Este documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre produto escalar e geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de ângulos entre vetores, determinação de vetores ortogonais, decomposição de vetores e projeções de vetores.

1. Geometria Analítica – Profa. Cecília Chirenti
Lista 3 – Produto Escalar
Resolução
1 – Calcule o cosseno do ângulo formado entre os vetores e .
‖ ‖ √ √
‖ ‖ √ √
‖ ‖‖ ‖ onde é o ângulo entre os vetores.
√ √
√ √ √
2 – Determine m para que os vetores e fiquem ortogonais.
São ortogonais se .
3 – Sejam dados ⃗ e .
a) Se ⃗⃗ ⃗ , determine para que ⃗ e ⃗⃗ sejam ortogonais.
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
b) Determine o cosseno do ângulo que ⃗ forma com .
⃗
‖⃗ ‖ √ √
‖ ‖ √ √
⃗ ‖ ⃗ ‖‖ ‖
√ √
√ √ √ √
1

2. 4 – Sejam ⃗ e . Pede-se um vetor sabendo-se que ⃗ é
ortogonal a ⃗ , é ortogonal a , | | √ e e ⃗ formam um ângulo agudo.
Considerando .
⃗
i) ⃗ ⃗
ii)
iii) | | √ √ √
Devemos resolver o sistema formado pelas equações (I), (II) e (III). Substituindo (I) e
(II) em (III), temos:
Para , temos . Logo, .
Para , temos . Logo, ( ).
iv) ⃗
⃗
⃗ ( )
Portanto, ou ( ).
5 – Decomponha o vetor ⃗ em uma soma de vetores e ⃗ sabendo que é
paralelo ao vetor e ⃗ é ortogonal ao vetor .
⃗ ⃗ tal que,
i)
ii) ⃗ ⃗
Sendo ⃗ , temos que
2

3. e
⃗ ⃗
De onde obtemos o sistema:
(I)
(II)
(III)
Substituindo (III) em (I) e (II), encontramos e .
Portanto, ⃗ ⃗ ⃗ .
6 – Dados os vetores ⃗ e ⃗⃗ , calcule o comprimento da projeção
do vetor ⃗ ⃗⃗ sobre o eixo cuja direção é dada pelo vetor ⃗⃗ ⃗.
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗
‖ ⃗ ‖
‖⃗ ‖ √ √
7 – Dados ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
(a) Mostre que ABC é um triângulo;
ABC é um retângulo se A, B e C forem não-colineares, i.e., ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são linearmente
independentes.
Devemos mostrar que |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Facilmente observa-se que inexiste tal que as coordenadas x igualem-se. Logo, ABC é
um triângulo.
(b) Determine a projeção de ⃗⃗⃗⃗⃗ sobre ⃗⃗⃗⃗⃗ ;
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(c) Ache o comprimento da altura relativa à hipotenusa.
3

4. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √
Portanto, ⃗⃗⃗⃗⃗ é a hipotenusa.
Sendo ⃗⃗⃗⃗⃗ a base e ⃗⃗⃗⃗⃗ a altura, temos
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √
Escolhendo, agora, ⃗⃗⃗⃗⃗ como base e sendo h sua altura relativa, temos
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
8 – Ache a projeção ortogonal de na direção de um eixo que forma
ângulos iguais com os vetores da base ortonormal ⃗ .
Seja ⃗ o vetor que dirige o eixo que forma ângulos iguais com os vetores da
base ortonormal ⃗ , temos: , e ; onde é o
‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖
ângulo entre ⃗ e , é o ângulo entre ⃗ e e é o ângulo entre ⃗ e ⃗ .
Para * + ; então
‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖
Logo, podemos assumir ⃗ .
⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
( )
9 – Determine o ângulo formado pelos vetores não nulos ⃗ e , sabendo que | ⃗ |
| | |⃗ |.
⃗ ‖ ⃗ ‖‖ ‖
Mas,
‖⃗ ‖ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ‖⃗ ‖ ⃗ ‖ ‖
‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖
⃗ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ⃗
4

5. Então,
‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖
‖ ⃗ ‖‖ ‖
Se, | ⃗ | | | |⃗ | , então | ⃗ | | | |⃗ | . Logo,
10 – Supondo e ⃗ não nulos, demonstre algebricamente que: | ⃗| | | | ⃗ | se, e
somente se, e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido.
i) | ⃗| | | |⃗ | e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido
Como demonstrado no exercício 9,
‖ ⃗‖ √‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
Então,
√‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ (‖ ‖ ‖ ⃗ ‖)
‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖
⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖
Mas, ⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ , então
‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖
Logo, e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido.
ii) e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido | ⃗| | | |⃗ |
Se e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido, então ⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖.
Sabemos que
‖ ⃗‖ √‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
Então, por hipótese,
‖ ⃗‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖
‖ ⃗‖ (‖ ‖ ‖ ⃗ ‖) ‖ ⃗‖ ‖ ‖ ‖⃗ ‖
11 – Lembrando que ⃗ ⃗ | ⃗ | , demonstre:
(a) | ⃗| | ⃗ | se, e somente se ⃗ .
5

6. i) | ⃗| | ⃗| ⃗
Pelos exercícios acima, sabemos que
‖ ⃗‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
Analogamente,
‖ ⃗‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
A igualdade ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ‖ equivale à ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ‖ , então:
‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗)
i) ⃗ | ⃗| | ⃗|
‖ ⃗‖ ‖ ⃗‖
‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
( ⃗) ( ⃗)
Mas, ⃗ , por hipótese, então
Logo, a igualdade ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ‖ é verificada.
(b) Interprete geometricamente o resultado acima.
Se ⃗ então e ⃗ são perpendiculares.
������ ������
⃗
������ ⃗
������
Observa-se, facilmente, que os vetores ⃗ e ⃗ tem o mesmo tamanho (norma).
6