Typologie des problèmes Séquences d'apprentissages de procédures de résolution de problème à l'école primaire Situations problème - collection Outils pour les cycle - CRDP Lille

1. Résolution de problèmes
au CP-CE1 et CE2
• Animation du mercredi 11 février
2015

3. Des représentations divergentes
Pour l’enseignant:
- S’approprier le problème
- En avoir une représentation
- Analyser les données du problèmes
et les relations qui les lient
- Par analogie, comparer ce nouveau
problème aux précédents déjà
rencontrés
- Avoir conscience qu’il existe
différents types de problèmes
- Dessiner, schématiser
- Faire plusieurs essais
- Savoir expliquer ce qu’on a voulu
dire
Pour l’élève:
- Ecrire quelque chose
- Trouver la solution
- Faire des opérations
- Calculer
- Marquer une phrase-réponse

4. Premier constat
• Les élèves ont des connaissances mais ne les
mobilisent pas par manque de disponibilité
• Ils manquent d’autonomie et de rigueur face
à la tâche
• Ils manquent de stratégies même dans une
situation familière

5. Difficulté majeure constatée
Le passage des transformations (analogiques) aux opérations (symboliques).
Le fait que les enfants perçoivent et comprennent très précocement et facilement les
effets des transformations affectant la quantité (ajout, retrait, partage…) laisse souvent penser à
tort qu’ils maîtrisent ou au moins comprennent les opérations (addition, soustraction,
multiplication, division...).
On a tendance à surestimer les capacités des enfants en ce domaine. Il paraît vraisemblable que
l’accès aux opérations permettant, par exemple, d’utiliser une addition pour traiter un retrait (ex:
Jean avait des billes. Il en a perdu 18 à la récréation. Il lui en reste 27. Combien en avait–il avant
de commencer à jouer ?), est lent et requiert de nombreuses rencontres avec des situations
diverses mobilisant chacune des opérations.
Il apparaît que dans les pratiques de classe, les situations problèmes proposées aux élèves sont
souvent trop limitées (ajout –> addition ; retrait –> soustraction) et n’incitent pas assez les élèves
à élaborer une conception mature des opérations .
Il faut donc envisager que c’est en variant le plus possible les situations que l’élève peut être
amené à résoudre des problèmes en découvrant le sens des opérations élémentaires et à en
généraliser l’utilisation en s’éloignant d’une conception immature qui associe de manière
sommaire par exemple des transformations (ajout) et des opérations (addition).

6. L’enjeu majeur
• Du cycle 2 au cycle 3, il s’agit de conduire les
élèves à résoudre des problèmes (« problèmes
simples à une opération »), essentiellement
additifs (qui peuvent être résolus par
l’addition et la soustraction) et multiplicatifs
(qui peuvent être résolus par la multiplication
et la division) et de les amener à automatiser
le processus de reconnaissance de
l’opération.

7. • L’automatisation du processus de
reconnaissance de l’opération n’est
réellement effective que si l’élève
parvient à associer une opération (la
soustraction par exemple) à n’importe
quelle situation nécessitant cette
opération.

8. • Cette automatisation du processus de
reconnaissance de l’opération suppose,
chez l’expert, la mise en œuvre d’une
démarche analogique qui lui permet de:
– comparer la situation proposée à une
situation de référence,
– puis de transférer cette analogie des
situations à une analogie de
procédures.

9. • Autrement dit quand on propose à un expert
un problème, ce dernier est très vite assimilé à
un problème de référence que le cerveau a en
mémoire et plus exactement à l’opération qui
permet de résoudre ce problème de
référence. L’opération adéquate est ainsi
confrontée aux données disponibles dans le
problème proposé pour être définie comme la
procédure de résolution du dit problème.

10. • La construction du processus de
reconnaissance de chaque opération suppose
une attention sur plusieurs obstacles qu’il
s’agit de différencier selon que l’élève ait déjà,
ou non, une situation de référence en
mémoire permettant l’analogie avec le
problème proposé :
Tableau

11. Situation de référence inconnue Situation de référence connue
- la compréhension de la situation et
la place de la manipulation ;
- la compréhension que la situation
proposée n’est pas une situation de
référence connue ;
- la compréhension du passage de la
situation à l’énoncé et la forme des
énoncés ;
- la comparaison de la
compréhension de l’énoncé aux
situations de référence connues ;
- le passage de la compréhension de
la situation à l’élaboration d’une
première trace d’une procédure de
résolution ;
- l’identification de cette nouvelle
situation de référence par rapport
à une des opérations connues ;
- le passage de la compréhension de
l’énoncé à l’utilisation d’une
procédure de résolution ;
- la progressivité de l’élaboration de procédures plus efficaces ;
- l’utilisation puis l’automatisation de la procédure générique.
Obstacles: 3 temps distincts

12. • Ces obstacles sont donc classés au travers des
trois opérations mentales distinctes chez
l’élève :
- représentation du problème ;
- opérationnalisation de la représentation
du problème ;
- résolution du problème.
• Malheureusement, généralement, on observe
que les aides mises en place dans les classes
correspondent à celles apportées à la seule
résolution du problème alors que près de 80%
des opérations sont effectuées.

13. Ces obstacles doivent être explicites pour les enseignants
et explicités pour les élèves puisque ces derniers y seront
confrontés d’une manière ou d’une autre lorsqu’ils
progresseront dans la construction du processus de
reconnaissance de chaque opération.
Ne pas les expliciter serait laisser les élèves les affronter
seuls et reviendrait à amplifier les inégalités scolaires
liées aux inégalités sociales. Ne pas se poser la question
de quand les affronter ni de comment les affronter, sans
aide, reviendrait à creuser les inégalités scolaires liées aux
inégalités sociales.

14. • Cette condition implique que l’élève doit être
confronté à la diversité des situations additives
et multiplicatives regroupant les problèmes
d’addition, de soustraction, de multiplication et
de division. Or tous les problèmes additifs,
soustractifs, multiplicatifs et de division ne sont
pas résolus avec le même taux de réussite. Cela
tient principalement à leur inégale difficulté. Il
faut donc aborder les différentes catégories de
problèmes de manière structurée et progressive.
Intérêts

15. Intérêts à travailler à partir de la
typologie de problèmes
La connaissance des différentes structures par le
maître va lui permettre de mettre en place une
progression.
Cette connaissance va permettre aux élèves
d’effectuer des catégories et des comparaisons.
Ces catégorisations et comparaisons contribuent à
la création du concept mathématique.
Le processus d’identification de la structure par
analogie permet l’automatisation.
L’automatisation permet de libérer de l’énergie
cognitive qui sera dévolue à des tâches annexes.

16. Comment agir et organiser les
apprentissages
• Rappel de la catégorisation des problèmes à
travailler au CP-CE1 puis au CE2
Catégories

17. I- Pour les problèmes
additifs et soustractifs:
4 catégories de problèmes
simples
• Transformation : (ete)
• Composition d’états ou (combinaison):
(eee)
• Comparaison (ece)
• Composition de transformations (non
traitée au cycle 2): (ttt)

18. 1ère Catégorie : Transformation: (ete)
Problèmes du type :
état initial –
transformation (positive + ou négative -)
– état final

20. ?

21. ?

22. Contexte
ordinal
?

23. ?
Contexte
ordinal

24. ?

25. ?

26. ?
Contexte
ordinal

27. ?
Contexte
ordinal

28. ?

29. ?

30. ?
Contexte
ordinal

31. Contexte
ordinal
?

32. 2ème Catégorie : Combinaison: (eee)
• Problèmes du type : partie – partie – tout
Il s’agit ici de problèmes dits « statiques », les
états ne subissant pas de transformation

33. ?

34. ?

35. 3ème Catégorie : Comparaison d’états :
(ece)
• problèmes du type :
état 1 comparant
comparaison (positive + ou négative -)
état 2 comparé
1
2

37. +?

38. +?
Contexte
ordinal

39. II- Pour les problèmes de
multiplication et de division
(jusqu’au CE2):
2 catégories de problèmes
simples
• Les problèmes de multiplication
• Les problèmes de division partage et
ceux de division groupement

40. 1 a
b ?

41. 1 ?
b c

42. 1 a
? c

44. Pour aider les élèves à passer les différents
obstacles, le chemin d’enseignement doit être
organisée de façon à permettre la progressivité des
apprentissages
• Les différentes étapes à respecter:
-Séance de découverte (apprentissage)
-Séance de création d’outil de résolution
-Séance d’entraînement
-Séance de réinvestissement
-Séance d’évaluation
-Séance d’entretien

45. Situation inconnue
1 nouvelle catégorie de problème: 1ère étape essentielle: la
situation d’apprentissage ou de la situation non écrite à l’énoncé écrit
En maternelle, les élèves de la maternelle sont confrontés aux problèmes par des « situations »
proches de la vie courante de l’élève (des pratiques où le rapport à l’objet et les manipulations sont
directs).
Dès la GS, on enseigne le passage de la « situation » à des « représentations » (verbales, dessinées,
schématiques et numériques).
Au CP, quand lorsque l’écrit s’installe, il sera question de faire comprendre que l’énoncé écrit d’un
problème n’est souvent que l’habillage particulier d’une histoire que les élèves, ou d’autres
personnes, auraient pu vivre.
Le passage de situations réellement vécues à des problèmes évoqués, et qu’il faut
mentalement se représenter, est à aménager par l’enseignant au cours du chemin
d’apprentissage.
Il se fera par exemple à partir des séances d’entraînement. …*
La progression conduit à se dégager progressivement des manipulations et à amener
l’élève à dépasser le simple stade de l’action afin de s’engager dans un processus
de conceptualisation.
Suite

46. • 1er obstacle: Comprendre la situation (rôle de la
manipulation):
L’utilisation d’objets familiers aux élèves, l’action concrète
des élèves sur ces jetons ou cubes et le fait de pouvoir les
sentir, les manipuler sont autant de précautions prises
pour faciliter l’accès au sens : l’élève ne peut bâtir une
représentation qu’à partir de manipulations ; la
présentation d’un problème sous forme d’énoncé est
encore une phase ultérieure.
Le fait d’évoquer la situation, de réaliser des actions faites
ou de mimer l’action à faire pour retrouver les jetons
présents au début dans l’enveloppe (enlever ceux
qu’ils ont ajoutés) sont d’autres possibilités permettant
aux élèves de comprendre la situation.

47. • 2ème obstacle: Dissocier cette situation d’autres déjà rencontrées (problématique
analogique)
Les élèves ont ensuite à se rendre compte que cette situation ne correspond à aucune autre déjà
rencontrée. De ce fait, ils n’ont pas encore d’opération à associer à cette situation et doivent
alors comprendre qu’il faut en « inventer » une.
Mais le fait de dissocier cette situation des autres déjà rencontrées auparavant ne va pas de soi,
surtout
quand le terme « ajouter » fait automatiser l’utilisation de la soustraction ! Une évocation des
différences entre les problèmes (problème de transformation ou problème d’état ou
« statiques ») et du
but à atteindre (recherche de l’état initial) est un premier moyen d’y parvenir quand il s’agit d’une
nouvelle catégorie qui met en jeu une opération connue ou déjà rencontrée. La comparaison
avec les affiches référentes servant à regrouper les problèmes de même « type » est un support
et un recours essentiels pour cette structuration.
NB: Dans ces deux situations, et dans toutes les situations ultérieures, le lexique utilisé avec les
élèves sera singulier à chaque classe mais en aucun cas il ne sera celui utilisé par la typologie.
La terminologie « état initial – transformation – positive – négative – état final » est réservée aux
enseignants. Les termes « problème avec une action », « problème sans action », « quantité
avant l’action », « quantité après l’action » sont des exemples de termes plus en rapport avec le
lexique à utiliser avec les élèves.

48. 3ème obstacle: Élaborer une première procédure
Le fait de savoir qu’il faut élaborer une solution non
automatique engendre un tâtonnement (quelle trace est
attendue du maître : un dessin, un texte, un calcul ?), la
réutilisation par les élèves des outils les plus rassurants, leur
permettant d’être le plus proche de la « vérité ».
Ainsi les procédures n’utilisant ni signe ni nombre et les
procédures dessinées (dessins d’enveloppes et de jetons) sont
très largement répandues.
L’utilisation de l’addition à trou est également une possibilité
offerte aux élèves voulant spontanément élaborer une
écriture symbolique (utilisation des nombres et des signes) car
elle permet à l’élève de « suivre » la chronologie de l’énoncé.

49. 4ème obstacle: Identifier cette nouvelle catégorie de problème et
commencer à construire une nouvelle procédure de résolution: la
structuration des connaissances (création d’outils de résolutions)
La construction de l’affiche de référence permet de reconnaître les
particularités de cette situation et de la dissocier d’autres situations ou
problèmes en comparant
des points précis comme:
« Y a–t–il une action ? Si oui, quel type d’action ? Recherche–t–on la
quantité (la place) avant ou après l’action ? »
La collection de procédures différentes (procédures dessinées,
addition à trou, soustraction, multiplication, division...) sur cette
affiche permet aussi la construction de leurs équivalences en associant
par exemple la soustraction comme procédure symbolique de
résolution pour un type de problème pour lequel spontanément des
élèves y auront associer une addition à trou. Chaque affiche de
référence sera différente dans chaque classe, puisque renseignée avec
les dessins, schémas, calculs spécifiques à chacune d’elles.

50. L’écriture collective d’affiches de référence menée avec la classe
participe à la construction de la notion et à la structuration des
connaissances.
Pour les élaborer, le support de l’affiche (avec l’énoncé du problème
choisi) pour représenter le type de problèmes auquel sera associée la
procédure de résolution retenue) permet de composer un exemple
générique auquel seront apparentés les énoncés de la même catégorie
de problèmes rencontrés lors des séances d’entraînement, de
réinvestissement ou d’entretien.
Objectif: progressivement, pour une catégorie de problèmes donnée,
l’enseignant amènera les élèves à optimiser les procédures mobilisées,
à les comparer et à se rapprocher des procédures les plus adaptées.
Cette mise en relation des problèmes d’une même catégorie
amènera aussi les élèves à réinvestir les procédures précédentes et à
les associer à la catégorie de problèmes ainsi construite.

51. Situation connue: Situations d’entraînement et de
réinvestissement
• 1er obstacle: Le passage de la situation à
l’énoncé
L’énoncé est source de difficultés multiples en
fonction de ses différents habillages.
Différentes aides peuvent être proposées: faire
référence à l’univers des élèves, décrire les
événements dans l’ordre de leur survenue,
proposer des données numériques à la portée des
élèves, placer la question en début d’énoncé.

52. 2ème obstacle: Automatiser l’utilisation d’une procédure générique
Après une première représentation de la situation ou de l’énoncé, il
reste encore à l’élève à élaborer une procédure de résolution, si
possible d’y associer la procédure générique attendue et ce de façon la
plus automatique possible. Le choix de la fiche de référence
correspondant à l’énoncé est un moyen de contribuer à
l’automatisation de la reconnaissance de la catégorie de problème et
de transférer des procédures de résolution analogues.
Le fait de pouvoir s’y référer lors de la rencontre de chaque
problème de cette catégorie est un médiateur entre l’automatisation
assistée et l’automatisation autonome.
Enfin la création d’énoncés de la catégorie de problème travaillé
permet aux élèves, au–delà de l’énoncé et du contexte, de reconnaître
une structure identifiée comme invariant d’une catégorie de problème.

53. Outils pour le maître:
• Dans le cas de la non–réussite de l’élève, des critères de réussite sont
obligatoirement définis pour permettre à l’enseignant de définir
exactement les capacités à faire évoluer et à l’élève pour conscientiser
progressivement ses points de résistance.
• Ces repères (qu’on peut également qualifier de critères de réussite en cas
d’évaluation sommative ou formative) quand on analyse des réponses
erronées ou partielles sont les suivants. Ils constituent surtout la feuille de
route de l’enseignant qui accompagne les élèves au long de l’apprentissage :
– l’élève sait-il évoquer la situation concrète?
– l’élève sait-il identifier et évoquer les données connues et
inconnues et la relation qui les lie?
- l’élève parvient-il à identifier le but à atteindre?
– l’élève sait-il évoquer la catégorie de problèmes (le fait que ce soit
un problème avec une transformation (action) par exemple)?
- l’élève parvient-il à se lancer dans une procédure de résolution
personnelle? Ou experte?

54. Analyse de production d’élèves

73. C’est fini….