1. TÌM TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP QR
Thực hiện: Nhóm 4

2. PHÂN TÍCH QR
 Dùng pp Householder biến đổi ma trận đã
cho về ma trận 3 đường chéo, đối xứng.
 Dùng ma trận quay P để phân tích QR

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 
2 1
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1
sin ; cos
b a
b a b a
  
 
(1) (1)
2 2
A P A
 (1) 2 1 1 2
2 2 1 2 2
21 2 2 2 2
2 1 2 1
( sin ) (cos ) 0
b a a b
A a b
b a b a
 

     
 

8. (1)
2
2 2 1 2
2 2 2 2 3
3 3
(1)
2
cos sin 0 0
sin cos 0
0 0 1 0
* * *
0 * *
0 * *
P A
a b
b a b
b a
A
 
 

   
   
 
   
      
 
 
 
 
  

9.  Tổng quát, ta có:
1 1 1
1 1 1
( )
1 1 2
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
k k k
i
k k k
k k k
n
n n
z q r
z q r
A x y
b a b
b
b a
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

10.  Sau khi nhân với ma trận quay:
1 1 1
( ) ( )
1 1 1 1
2 2 3
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
k k k
i i
k k k k k
k k k
n
n n
z q r
z q r
A P A x y
b a b
b
b a
   
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 

11. 
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
2 2 2 2
1 1
;
k
k k
k
k k
n k
k k
k k
k k k k
I O O
c s
O OP
s c
O O I
b x
s c
b x b x

 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

12. 
1 1 1
( ) ( )
2
1
0 0
0
0
0 0
i i
n
n
n n
n
z q r
R A
r
z q
x


 
 
 
 
   
 
 
 
  

13. 

14. TÌM TRỊ RIÊNG BẰNG PP QR


15. QR tịnh tiến
(“shifted QR algorithm”
“méthode QR avec
translations”)

16. 
( ) ( )
1
( ) ( )
i i
n n
i i
n n
a b
b a

 
 
 

17. 

18. CÁC BƯỚC TÌM TRỊ RIÊNG BẰNG PP QR


19. Xét ma trận vuông 3x3
VÍ DỤ: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QR ĐỂ
TÌM TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN

20. CÁC CÔNG THỨC CẦN LƯU Ý
( ) ( ) ( )
( 1) ( ) ( )
(1) (1)
2 2
(1) (1)
3 3 2
( 2 ) (1) (1) (1)
3 2 2 3
i i i
i i i
t t
A Q R
A R Q
A P A
A P A
A R Q P P A P P





 

21. 1 1 1
1 1 1
( )
1 1 2
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
k k k
i
k k k
k k k
n
n n
z q r
z q r
A x y
b a b
b
b a
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hàng
thứ k
Cột
thứ k

22. 1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
2 2 2 2
1 1
;
k
k k
k
k k
n k
k k
k k
k k k k
I O O
c s
O OP
s c
O O I
b x
s c
b x b x

 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ma trận quay

23. VÍ DỤ
 Cho ma trận
là ma trận 3 đường chéo, đối xứng
3 1 0
1 3 1
0 1 3
A
 
 

 
  

24.  Ta tính s1 bằng cách tìm trị riêng ma trận
vuông 2x2 tạo bởi dòng thứ 2, 3 và cột thứ
2, 3
 Ma trận trên có 2 trị riêng là µ1=2 và µ2=4.
Ta phải chọn s1 là 1 trong 2 trị riêng gần
với giá trị a3=A33=3 (ở đây chọn 2 hay 4
đều được).
 Chọn s1=µ1=2.
3 1
1 3
 
 
 

25. 
(1)
1 1
3 1 0 1 0 0 1 1 0
1 3 1 2 0 1 0 1 1 1
0 1 3 0 0 1 0 1 1
A A s I
     
     
    
     
          
 
1 1
1
1 2 2 3 1 2
3 3
0
1; 1
0
x y
A b a b x b
b a
 
 
   
 
  

26.  Từ công thức sk và ck
ta có
Dạng của P2
1
1 1
2 2 2 2
1 1
;k k
k k
k k k k
b x
s c
b x b x

 
 
 
 
2 2
2
2
s c 
2 2
2 2 2
2 2 0
2 20
2 20 0
2 2
0 0 1 0 0 1
c s
P s c
 
  
 
 
     
     
  

27.  Tìm được:
(1) (1)
2 2
1 1 1
2 2
3 3
2 3
2 2 0
2 2 1 1 0
2 2 0 1 1 1
2 2
0 1 10 0 1
22 2
2
0 0 2 0
0 1 1 0
0; 1
A P A
z q r
x y
b a
x b
 
   
   
      
     
  
 
   
   
    
    
 
 
  

28.  Tính được:
 Dạng của P
 Ta có thể tính nhưng không
cần thiết
3 3 3
3 3
1 0 0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
P c s
s c
   
   
 
   
       
3 3
0; 1s c 
(1) (1)
3 3 2
A P A

29. 
( 2 ) (1) (1) (1)
3 2 1 2 3
22 0
2
2 21
2 2
20 0
2
t t
A R Q P P A P P
 
 
 
    
 
 
  

30.  Tiếp tục lặp lại các bước như trên
 Đầu tiên, ta tính s2 bằng cách tìm trị riêng ma
trận vuông 2x2 tạo bởi dòng thứ 2, 3 và cột
thứ 2, 3 của ma trận A(2) vừa thu được
 Trị riêng của ma trận trên là
 Vậy nên ta chọn gần với a3=0
21
2
2 0
2
 

 
 
 
 
1 1
3
2 2

2
1 1
3
2 2
s  

31. 
(3)
2, 6720277 0, 37597448 0
0, 37597448 1, 4736080 0, 030396964
0 0, 030396964 0, 047559530
A
 
 

 
  
(3)
3 3 1 2
1, 5864151a s s    

32. 
2, 6720277 0, 37597448
0, 37597448 1, 4736080
 
 
 
1 1 1 2
4, 4141886s s    
2 2 1 2
2, 9993964s s    