1. ECUACIONES DIFERENCIALES Salvador Solis Valdez

2. En esta presentación hare tres Ejemplos , Resolviendo por Coeficientes Indeterminados Las ejemplos son: 1.- y’’-3y’= 8e3x+4senx 2.- y’’ + y = xcosx - cosx 3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8

3. Bien resolvamos el primero: y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx Para resolver encontremos yc para eso usamos la ecuación auxiliar. y’’ – 3y’ = 0 m2 – 3m= 0 m (m-3)=0 m1=0 y m2=3

4. Como el valor de las m son distintos y reales aplicamos el caso#1 en el que nos queda: yc= C1 + C2e3x Despues de Encontrar yc encontremos yp para esto hay que aplicar un operador anulador.

5. Para encontrar el operador anulador hay que observar los terminos de f(x). En la ecuación tenemos que y’’-3y’= 8e3x+4senx El anulador de 8e3x es D-3 El anulador de 4senx es D2 + 1

6. Entonces nos queda que (D-3)(D2 + 1)=0 D1= 3 D2=D3=i Aplicando los casos nos queda : yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx Ahora derivamos dos veces yp para sustitur en la ecuacion original.

7. yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx y’p = 3C3xe3x + C3e3x - C4senx + C5cosx y’’p= 9C3xe3x+3C3e3x +3C3e3x –C4cosx-C5senx y’’p= 9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx Ahora lo cambiamos en la ecuacion original.

8. y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx 9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx -3(3C3xe3x +C3e3x -C4senx+C5cosx) = 8e3x+ 4senx 9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx- C5senx -9C3xe3x -3C3e3x +3C4senx-3C5cosx =8e3x+ 4senx 3C3e3x –C4cosx -C5senx +3C4senx-3C5cosx = 8e3x+ 4senx

9. Ahora igulamos coeficientes 3C3=8 C3=8/3 (-3) 3C4-C5=4 -C4-3C5=0 -9C4+3C5=-12 C4=-12/-10= 6/5 -C4-3C5=0 -6/5-3C5=0 -10C4 = -12 C5=2/5

10. Entonces yp=C3xe3x + C4 cosx + C5senx Es igual a yp=8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx La formula dice que la solucion general es y=yc+yp y=C1 + C2e3x+8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx

11. En los siguientes ejemplos los mostrare de forma mas simplificada: 2.- y’’ + y = xcosx – cosx y’’+y=0 m2+1= 0 m1=m2=i yc=C1cosx +C2senx

12. Anuladores xcosx-cosx es (D2 +1)2 (D2+1)=0 D1=D2=D3=D4= i yp=C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx+C6x2senx y’p=-C3xsenx+C3cosx+C4xcosx+C4senx-C5x2senx +2C5xcosx+C6x2cosx+2C6xsenx y’’p=-C3xcosx-C3senx-C3senx -C4xsenx + C4cosx + C4cosx-C5x2 cosx-2C5xsenx-2C5xsenx+2C5cosx+ -C6x2senx +2C6xcosx +2C6xcosx+2C6senx

13. y’’p=-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6cosx Sustituimos en Ec. Original -C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6senx +C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx +C6x2senx= xcosx – cosx - 2C3senx +2C4cosx -4C5xsenx+2C5cosx +4C6xcosx +2C6senx = xcosx-cosx

14. Igualamos coeficientes -2C3+2C6=0 C3=1/4 2C4+2C5=-1 C4=-1/2 -4C5=0 C5=0 4C6=1 C6=1/4 y=C1cosx+C2senx+1/4xcosx-1/2xsenx+1/4x2senx

15. 3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8 y’’+4y=0 m2+4= 0 m1=m2=2i yc= C1cosx +C2senx (D2+1)(D2+1)D= 0 D1=0 D2=D3=D4=D5=i

16. yp=C3+C4cosx+C5senx+C6xcosx+C7xsenx y’p=-C4senx+C5cosx-C6xsenx+C6cosx+C7xcosx+C7senx y’’p=-C4cosx-C5senx-C6xcosx-2C6senx-C7xsenx+2C7cosx 3C4cosx+3C5senx+3C6xcosx-2C6senx+3C7xsenx+2C7cosx+4C3=4COSX+3senx-8 Se igualan coeficientes 4C3=-8 C3=-2

17. 3C4+2C7=4 C4=4/3 3C5-2C6=3 C5=1 3C6=0 C6=0 3C7=0 C7=0 y=C1cos2x+C2sen2x+4/3cosx+senx-2