1. Università degli Studi di Camerino – Corso di Laurea Specialistica in Informatica
(Classe 23S) – Anno Accademico 2008/2009
Seminario sul corso di “Logica Matematica II”
Docente: Prof. Toffalori Carlo
Dott. Ficcadenti Stefano

2. Sommario
PARTE 1. ALGORITMI E CALCOLABILITA’. LA TESI DI CHURCH.
• Frege e Hilbert
• Macchina di Turing
• Tesi di Church
• Risultati fondamentali della calcolabilità
PARTE 2. APPLICAZIONI DELLA LOGICA ALL’INFORMATICA.
• Linguaggi e Programmi
• Il problema della certificazione
• Logica e Programmazione logica
• Complessità e calcolabilità polinomiale
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3. • Frege: “Bergriffsschrift” 1879, assimila il procedimento dimostrativo a un
calcolo, le cui regole sono in un numero finito e tutte esplicite a priori, e la
correttezza dei risultati prescinde dal contenuto delle formule. (calcolo
deduttivo)
Frege e Hilbert
• Hilbert: “Entscheidungsproblem” problema (fondamentale) di decisione,
risolto quando si conosca una procedura per decidere la validità o la
soddisfacibilità di una data espressione logica, mediante un numero finito
di operazioni.
Come definire una procedura meccanica ?
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4. Macchina di Turing T:
• A insieme finito, detto alfabeto, i cui elementi sono chiamati simboli
• S insieme finito i cui elementi sono chiamati stati di T (0 stato
iniziale di T)
• Un nastro costituito da una fila di caselle, finita ma estendibile in
entrambe le direzioni
Macchina di Turing
entrambe le direzioni
• Un pennino ottico che può leggere e scrivere su una casella alla
volta sul nastro seguendo il programma di T
Ogni istruzione è una quintupla del tipo
[a,s,a’,D,s’]
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5. Una funzione f:N→N è Turing-computabile se esiste una
macchina di Turing T che avendo in input n simboli nonblank
Turing - computabile
consecutivi, posta in stato 0 col pennino ottico sul primo di tali
simboli, si ferma dopo un numero finito di passi, lasciando
scritti sul nastro f(n) simboli nonblank consecutivi.
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6. DEFINIZIONE 1. Sia c un numero e g(x,y) una funzione. Sia f data da:
1. f(0) = c;
2. f(n+1) = g(n,f(n))
Allora f è ottenuta per ricorsione primitiva a partire da c e dalla
funzione g.
DEFINIZIONE 2. Sia g(x,y):NxN→N una funzione Turing calcolabile, sia
Ricorsione primitiva e minimalizzazione
DEFINIZIONE 2. Sia g(x,y):NxN→N una funzione Turing calcolabile, sia
ZER(x) l’insieme dei numeri y tali che g(x,y)=0. Si supponga che per
ogni x, ZER(x) sia non vuoto. Allora per minimizzazione di g si ottiene
la funzione f:N→N tale che
f(x)=minimo elemento di ZER(x)
(Kleene 1938) funzioni parziali ricorsive, abrogando la condizione che
ZER(x) non sia vuoto.
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7. La composizione, la ricorsione e la minimizzazione sono le
operazioni necessarie e sufficienti per ottenere le funzioni
Turing-computabili.
Tesi di Church
TESI
Per ogni funzione f effettivamente computabile c’è una macchina
di Turing che calcola f.
RISULTATO: Equivalenza tra funzioni parziali ricorsive e funzioni
Turing-computabili
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8. La macchina U, avendo in input un arbitrario
programma X di macchina di Turing e numero y,
Macchina di Turing Universale
programma X di macchina di Turing e numero y,
simula il calcolo X su input y e produce in output
il valore X(y)
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9. “Non esiste una macchina di Turing H, che avendo in input una
coppia ordinata (X, y) ove X è un elenco di quintuple ed y è un
numero, H si ferma se e solo se la macchina X si ferma avendo in
input y”
Problema della fermata
Turing
Problema della Fermata -> Problema di decisione
Eintscheidungsproblem è insolubile
(indecidibilità della logica dei predicati)
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10. • Turing Programmazione (1936)
• Fortran, Cobol (1950)
• Pascal (linguaggi modulari)
Linguaggi e Programmi
NUOVA DISCIPLINA
Verifica della correttezza dei programmi (certificazione),
necessaria la verifica in maniera formale tramite la
logica dei predicati
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11. CERTIFICAZIONE DI UNA MACCHINA DI TURING T
1. scrivere un enunciato E che dice che fissato un input e fissata
l’inizializzazione di T, dopo un certo numero di passi T si ferma su
un certo input;
2. dimostrare E, utilizzando le definizioni della Turing-computabilità
, assieme a tutti gli strumenti matematici disponibili; l’induzione,
Certificazione
, assieme a tutti gli strumenti matematici disponibili; l’induzione,
la teoria dei numeri, l’analisi combinatoria.
TeoremaDimostrazione -> ProgrammaCertificazione
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12. Programmazione Logica: scrivere un programma per il
calcolo di f significa assiomatizzare f.
Es. R mdT preventivamente istruita con le regole del calculus
ratiocinato che si incaricherà di calcolare f(x), procederà per
deduzioni successive al modo di una dimostrazione matematica.
Logica e programmazione logica
deduzioni successive al modo di una dimostrazione matematica.
Oss. (dettatura di f e di x e la lettura del risultato f(x))
Proporzionalmente all’efficienza che chiediamo alle macchine, esse ci
chiedono di stringare al massimo il nostro modo di fare matematica
(abolendo invenzioni simboliche, immagini geometriche, figure
Retoriche...)
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13. Le macchine di Turing hanno ancora un ruolo insostituibile
nella teoria e nella didattica della calcolabilità, in quanto
adottate per misurare i costi dei calcoli.
Lettera di Gödel a von Neumann (1956)
Complessità
Lettera di Gödel a von Neumann (1956)
“Considera una macchina di Turing T che avendo in input una
formula F della logica dei predicati e un numero x, decide se F
possegga una dimostrazione di lunghezza ≤x.”
Gödel chiede una stima della crescita della funzione passi(x) al
crescere di x
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14. Passi(x) ≤ qualche polinomio in x se e solo se la
soddisfacibilità di formule nella logica proposizionale è
decidibile con un numero di passi polinomiale (uno dei
problemi fondamentali e insoluti dell’informatica).
Teoria della Complessità
- Problema della soddisfacibilità
- Problema dell’intersecabilità
- Problema dei francobolli
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15. DEFINIZIONE:
Un problema Q è decidibile in tempo polinomiale, se
c’è un polinomio r e una macchina di Turing T con
queste proprietà:
avendo qualsiasi input x di lunghezza n, T riesce a
Problema Facile – Classe P
avendo qualsiasi input x di lunghezza n, T riesce a
decidere se x è soluzione di Q entro al più r(n) passi.
Facile = Classe P
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16. Struttura generale di questi problemi ( es. soddisfacibilità e
francobolli ):
I. Indovinare magicamente un’assegnazione o un’affrancatura
II. Banalmente controllare che tale assegnazione o affrancatura
è soluzione del problema
Problemi Difficili
Es. Congettura di Fermat (Euler)
I.
II. si controlla la validità di questa fattorizzazione con un calcolatore o con
carta e penna.
Classe NP (polinomiale nondeterministico)
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6700417641429496729721
5
2
x==+

17. Cook dimostrò nel 1971 che il problema di soddisfacibilità ha un
ruolo emblematico in questa classe: ogni problema in NP è
velocemente riducibile al problema della soddisfacibilità.
Problema della soddisfacibilità
CONCLUSIONE
Chi scoprisse un algoritmo veloce per questo problema risolve in
tempo polinomiale tutti i problemi in NP, ridimensionando
l’importanza della fase inventiva (I) e rispondendo positivamente alla
domanda fatta da Gödel nella lettera a von Neumann
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