1. Tema 6
Şiruri şi serii de funcţii. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii
Modulul 6.1 - Şiruri şi serii de funcţii. Serii de puteri
Şirurile şi seriile de funcţii reale sunt o generalizare naturală a şirurilor şi
seriilor de numere reale, care permit studiul riguros al modului de definire a
unor funcţii elementare. Clasa seriilor de puteri, caz particular de serii de funcţii,
permite o extindere naturală a noţiunii de funcţie polinomială.
Definiţia 6.1
Se numeşte şir de funcţii reale definite pe A  R, orice funcţie
1] fn : A R,  nN, xA  fn (x)R,  nN şi elementele şirului: fn  F(A,
R),  nN, unde F(A, R) = {f | f:AR} şi se va nota (fn ) sau fn cu nN.
2] Şirului (fn ) dat prin 1] îi asociem şirul de sume parţiale:
n
(2) Sn ( x)   f k ( x), x  A şi nN; Sn : A R, nN. Perechea de şiruri de funcţii
k 0
reale definite pe A:   fn nN ;  Sn nN  se numeşte serie de funcţii reale de

termen general fn şi cu şirul sumelor parţiale Sn, notată prin: (3) f
n 0
n ( x), x  A

sau f
n0
n sau f0  f1    f n  ...
Exemple.
sin x cos nx
(1) f n ( x)  cu x  R; (2) f n ( x)  2 cu x  0, 2;
n 1
2
n 1
(3) f n ( x)  x n , x  0,  şi S n ( x)   x n definesc seria de funcţii
n
1
 3
  k 0
n
x
k 0
n
 1  x  x 2  ...  x n  ...
f 0 ( x)  1, f n ( x)  x n 1  x n , n  1, x  [0,1] cu S n ( x)  1    x k 1  x k 
n
(4) care definesc
k 1

seria de funcţii: 1    x n 1  x n , x  [0,1] .
k 1
Definiţia 6.2
Fie fn : AR R un şi de funcţii reale şi f : A R.
1] Şirul de funcţii (fn ) converge punctual (simplu) la funcţia f pe A, dacă şi
numai dacă, în fiecare x0 A avem: f n ( x0 )  f ( x0 ) , notat f n  f sau
R
 pc
A

pc
pentru fiecare x  A, f ( x)  lim f n ( x) .
n
2] Şirul de funcţii (fn ) converge uniform la funcţia f pe A, dacă şi numai dacă,
avem: (4) >0,  nN independent de x  A a. î.  n n  | fn (x) – f (x)| < ,
uc
 xA notat f n  f sau f ( x)  lim f n ( x)
uc
A
  xA.
n
143

2. 3] Şirul de funcţii (fn ) este şir uniform Cauchy sau şir uniform fundamental
pe A, dacă şi numai dacă, avem: (5) >0,  nN independent de x  A a.î. 
n n şi p1  | fn+p (x) – fn (x)| < ,  xA.
Observaţii.
1. Din definiţia 2, cazul f n  f este caracterizat prin inegalităţi astfel: (6) 
pc
A

xA, >0,  n(x)N a. î.  n n  | fn (x) – f (x)| < .
2. Convergenţa punctuală este caracterizată prin faptul că în fiecare x0 A, avem
şirul numeric fn (x0) convergent cu limita f (x0) R.
3. Convergenţa uniformă, f n  f are o interpretare geometrică în desenul
uc
A

alăturat:   >0 fixat trasăm graficele funcţiilor: f, f - , f +  şi atunci există
nN a. î. graficul funcţiei fn (x) cu n n este situat între graficul lui f -  şi al
lui f + .
y
f+
fn f
f-
o x
A
Exemple.
x2
1. f n ( x)  , x  R şi f n  f cu f(x)= 0,  x R.
pc

n 1 A
n2 x2
2. f n ( x)  2 , x  R şi f n  f cu f(x)= x2,  x R.
pc

n 1 A
0, x   0,1
3. f n ( x)  x n , x  [0,1] şi f n  f cu f ( x)  
pc
  .
1, x  1
A

Definiţia 6.3
n
Fie fn : A R un şir, şirul de sume parţiale Sn ( x)   f k ( x), x  A şi seria de
k 0

funcţii f 0
n ( x), x  A .

1] Seria de funcţii f
0
n este simplu convergentă sau punctual convergentă pe
A cu suma S, dacă şi numai dacă, S n  S
pc
A
 cu S:AR; notăm
pc 
S ( x)   f n ( x), x  A .
0
144

3. 
2] Seria de funcţii f
0
n este uniform convergentă pe A cu suma S, dacă şi
uc 
numai dacă, Sn  S ; notăm S ( x)   f n ( x), x  A .
uc
A

0

3] Seria de funcţii f
0
n este absolut convergentă pe A, dacă şi numai dacă,

seria modulelor  0
f n ( x) este convergentă în  xA.
Observaţii.
1. Convergenţa punctuală şi respectiv convergenţa uniformă a unei serii de
funcţii reale, revine la a studia tipul de convergenţă al şirului de sume parţiale în
sensul definiţiei 2.
2. Din acest motiv, în studiul convergenţei unei serii de funcţii reale, se vor
folosi teoremele şi criteriile relative la convergenţa şirurilor de funcţii reale.
Exemple.
1. f n ( x)  x n , x  0,  cu Sn ( x)   x k = 1  x  ...  x n 
n
1
 
 3 k 0
n 1
1 x 1  1
= + şi Sn  S
pc
 cu Sn ( x)  , x  0,  . Seria de funcţii
1 x 1 x  1
0, 3 
 
1 x  3
 pc
 1

0
x n  S ( x), x  0,  .
 3
2. f 0 ( x)  1, f n ( x)  x n1  x n , n  1, x  [0,1] şi Sn ( x)  1    x n 1  x n   1 
n
k 1
  x  x    x  x   ...   x
2 3 2 n 1
x n
  1 x  x n 1
, Sn  S ,
0,1
pc
1  x; x   0,1

Sn ( x)   .
1; x  1

x n x n 1 n
 x k x k 1 
3. f n ( x)   , cu n  1 şi x  [1,1] , avem: Sn ( x)  1     
n n 1 k 1  k k 1
 x 2   x 2 x3   x n x n1  x n1
  x        ...      x , şi lim Sn ( x)  S ( x)  x
 2  2 3  n n 1 n 1 n
pc   n
x x n1 
x    , x   1,1 .
n 1  n n 1
4. Dacă f : A R şi fn : A R,  nN sunt funcţii mărginite pe A, definim
norma supremum sau norma uniformă a lui f, respectiv fn cu nN prin: (7)
def def
f  sup | f ( x) |; n  N, f n  sup | f n ( x) | şi distanţa indusă de normă: (8)
xA xA
d ( f , g )  f  g  sup | f ( x)  g ( x) |, f , g  F ( A, R) care verifică axiomele de
xA
definiţie ale normei:
(N1) ||f ||  0,  f F (A, R) şi || f || =0  f (x)  0,  xA;
(N2) || f || =| | || f ||, pentru    R, f F (A, R);
145

4. (N3) || f + g || = || f || + || g ||;  f, g F (A, R)
şi respectiv axiomele de definiţie ale distanţei:
(D1) d(f, g)  0,  f, g F (A, R) şi d(f, g) = 0  f (x)  g(x),  xA;
(D2) d(f, g) = d( g, f ),  f, g F (A, R);
(D3) d(f, g)  d(f, h) + d( h, g ),  f, g, h F (A, R).
Teorema 6.1
Fie f , fn : A R,  nN. Dacă f n  f , atunci f n  f . Reciproca, în
uc
A
 pc
A

general, nu este adevărată.
Demonstraţia este directă din (4), definiţia 6.2, care implică (6).◄
Teorema 6.2
Fie f , fn : A R,  nN, următoarele afirmaţii sunt echivalente:
(i) f n  f ; (ii) lim sup f n ( x)  f ( x)   0 ; (iii) (fn) este uniform Cauchy pe A.
uc

n   xA 
A
 
def 2
Demosntraţie. (i)(ii) Ipoteza f n  f  >0,  nN a. î.  n n  |
uc
A

fn (x) – f (x)| < ,  xA >0,  nN a. î.  n n  sup | f n ( x)  f ( x) |  
xA
lim sup f n ( x)  f ( x)   0 .
n   xA
 

def 2
(i)(iii) Din ipoteza f n  f  >0 fixat,  nN a. î.  n n  | fn (x) – f
uc
A

  
(x)| < , | fn+p (x) – fn (x)| | fn+p (x) – f (x)| + | f(x) – fn (x)|< < + ,  n n, 
2 2 2
p 1 şi  xA  (fn ) este şir uniform Cauchy pe A.
(iii) (i) Dacă (fn ) este şir uniform Cauchy pe A   xA fixat, şirul numeric
(fn (x)) este şir Cauchy de numere reale şi deci convergent în R, notăm
f ( x)  lim f n ( x) pentru xA fixat, deci f n  f . Notăm m = n+ p şi din (5)
pc
A

n 
avem | fn (x) – fm (x)| <,  n, m n şi  xA; trecem la limită lim | fn (x) – fm
m
(x)|=| fn (x) – f (x)| ,  xA şi  n n  lim sup f n ( x)  f ( x)   0  f n  f
n   
uc

( ii )  xA  A
.◄
Observaţii.
1. Echivalenţa (i)(iii) este Teorema lui Cauchy pentru şiruri de funcţii reale:
“ (fn ) este uniform convergent pe A, dacă şi numai dacă, (fn ) este şir uniform
Cauchy pe A”.
2. Din definiţia 3 – cazul (2) deducem Teorema lui Cauchy pentru serii de

funcţii reale: “Seria de funcţii f0
n este uniform convergentă pe A dacă şi
numai dacă, (Sn) este şir uniform Cauchy  (9)>0,  nN independent de x
(5)
a. î.  n n şi pN  | Sn+p (x) –Sn (x)| = | fn+1 (x) + ...+ fn+p (x)| < ,  xA.”
Teorema 6.3
Fie f , g, fn : A R,  nN atunci au loc următoarele afirmaţii:
146

5. (I) f n  f dacă există n  R * cu  n  R a. î. | fn (x) – f (x)| n,  xA şi
uc
A
 +
0

 nN.
(II) f n  f dacă g n  0 şi | fn (x) – f (x)| |gn(x)|,  xA şi  nN.
uc
A
 uc
A

def
Demonstraţie. (I) Din  n  R  >0,  nN a. î.  n n  |n |= n
0

<  şi cum | fn (x) – f (x)|  n <,  xA  f n  f .
uc
A

def
(II) Din g n  0  >0,  nN independent de x a. î.  n n  |gn - 0 |= |
uc
A

gn (x)| < ,  xA şi atunci | fn (x) – f (x)|  | gn (x)| <,  xA şi  n n 
f n  f .◄
uc
A

Observaţii.
1. Condiţia (I) din teorema 3 este criteriul majorării prin şiruri numerice (n).
2. Condiţia (II) din teorema 3 este criteriul majorării prin şiruri de funcţii
uniform convergente la 0 pe A.
Consecinta 6.1
 
Dacă seria de funcţii 
0
f n ( x) este uniform convergentă pe A, atunci şi f 0
n ( x)
este uniform convergentă pe A.

Demonstraţia este imediată prin aplicarea afirmaţiei din (9) seriei 0
f n ( x)
.◄
Teorema 6.4 (Criteriul lui Weierstrass)

Fie fn : A R,  nN şi seria de funcţii f
0
n ( x ) . Dacă există o serie numerică

cu termeni pozitivi convergentă a
0
n astfel încât |fn (x) |  an,  xA şi  n

N, atunci seria de funcţii f
0
n ( x ) este absolut şi uniform convergentă pe A.
Demonstraţie. Folosind ipotezele, avem: >0,  nN (independent de x)
a. î.  n n şi  p 1| fn+1 (x)+...+ fn+p (x)| | fn+1 (x)| + ...+ | fn+p (x)| an+1

+ ...+ an+p < ,  xA şi după (9) şi consecinta 1, seria f
0
n ( x ) este absolut şi
uniform convergentă pe A. ◄
Exemple.
n  nx22 0; x  R*
1. f n ( x)  e , x  R şi lim f n ( x)    f ( x)  f n  f şi cum
pc

2 n 
; x  0
R
cu lim sup | f n ( x)  f ( x) |   ( fn) nu este uniform
n
sup | f n ( x)  f ( x) |
xR 2 n   xR
 

convergent.
sin nx
2. f n ( x)  , x  R cu lim f n ( x)  f ( x)  0, x  R şi cum | fn (x) – f (x)|= =
n2 n 
sin nx 1 1 R
2
 2   n , x  R şin  N,  n  2  0  f n  f .
 uc
R

n n n
147

6. n3 x 4  1
3. f n ( x)  , x   0,1 şi lim f n ( x)  f ( x)  x 4  f n  f  x4 . Avem: | fn (x) – f
pc

n 1
3 n  [0,1]
1  x4 1 1
(x)|= 3  3   n , n  N,  n  3  0  fn  f . R
 uc

n 1 n 1 n 1 [0,1]
  
cos nx cos nx 1 1
4.  n3
1
, x  R cu f n ( x) 
n 3
 3 , x  R cu  an   3 (C ) 
n 1 1 n

cos nx
  3 uniform şi absolut convergentă pe R.
1 n
sin(n  1) x sin nx 
5. f n ( x) 
n 1

n
, cu n  1 şi x  [, ] , seria de funcţii: f
1
n ( x ) are
n
 sin(k  1) x sin kx  sin(n  1) x
S n ( x)       sin x şi:
k 1  k 1 k  n 1
lim Sn ( x)  S ( x)  sin x, x   ,   Sn  S .Avem:
,
pc
n
sin(n  1) x sin(n  1) x 1
Sn ( x)  S ( x)   sin x  ( sin x)     n , x  ,  şi
n 1 n 1 n 1
1
n   0  Sn  S ;
R
 ,
uc
n 1
n
 sin(n  1) x sin nx  uc
deci      S ( x)  sin x .
k 1  n 1 n 
n  
sin nx sin nx 1 1 1
6.  2 2 , x  R  f n ( x)  2 2  2 2  2 , x  R şi  2 (C )  f
1 n  x n x n x
n
n 1 n 1
uniform şi absolut convergentă pe R.
n
 x n x n 1  n
 x n x n 1 
7. 1      cu x  0,1  Sn ( x)  1       1 x  x
n 1
k 1  n n 1 k 1  n n 1
1  x; x   0,1
şi lim Sn ( x )  S ( x )  
  S n  S  seria de funcţii este punctual
0,1
pc
n 
1; x  1

convergentă pe [0, 1].
Vom demonstra unele “proprietăţi de permanenţă (transfer)” de la
termenii unui şir de funcţii reale la funcţia limită, ca: mărginire, trecere la limită,
continuitate, derivabilitate, integrabilitate. Convergenţa uniformă a unui şir de
funcţii reale este o condiţie suficientă pentru valabilitatea proprietăţilor de
permanenţă (transfer).
Teorema 6.5
Fie fn : A R şi f : A R.
(p1) Dacă f n  f şi fn sunt funcţii mărginite pe A, atunci f este mărginită pe
uc
A

A şi avem:
 sup | f ( x) | sup f n  f  sup | f ( x) |, n  N  .
(11) f  n 

xA n 1

 
xA 
(p2) Dacă f n  f , x0  A’
 uc
A
R şi există şirul yn  lim f n ( x), n  1, atunci (yn)
x  x0
este convergent în R şi avem:
148

7. (12) lim lim f n ( x)   lim  lim f n ( x)   lim f ( x) .
 n  x x  xx
x  x  n 
0   0 0
(p3) Dacă f n  f şi fn sunt funcţii continue pe A, atunci f este continuă pe A.
uc
A

(p4) Dacă A = I  R interval nedegenerat şi fn sunt funcţii derivabile cu
f '  f atunci există f : I R a. î. f n  f şi f este derivabilă pe I cu f’ =
n
uc
A
 uc
A

g, deci:
'
(13) lim f n ( x)  lim f ' ( x)  g ( x)  f '( x), x  I .
n  n  n
(p5) Dacă fn : [a, b] R sunt funcţii integrabile sau chiar continue şi
fn  f atunci f este integrabilă pe [a, b] şi avem:
uc
[ a ,b ]

b b b
(14) lim  f n ( x)dx   lim f n ( x)  dx   f ( x)dx .
n 
a
n 
a
  a
Demonstraţie. (p1) Din f n  f  pentru  =1,  n1N a. î. | fn (x) - f(x)|
 uc
A
 1,  x A şi n n1
f   sup | f ( x) | f  f n  f n  1  f n  M   unde:
xA    1 1 1
M  sup f 1  , f2 
,..., f n1

;1  f n1

 şi evident are loc (11).
T .2  ( iii )
(p2) Fie  > 0 fixat şi f : A R a. î. f n  f  (fn) este şir uniform Cauchy
uc
A

pe A şi   >0, există nN a. î.  n,m n | fn (x) – fm (x)|  ,  xA  | yn
– ym | = lim | fn (x) – fm (x)|  ,  n,m n  (yn) este şir numeric Cauchy (yn)
x  x0
convergent în R şi notăm y = lim yn. Avem: | y – f (x)|  | y - yn | + | yn - fn (x)| + |
n
  
fn (x) - f (x)| + + = ,  n n = max{ n1(), n2()} şi  xA  y= lim
3 3 3 x  x0
f(x) şi avem (12) lim lim f n ( x)   lim  lim f n ( x)   lim f ( x) .
 n  x x0  x  x0
x  x0  n   
(p3) Dacă x0  A  A’ atunci avem: lim fn (x) = fn (x0) (din continuitatea lui fn pe
x  x0
A) şi deci f(x0) = lim fn (x0) =  lim  lim f n ( x)  
(12)
n n     x  x0 
(12)
 lim  lim f n ( x)   lim f ( x) şi f este continuă în x0  A  A’. Dacă x0  A este
x  x0  n   x  x0
punct izolat, atunci f este continuă în x0 .
(p4) Demonstraţia în bibliografie ([7], [11], [13]).
(p5) Dacă fn continuu pe [a, b] şi fn  f , atunci f este continuă şi există:
uc
[ a ,b ]

b b b b

a
f n ( x)dx,  f ( x)dx . Pentru a dovedi (14), fie
a

a
f n ( x)dx   f ( x)dx 
a
b b
  f n ( x)  f ( x) dx  (b  a) f n  f    n n  există lim  f n ( x)dx 
n 
a a
b b
  lim f n ( x)  dx   f ( x)dx .◄
a
 n  a
149

8. Teorema 6.6
n 
Fie fn : A R, Sn : A R cu S n ( x)   f k ( x) şi f n ( x) .
k 0 n0
(P1) Dacă Sn  S şi fn sunt mărginite pe A, atunci S este mărginită pe A ( fn
uc
A


mărginite şi f 0
n uniform convergentă).

(P2) Dacă x0A’R şi există lim f n ( x)  R, n  0 iar
xx 0
f 0
n este uniform

convergentă cu suma S, atunci seria numerică   lim f
0

 x  x0
n ( x)  este convergentă şi


are suma lim S ( x) , deci avem:
x x 0
 
 
(15) lim   f n ( x)     xlim f n ( x)  = lim S ( x) .
 x  x x
x x 0
 0    0 0 0

(P3) Dacă fn : A R sunt funcţii continue şi f
0
n este uniform convergentă pe A
cu suma S: A  R, atunci S este funcţie continuă pe A.
(P4) Fie I  R interval mărginit şi nedegenerat, fn : A R funcţii derivabile pe I.
 
Dacă 
0
f n este convergentă cu suma f şi seria derivatelor f
0
'
n
( x ) este uniform
convergentă cu suma g pe I, atunci f este derivabilă pe I şi avem:
'
 
 
(16)  f n ( x)    f n' ( x)  g ( x)  f ( x), x  I .
 0  0
(P5) Dacă fn : [a, b] R sunt integrabile sau chiar continue pe [a, b] şi seria

de funcţii f 0
n este uniform convergentă cu suma S: [a, b] R atunci S este
integrabilă şi avem:
 b  b
 
b
(17)   f n ( x)  dx     f n ( x)dx    S ( x)dx .
a  0  0 a  a
Demonstraţia pentru (P1) – (P5) rezultă din definiţia 3 şi proprietăţile (p1) –
n
(p6) din teorema 5 aplicate şirului de funcţii Sn ( x)   f k ( x), x  A sau x a, b, I
k 0
.◄
Exemple.
sin nx    
1. f n ( x)  , x   0,  , avem f n  f  0 , dar f n' ( x)  cos nx, x   0,  este
uc
 

n  2  0, 
 2
 2
şir divergent.
n3 x 4  1 4n 3 x 3
2. f n ( x)  3 , x   0,1  f n  f  x şi f n ( x)  3
uc
 4 '
 
0,1 
uc
n 1 [0,1]
n 1
 g ( x)  4x  f ( x), x 0,1 .
3 '
150

9.  
3. f n ( x)  nxe nx , x  0,1 cu f n  f ( x)  0,  f n    e  1 şi avem:
1 1
0,1
2
pc
 
n
n    
1 1 1
( x)dx   nxe nx dx   e nx  1  e n  cu lim  f n ( x)  
1 2 1 1 1
f
2
n
2 0 2 n  2
0 0 0
1
  f ( x)dx  0
0
 
cos nx cos nx 1 1
4.
1 n  , x  R şi  > 0  f n ( x) 
n 
  , x  R   (C ) pentru >1
n 1 n


cos nx cos nx
 n absolut şi uniform convergentă pe R pentru  >1. Cum f n  n
1
 
cos nt  
x x
1
sunt continue       dt     cos ntdt 
0 1
n  1 n 0
 x
1 sin nx sin nx sin nx 1
   S (t )dt . Avem fn C (R) cu f n' ( x)  1 şi f n' ( x)  1  1
1

1 n n 0
n n n
 
1
cu n 1
1
(C ) pentru  >2   f n' absolut şi uniform convergentă pe R cu
1
'
  cos nx  
sin nx
  n    n1  S ( x), x  R şi  >2.◄
 1  1
Serii de puteri
Seriile de puteri reprezintă o generalizare naturală a funcţiilor polinomiale
şi în acelaşi timp, o clasă particulară de serii de funcţii. Din acest motiv seriile
de puteri posedă toate proprietăţile seriilor de funcţii reale şi alte proprietăţi
speciale care le leagă de funcţiile polinomiale, ca: continuitate, integrabilitate,
derivabilitate şi sunt funcţii de clasă C pe mulţimea lor de uniformă

convergenţă. O serie de puteri (serie întregă) este o serie de funcţii f
0
n ( x ) cu
termenii fn ( x)  an xn , x  R şi  an n0  R . Şirul numeric (an) se numeşte şirul de
coeficienţi ai seriei de puteri şi notăm:

(1) a x0
n
n
 a0  a1 x  ...  an x n  ..., x  R .
Observaţii

1. O serie a x 0
n
n
este unic determinată de şirul coeficienţilor săi  an n0  R .
2. Orice serie de puteri este convergentă în x0 = 0 cu suma egală cu a0.
3. Pentru x0 R fixat, se pot considera serii de puteri de forma generală:
 
a x  x  a x
n n
n 0 . Toate rezultatele teoretice pentru serii de puteri n sunt
0 0

valabile şi în cazul general a x  x 
n
n 0 .
0
4. Vom preciza structura mulţimii de convergenţă a unei serii de puteri şi
proprietăţile seriilor de puteri uniform convergente.
151

10. Teorema 6.7 (Lema lui Abel sau Teorema a I-a a lui Abel).

Fie seria de puteri a x
0
n
n
şi x0, x1 R* atunci au loc afirmaţiile:

(i) Dacă seria numerică  a x , (x
0
n
n 0 0  0) este convergentă, atunci seria de puteri
este absolut convergentă în  xR cu proprietatea: (1) | x | < < | x0 | ( x (- |
x0 |, | x0 |)).

(ii) Dacă seria numerică  a x , (x
0
n
n 1 1  0) este divergentă, atunci seria de puteri
este divergentă în  xR cu proprietatea: (2) | x |> | x1 | ( x (- , - | x1 | ) 
(| x1 |, + )).

(iii) Dacă seria numerică  a x , (x
0
n
n 0 0  0) este convergentă, atunci pentru R
cu ) 0<  < | x0 | seria de puteri este uniform şi absolut convergentă pe
compactul [-, ]  (- | x0 |, | x0 |).

 lim  an x0   0   an x0 
nec
Demonstraţie (i) Dacă a x0
n
n 0 convergentă
n 
n n
convergent în R   an x0n  şir mărginit în R, deci există M > 0 a. î. an x0  M de
nec
n
M
unde avem: (3) an  n
, n  N şi x0  R  . Fie xR cu proprietatea (1) |x|<|x0| şi
x0
 
considerăm seria modulelor a x
0
n
n
  an x n care verifică condiţiile:
0
n
 x 
an x  an x  an x0  x  
n n

n

 0 
n
 
x T .4 x
M  Mq n ;0  q   1 şi  Mq n (C )  ax n
n
convergentă în xR cu
x0 x0 0 0

proprietatea (1)  a x
0
n
n
este absolut convergentă în xR cu proprietatea (1),
deci pe intervalul (- | x0 |, | x0 |).
(ii) Fie xR cu proprietatea (2) şi presupunem prin reducere la absurd că există

x0  R*cu | x0 |> | x1 | a. î. a x0
n
n 0 convergentă. După cazul (i) din | x1 | < | x0 |

rezultă că seria a x0
n
n 1 este absolut convergentă, ceea ce contrazice ipoteza (ii)

 pentru x  R cu proprietatea (2) seria a x
0
n
n
este divergentă.
(iii) Pentru  x [-, ]  (- | x0 |, | x0 |), avem: f n ( x)  an xn  an x 
n
152

11. n
   T .4.   T .4. 
 an  n  M    Mq1n  0  q1  < 1 şi Mq1n convergentă   an x n absolut şi
 x0  x0
  0 0
uniform convergentă pe [-, ].◄
Observaţii.
1. Analizând afirmaţiile din teorema 1 (Lema lui Abel) găsim următoarele
cazuri:

I. a x
0
n
n
convergentă numai în x= 0 şi divergentă xR.

Exemplu.  n! x
0
n
 1  1! x  2! x 2  ... în x=0 are suma S=1 şi xR* fixat 

lim an x n  lim n ! x n  0 
n  n 
a x0
n
n
este divergentă.

II. a x0
n
n
este absolut convergentă pe R.
n
  
xn x x2 x
Exemplu.  n!
0
 1    ...
1! 2!
pentru a x n
n

n!
aplicăm criteriul
0 0
n 1
f n 1 ( x) x x 
n!
raportului: l  lim
n  f n ( x)
 lim
n  (n  1)! x n
 lim
n  n 1
 0, x  R  ax
0
n
n
este

xn
convergentă pe R   n ! este absolut convergentă pe R.
0
III. Există un element r[0,] a. î.

1. seria a x
0
n
n
este absolut convergentă pentru xR cu |x| < r ( x(-r,
r));

2. seria a x0
n
n
este divergentă pentru xR cu |x| > r (  x (-, -
r) (r, +));
 
3. pentru |x| = r se va preciza natura seriilor numerice  an r n şi
0
 a (r )
0
n
n
.
Exemple.

xn 
( 1) n T .1.  x n
1) n
1
, există x0 = -1 a. î. 
1 n
convergentă   este absolut convergentă
1 n

( 1) n
în x cu proprietatea: |x| < |-1| = 1  x(-1,1) şi cum 
1 n
convergentă iar
 
1 xn
 n divergentă, avem mulţimea de convergenţă [-1, 1) pentru
1
n.
1

(1) n n 
( 1) n T .1.  ( 1) n
2)  n
1
x , există x0 = +1 a. î. 
1 n
convergentă  
1 n
x n este absolut
convergentă în x cu proprietatea: |x| < 1  x(-1, 1) şi cum x= -1 avem
153

12. 
( 1) n 
1 
( 1) n
 n
1
( 1) n =  divergentă şi 
1 n 1 n
convergentă în x=1, atunci mulţimea de
(1) n n

convergenţă a seriei  n x este (-1, 1].
1

xn 
1 
( 1) n
3) n 1
2
, există x0 = +1 şi 
x0 = - 1 a. î.  n 2 convergentă şi
1

1 n2
T .1.  x n
convergentă   2
este absolut convergentă pe [-1, 1] (|x|  |x0| = x0 = 1).
'
1 n
2. Teorema 6.7 (Lema lui Abel) afirmă existenţa lui r[0,] din cazul III
analizat mai sus.

Definiţia 6.4 Fie seria de puteri a x
0
n
n
cu  an n0  R .

1] Elementul r[0,] definit prin: (4) r=sup {|x| | xR şi ax
0
n
n
convergentă}
se numeşte raza de convergenţă a seriei de puteri , iar intervalul (-r, r) R se

numeşte intervalul (disc) de convergenţă al seriei de puteri a x0
n
n
.
2] Mulţimea de convergenţă sau domeniul de convergenţă al seriei notat DC are
 o
interiorul, notat DC dat prin mulţimea:
 {0}; r  0
o
(5) DC  R; r  
 .
( r , r );0  r  

3] Funcţia f : DC R se numeşte suma seriei pe puteri, notată

a x
0
n
n
 f ( x), x  DC .
Teorema 6.8

Fie seria de puteri a x
0
n
n
cu raza de convergenţă r atunci au loc afirmaţiile:

1) a x
0
n
n
este absolut convergentă în xR cu | x |< r ( x(-r, r)) .

2) seria a x
0
n
n
este divergentă pentru xR cu |x| > r (  x(-, -r) (r,
+));

3) a x
0
n
n
este absolut şi uniform convergentă pe orice compact [-, ]  (-r, r)
unde 0< <r.
Demonstraţie. 1) Fie xR fixat cu | x | <r şi după (4) există  a. î. | x | < <r
  
şi seria 
0
an  n este convergentă, deci  an x n este convergentă 
0
a x
0
n
n
este
absolut convergentă în xR cu | x | <r.
154

13. (2) Fie xR fixat cu | x | >r. Dacă avem | x | < <, din (4) rezultă că seria
 
0
an  n este divergentă (teorema 1) deci ax 0
n
n
este divergentă cu

lim an x n  0  lim an x n  0 şi
n  n 
a x
0
n
n
este divergentă în | x | >r.
3) Afirmaţia coincide cu (iii) din teorema 6.7 (Lema lui Abel).◄
Consecinţa 6.2

Fie seria de puteri a x
0
n
n
cu raza de convergenţă r şi mulţimea de convergenţă
DC, atunci avem:
I. Dacă r = 0  DC ={0}; II. Dacă r =   DC =R;
III. Dacă 0 < r <   (-r, r)  DC [-r, r].
Demonstratia este directă din teorema 6.7, definiţia 6.4 şi teorema 6.8.◄
Obsrevaţii.
 
1. Pentru x = r şi x = -r seriile numerice  an r n şi
0
 a (r )
0
n
n
pot să fie fie
convergente, fie divergente.
  o
2. Mulţimea de convergentă a seriei de puteri  a x este de forma: DC = DC =
n
n
0
 o
 o
 o
(-r, r); DC = DC {r} = (-r, r]; DC = DC {-r} = [-r, r); DC = DC {-r, r} =
[-r, r].
3. Vom indica metode de calcul pentru raza de convergenţă r.
Teorema 6.9

Fie seria de puteri a x
0
n
n
cu raza de convergenţă r.
1] Dacă există l1  lim n an , atunci avem:
n 

0; dacă l  


1
1 1
(6) r  ; dacă l1  0 (cu convenţiile  ;  0) ;
1 0 
 ; dacă 0 < l1  
 l1

an1
2] Dacă există l2  lim , atunci avem:
n  an

0; dacă l  


2
(6’) r  ; dacă l2  0 .
1
 ; dacă 0 < l2  
 l2

155

14. 
Demonstraţie. Pentru  xR, seriei ax 0
n
n
i se poate aplica criteriul
rădăcinei: lim n an x n | x | lim n an | x | l1  l sau criteriul raportului:
n  n 
an 1 x n 1 an 1
lim | x | lim | x | l2  l şi avem:
n  an x n n  an
1 1 1
I. pentru l< 1  | x | sau | x | convergenţă; II. pentru l > 1  | x | sau
l1 l2 l1
1 1 1
| x | divergenţă, şi folosind convenţiile:  ;  0 rezultă (6) şi (6’). ◄
l2 0 
Exemple.
 1 şi r  1  1   a x n
n

x 2 n 1
1)   1  n
n
cu an 
0 2n  1 2n  1 l2 0
este absolut convergentă pe (-1,1).
 1 (c).
n

Pentru x=1  
1 2n  1
 1  1  1
2 n 1 3n 1 n 1
  
Pentru x=-1    1   (c)  DC = [-1, 1].
n
1 2n  1 1 2n  1 1 2n  1
 
2n 2n 1 1
2)  xn cu an  şi l2  2  r     an x n este absolut
 n  1  n  1
3 3
0 l2 2 0
convergentă pe   ,  .
1 1
 
2 2  
(1) n
  n
1 2n  1 
Pentru x =    3 
   (c).
1  n  1  2 1  n  1
3
2
  n
1 2n  1  1  1 1
Pentru x =   3    (c)  DC =  2 , 2  .
1  n  1  2  1  n  1  
3
2
Modulul 6.2 - Proprietăţi ale seriilor de puteri. Serii Taylor.

Fie seria de puteri a x
0
n
n
cu raza de convergenţă r şi suma f: (-r,r)R cu

0 < r <  şi notăm f(x) = a x0
n
n
,  x(-r, r). După lema lui Abel (teorema 6.7 –
(iii)) pentru  R cu 0<< r, seria de funcţii este uniform şi absolut
convergentă pe compactul [-, ]  (-r, r); termenii seriei funcţiile
f n ( x)  an x n , x  R, n  N sunt: continue, derivabile şi integrabile, atunci după
teoremele de permanenţă (transfer) funcţia sumă f are aceleaşi proprietăţi pe [-,
].
156

15. Teorema 6.10 (Proprietăţi ale seriilor de puteri)

Fie a x0
n
n
cu raza de convergenţă r (0 < r < ) şi suma f, atunci au loc
proprietăţile:
(p1) (Teorema a doua a lui Abel) Funcţia f este continuă pe [-, ]  (-r, r).
 
Dacă seria numerică  an r n (respectiv
0
 a (r )
0
n
n
) este convergentă, atunci f
este continuă în x = r (respectiv x = -r).

(p2) Seria derivatelor  na x
1
n
n 1
are aceeaşi rază de convergenţă r şi avem: (7)
    
 an x n     an x n    nan x n 1  f ( x ), x   ,   .
 0  1 1

a
(p3) Seria integralelor  n x n 1 are aceeaşi rază de convergenţă r şi avem: (8)
0 n 1
    
x x x
a
 
0 0
ant n  dt   an  t n dt   n x n1   f (t )dt , [0,x] (-r, r).
0 0 0 n 1 0
(p4) Funcţia f este indefinit derivabilă pe [-, ]  (-r, r) cu:

(9) f ( k ) ( x)   n(n  1)...(n  k  1)an x n k , k  1 .
nk
1 (n)
(10) an  f (0) , n  N .
n!
Demonstraţie. (p1) Pentru x0 [-, ]  (-r, r) funcţia f este continuă,

deoarece a x0
n
n
este uniform convergentă şi f n ( x)  an x n sunt funcţii continue 

f continuă în x0  (-r, r), deci f continuă pe (-r,r). Dacă a r
0
n
n
este convergentă

atunci seria de puteri a x
0
n
n
este uniform convergentă pe compactul [0, r] şi f
este continuă pe [0, r], deci şi în x= r ( lim f ( x)  f (r ) ).
x r
xr

(p2) Pentru  na x
1
n
n 1
calculăm raza de convergenţă:
1 1 1
r1     r şi relaţia (7) rezultă din faptul că o serie de
lim n n an lim n n n an l1
n  n 
funcţii uniform convergentă se poate deriva termen cu termen şi funcţia sumă
este derivabilă pe [-, ]  (-r, r).

an
(p3) Pentru  n 1 x
0
n 1
calculăm raza de convergenţă
157

16. 1 n
n 1 1 1
r2   lim  lim   r şi relaţia (8) rezultă din proprietatea: o
n  n n  n l1
an an an
lim n
n  n 1
serie de funcţii uniform convergentă se poate integra termen cu termen şi suma
sa este funcţie integrabilă.

(p4) Pentru [-, ]  (-r, r) seria de funcţii a x
0
n
n
este uniform convergentă pe

[-, ] şi seria derivatelor  na x
1
n
n 1
este uniform convergentă pe acelaşi
compact, deci i se poate aplica proprietatea (p2) avem:
   
 nan x n 1   f ( x)   n(n  1)an x n  2 , x   ,   . Prin inducţie se arată că are loc
 1  2
formula (9) pentru k1, kN, din care rezultă (10).◄
Observaţii.

1. Orice serie de puteri a x0
n
n
cu raza de convergenţă r şi mulţimea de
convergenţa DC este uniform convergentă pe un compact [, ] DC; pe
[, ] sunt valabile proprietăţile de continuitate, derivabilitate şi
integrabilitate pentru suma sa f cu f: DC R.

2. Din (p4) rezultă că f  C  ((r , r )) ; convergenţa seriilor numerice a r
0
n
n
şi

 a (r )
0
n
n
nu implică în general derivabilitatea funcţiei f în punctele x= -r
şi x= r.
3. Teorema a II a lui Abel (proprietatea (p1)) ne permite să calculăm suma
unor serii numerice folosind continuitatea lui f în punctele x= -r şi x= r
(există lim f ( x)  f (r ) , lim f ( x)  f (r ) ).
x  r x r
x  r xr

4. O serie de puteri a x0
n
n
cu raza de convergenţă r, va fi derivată termen cu
termen (conform proprietăţii (p2)) pe (-r, r) şi coeficienţii an sunt
determinaţi, după (10), prin derivatele f(0) ) ale sumei sale f.
(k

5. Dacă seria a x
0
n
n
are raza de convergenţă r şi suma f, din (10) rezultă că
  f (0) )
(n
avem: (11) a x  
0
n
n
0 n!
x n x(-r, r).
Teorema 6.11 (Operaţii alegebrice cu serii de puteri).
 
Fie date seriile de puteri  an x n şi
0
b x
0
n
n
cu razele de convergenţă r1 şi r2,
funcţiile sumă f şi g, atunci au loc afirmaţiile:
1) Dacă r1 = r2 = r şi f(x) = g(x), x(-r, r), atunci an = bn ,  nN.
158

17.  
2) Seriile de puteri  an x n şi
0
  a  x (R*) au aceeaşi rază de convergenţă
0
n
n

r1 şi funcţia f este suma seriei de puteri   a  x
0
n
n
pe (-r1, r1).

3) Seria de puteri a
0
n  bn  x n are raza de convergenţă rmin{r1,r2} şi suma f +
g, pe (-r, r).

4) Seria de puteri produs după Cauchy c x
0
n
n
cu :

(12) cn   ak bn k  a0bn  a1bn 1  ...  anb0 , n  N are raza de convergenţă r
k 0
min{r1,r2} şi suma f g, pe (-r, r).
Demonstraţie. 1) Dacă f = g pe (-r, r) din (10) avem:
n!an f(0))  n!bn  g(0)) , n  N,  an  bn , n  N .
(n (n
n
2) Demonstratia este directă din relaţiile S n ( x )   ak x k şi
k 0
n
n ( x)    ak  x k  S n ( x) deoarece Sn  f şi n  f .
pc
(  r ,r )
 pc
(  r ,r )

k 0
 
3) Fie r0 = min{r1,r2}. Dacă | x | < r1 şi | x | < r2, deci a x
0
n
n
şi b x0
n
n
sunt

absolut convergente în x cu proprietatea | x | < r0 şi a
0
n  bn  x n este, de
asemenea convergentă în aceste puncte x; raza de convergenţă r a seriei de

puteri a
0
n  bn  x n este r < r0 şi ( - r0, r0) (-r, r), adică r0  r ; evident suma
seriei este funcţia f + g, pe (-r, r).
4) Fie r0 = min{r1,r2} şi xR fixat cu | x | < r0 atunci | x | < r1 şi | x | < r2 
 
seriile  an x n şi b x n
n
sunt absolut convergente în aceste puncte x; după
0 0
teorema lui Mertens pentru serii numerice (xR fixat), produsul după Cauchy

c x
0
n
n
cu cn dată prin (12) este o serie absolut convergentă; avem ( - r0, r0) (-r,

     
r), deci r0  r şi vom nota:  cn x n =   an x n     bn x n  .◄
0  0   0 
Observaţii.
1. Relaţia r  min{r1,r2} din 3) şi 4) poate fi strictă.
 
Exemplu.  nx n
0
şi   n  x
0
n
cu r1 =r2= 0 are seria sumă
  
  an  bn  x n    n  n  x n   0  x n cu r = ; în acest caz r =  > min{r1,r2} = 0.
0 0 0
159