ,
Permanent, Pivot, PopovForm QRDecompositionRandomMatrix RandomVector
, , , ,
Rank, RationalCanonicalFormReducedRowEchelonFormRow, RowDimension
, , ,
RowOperation RowSpace ScalarMatrix ScalarMultiply ScalarVector,
, , , ,
SchurForm, SingularValues SmithForm SubMatrix SubVector, SumBasis
, , , ,
SylvesterMatrix ToeplitzMatrix Trace, Transpose TridiagonalFormUnitVector
, , , , ,
VandermondeMatrixVectorAdd, VectorAngle, VectorMatrixMultiplyVectorNorm,
, ,
VectorScalarMultiply ZeroMatrix ZeroVector, Zip]
, ,
Los comandos que fueron desplegados anteriormente son todos los comandos
que pueden utilizarse en operaciones con matrices.
Creación de una matriz
Para crear una matriz se puede hacer de diferentes formas, por filas o columnas.
Se debe nombrar la matriz para posteriormente utilizarla en operaciones
algebraicas.
Creación de una matriz por filas:
> a:=<<2|3|4>,<5|0|1>,<8|3|1>>;
2 3 4
a := 5 0 1
8 3 1
Construcción de una matriz por columnas:
> b:=<<2,5,8>|<1,6,9>|<0,6,1>>;
79

80. 2 1 0
b := 5 6 6
8 9 1
También puede crear una matriz utilizando el comando Matrix
> c:=Matrix([[1,9,0],[1,5,3],[2,7,0]]);
1 9 0
c := 1 5 3
2 7 0
Del mismo modo se pueden utilizar las paletas del Maple para crear una matriz, el
cual se encuentra en el menú de View que está en la barra de herramientas,
donde puede escoger la dimensión de la matriz a trabajar:
80

81. Eliminación de filas y columnas de una matriz
Para eliminar una fila de una matriz se utiliza el comando DeleteRow (M,#); donde
M= es la matriz y # la fila que se quiere eliminar
> a;
2 3 4
5 0 1
8 3 1
> DeleteRow(a,1);
5 0 1
8 3 1
> DeleteRow(a,3);
2 3 4
5 0 1
> DeleteRow(a,2);
2 3 4
8 3 1
Para eliminar columnas se debe utilizar el comando DeleteColumn(M,#); donde M
es la matriz y # es el número de la columna que se quiere eliminar:
> a;
81

82. 2 3 4
5 0 1
8 3 1
> DeleteColumn(a,1);
3 4
0 1
3 1
> DeleteColumn(a,2);
2 4
5 1
8 1
> DeleteColumn(a,3);
2 3
5 0
8 3
Aumento de filas y columnas de una matriz
Para aumentar una fila a una matriz se hace el siguiente procedimiento:
> b;
82

83. 2 1 0
5 6 6
8 9 1
Establezca y nombre la fila a aumentar en la matriz b:
> h:=<<1|2|3>>;
h := 1 2 3
Introduzca la fila dentro de la matriz b y nómbrela con otro nombre
> z:=<b,h>;
2 1 0
5 6 6
z :=
8 9 1
1 2 3
A continuación se aumentará una columna a la matriz z; establezca y nombre la
columna que va añadir:
> n:=<1,9,0,2>;
1
9
n :=
0
2
Añade n a z y nómbrela con otro nombre:
> q:=<z|n>;
83

84. 2 1 0 1
5 6 6 9
q :=
8 9 1 0
1 2 3 2
Cambio de una fila o columna por un múltiplo escalar
Primeramente crearemos una matriz
> a;
2 3 4
5 0 1
8 3 1
Ahora se multiplicará la fila 3 por el escalar 2; para ello se utilizará el comando
RowOperation(M,F,E), donde M, es la matriz; F, es el número de fila y E es el
escalar a multiplicar.
> RowOperation(a,3,2);
2 3 4
5 0 1
16 6 2
> RowOperation(a,2,5);
84

85. 2 3 4
25 0 5
8 3 1
> RowOperation(a,1,-3);
K 6 K 9 K 12
5 0 1
8 3 1
Finalmente se hará para las columnas, solo que el comando es
ColumnOperation(M,F,E), donde M, es la matriz; F, es el número de columna y E
es el escalar a multiplicar.
> ColumnOperation(a,1,2);
4 3 4
10 0 1
16 3 1
> ColumnOperation(a,2,-3);
2 K9 4
5 0 1
8 K9 1
> ColumnOperation(a,3,0);
2 3 0
5 0 0
8 3 0
85

86. Intercambio de filas y columnas
Para hacer un intercambio de filas o columnas se utiliza el comando
RowOperation para filas y, ColumnOperation para columnas.
Primeramente cambiaremos la fila 1 por la 3 de la matriz a:
> a;
2 3 4
5 0 1
8 3 1
> RowOperation(a,[1,3]);
8 3 1
5 0 1
2 3 4
Si observa el intercambio de filas se hace entre corchetes. Ahora se cambiara la
fila 2 por la 3:
> RowOperation(a,[2,3]);
2 3 4
8 3 1
5 0 1
A continuación se hará el intercambio entre columnas.
Se cambiara la columna 1 por la 3.
> ColumnOperation(a,[1,3]);
86

87. 4 3 2
1 0 5
1 3 8
Se observa que el intercambio de columnas se hace entre corchetes al igual que
el de filas.
> ColumnOperation(a,[2,1]);
3 2 4
0 5 1
3 8 1
Extracción de un valor de la matriz o de una submatriz
Para extraer un valor de una matriz se debe hacer donde hay la intersección de
filas con columna y ese valor será extraído, por ejemplo,
Extraer el valor cero del matriz a:
> a;
2 3 4
5 0 1
8 3 1
> a[2,2];
0
87

88. Se nombra primeramente la matriz y entre corchetes la intersección ya que el cero
está en la fila 2 columna 2.
Ahora se extraerá el número 8 de la matriz a:
> a[3,1];
8
Luego el número 4:
> a[1,3];
4
2 3
A continuación para extraer la matriz se debe mencionar que se requiere
5 0
desde la fila 1 hasta la fila 2 y desde la columna1 hasta la columna 2
> a[1..2,1..2];
2 3
5 0
2 3 4
Si se requiere extraer la matriz se debe mencionar desde la fila1 hasta
5 0 1
la fila 2 y desde la columna 1 hasta la columna 3
> a[1..2,1..3];
88

89. 2 3 4
5 0 1
3 4
Para extraer la matriz se debe mencionar desde la fila 1 hasta la fila 2 y
0 1
desde la columna 2 hasta la columna 3
> a[1..2,2..3];
3 4
0 1
Operaciones con matrices
Antes de iniciar con operaciones básicas de matrices, suma, resta, multiplicación y
potencia de una matriz, determinante de una matriz, matriz inversa, entre otras;
debemos reiniciar el programa y llamar la biblioteca de álgebra lineal.
> restart;with(LinearAlgebra):
Se establecen dos matrices nombrándolas:
> A:=Matrix([[ 4,5,7],[0,1,-2],[-1,3,5 ]]);B:=Matrix([[1,9,0],[3,-5,7],[1,0,-1]]);
4 5 7
A := 0 1 K2
K1 3 5
89

90. 1 9 0
B := 3 K 5 7
1 0 K1
Suma y resta
Para la suma de matrices simplemente se utiliza el operador de la suma (+).
> A+B;
5 14 7
3 K4 5
0 3 4
En otro caso puede utilizar el comando MatrixAdd de la siguiente forma:
> MatrixAdd(A,B);
5 14 7
3 K4 5
0 3 4
En lo que se refiere a la resta de matrices se utiliza el operador de la resta (-);
> A-B;
3 K4 7
K3 6 K9
K2 3 6
90

91. Multiplicación
En el caso de la multiplicación de matrices el programa Maple no utiliza el
operador (*) para la multiplicación, si no el punto (.); crearemos otra matriz para
hacer la multiplicación con más de dos matrices.
> C:=Matrix([[1,6,-1],[2,0,-2],[-3,5,7]]);
1 6 K1
C := 2 0 K2
K3 5 7
> A.B;
26 11 28
1 K5 9
13 K 24 16
> A.B.C;
K 36 296 148
K 36 51 72
K 83 158 147
Para hacer la multiplicación por un escalar, es necesario utilizar el operador (*):
> 2*A;
8 10 14
0 2 K4
K2 6 10
> 2*A.B.(3*C);
91

92. K 216 1776 888
K 216 306 432
K 498 948 882
También puede utilizar el comando Multiply, solo para multiplicar dos matrices:
> Multiply(A,B);
26 11 28
1 K5 9
13 K 24 16
> Multiply(A,C);
K7 59 35
8 K 10 K 16
K 10 19 30
Además de la opción de multiplicar un matriz por un escalar, se puede utilizar el
comando ScalarMultiply o MatrixScalarMultiply
> ScalarMultiply(A,2);
8 10 14
0 2 K4
K2 6 10
> MatrixScalarMultiply(A,2);
8 10 14
0 2 K4
K2 6 10
92

93. Potencia de una matriz
Para aplicar una potencia a una matriz, simplemente eleva la matriz a la potencia
que se requiere:
> A;
4 5 7
0 1 K2
K1 3 5
> A^2;
9 46 53
2 K 5 K 12
K 9 13 12
> A^5;
K 1777 1036 K 1069
442 607 1000
K 163 K 2605 K 2940
> A^3;
K 17 250 236
20 K 31 K 36
K 48 4 K 29
93

94. Transpuesta de una matriz
La transpuesta de una matriz es simplemente el intercambio de filas por columnas
o viceversa; para ello debe utilizar el comando Transpose.
> A;
4 5 7
0 1 K2
K1 3 5
>Transpose(A);
4 0 K1
5 1 3
7 K2 5
Determinante de una matriz
Para calcular el determinante de un matriz debe utilizar el comando Determinant
> A;
4 5 7
0 1 K2
K1 3 5
> Determinant(A);
61
> B;
94

95. 1 9 0
3 K5 7
1 0 K1
> Determinant(B);
95
Inversa de una matriz
En cuanto al cálculo de la inversa de una matriz existen dos formas. La primera
elevando la matriz a la -1 y la segunda utilizando el comando MatrixInverse.
> A;
4 5 7
0 1 K2
K1 3 5
> A^(-1);
11 K4 K 17
61 61 61
2 27 8
61 61 61
1 K 17 4
61 61 61
> MatrixInverse(A);
95

96. 11 K4 K 17
61 61 61
2 27 8
61 61 61
1 K 17 4
61 61 61
Sistemas de Ecuaciones
Antes de iniciar se debe empezar con el comando restart; with(LinearAlgebra):
> restart;with(LinearAlgebra):
Se tiene un sistema de ecuaciones de dos por dos:
> 2*x+5*y=4;8*x+3*y=7;
2xC 5y=4
8xC 3y=7
Introduzcamos el sistema a una matriz:
> A:=Matrix([[2,5],[8,3]]);
2 5
A :=
8 3
> b:=Matrix([[4],[7]]);
4
b :=
7
96

97. Ahora se resolverá el sistema por el método de eliminación Gaussiana, conocido
como sistema escalonado; para ello se debe utilizar ReducedRowEchelonForm
> c:=ReducedRowEchelonForm(<A|b>);
23
1 0
34
c :=
9
0 1
17
El resultado para x=23/34, y=9/17.Convertiremos los resultados de la matriz a
ecuación, utilizando el comando GenerateEquations
> GenerateEquations(c,[x,y]);
23 9
x= , y=
34 17
También se puede convertir una matriz a un sistema de ecuaciones con el mismo
comando anterior, por ejemplo:
> q:=Matrix([[1,-5,-4],[1,0,5],[9,-2,1]]);
1 K5 K4
q := 1 0 5
9 K2 1
> t:=Matrix([[0],[0],[0]]);
0
t := 0
0
97

98. Se tiene la matriz q que es la de coeficientes y la matriz t que es el de resultados,
convertiremos las matrices a un sistema de ecuaciones de tres por tres.
> k:=GenerateEquations(q,[x,y,z],<0,0,0>);
k := x K 5 y K 4 z = 0, x C 5 z = 0, 9 x K 2 y C z = 0
> var:=[x,y,z];
var := x, y, z
> GenerateMatrix(k,var);
1 K5 K4 0
1 0 5 , 0
9 K2 1 0
> GenerateMatrix(k,var,augmented=true);
1 K5 K4 0
1 0 5 0
9 K2 1 0
Ahora se resolverá el sistema con el comando LinearSolve
> LinearSolve(%);
0
0
0
98

99. Práctica
1. Construya la siguiente matriz
1 7 9
A: 0 1 3
4 3 0
a) Elimine la fila 3 de la matriz A
b) Elimine la columna 3 de la matriz A
h: 3 2 5
c) Aumente la siguiente matriz en la matriz A y nombra la
nueva matriz por la letra z.
2
12
j:
1
d) Aumente la siguiente matriz
3 a la matriz z y nómbrela q.
e) Multiplique la fila 3 de q por 2.
f) Multiplique la columna 3 de q por -1/3.
g) Intercambie la columna 2 por la columna 1 de q.
h) Intercambie la fila 1 por la 3 de q; nómbrela w.
i) Extraiga el valor -3 de w
1 7
j) Extraiga la matriz 3 2 de w.
2. Construya las siguientes matrices
7 2 1 3 2 1 15 4 10
A: 3 0 4 B: 7 10 11 C : 7 8 1
1 6 9 5 7 0 0 5 0
99

100. y efectúe las siguientes operaciones:
a) a) A+B+C,
b) b) AB,
c) c) (AB)C,
d) d) CA,
e) e ) A-BC.
f) Transponga la matriz C y nómbrala Ct
g) Calcule el determinante de Ct
h) Calcule la matriz inversa de Ct
3. Construya el siguiente sistema :
8x 12 y 72
9x 12 y 21
4. Introduzca el sistema anterior en una matriz, resuélvalo por el método de
eliminación Gaussiana y convierta el resultado en una ecuación.
5. Convierta las siguientes matrices en ecuaciones y resuelva el sistema
usando el comando LinearSolve;
1 1 3 5
A: 2 1 4 B: 8
1 1 1 1
6. (*)Sean
9 2
3 6 4 1 8
A ,B ,C 11 4
2 7 6 5 5
8 12
a) Verifique que A(BC) ( AB)C
100

101. T T
b) Calcule 2 AC
T 1 T
c) Calcule 4 CB
1
d) Calcule A
3
BC T
101

102. Bibliografía
1. Garvan Frank .“The maple book”, ed. Chapman & Hall/crc, Estados Unidos:
2002.
2. Heck André . Introduction to Maple. Third edition, Ed. Springer, USA 2000.
3. Rafter A. John, Abell L: Martha, Braselton P. James, “Statistics with maple”,
Academic Press, USA 2003.
4. www.maplesoft.com
102

103. Índice de gráficas
Gráfica 1 ......................................................................................................................... 49
Gráfica 2 ......................................................................................................................... 49
Gráfica 3 ......................................................................................................................... 50
Gráfica 4 ......................................................................................................................... 50
Gráfica 5 ......................................................................................................................... 51
Gráfica 6 ......................................................................................................................... 51
Gráfica 7 ......................................................................................................................... 52
Gráfica 8 ......................................................................................................................... 52
Gráfica 9 ......................................................................................................................... 53
Gráfica 10....................................................................................................................... 53
Gráfica 11....................................................................................................................... 54
Gráfica 12....................................................................................................................... 54
Gráfica 13....................................................................................................................... 55
Gráfica 14....................................................................................................................... 56
Gráfica 15....................................................................................................................... 56
Gráfica 16....................................................................................................................... 57
Gráfica 17....................................................................................................................... 57
Gráfica 18....................................................................................................................... 58
Gráfica 19....................................................................................................................... 58
Gráfica 20....................................................................................................................... 59
Gráfica 21....................................................................................................................... 59
Gráfica 22....................................................................................................................... 68
Gráfica 23....................................................................................................................... 69
Gráfica 24....................................................................................................................... 74
Gráfica 25....................................................................................................................... 74
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