1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
ATRITO VISCOSO
Turma T5
Bruno Luis Pereira Souza
Douglas Bispo dos Santos
Juliano Almeida Perez
Antônio Roberto Leão da Cruz
Tâmara Matos dos Santos
SÃO CRISTÓVÃO
2012
2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Relatório de laboratório apresentado à
Universidade Federal de Sergipe, Centro
de Ciências Exatas e Tecnologia,
Departamento de Física, como um dos pré-
requisitos para a conclusão da disciplina
Laboratório de Física A.
Orientador: Mário Ernesto Giroldo Valerio.
SÃO CRISTÓVÃO
2012
3. 1. INTRODUÇÃO
Viscosidade é a resistência apresentada por um fluido à alteração de sua
forma, ou aos movimentos internos de suas moléculas umas em relação às outras. A
viscosidade é a propriedade do fluido que caracteriza esse atrito interno. A
viscosidade é a razão pela qual você realiza um esforço para remar em uma canoa
se deslocando em águas calmas, porém se não existisse viscosidade você também
não poderia remar. Os efeitos da viscosidade são importantes para o escoamento
através de tubos, para o escoamento do sangue, para a lubrificação de diversas
partes das máquinas e para muitas outras situações. É uma característica de cada
fluido e é quantificada pelo coeficiente de viscosidade η. Porém, a viscosidade
depende de outros fatores também.
A viscosidade de um fluido pode ser determinada por vários métodos:
Através da resistência de líquidos ao escoamento, tempo de vazão de um líquido
através de um capilar (viscosímetro de Oswald); da medida do tempo de queda de
uma esfera através de um líquido (Höppler); medindo a resistência ao movimento de
rotação de eixos metálicos quando imersos na amostra (reômetro de Brookfield).
A força de resistência que aparece durante o movimento de um corpo em
um fluido depende da forma do corpo, da sua velocidade em relação ao fluido e da
viscosidade do fluido. Também, entre duas superfícies em movimento relativo
separadas por uma fina película contínua de fluido existe atrito viscoso. Nos dois
casos, se o módulo da velocidade relativa é pequeno, o fluido se separa em
camadas paralelas. Se o corpo é uma esfera de raio r, movendo-se num líquido de
coeficiente de viscosidade a uma velocidade v pequena o suficiente, a força de
resistência viscosa será dada pela lei de Stokes.
A lei de Stokes refere-se à força de fricção experimentada por objetos
esféricos que se movem no seio de um fluido viscoso, num regime laminar de
números de Reynolds de valores baixos. Foi derivada em 1851 por George Gabriel
Stokes depois de resolver um caso particular das equações de Navier-Stokes. De
maneira geral, a lei de Stokes é válida para o movimento de partículas esféricas
pequenas, movendo-se a velocidades baixas.
A lei de Stokes pode ser escrita da seguinte forma:
4. 𝐹 = −6𝜋𝑟𝜂𝑣
Onde: 𝐹 é a força de fricção;
𝑟 é o raio de Stokes da partícula;
𝜂 é a viscosidade do fluido e;
𝑣 é a velocidade da partícula.
É importante salientar que para corpos com dimensões grandes e
velocidades altas, a força de atrito varia na verdade com potências maiores de v.
Ao iniciar uma trajetória vertical dentro de um líquido com densidade ϱ l, e
sob a ação da gravidade, uma esfera de massa m e densidade ϱ e, sofre a ação de
3 forças:
4
Força Peso: 𝐹 = 𝑚𝑔 = 3 πr³gϱ
Força Viscosa: 𝐹 = 6𝜋𝑟𝜂𝑣
4
Empuxo: F = ϱL . V. g = π. r. g. ϱL
3
A partir da velocidade zero, a esfera é acelerada para baixo. Após um certo intervalo
de tempo,a força viscosa (que aumenta com a velocidade) vai compensar a força
peso e o empuxo. Se a soma de todas as forças sobre a esfera é zero, as forças se
equilibram e a velocidade da esfera passa a ser constante (movimento uniforme). A
esta velocidade vamos chamar de velocidade limite ou limiar, que é dada a partir da
formula a seguir:
2 𝑟2 𝑔 𝜚 𝑒 − 𝜚 𝐺
𝑣𝐿 =
9 𝜂
Onde: 𝜚 𝑒 - é a densidade da esfera
𝜚 𝐺 - é a densidade da glicerina
5. Figura 01: Diagrama de forças atuando sobre uma esfera de raio r caindo em um líquido viscoso.
6. 2. OBJETIVOS
Estudar o movimento de uma esfera de aço através da glicerina e o
efeito do atrito viscoso sobre o mesmo;
Captar o movimento da esfera com o auxílio de uma câmera digital e
analisar o movimento da mesma através dos vídeos gravados;
Verificar na prática se o movimento da esfera no fluido obedece à Lei de
Stokes;
Fixar os conceitos de confecção e análise de gráficos.
7. 3. MATERIAIS E MÉTODOS
Para a realização deste experimento, foram utilizados os seguintes itens:
Uma esfera de aço;
Uma proveta plástica de aproximadamente 30 cm de altura contendo
glicerina;
Uma câmera digital na opção filmadora com cabo de conexão para
transferência de dados;
Um tripé de fixação para a câmera;
Uma régua graduada de 30 cm;
Um termômetro;
Um micrômetro;
Uma balança analógica;
Uma Bancada nivelada;
Um Computador com os Softwares Tracker e SciDAVis instalados.
Segue abaixo as Figuras 02 e 03 com esboços do experimento:
Figura 02: Modelo do Experimento.
8. Figura 03: Imagem captada durante a realização do experimento.
Inicialmente, foram determinados a massa e o diâmetro da esfera de aço
com o auxílio da balança e do paquímetro respectivamente. Em seguida, utilizou-se
a régua para medir a distância entre dois traços maiores na escala da proveta.
Posteriormente, mediu-se a temperatura do ambiente na qual se encontrava o
experimento, utilizando-se para isso o termômetro.
Utilizamos ainda, duas câmeras digitais para realizar dois filmes. As câmeras
foram instaladas no tripé, posicionadas diante da proveta e uma a uma gravaram o
movimento da esfera através do fluido em questão, glicerina. A esfera foi
primeiramente mergulhada na proveta plástica contendo glicerina e abandonada
logo em seguida. Após a chegada da esfera na parte inferior da proveta, concluía-se
a filmagem.
Analisando os vídeos gravados com o auxílio do Software Tracker, foi
possível obter uma tabela de dados para cada vídeo. Foram obtidos os valores da
posição da esfera durante toda a sua trajetória de queda e do tempo associado a
cada posição. Isso foi possível, porque o programa citado acima permite calibrar e
indicar no vídeo uma distância real. A distância calibrada foi a medida entre dois
traços maiores na escala da proveta. Então, essa distância pode ser tomada como
um referencial no vídeo. Levando em conta o fato de que as câmeras digitais em
geral captam um frame a cada 1/30 segundo ou 30 frames em um segundo, e o
programa permite uma análise frame a frame, foi possível ao programa gerar a
9. tabela de dados e consequentemente, um gráfico de posição x tempo. A Figura 04
abaixo ilustra a análise feita no Tracker.
Figura 04: Análises feitas com o auxílio do Software Tracker.
A partir dos dados obtidos com o Tracker, utilizou-se o programa SciDAVis
para confeccionar gráficos mais elaborados. Foram elaborados dois gráficos para a
posição da esfera em função do tempo, referentes respectivamente, aos dois vídeos
gravados anteriormente. Então, considerando-se apenas o trecho que se comporta
como uma reta, para cada gráfico, foi possível determinar o correspondente
coeficiente angular para cada reta. Esse valor, para um gráfico de posição em
função do tempo, é numericamente igual à velocidade de um dado corpo que
percorre uma trajetória retilínea com aceleração nula, ou seja, um movimento
retilíneo uniforme.
Foram determinados o volume e a densidade da esfera de aço a partir do
diâmetro e da massa que foram calculados anteriormente. Também foram obtidos os
valores tabelados da densidade e viscosidade da glicerina, através do aplicativo
10. encontrado no seguinte endereço eletrônico:
http://www.met.reading.ac.uk/~sws04cdw/viscosity_calc.html. Para a obtenção de
tais dados, o aplicativo necessita receber o valor percentual de composição da
glicerina e da temperatura ambiente em que se encontra.
De posse dos valores da Densidade ( 𝜚 𝐺 ) da Glicerina, da Velocidade Limite
( 𝑣 𝐿 ), Densidade ( 𝜚 𝑒 ) e Diâmetro da Esfera, é possível calcular o valor associado à
Viscosidade do fluido, 𝜂, utilizando a expressão (1), onde g corresponde à
Aceleração da Gravidade, r é o Raio da Esfera e 𝑣𝐿 é a Velocidade Limite da
Esfera.
2 𝑟2 𝑔 𝜚 𝑒 −𝜚 𝐺
𝜂 = 9 𝑣𝐿
(1)
Comparando o valor de 𝜂 tabelado com o encontrado, ficará evidente se a Lei de
Stokes foi ou não obedecida para o experimento em questão.
11. 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Segue abaixo as Tabelas 01, 02, 03, 04, 05 e 06 que revelam
respectivamente: Os dados obtidos com a realização do experimento e os cálculos
das incertezas envolvidas; O cálculo da Velocidade Limite e Viscosidade bem como
as incertezas envolvidas; O cálculo do volume e densidade da esfera assim como
das incertezas envolvidas; O valor tabelado da viscosidade e da densidade da
glicerina e os dados de posição e tempo obtidos para cada vídeo no Software
Tracker:
Tabela 01
Medidas 𝐦 𝐞 (Kg) 𝐃 𝐞 (m) 𝐫 (m)
01 0,0017 0,00683 0,003415
02 0,0014 0,006828 0,003414
03 0,0015 0,006832 0,003416
Média 0,00153333 0,00683 0,003415
σA 8,81917E-05 1,1547E-06 5,7735E-07
σB 0,00005 0,000005 0,000005
σC 0,000101379 5,1316E-06 2,5658E-06
Tabela 02
𝐕 𝐋 (m/s) σ 𝛈 σ
Vídeo 01 -0,3030549 0,0032204 0,664795316 0,051455324
Vídeo 02 -0,5858341 0,0097687 0,343901931 0,026982387
g (m/s²) 9,8
Tabela 03
Esfera v (m³) ϱ (kg/m³)
Valor 1,66825E-07 9191,276764
σ 3,76023E-10 608,0525306
Tabela 04
Glicerina Ƞ (N.s/m²) ϱ (kg/m³)
Valor Tabelado 0,70353 1258,7
Composição (%) 100
Tamb. (ºC) 28,5°
13. Tabela 06 - Vídeo 02
t (s) Incerteza (t) y (m) Incerteza (y)
0 0,033333333 -0,001249892 0,003415
0,033333333 0,033333333 -0,008636095 0,003415
0,066666667 0,033333333 -0,025060518 0,003415
0,1 0,033333333 -0,045636741 0,003415
0,133333333 0,033333333 -0,065373901 0,003415
0,166666667 0,033333333 -0,087558622 0,003415
0,2 0,033333333 -0,107689201 0,003415
0,233333333 0,033333333 -0,129069674 0,003415
0,266666667 0,033333333 -0,147146112 0,003415
0,3 0,033333333 -0,166883272 0,003415
0,333333333 0,033333333 -0,186611728 0,003415
0,366666667 0,033333333 -0,206331479 0,003415
0,4 0,033333333 -0,213752498 0,003415
Estão listadas abaixo, todas as equações utilizadas nos cálculos que
envolveram o experimento:
MÉDIA
𝑛
− 𝑖=1 𝑥𝑖
𝑥=
𝑛
Geralmente, ao se realizar um experimento, várias medidas de um mesmo
objeto em questão são feitas para garantir um intervalo mais preciso da medição.
Por conseguinte, a média representa a melhor estimativa do valor real desejado.
DESVIO PADRÃO DA MEDIDA
𝑛 −
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑖=1
𝜎=
𝑛−1
Faz-se necessário aplicar o conceito estatístico do desvio padrão da medida,
para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor médio.
14. INCERTEZA DO TIPO A
𝜎
𝜎𝐴 =
𝑛
A incerteza do Tipo A utiliza conceito estatístico que se associa ao valor
médio. É estimado pelo desvio padrão da média e ainda, se torna mais exato,
quanto maior for o número de medidas envolvidas.
INCERTEZA DO TIPO B
A incerteza do tipo B ou incerteza instrumental é determinada através da
resolução do equipamento utilizado para as medições. No caso de um equipamento
digital, a incerteza de tipo B equivale à menor medida possível do aparelho; para um
equipamento analógico, deve-se dividir o menor valor da escala por dois para obter
a incerteza em questão.
INCERTEZA COMBINADA
𝜎𝐶 = 𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵 2
A incerteza Combinada representa o valor total das incertezas associadas às
medidas, ou seja, relaciona tanto a incerteza do Tipo A quanto a do Tipo B.
VOLUME DE UMA ESFERA
4 𝜋
𝑉= 𝜋𝑟 3 ou 𝑉 = . 𝑑3
3 6
Onde: r = Raio;
d = Diâmetro.
15. PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA O VOLUME
2 2 2
𝜕𝑉 𝜋 3 𝜋 𝜋
𝜎𝑣 = . 𝜎 = . 𝑑 . 𝜎𝑑 = . 𝑑². 𝜎 𝑑 = . 𝑑². 𝜎 𝑑
𝜕𝑑 𝑑 6 2 2
DENSIDADE
𝑚
𝑑=
𝑣
Onde: m = Massa;
v = Volume.
PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA A DENSIDADE
2 2 2 2 2 2
𝜕𝑑 𝜕𝑑 𝑚 𝑚 𝜎𝑚 𝑚. 𝜎 𝑣
𝜎𝑑 = . 𝜎 + . 𝜎 = . 𝜎𝑚 + . 𝜎 = + −
𝜕𝑚 𝑚 𝜕𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣2
VELOCIDADE LIMITE OU LIMIAR
∆𝑦
𝑣𝐿 =
∆𝑡
Onde: ∆𝑦 = Variação de espaço (Espaço percorrido pela esfera no sentido vertical);
∆𝑡 = Variação de tempo (Tempo de queda da esfera).
PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA A VELOCIDADE LIMITE
2 2 2 2
𝜕𝑣 𝐿 𝜕𝑣 𝐿 ∆𝑦 ∆𝑦
𝜎𝑣 𝐿 = . 𝜎 + . 𝜎 = . 𝜎 + . 𝜎
𝜕∆𝑦 ∆𝑦 𝜕∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑦 ∆𝑡 ∆𝑡
2
2 ∆𝑦. 𝜎∆𝑡
𝜎𝑣 𝐿 = 𝜎∆𝑦 /∆𝑡 + −
∆𝑡²
19. Foi adotado neste experimento como a incerteza das medidas de tempo, o
valor de 1/30 segundos, pois a cada 1/30 segundos a grande maioria das câmeras
digitais registra um “quadro” ou “frame”, ou seja, um “frame” de uma filmagem
corresponde ao registro do movimento a cada 1/30 segundos. Para as coordenadas
da esfera, o valor do seu raio foi adotado como incerteza, uma vez que analisamos a
trajetória da esfera levando em conta a posição do centro da esfera para a coleta de
dados obtidos com o software Tracker.
A partir do segundo ponto, como pode ser observado nos Gráficos Vídeo 01
e Vídeo 02, consideramos o movimento da esfera como sendo retilíneo uniforme. Os
valores encontrados para a velocidade limite para os dois gráficos foram,
respectivamente:
𝑉 𝐿1 = −0,3030549 ± 0, 0032204 𝑚/𝑠
𝑉 𝐿2 = −0,5858341 ± 0,0097687 𝑚/𝑠
O valor calculado de 𝜂 para o Vídeo 01 ficou mais próximo do valor tabelado
encontrado, em comparação com o valor encontrado para o Vídeo 02, conforme a
tabela abaixo:
Viscosidade 𝛈 (N.s/m²)
Vídeo 01 (0,664795316 ± 0,051455324)
Vídeo 02 (0,343901931 ± 0,026982387)
Valor Tabelado 0,70353
Então, podemos considerar que para o movimento no Vídeo 01 a Lei de
Stokes foi obedecida. Não podemos dizer o mesmo para o movimento no Vídeo 02,
devido à diferença encontrada entre os valores ser significante. Tal diferença pode
ser explicada pelo fato da utilização de duas câmeras digitais diferentes para a
realização das filmagens. Isso pode significar taxa de fps diferentes para cada
máquina, visto que a quantidade de pontos plotados em cada gráfico é muito
diferente. Além do fato, que as filmagens não tiveram a mesma distância e mesmo
ângulo em relação ao experimento, o que provavelmente acarretou em erros.
20. 5. CONCLUSÕES
Diante do exposto, se considerarmos somente o Vídeo 01 como parâmetro,
é pertinente afirmar que o movimento vertical descrito pela esfera através da
glicerina obedece à Lei prevista por Stokes. Com a análise dos gráficos
confeccionados, foi possível visualizar que após certo período de tempo, realmente,
conforme descrito à teoria, a velocidade da esfera se torna constante e
consequentemente, a mesma perde sua característica inicial de movimento
acelerado.
21. 6. BIBLIOGRAFIA
Wikipédia, a enciclopédia livre, Lei de Stokes, disponível em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes, acesso em 30/03/2012.
MERLE C. POTTER, DAVID C. WIGGERT, Mecânica dos fluidos, 3ª Edição,
Editora Thomson.
FOX, ROBERT W., Introdução à Mecânica dos Fluidos , 5ª edição, LTC.
Grupo de Ensino de Física UFSM, Forças de atrito, disponível em:
http://www.algosobre.com.br/fisica/forcas-de-atrito.html, acesso em
31/03/2012.
Física para farmácia, Viscosidade, disponível em:
http://stoa.usp.br/ewout/files/69/2779/viscosidade-2007, acesso em
31/03/2012.
