1. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Dalles
Introduction à l’élasticité
2. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Le gauchissement : près de l’appui
Fig. 7.35
3. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Le gauchissement: bande de champ
Fig. 7.35
4. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Le gauchissement : visualisation
Fig. 7.35
5. ENAC – Section de génie civil
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en béton II
Dr O. Burdet
On pourrait éviter la torsion…
Fig. 7.37
6. ENAC – Section de génie civil
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en béton II
Dr O. Burdet
Dalles
Théorie de l’élasticité
7. ENAC – Section de génie civil
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Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Equation différentielle des dalles
▪ Etablie par Lagrange
▪ Hypothèses de base:
–Dalles élancées (l/h > 5)
–Dalles isotropes homogènes
–Pas de déformation du feuillet moyen dans son
plan
–Les sections planes restent planes
–Les contraintes normales sont négligées
Fig. 7.5
8. ENAC – Section de génie civil
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Dr O. Burdet
Elément infinitésimal de dalle
dx
dy
Fig. 7.6
9. ENAC – Section de génie civil
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Dr O. Burdet
Equilibre d’un élément de dalle
( )m dm dyx x+ ⋅
Fig. 7.6
( )m dm dyx x+ ⋅
( )m dm dyxy xy+ ⋅( )m dm dxy y+ ⋅
( )m dm dxyx yx+ ⋅
( )v dv dyx x+ ⋅
( )v dv dxy y+ ⋅
v dxy ⋅v dyx ⋅
m dyx ⋅
m dxy ⋅
m dyxy ⋅
m dxyx ⋅
y
x
z dx
dy
q dx dy⋅ ⋅
10. ENAC – Section de génie civil
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Dr O. Burdet
Equilibre autour de y
y
z
x0=−
∂
∂
+
∂
∂
x
xyx
v
y
m
x
m
Fig. 7.6
dy
x
m
m x
x ⋅
∂
∂
+
dymx ⋅
dxmxy ⋅
dx
y
m
m
xy
xy ⋅
∂
∂
+
dyvx ⋅
dy
x
v
v x
x ⋅
∂
∂
+
11. ENAC – Section de génie civil
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Dr O. Burdet
Equilibre autour de x
y
z
x
0=−
∂
∂
+
∂
∂
y
xyy
v
x
m
y
m
Fig. 7.6
dy
y
m
m
y
y ⋅
∂
∂
+
ym
dymyx ⋅
dy
y
m
m
yx
yx ⋅
∂
∂
+
dxvy ⋅
dx
y
v
v
y
y ⋅
∂
∂
+
12. ENAC – Section de génie civil
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Dr O. Burdet
Equilibre vertical
y
z
x
0=+
∂
∂
+
∂
∂
q
y
v
x
v yx
Fig. 7.6
dxvy ⋅
dx
y
v
v
y
y ⋅
∂
∂
+
dyvx ⋅
dy
x
v
v x
x ⋅
∂
∂
+
13. ENAC – Section de génie civil
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Equilibre d’un élément infinitésimal de dalle
0=−
∂
∂
+
∂
∂
x
xyx
v
y
m
x
m
0=−
∂
∂
+
∂
∂
y
xyy
v
x
m
y
m
0=+
∂
∂
+
∂
∂
q
y
v
x
v yx
Fig. 7.6
q
y
m
yx
m
x
m yxyx
−=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
2
22
2
2
2
Eq. 7.2
14. ENAC – Section de génie civil
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Déformation d’un élément de dalle
▪ Etablie par Lagrange
▪ Hypothèses de base:
–Dalles élancées (l/h > 5)
–Dalles isotropes homogènes
–Pas de déformation du feuillet moyen dans son
plan
–Les sections planes restent planes
–Les contraintes normales sont négligées
Fig. 7.5
15. ENAC – Section de génie civil
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Déformation dans un plan parallèle au
feuillet moyen
x
v
y
u
yxxy
∂
∂
+
∂
∂
=+= γγγ
Fig. 7.7
16. ENAC – Section de génie civil
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Répartition des contraintes
z
h
x
x ⋅=
2/
max,σ
σ
Fig. 7.8
17. ENAC – Section de génie civil
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Moments en fonction de la déformée
∂
∂
+
∂
∂
−= 2
2
2
2
y
w
x
w
Bmx ν
∂
∂
+
∂
∂
−= 2
2
2
2
y
w
x
w
Bmy ν
( )
yx
w
Bmxy
∂∂
∂
−−=
2
1 ν
( )2
3
112 ν−⋅
⋅
=
hE
Bavec
Eq. 7.9
18. ENAC – Section de génie civil
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Equation de Lagrange (1811)
B
q
y
w
yx
w
x
w
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
4
4
22
4
4
4
2
Eq. 7.10
19. ENAC – Section de génie civil
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Grille de poutres sans torsion
B
q
y
w
x
w
=
∂
∂
+
∂
∂
4
4
4
4
Fig. 7.37
20. ENAC – Section de génie civil
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Conditions de bord
Type de condition cinématique
(déplacements connus)
statique
(efforts connus)
appui simple w = 0 m = 0
encastrement total w = 0,
∂w
∂n
= 0
encastrement élastique
w = 0
∂w
∂n
proportionnel à m
m proportionnel à
∂w
∂n
bord libre m = 0, r = 0
B
q
y
w
yx
w
x
w
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
4
4
22
4
4
4
2
Tab. 7.10
21. ENAC – Section de génie civil
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Résolution de l’équation de Lagrange
w x y
qa
D m
y
b
y
b
y
b
m x
a
m m
m
m m
m
m
m
( , )
tanh
cosh
cosh
cosh
sinh sin
, , ,...
= −
+
+
=
∞
∑
4 1
1
2
2
2
2
2 24
5 5
1 3 5π
α α
α
α α
α
α π
w(x,y) = ∑
m
∞
∑
n
∞
amn · sin
mπx
a
· sin
nπy
b
avec α
π
m
m b
a
=
2
y
x
b
2
b
2
a
On peut le faire avec Excel !
Fig. 7.11
22. ENAC – Section de génie civil
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Moments – dalle rectangulaire
0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
a a/2
0 1.5
M
qa2
b = a
b = 1.5 a
b = 2 a
b = 3 a b = 4 a
M
qa2
des moments
Diagramme
m à y = 0y
Diagramme
des moments
m à x = a/2x
Distribution transversale
des moments
m à x = a/2y
Distribution transversale
des moments
m à y = 0x
a 2a 3a 4a3a/2a/2
0.125
Diagramme
Diagramme Distribution
Distribution
Fig. 7.12
23. ENAC – Section de génie civil
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Isolignes des déformations
24. ENAC – Section de génie civil
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Vue 3D des déformations
25. ENAC – Section de génie civil
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Dr O. Burdet
Vue 3D des déformations
26. ENAC – Section de génie civil
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Isolignes des moments mx
27. ENAC – Section de génie civil
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Isolignes des moments my
28. ENAC – Section de génie civil
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Isolignes des moments de torsion mxy
29. ENAC – Section de génie civil
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Moments élastiques (ν = 0.17)
30. ENAC – Section de génie civil
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Soulèvement des coins
b) coins ancrésa) coins libres de se soulever
Fig. 7.14
31. ENAC – Section de génie civil
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Efforts dans les coins
Fig. 7.15
32. ENAC – Section de génie civil
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Torsion pure dans les coins de dalles
R
réaction répartie r
m-
m+
a
a
a
m-
m+
a) moments dans l'angle d'une dalle simplement
appuyée et ancrée
b) moments dans l'angle d'une dalle sur
quatre colonnes
A
A
Fig. 7.17
33. ENAC – Section de génie civil
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Réactions d’appui
Fig. 7.13
34. ENAC – Section de génie civil
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Dalle encastrée sur son pourtour
Fig. 7.18
35. ENAC – Section de génie civil
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Etat de contraintes dans un coin
dz
dx dzσy
dy dzσx
dx dzτyx
dy dzτxy
dx dzσα
ds dzτα
dydx
α
z
y
x
Fig. 7.19
36. ENAC – Section de génie civil
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Moments principaux
m
T
mm1
m2 mx
my
mxy
2α
mxy
Figs. 7.20 et 7.21
37. ENAC – Section de génie civil
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Trajectoires des moments principaux
38. ENAC – Section de génie civil
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Comparaison dalle-poutre (1)
h h
b
z
x
w
),( yxw )(xw
Dalle Poutre
z
x
w
y
39. ENAC – Section de génie civil
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Comparaison dalle-poutre (2)
h h
b
∂
∂
⋅+
∂
∂
−= 2
2
2
2
y
w
x
w
Bmx ν
∂
∂
⋅+
∂
∂
−= 2
2
2
2
x
w
y
w
Bmy ν
( )
yx
w
Bmm yxxy
∂∂
∂
−−==
2
1 ν
2
2
dx
wd
BMx
′−=
0≡yM
0=xyM
12
3
bh
IEIB ==′
40. ENAC – Section de génie civil
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Comparaison dalle-poutre (3)
h h
b
B
q
y
w
yx
w
x
w
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
4
4
22
4
4
4
2
B
q
x
w
′
=
∂
∂
4
4
121
3
2
h
I
EI
B =
−
=
ν 12
3
bh
IEIB ==′