Chap 1 espace vectoriel

Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel réel
CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL
I- Loi de composition interne et Loi de composition externe......................................................................2
I-1 Loi de composition interne (L.C.I.).................................................................................................................2
I-1-1 Définition.....................................................................................................................................................................2
I-1-2 Propriétés .....................................................................................................................................................................3
I-2 Loi de composition externe..............................................................................................................................4
II- Structure d’espace vectoriel réel .............................................................................................................5
II-1 Définition .........................................................................................................................................................5
II-2 Propriétés.........................................................................................................................................................6
III- Sous espaces vectoriels ..........................................................................................................................6
III-1 Définition et propriétés .................................................................................................................................6
III-1-1 Définition ..................................................................................................................................................................6
III-1-2 Propriétés : ................................................................................................................................................................6
III-2 Intersection de sous espaces vectoriels ........................................................................................................7
III-3 Somme de sous espaces vectoriels ................................................................................................................7
IV- Combinaison linéaire - système générateur ..........................................................................................9
IV-1 Combinaison linéaire.....................................................................................................................................9
IV-2 Système générateur .......................................................................................................................................9
V- Système libre - système lié .....................................................................................................................10
VI- Ordre et rang d’un système de vecteurs...............................................................................................11
VII- Base d’un espace vectoriel..................................................................................................................11
VIII- Espace vectoriel de dimension fini ...................................................................................................12
IX- Compléments ........................................................................................................................................13
IX-1 Base incomplète ...........................................................................................................................................13
IX-2 Preuves de quelques théorèmes du cours .................................................................................................15
1
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007

I- Loi de composition interne et Loi de composition externe
I-1 Loi de composition interne (L.C.I.)
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne de E toute application
définie de 2 E vers E , qui a tout élément (a,b) de E2 associe un élément c de E , appelé
composé de a par b . On note c = a *b .
1) Dans E = {0,1}, on définit l’application * par : a *b = ab + b
* n’est pas une L.C.I. : 1*1 = 2, 2ÏE
On peut représenter la loi * par le tableau suivant :
* 0 1
0 0 1
1 0 2
2) Dans E = {0,1}, on définit l’application T par : aTb = 1- ab
T est une L.C.I. de E : 0T0 = 0T1 = 1T0 = 1, 1ÎE et 1T1 = 0, 0Î E
On peut représenter la loi T par le tableau suivant :
T 0 1
0 1 1
1 1 0
3) Dans IR , l’addition et la multiplication sont des L.C.I.
4) Soit E un ensemble. Dans P(E) , l’intersection Ç et la réunion È sont des L.C.I.
2
I-1-1 Définition
Définition :
Exemples :
1*1 = 2, 2ÏE
x, y ÎE, xTy ÎE

I-1-2 Propriétés
a) Associativité, Commutativité, Distributivité
i) Définitions
· La L.C.I. * est dite associative si (a,b,c)Î E3 : (a *b) *c = a *(b*c)
· La L.C.I. * est dite commutative si (a,b)Î E2 : a *b = b*a
· La L.C.I. * est dite distributive par rapport à T si :
T * = * T *
( a b ) c ( a c ) ( b c
)
* T = * T *
( ) ( ) ( )
a b c a b a c
· Si La L.C.I. * commutative, elle est distributive par rapport à T si
(a,b,c)Î E3 : (aTb) *c = (a *c)T(b*c) ou (a,b, c)Î E3 : a *(bTc) = (a *b)T(a *c)
1) Dans E = {0,1}, la L.C.I. T définie par aTb = 1- ab :
o T est commutative : 0T1 = 1T0 = 1
o T n’est pas associative : (0T0)T1(= 0) ¹ 0T(0T1)(= 1)
o L’addition et la multiplication sont des L.C.I. associatives et commutatives.
o La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
3) Soit E un ensemble. Dans P(E) :
o l’intersection Ç et la réunion È sont des L.C.I. associatives et commutatives.
o Chacune des deux lois est distributive par rapport à l’autre
o Un élément e de E est dit élément neutre pour la loi * ssi : a Î E : a *e = e *a = a
o L’élément neutre, lorsqu’il existe, est unique. En effet, supposons 1 e et 2 e deux
éléments neutres pour la L.C.I . * , alors :
( élément neutre )
e e e e e e
1 2 2 1 1 2
e e e e e e
( élément neutre )
2 1 1 2 2 1
3
  
Î
( a , b , c ) E
3 :
ii) Exemples
2) Dans IR :
b) Eléments remarquables
i) Elément neutre
  
* = * =
* = * =
D’où : 1 2 e = e

· 0 est l’élément neutre pour l'addition dans IR ( n + 0 = 0 + n = n )
· 1 est l’élément neutre pour la multiplication dans IR ( n ´1 = 1´ n = n )
· f est l’élément neutre pour la réunion dans P(E) (f È A = AÈf = A)
· E est l’élément neutre pour l'intersection dans P(E) ( E Ç A = AÇ E = A)
On considère un ensemble E muni d’une L.C.I. * qui admet un élément neutre e . On
appelle symétrique d'un élément a de E , lorsqu'il existe, un élément a' de E tel
que : a *a'= a'*a = e .
· Lorsque cet élément a' est unique, l 'élément a est dit symétrisable.
· Si la L.C.I. est associative, alors le symétrique de a , lorsqu’il existe, est unique.
· a' est le symétrique de a ssi a est le symétrique de a' .
· Le symétrique du composé de a par b est égal au composé du symétrique de b par
· Le symétrique d'un élément a pour + dans IR est - a (l'opposé de a ).
· Le symétrique d'un élément a non nul pour ´ dans IR est 1/ a (l'inverse de a ).
· Le symétrique d'une fonction bijective f pour o est f -1 (réciproque de f ).
Soit E un ensemble. Une loi de composition externe (L.C.E.) est une application de
´ ®
IR E
( , ) .
a x
a a
Dans IR2 , la multiplication externe définie de IR ´ IR2 vers IR2 ( E = IR2 ) par :
( , ) , : . .( , ) ( , ) 1 2 1 2
1 2 X = x x Î IR a Î IR a X =a x x = ax ax , est une L.C.E.
4
Exemples :
ii) Elément symétrisable
celui de a : (aTb)'= b'Ta' .
Exemples :
I-2 Loi de composition externe
Définition :
IR ´ E vers E . On note
x
E
. :
Exemple :
2

II- Structure d’espace vectoriel réel
On dit qu’un ensemble E muni d’une L.C.I. + et d’une L.C.E. . est un espace
vectoriel réel, et note par (E,+,.) , ssi :
• + est associative et commutative.
• + admet un élément neutre E 0 .
• Tout élément de E est symétrisable pour + : E xÎ E,$(-x)ÎE / x + (-x) = 0
• La L.C.E. . vérifie : ((x, y)Î E2 , (a ,b )Î IR2 )
- a .(b .x) = (ab ).x
- 1.x = x
- a .(x + y) = (a .x) + (a .y)
- (a +b ).x = (a .x) + (b .x)
E est dit l’ensemble des vecteurs et IR l’ensemble des scalaires.
o on notera l’espace vectoriel réel (E,+,.) simplement par E .
o on omettra le signe . : on remplacera l'écriture a.x par a x .
o Pour x, y dans E , on notera x + (-y) par x - y .
1) (IRn ,+,.) est un e.v.r., où les lois + et . sont définies dans IRn par :
= = Î n
Î
a
( ( , , )), ( ( , , )) , , :
x x L x y y L
y IR IR on a
n n
+ = + +
1 1
( x , L , x ) ( y , L , y ) ( x y , L
, x y
)
1 1 1 1
n n n n
a a a
.( x , L , x ) ( x , L
, x
)
1 1
n n
2) (IF(IR),+,.) est un e.v.r., où les lois + et . sont définies dans IF(IR) par :
Î a
Î
, ( ), , :
f g F IR IR on a
+ = + Î
( )( ) ( ) ( )
f g x f x g x x IR
= Î
a a
( . )( ) ( )
f x f x x IR
5
II-1 Définition
Définition :
Notation :
· Quand il n'y a pas de confusion,
Exemples :
  
=
  

Si (E,+,.) un espace vectoriel réel, alors a ,b Î IR,x, y Î E , on a :
1) E E a .0 = 0
2) IR E 0 .x = 0
3) E E a .x = 0 ⇒a = 0 ou x = 0
4) (-a ).x = -(a .x)
5) (a -b ).x = (a .x) - (b .x)
6) a .(x - y) = (a .x) - (a .y)
Un sous ensemble F d’un espace vectoriel E est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de E
ssi :
1) F ¹f
2) F est stable pour + : (x, y Î F x + y Î F)
3) F est stable pour . : ((a , x)Î IR ´ F a .xÎ F)
1) F ¹f
2) (x, y)Î F2 ,(a ,b )Î IR2 a .x +b .y Î F
1) (P(IR),+,.) (l’ensemble des polynômes de degré £ n ) est un s.e.v. de (F(IR),+,.) .
2) (IR ´{0},+,.) et ({0}´ IR,+,.) sont des s.e.v. de (IR2 ,+,.) .
1) Tout sous espace vectoriel de E est un espace vectoriel.
2) L’intersection de n sous espaces vectoriels de E est un espace vectoriel.
3) ({0 },+,.) E est un sous espace vectoriel de E .
4) E 0 appartient à tous les sous espaces vectoriels de E .
6
II-2 Propriétés
III- Sous espaces vectoriels
III-1 Définition et propriétés
III-1-1 Définition
Définition :
ssi :
Exemples :
III-1-2 Propriétés :
Si E est un espace vectoriel, alors :

III-2 Intersection de sous espaces vectoriels
L'intersection de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous
espace vectoriel de E .
La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel.
L'intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un
sous espace vectoriel de E .
III-3 Somme de sous espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel et soient 1 E et 2 E deux sous espaces vectoriels de E .
· La somme des sous espaces vectoriels 1 E et E2 , notée par 1 2 E + E , est égale à :
{ } 1 2 1 2 1 2 1 2 E + E = xÎE / $(x , x )ÎE ´ E / x = x + x
· La somme directe des sous espaces vectoriels 1 E et 2 E , notée par 1 2 E Å E , est égale à :
{ } 1 2 1 2 1 2 1 2 E Å E = xÎE / $!(x , x )ÎE ´ E / x = x + x
· Si 1 2 E = E Å E , alors les sous espaces vectoriels 1 E et 2 E sont dits sous espaces
Si 1 E et 2 E sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors 1 2 E + E et
1 2 E Å E sont aussi des sous espaces vectoriels de E .
Si 1 E et 2 E sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E , alors les
propositions suivantes sont équivalentes :
1) 1 2 E = E Å E
2) 1 2 E = E + E et { } E E E 0 1 2 Ç =
3) 1 2 E = E + E et 0 ( 0 ) 1 2 E 1 2 E x + x = ⇒ x = x =
7
Théorème :
Remarque :
Théorème :
Définition :
supplémentaires de E .
Théorème :
Théorème :

o E = {f ÎE / f (x) = f (-x) xÎIR} 1 (ensemble des fonctions paires)
o E = {f ÎE / f (x) = - f (-x) xÎIR} 2 (ensemble des fonctions impaires)
Pour montrer que 1 2 E = E Å E , il suffit de vérifier que 1 2 E = E + E et { } E E E 0 1 2 Ç = .
En effet :
1
= + -
( ( ) ( ))
2
f x f x f x
1
1
f x f x f x
= - -
( )
( )
1
- = - + = ⇒ Î
( ( ) ( )) ( )
2
f x f x f x f x f E
1 1 1 1
1
( )
- = - - = - ⇒ Î
( ( ) ( )) ( )
2
f x f x f x f x f E
2 2 2 2
= +
( )
( ) ( ) ( )
et f x f x f x
1 2
· Donc : 1 2 1 2 1 2 f ÎE $( f , f )ÎE ´ E / f = f + f
· D’où : 1 2 E = E + E
  
· Donc : E f = O 0 , ( f (x) = 0 xÎ IR) 0
· D’où : { } E E E 0 1 2 Ç =
8
Exemple :
E = F(IR) : 1 2 E = E Å E , avec
1) 1 2 E = E + E :
· Soit f ÎE . On pose



( ( ) ( ))
2
2
· On a :

 

 

2) { } E E E 0 1 2 Ç = :
· Si 0 1 2 f ÎE Ç E , alors :
= - Î Î
( ) ( ) ( )
f x f x x IR f E
0 0 0 1
f x f x x IR f E
= - - Î Î
( ) ( ) ( )
0 0 0 2

IV- Combinaison linéaire - système générateur
Dans un espace vectoriel E , on appelle une combinaison linéaire de n vecteurs
L , tout vecteur u de E qui peut s’écrire sous la forme :
n ( , , )ÎIR 1 a La
1 1 a L a a , avec n
Dans IR2 , on considère les vecteurs ( , ) 1 1 2 u = x x , ( , ) 2 1 2 u = y y et ( , ) 3 1 2 u = z z .
o (3 2 ,3 2 ) 1 1 1 2 2 u = x + y + z x + y + z est une combinaison linéaire des vecteurs 1 u ,
2 u et 3 u : 1 2 3 u = 3u + 2u + u
o (3 2 ,3 2 ) 1 1 1 2 2 u = x + y + z x + y - z n’est pas une combinaison linéaire des
L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un
sous espace vectoriel de E .
Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs { } n u , ,u 1
système générateur de E (ou que les vecteurs n u , ,u 1
de E ) si tout vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des
n
vecteurs u , ,u 1
n L : Î =
Σ$ Î = + + =
1 1 1 ( ) ( a ,L,a ) / a L a a
n n n i i u E IR u u u u
L s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E .
On dit aussi que le système { } n u , ,u 1
L engendre E ou que E est engendré par le
L ou E = Vect { u , L
,u } 1
n 9
IV-1 Combinaison linéaire
Définition :
u , ,un 1
n
Σ=
= + + =
n n i i u u u u
i
1
Exemples :
vecteurs 1 u , 2 u et 3 u .
Théorème :
IV-2 Système générateur
Définition :
L est un
L sont des vecteurs générateurs
i
1
Le système { } n u , ,u 1
système { } n u , ,u 1
L .
On note = n E u , ,u 1

Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs u , ,un 1
  
  
n
Î Î = Σ=
L : a a = L

n i i E u , IR,u E u , ,u 1
i i n
´{ }= 1 2 IR 0 u ,u , avec (1,0) 1 u = et ( 1,0) 2 u = - :
(x,0)Î IR ´{0}, $a ,b Î IR /(x,0) =a .(1,0) +b .(-1,0) = (a -b ,0)
il suffit de prendre par exemple a = x et b = 0
On dit que n vecteurs n u , ,u 1
L d’un espace vectoriel E sont linéairement
indépendants (ou que le système { } n u , ,u 1
L est un système libre) si :
0 0 1 1 1 + + = ⇒ = = = n n E n a u L a u a L a
L d’un espace vectoriel E sont linéairement dépendants
L est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement
indépendants : n n n E ( , , ) (0, ,0) / u u 0 1 1 1 $ a La ¹ L a +L+a =
Les vecteurs (1,0,1) 1 u = , ( 1,1,1) 2 u = - et (0,1,0) 3 u = de IR3 sont linéairement indépendants.
Les vecteurs (1,0,1) 1 u = , ( 1,1,1) 2 u = - et (0,1,2) 3 u = de IR3 sont linéairement dépendants.
Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire
Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du
système alors tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs
du système.
1) Le vecteur E 0 n’appartient à aucun système libre de E .
2) E uÎE /u ¹ 0 , le système {u} est libre.
3) Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre.
4) Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié.
10
Remarque :
L est engendré par les
vecteurs n u , ,u 1
i
1
Exemple :
V- Système libre - système lié
Définition :
On dit que n vecteurs n u , ,u 1
(ou que le système { } n u , ,u 1
Exemples :
Théorème :
des autres vecteurs du système.
Propriétés :

VI- Ordre et rang d’un système de vecteurs
L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système.
Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement
indépendants que l’on peut extraire de ce système.
o Les vecteurs (2,1),(1,1) et (0,-1) sont linéairement dépendants
((2,1) = 2.(1,1) + (0,-1)) , ce qui implique que ( ) 3 1 rang S .
o Les vecteurs (2,1) et (1,1) sont linéairement indépendants, ce qui implique que
1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre.
2) Dans un système lié de rang r , les vecteurs libres extraits en nombre r sont dits
vecteurs principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des
premiers.
3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces
Une base d’un espace vectoriel E c’est tout système libre de vecteurs générateurs de E .
1) {(1,0),(0,1)} est une base de IR2
2) {1,0),(0,1),(1,1)} n’est pas une base de IR2 .
3) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} est une base de IR3 : on l'appelle la base canonique de IR3 .
4) En général, {(1,0,L0),L,(0,L,1,L,0),L,(0,L,0,1)} est la base canonique de IRn .
11
Définition :
Exemples : {(2,1),(1,1),(0, 1)} 1 S = -
L’ordre de 1 S est égal à 3.
Le rang de 1 S est égal à 2 car :
( ) 2 1 rang S = .
Propriétés :
vecteurs.
VII- Base d’un espace vectoriel
Définition :
Exemples :

Un système de vecteurs {u , ,un} 1
L est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de
manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs n u , ,u 1
Î $ Î = + + =
1 1 1 ( ) ( !a ,L,a ) / a L a a
n n n i i u E IR u u u u
VIII- Espace vectoriel de dimension fini
Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un
Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note dimE = n .
IRn est un espace vectoriel réel de dimension n .
Propriétés :
Si E est un espace vectoriel réel de dimension n , alors :
1) Toutes les bases de E ont le même ordre égal à n .
2) L’ordre de tout système générateur de E est supérieur à n .
3) L’ordre de tout système libre de E est inférieur à n .
4) Si l’ordre d’un système libre ou générateur de E est égal à n , alors ce système est une
5) Si F est un sous espace vectoriel de E , alors F est un espace vectoriel réel de dimension
fini m , avec m £ n . Si de plus m = n , alors F º E .
6) Si 1 E et 2 E sont deux sous espaces vectoriels de E , alors :
· dim( ) dim dim dim( ) 1 2 1 2 1 2 E + E = E + E - E Ç E
· 1 2 1 2 dim(E Å E ) = dimE + dimE
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini.
Si 1 E et 2 E sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E , 1 2 E = E Å E ,
= L et { } q B v , , v 2 1
= L sont deux bases respectives de 1 E et 2 E , alors
= L L est une base de E .
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Soient 1 E et 2 E deux sous espaces
vectoriels de E , de bases respectives { } p B u , ,u 1 1
= L L est une base de E alors 1 2 E = E Å E .
12
Théorème :
L :
n
Σ=
i
1
Définition :
nombre fini n de vecteurs.
Exemple :
base de E .
Théorème :
alors 1 2 dimE = dimE + dimE .
Si { } p B u , ,u 1 1
{ } p q B u , ,u ,v , ,v 1 1
Théorème :
= L et { } q B v , , v 2 1
= L .
Si { } p q B u , ,u ,v , ,v 1 1

Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini n . Soit B {e , , ep} 1
= L est un système libre de E ( p £ n) , on peut alors compléter le
système S par n - p vecteurs convenablement choisis dans la base B pour obtenir une
nouvelle base de E : { u , L ,u ,u , L ,u } .
1 p p + 1
n Dans IR4 muni de sa base canonique { } 1 2 3 4 B = e , e , e , e , on considère le système
{ } 1 2 S = u ,u avec (1,0,1,1) 1 u = et (0,0,1,1) 2 u = .
{ } 1 2 3 4 B = e , e , e , e : (1,0,0,0) 1 e = , (0,1,0,0) 2 e = , (0,0,1,0) 3 e = et (0,0,0,1) 4 e = .
Vérifions si le vecteur 1 e ne s’écrit pas comme combinaison linéaire des vecteurs du
système { } 1 2 S = u ,u ce qui revient à vérifier si le système { } 1 2 1 u ,u ,e est libre ou encore :
(0,0,0,0) 0 1 1 2 2 3 1 1 2 3 a u +a u +a e = ⇒a =a =a = :
(0,0,0,0) (1,0,1,1) (0,0,1,1) (1,0,0,0) (0,0,0,0) 1 1 2 2 3 1 1 2 3 a u +a u +a e = ⇒a +a +a =
( , , ) (1, 1, 1) ( (0,0,0)) / (0,0,0,0) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ⇒$ a a a = - - ¹ a u +a u +a e =
Le système { } 1 2 1 u ,u ,e n’est donc pas libre, on ne peut alors pas compléter le système
{ } 1 2 S = u ,u par le vecteur (1,0,0,0) 1 e = .
13
IX- Compléments
IX-1 Base incomplète
Théorème :
= L une base de
E . Si { } p S u , ,u 1
Exemple :
a a

 

a a
 
a a

+ =
=
0
1 3
0 0
+ =
1 2
+ =
⇒
0
0
1 2



a Î
IR
a = -
a
1
2 1
a = -
a
⇒
3 1

Vérifions si le système { 1 2 2} S = u ,u , e est libre :
(0,0,0,0) 0 1 1 2 2 3 1 1 2 3 a u +a u +a e = ⇒a =a =a = :
(0,0,0,0) (1,0,1,1) (0,0,1,1) (0,1,0,0) (0,0,0,0) 1 1 2 2 3 2 1 2 3 a u +a u +a e = ⇒a +a +a =
Le système { } 1 2 2 u ,u ,e est donc libre, on peut alors compléter le système { } 1 2 S = u ,u par le
vecteur (0,1,0,0) 2 e = pour obtenir le système libre { } 1 1 2 3 S = u ,u ,u , avec 3 2 u = e .
L’ordre du système { } 1 1 2 3 S = u ,u ,u est inférieur à dimIR4 = 4 , on continue alors de
Vérifions si le système { } 1 2 3 3 u ,u ,u , e est libre :
(0,0,0,0) 0 1 1 2 2 3 3 4 3 1 2 3 4 a u +a u +a u +a e = ⇒a =a =a =a = :
+ + + =
(0,0,0,0)
a a a a
a u a u a u a e
1 1 2 2 3 3 4 3
⇒ + + + =
(1,0,1,1) (0,0,1,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,0)
1 2 3 4
0 1 2 3 4 ⇒a =a =a =a =
Le système { } 2 1 2 3 3 S = u ,u ,u ,e est donc libre et l’ordre du système 2 S est égal à
dimIR4 = 4 , { } 2 1 2 3 4 S = u ,u ,u ,u , avec 4 3 u = e , est donc une base de IR4 .
On a donc complété le système { } 1 2 S = u ,u par les vecteurs 2 e et 3 e de la base B de IR4
pour obtenir une nouvelle base { } 2 1 2 3 4 S = u ,u ,u ,u de IR4 , avec 3 2 u = e et 4 3 u = e .
14

 

a
a
a a
 
a a

=
=
1
3
+ =
1 2
+ =
⇒
0
0
0
0
1 2
a



=
=
=
⇒
0
0
0
1
a
2
a
3
compléter le système { } 1 1 2 3 S = u ,u ,u .

 

a
a
a a a
 

=
=
1
3
+ + =
1 2 4
a a
+ =
⇒
0
0
0
0
1 2

IX-2 Preuves de quelques théorèmes du cours
Soit E un espace vectoriel. Si 1 E et 2 E sont deux sous espaces vectoriels de E , alors
les propositions suivantes sont équivalentes :
1) 1 2 E = E Å E
2) 1 2 E = E + E et { } E E E 0 1 2 Ç =
3) 1 2 E = E + E et 0 ( 0 ) 1 2 E 1 2 E x + x = ⇒ x = x =
Il est d’abord évident de voir que si 1 2 E = E Å E alors 1 2 E = E + E
Montrons que { } E E E 0 1 2 Ç = :
Si 0 1 2 x ÎE Ç E alors :
= + 0 (( ,0 ) Î ´
)
0 ((0 , ) )
x x x E E
0 0 E 0 E
1 2
x x x E E
= + Î ´
0 E 0 E
0 1 2
Or, 1 2 1 2 1 2 xÎE $!(x , x )ÎE ´ E / x = x + x car E Å E = E 1 2
D’où E x 0 0 = , et par suite { } E E E 0 1 2 Ç =
Montrons que si { } E E E 0 1 2 Ç = alors ( 0 ( 0 )) 1 2 E 1 2 E x + x = ⇒ x = x = :
+ = 0
Î
x x E 1 2 E 1 + + ( - )
Î Î
x x x E ie x E
⇒
{ } E E or x E x E E 0 x 0 2 2 2 1 2 2 Î ⇒ Î Ç = ⇒ =
On montre de même que E x 0 1 = .
o 1 2 E = E + E : 1 2 1 2 1 2 xÎE $(x , x )ÎE ´ E / x = x + x
o et que : ( , ) : 0 ( 0 ) 1 2 1 2 1 2 E 1 2 E x x ÎE ´ E x + x = ⇒ x = x =
et montrons que 1 2 E = E Å E : 1 2 1 2 1 2 xÎE $!(x , x )ÎE ´ E / x = x + x
1 2 E = E + E donc 1 2 1 2 1 2 xÎE $(x , x )ÎE ´ E / x = x + x .
Soit xÎE ,
$ ´
( x , x ) et ( y , y ) dans E E
/
1 2 1 2 1 2 15
Théorème :
Preuve :
1)⇒ 2) :
  
2)⇒3) :
1 2 1 1 2 1
- Î Î
( )
x E x E
1 1 1 1
  
3)⇒1) :
Supposons que :
o supposons que :
  
= +
x x x
1 2
= +
x y y
1 2

o et montrons que ( , ) ( , ) 1 2 1 2 x x = y y :
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 0 x x (x y ) (x y ), (x y ) E ,(x y ) E E = - = - + - - Î - Î
Or, ( , ) : 0 ( 0 ) 1 2 1 2 1 2 E 1 2 E x x ÎE ´ E x + x = ⇒ x = x =
D’où ( ) ( ) 1 1 2 2 x = y et x = y ou encore ( , ) ( , ) 1 2 1 2 x x = y y
Soit E un espace vectoriel. L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs de
L , est un sous espace vectoriel de E .
On note l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs n u , ,u 1
  
n
Σ=
1) E ¹ F car 0 Î E (0 =
0. u
)
n E n E i 2) n n (X ,Y )Î(E )2 ,(l ,g )Î IR2 l.X +g .Y Î E :
n
n
Î ⇒ =Σ a =Σ b a b
Î Î
n i i , , , ,
X Y E X u et Y u IR u E i i i
= =
1 1
n
n
Σ Σ
l + g = l a +
g b
X Y u u
i i
= =
n
i
1 1
( )
la gb
= +
i
u
i i i
16
D’où le théorème.
Théorème :
E , n u , ,u 1
Preuve :
L :
  
n
= =
Σa a
Î Î n i i , ,
E u IR u E i i
i
1
1
i
i
i i
i
l ,g ÎIR, on a :
Σ
=
n
i
1
Σ
=
=
i
d
u
i i
i i
1
d’où : n l .X +g .Y ÎE

L est un système lié ssi un des vecteurs du système est
combinaison linéaire des autres vecteurs du système.
L est un système lié
{ }
{ } n
a a a a
⇒$ ¹ + + =
( , L , ) (0, L ,0) / u L
u
0
1 1 1
n n n E
a a a a
⇒$ ¹ Î + + + =
0, j 1, L , n / u L u L
u
0
1 1
j j j n n E
a
a
a
a
- 1
+
1
L L L
⇒$ Î , , /
= - 1
- - - - -
u u u u u u u u
a
j
Il existe alors un vecteur j u du système { } n u , ,u 1
Supposons qu’il existe un vecteur j u qui s’écrit comme combinaison linéaire des autres
a a a a a a a a
⇒$ , , ,, , , Î /
= + + + + +
IR u u u u u
L L L L
- + - - + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
j j n j j j j j n n
a a a a a a a a
⇒$ Î + + - + + + =
, L , ,, , L , IR / u L u u u L
u
0
- + - - + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
j j n j j j j j n n E
a a a a a a a
⇒$ = - ¹ + + =
( , L , , 1, , L , ) (0, L ,0) / u L
u
0
- +
1 1 1 1 1
j j j n n n E
Un système de vecteurs { } n u , ,u 1
L est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de
manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs n u , ,u 1
( Î ) ( $ !a ,L,a Î ) / = a + L + a =
a
1 1 1 n n n i i u E IR u u u u
Supposons que n n n uÎE $ a La ÎIR u =a u +L+a u
1 1 1 ( ) ( ! , , ) / et montrons que
o Il est évident de voir que { } n u , ,u 1
L est un système générateur, puisque :
n n n uÎE $a La ÎIR u =a u +L+a u
1 1 1 ( ) ( , , ) /
L est un système libre, ce qui revient à montrer que :
0 0 1 1 1 + + = ⇒ = = = n n E n l u L l u l L l
n n E u u 0 1 1 l +L+l = et n E 0.u 0.u 0 1 +L+ = ,
Or n n n uÎE $ a La ÎIR u =a u +L+a u
1 1 1 ( ) ( ! , , ) / ,
Alors.. 0 1 = = = n l
L est alors un système libre de vecteurs générateurs de E , donc une base de E .
17
Théorème :
Un système {u , ,un} 1
Preuve :
Supposons que { } n u , ,u 1
n
a
j
j
a
j
j
j
a
j
j
1
j n j
+
-
1
1
1
L .qui s’écrit comme combinaison linéaire
des autres vecteurs du système.
vecteurs du système { } n u , ,u 1
L .
Le système { } n u , ,u 1
L est alors lié.
Théorème :
L :
n
Σ=
i
1
Preuve :
{ } n u , ,u 1
L est une base.
o Vérifions que { } n u , ,u 1

l L
{ } n u , ,u 1

L est une base et montrons que
n n n uÎE $ a La ÎIR u =a u +L+a u
1 1 1 ( ) ( ! , , ) / .
L est une base, { } n u , ,u 1
L est alors un système générateur, ce qui implique
uÎE $ a La ÎIR n
u =a u +L+a u
n que : n n
1 1 1 ( ) ( ( , , ) ) /
n $ b L b ÎIR b L b ¹ a La u = b u +L+ b u
1 1 1 1 1 ( , , ) (( , , ) ( , , )) /
Alors : n n n E ( )u ( )u 0 1 1 1 a -b +L+ a -b =
Or le système { } n u , ,u 1
L est libre (car c’est une base), donc
( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 - + + - = ⇒ - = = - = n n n E n n a b u L a b u a b L a b
D’où : n n a = b , ,a = b 1 1
L , ce qui implique que :
o n n n uÎE $ a La ÎIR u =a u +L+a u
1 1 1 ( ) ( ! , , ) /
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini.
Si 1 E et 2 E sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E , 1 2 E = E Å E ,
= L et { } q B v , , v 2 1
= L sont deux bases respectives de 1 E et 2 E , alors
= L L est une base de E .
= L sont des bases respectives de 1 E et 2 E .
Î $ !( , , ) Î p
/
= + +
y E y L y IR y y u L
y u
1 1 p
1 1
Î $ !( , , ) Î /
= + +
z E z L z IR z z v L
z v
2 1 q
1 1
Or : 1 2 E = E Å E ie : xÎE $!( y, z)ÎE ´ E / x = y + z 1 2
Î $ Î +
p q
1 1 !( , , , , , ) /
x E y L y z L
z IR
p q
= + = + + + + +
x y z y u L y u z v L
z v
1 1 1 1
p p n q
= L L est une base de E et 1 2 dimE = dimE + dimE .
18
Supposons que {u , ,un} 1
o { } n u , ,u 1
Supposons que :
n n n n
n
Théorème :
alors 1 2 dimE = dimE + dimE .
Si { } p B u , ,u 1 1
{ } p q B u , ,u ,v , ,v 1 1
Preuve :
{ } p B u , ,u 1 1
= L et { } q B v , , v 2 1
D’où :
  
p p
n q
q
Donc :
Par suite, { } p q B u , ,u ,v , ,v 1 1

Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Soient 1 E et 2 E deux sous espaces
vectoriels de E , de bases respectives B {u , ,up} 1 1
= L L est une base de E alors 1 2 E = E Å E .
= L sont des bases respectives de 1 E et 2 E .
= L L est une base de E , donc dimE = p + q et l’on a :
+
Î $ !( , L , , , L , ) Î p q
/
= +L+ + +L+
1 + 1 + 1 1 1 1 p p p q x E x x x x IR x x u x u x + v x + v
= L est une base de 1 E d’où 1 1 1 x u x u E p p +L+ Î
= L est une base de 2 E d’où 1 1 2 x v x v E p p q q + + Î + + L
Donc : x Î E $ ! y ( = x u + L + x u ) Î E , z ( = x v + + L
+ x Î + ) E / x = y + z 1 1 p p 1 p 1 1 p q 2
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini n . Soit { } p B e , , e 1
= L est un système libre de E ( p £ n) , on peut alors compléter le
système S par n - p vecteurs convenablement choisis dans la base B pour obtenir une
nouvelle base de E : { u , L ,u ,u , L ,u } .
1 p p + 1
n = L est une base de E .
On suppose que p n , l’ordre de S est alors inférieur à n , et le système
= L n’est pas un système générateur de E . Ceci implique que :
· e B i $ Î qui ne s’écrit pas comme combinaison linéaire des vecteurs du
L . On note p 1 i u = e +
· Le système { } 1 1 , , p , p+ u L u u est alors libre.
Si p +1 = n , alors le système { } 1 1 , , p , p+ u L u u est un système libre d’ordre égal à la
dimension n de E , c’est donc une base de E .
Si p +1 n , on recommence la même démarche au système { } 1 1 , , p , p+ u L u u
jusqu’à obtenir un système { } p p n u , ,u ,u , ,u 1 1
L L + d’ordre égal à la dimension n de
E , qui est alors une base de E .
19
Théorème :
= L et { } q B v , , v 2 1
= L .
Si { } p q B u , ,u ,v , ,v 1 1
Preuve :
{ } p B u , ,u 1 1
= L et { } q B v , , v 2 1
{ } p q B u , ,u ,v , ,v 1 1
p p p p q q
{ } p B u , ,u 1 1
{ } q B v , , v 2 1
D’où : 1 2 E = E Å E
Théorème :
= L une base de
E . Si { } p S u , ,u 1
Preuve :
Si p = n , alors { } p S u , ,u 1
{ } p S u , ,u 1
système { } p u , ,u 1

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