Este documento apresenta a resolução de uma questão sobre um sistema mecânico composto por duas massas ligadas por um fio inextensível e uma delas conectada a uma mola. O resumo inclui: 1) O sistema tem 1 grau de liberdade; 2) Há 1 equação de vínculo relacionando as coordenadas das massas; 3) As acelerações das massas são determinadas usando o Princípio de D'Alembert, a função Lagrangeana e os Multiplicadores de Lagrange.

1. Resolução da Prova 1 de FF-207
(Prova feita em casa)
Questão Única
Considere duas massas e ligadas por um fio de comprimento
inextensível de comprimento . A massa da esquerda está conectada
a uma mola de constante elástica e comprimento de repouso , que por
sua vez está fixa na parede à esquerda. A polia passa por uma roldana,
que está a uma distância da parede. Para esse sistema responda às
seguintes questões:
a) O que são graus de liberdade? Com base na sua definição, diga
quantos graus de liberdade tem este problema.
b) Verifique que as coordenadas e (indicadas na figura) não são
variáveis independentes. Nestas condições, quantas são as
equações de vínculo que devemos escrever para termos apenas
coordenadas generalizadas independentes? Justifique sua resposta.
c) Escreva as equações de vínculo e classifique-as.
d) Obtenha a aceleração de cada massa através do Princípio de
D’Alembert.
e) Escreva a função de Lagrange, , em função das coordenadas e
, suas derivadas, e do tempo.
f) Utilizando as equações de vínculo (item c), reescreva a função de
Lagrange em termos da coordenadas independentes, suas
derivadas, e do tempo. Obtenha a aceleração de cada massa pela
aplicação da equação de Euler-Lagrange.
g) Os vínculos podem ser escritos em formato que justifique a
aplicação dos multiplicadores de Lagrange? Em caso afirmativo,
faça-o. Determine as acelerações das massas pelo método dos
Multiplicadores de Lagrange, descubra o valor dos multiplicadores e
interprete-os fisicamente.

2. SOLUÇÃO:
a) Os graus de liberdade são as variáveis independentes capazes de
descrever o movimento do sistema de maneira única. Então, o
número de graus de liberdade é a quantidade mínima de variáveis
independentes que determinam a configuração do sistema. Com
base nessa definição, temos que o sistema analisado tem apenas 1
grau de liberdade, ou seja, é necessária apenas uma coordenada
generalizada independente para descrever o sistema.
b) É fácil ver que as coordenadas e não são variáveis
independentes, pois se aumentarmos , aumenta e se
diminuirmos , também diminui. Isso ocorre devido ao fio que
liga as duas massas ser inextensível. Daí, podemos tirar a seguinte
igualdade:
Como temos 2 variáveis inicialmente para descrever o sistema e
temos apenas 1 coordenada generalizada independente, devemos
ter apenas uma equação de vínculo, pois deve valer:
c) A equação de vínculo é:

3. Como podemos escrevê-la como:
Temos que o vínculo é do tipo holonômico. Também, como não há
uma dependência explícita do tempo, então o vínculo é do tipo
escleronômico.
d) De acordo com o Princípio de D’Alembert, temos que:
Onde é a resultante das forças aplicadas na partícula , éa
derivada temporal do momento linear de cada partícula e éo
seu deslocamento virtual. É importante observar que o somatório
“corre” sobre a quantidade de partículas do sistema e não sobre as
coordenadas generalizadas. Assim, temos:
Para a massa :
Para a massa :
Da equação de vínculo, temos:
Substituindo na eq. (2), temos:

4. A eq. (3) representa a equação de movimento forçado externa do
tipo degrau sem amortecimento. Então, a solução completa da EDO
é a soma da solução complementar (homogênea) com a solução
particular.
Solução complementar:
Onde .
Solução particular:
Assim, a solução completa é:
As constantes e são encontradas com as condições iniciais.
Com isso, temos:
Resolvendo para condições iniciais gerais como:
Temos:
Assim, encontramos:

5. Então, temos as seguintes acelerações:
Onde .
e) Temos como energia cinética total:
E como energia potencial:
Então, a função Lagrangeana é:
f) Da equação de vínculo, segue que:
Substituindo na eq.(4), temos:
Daí, temos que:

6. Então, utilizando a equação de Euler-Lagrange, temos:
Onde e .
Identicamente a resposta encontrada anteriormente (equação 3).
Assim, teremos a mesma solução para as mesmas condições iniciais,
idêntico ao feito no item d.
g) Sim. Para usarmos o método dos Multiplicadores de Lagrange
devemos reescrever a equação de vínculo como:
Ou dividindo tudo por :
Onde varia sobre as coordenadas generalizadas e
varia sobre as equações de vínculo. Assim, temos e .
Da equação de vínculo, temos:
Daí, tiramos que:
Assim, teremos apenas um multiplicador de Lagrange, .
Com a inclusão dos multiplicadores de Lagrange, as equações de
movimento são dadas por:
Da eq. (4) encontrada no item e, temos:

7. Então, temos o seguinte sistema:
Somando-se as equações e utilizando as equações de vínculo, temos
o mesmo resultado encontrado nos itens anteriores:
Resolvendo para condições iniciais gerais como:
Temos as seguintes acelerações:
Onde .
Substituindo na segunda equação do sistema, encontramos que:

8. Interpretando fisicamente, temos que o valor de é igual a menos o
valor da tensão (é mais fácil de ser visualizado através da segunda
equação do sistema).
De fato, esse resultado é coerente com a teoria, pois temos que:
Onde é a k-ésima força generalizada de vínculo, i.e., das forças
não conservativas. Analisando para , temos: