Intro teoria dos números

1. 4
Representa»c~ao posicional de inteiros
Habitualmente os n¶umeros inteiros positivos s~ao representados no sistema (posicional)
decimal. Na representa»c~ao de um inteiro positivo no sistema decimal, os d¶³gitos ou
algarismos representam m¶ultiplos de pot^encias de 10, base do sistema. Esses m¶ultiplos de
pot^encias de 10, quando somados, determinam o n¶umero. Por exemplo, ao escrevermos
27 065 estamos representando a quantidade
2 ¢ 104
+ 7 ¢ 103
+ 0 ¢ 102
+ 6 ¢ 101
+ 5 ¢ 100
A raz~ao hist¶orica para a ado»c~ao da base 10 na representa»c~ao dos inteiros ¶e provavelmente
o fato de termos dez dedos em nossas m~aos. Algumas civiliza»c~oes antigas usaram bases
diferentes, como os Babil^onios, que usavam a base 60 (sistema sexagesimal). Uma
heran»ca cultural que temos dos Babil^onios est¶a no sistema sexagesimal da contagem de
minutos e segundos. J¶a os computadores eletr^onicos usam a base 2 (sistema bin¶ario)
para representar os inteiros internamente, nos circuitos el¶etricos, e a base 8 (sistema
octal) ou a base 16 (sistema hexadecimal) para representar os inteiros externamente,
nos dispositivos de visualiza»c~ao.
Uma calculadora cient¶³¯ca, como a encontrada em modernos computadores, realiza
c¶alculos e exibe resultados nos sistemas decimal, hexadecimal, octal e bin¶ario. Quando
o leitor adquirir familiaridade com esses quatro sistemas, poder¶a conferir seus c¶alculos,
propostos nos exerc¶³cios, em uma dessas calculadoras.
Como veremos a seguir, qualquer inteiro positivo maior do que 1 pode ser usado
como base na representa»c~ao dos inteiros. A representa»c~ao de inteiros de que estamos
tratando ¶e chamada representa»c~ao posicional, uma vez que a posi»c~ao de cada d¶³gito ¶e
relevante na representa»c~ao do n¶umero.
Teorema 4.1 Seja b > 1 um inteiro positivo ¯xado. Ent~ao qualquer inteiro positivo n
pode ser escrito, de maneira ¶unica, na forma
n = ak ¢ bk
+ ak¡1 ¢ bk¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a2 ¢ b2
+ a1 ¢ b + a0
na qual os coe¯cientes aj, para j = 0; 1; : : : ; k, s~ao elementos do conjunto de d¶³gitos
f0; 1; : : : ; b ¡ 1g, e ak 6= 0 .
27

2. Representac»~ao posicional de inteiros 28
Demonstra»c~ao. Para obter a representa»c~ao (ou expans~ao) de n, na base b, constru¶³mos
uma seqÄu^encia ¯nita de divis~oes euclidianas por b, cujos restos constituir~ao a seqÄu^encia
de d¶³gitos a0; : : : ; ak.
Primeiro dividimos n por b, e obtemos
n = bq0 + a0; 0 · a0 < b:
Se q0 > 0 ent~ao dividimos q0 por b, obtendo
q0 = bq1 + a1; 0 · a1 < b:
Se q1 > 0, continuamos o processo, obtendo
q1 = bq2 + a2; 0 · a2 < b (q2 > 0)
q2 = bq3 + a3; 0 · a3 < b (q3 > 0)
...
qk¡1 = bqk + ak; 0 · ak < b (qk¡1 > 0)
at¶e encontrarmos o primeiro quociente qk = 0.
A garantia de que o processo termina est¶a no fato de que a seqÄu^encia n > q0 >
q1 > q2 > ¢ ¢ ¢ , ¶e uma seqÄu^encia estritamente decrescente de inteiros n~ao negativos,
terminando portanto em algum qk = 0 (n~ao existe uma seqÄu^encia in¯nita e decrescente
de inteiros positivos).
Substituindo sucessivamente q0; q1; : : : ; qk¡1 na equa»c~ao n = bq0 + a0 obtemos
n = bq0 + a0
= b(bq1 + a1) + a0
= q1b2
+ a1b + a0
= (bq2 + a2)b2
+ a1b + a0
= b3
q2 + a2b2
+ a1b + a0
...
= (bqk + ak)bk
+ ak¡1bk¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a2b2
+ a1b + a0
= akbk
+ ak¡1bk¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a2b2
+ a1b + a0
Para demonstrarmos a unicidade da expans~ao de n na base b, vamos supor que
existem duas expans~oes distintas,
n = akbk
+ ak¡1bk¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a2b2
+ a1b + a0
n = Akbk
+ Ak¡1bk¡1
+ ¢ ¢ ¢ + A2b2
+ A1b + A0
com os coe¯cientes aj e Aj, para j = 0; 1; : : : ; k, tomados no conjunto de d¶³gitos
f0; 1; : : : ; b ¡ 1g.

3. Representac»~ao posicional de inteiros 29
Note que, em princ¶³pio, as duas expans~oes n~ao precisam conter o mesmo numero
k + 1 de termos. Isto ¶e facilmente contornado somando parcelas com coe¯cientes nulos
para for»car a igualdade no n¶umero de coe¯cientes dos dois somat¶orios. Subtraindo o
segundo somat¶orio do primeiro, termo a termo, obtemos
(ak ¡ Ak)bk
+ ¢ ¢ ¢ + (a2 ¡ A2)b2
+ (a1 ¡ A1)b + (a0 ¡ A0) = 0
Seja j 2 f0; 1; 2; : : : ; kg o primeiro inteiro tal que aj 6= Aj. Note que tal j existe
quando as duas representa»c~oes s~ao realmente distintas.
A igualdade anterior tem ent~ao a forma
(ak ¡ Ak)bk
+ (ak¡1 ¡ Ak¡1)bk¡1
+ ¢ ¢ ¢ + (aj+1 ¡ Aj+1)bj+1
+ (aj ¡ Aj)bj
= 0
e podemos ent~ao escrever
bj
£
(ak ¡ Ak)bk¡j
+ ¢ ¢ ¢ + (aj+1 ¡ Aj+1)b + (aj ¡ Aj)
¤
= 0
ou, equivalentemente,
Aj ¡ aj = b
£
(ak ¡ Ak)bk¡j¡1
+ ¢ ¢ ¢ + (aj+1 ¡ Aj+1)
¤
:
Nestas condi»c~oes b j (Aj ¡ aj).
Por outro lado, como 0 · aj < b e 0 · Aj < b, segue que ¡b < Aj ¡ aj < b.
Assim Aj ¡ aj ¶e o ¶unico m¶ultiplo de b no intervalo ¡b < Aj ¡ aj < b, isto ¶e,
Aj ¡ aj = 0.
Chegamos ent~ao a uma contradi»c~ao, j¶a que estamos sob a hip¶otese de que aj 6= Aj.
Alternativamente, podemos demonstrar a exist^encia da expans~ao de n, na base
b, por indu»c~ao sobre n, usando o segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, analogamente ao
procedimento usado na demonstra»c~ao do teorema 2.6, cap¶³tulo 1.
Um caso particularmente interessante do teorema 4.1 ocorre quando b = 2, con-
forme enunciado a seguir.
Corol¶ario 4.1 Qualquer inteiro positivo pode ser representado, de maneira ¶unica, como
uma soma de pot^encias de dois, distintas entre si.
Demonstra»c~ao. Seja n um inteiro positivo. Segue do teorema 4.1, quando b = 2, que n
tem a forma
n = ak ¢ 2k
+ ak¡1 ¢ 2k¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a2 ¢ 22
+ a1 ¢ 21
+ a0 ¢ 20
com cada d¶³gito aj igual a 0 ou 1, sendo os d¶³gitos aj determinados de maneira ¶unica.
Logo n pode ser representado, de maneira ¶unica, como uma soma de pot^encias de dois,
distintas entre si.

4. Representac»~ao posicional de inteiros 30
Na representa»c~ao descrita no teorema 4.1, b ¶e chamado de base da representa»c~ao.
Expans~oes decimais (b = 10), bin¶arias (b = 2), hexadecimais (b = 16) ou octais (b = 8)
s~ao as mais usadas. Os coe¯cientes aj s~ao chamados de d¶³gitos da representa»c~ao. D¶³gitos
bin¶arios tamb¶em s~ao chamados de bits (binary digits).
Para distinguir representa»c~oes de inteiros em diferentes bases, ¶e h¶abito usar a
nota»c~ao
(akak¡1 : : : a2a1a0)b
para representar
akbk
+ ak¡1bk¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a2b2
+ a1b + a0
Tamb¶em escrevemos abc : : : rsb em lugar de (abc : : : rs)b.
Assim, por exemplo, (2102)3 ou 21023 signi¯ca 2 ¢ 33
+ 1 ¢ 32
+ 0 ¢ 31
+ 2 ¢ 30
, que
¶e, no nosso sistema decimal, 2 ¢ 27 + 1 ¢ 9 + 2 = 65.
Como de h¶abito, ¯ca subententida a base dez quando n~ao ¯zermos men»c~ao µa base
na qual o inteiro est¶a representado. Assim, 2307 ¶e o mesmo que 230710 ou (2307)10,
sendo o inteiro 2 ¢ 103
+ 3 ¢ 102
+ 7.
Observa»c~ao 4.1 Se n = ak ¢ bk
+ ak¡1 ¢ bk¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a2 ¢ b2
+ a1 ¢ b + a0 =
Pk
n=0 anbn
,
tal como no enunciado do teorema 4.1, este somat¶orio ¶e a sua expans~ao na base b,
enquanto que a nota»c~ao simb¶olica (akak¡1 : : : a2a1a0)b ¶e a sua representa»c~ao na base
b. No entanto, os termos expans~ao e representa»c~ao, neste contexto, podem ser usados
como sin^onimos.
Note que a demonstra»c~ao do teorema 4.1 fornece um m¶etodo para encontrar a represen-
ta»c~ao na base b de um inteiro qualquer n. N¶os simplesmente aplicamos o algoritmo da
divis~ao sucessivamente sempre com o mesmo divisor b, come»cando com o dividendo n,
tomando sempre, como novo dividendo, o ¶ultimo quociente obtido, e parando quando o
quociente se anular. A leitura dos restos, do ¶ultimo para o primeiro, fornece os d¶³gitos
da representa»c~ao procurada.
Exemplo 4.1 Para encontrar a representa»c~ao na base 2 do inteiro 2006 basta fazer
sucessivas divis~oes euclidianas por 2, tal como abaixo:
2006 2
0 1003
1003 2
1 501
501 2
1 250
250 2
0 125
125 2
1 62
62 2
0 31
31 2
1 15
15 2
1 7
7 2
1 3
3 2
1 1
1 2
1 0

5. Representac»~ao posicional de inteiros 31
Das divis~oes acima, temos:
2006 = 2 ¢ 1003 + 0
1003 = 2 ¢ 501 + 1
501 = 2 ¢ 250 + 1
250 = 2 ¢ 125 + 0
125 = 2 ¢ 62 + 1
62 = 2 ¢ 31 + 0
31 = 2 ¢ 15 + 1
15 = 2 ¢ 7 + 1
7 = 2 ¢ 3 + 1
3 = 2 ¢ 1 + 1
1 = 2 ¢ 0 + 1
Para obter a representa»c~ao de 200610 na base 2, anotamos ordenadamente os restos das
divis~oes euclidianas efetuadas, iniciando no ¶ultimo e terminando no primeiro, isto ¶e,
(2006)10 = (11111010110)2
Internamente, computadores representam n¶umeros em circuitos el¶etricos usando
uma s¶erie de chaves que possuem dois estados: ligada" (passando corrente el¶etrica)
e desligada" (n~ao passando corrente el¶etrica). Chaves ligadas representam o d¶³gito
bin¶ario 1 e chaves desligadas representam o d¶³gito bin¶ario 0. J¶a em seus dispositivos
visuais, os computadores representam n¶umeros usando a base hexadecimal, atrav¶es dos
d¶³gitos hexadecimais 0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. As letras A, B, C,
D, E e F representam os d¶³gitos correspondentes a 10 ,11, 12, 13, 14 e 15 no sistema
decimal.
Por exemplo, para converter (B013CE)16 para a base decimal escrevemos
(B013CE)16 = B ¢ 165
+ 0 ¢ 164
+ 1 ¢ 163
+ 3 ¢ 162
+ C ¢ 16 + E
= 11 ¢ 165
+ 0 ¢ 164
+ 1 ¢ 163
+ 3 ¢ 162
+ 12 ¢ 16 + 14
= (11539406)10
A convers~ao hexadecimal-bin¶ario ¶e feita atrav¶es da convers~ao dos d¶³gitos hexade-
cimais em blocos de 4 d¶³gitos bin¶arios, conforme mostra a tabela 4.1.
Exemplo 4.2 Para converter (B6AF)16 em bin¶ario basta colocar, em seqÄu^encia, os
respectivos blocos de d¶³gitos bin¶arios de cada um dos d¶³gitos hexadecimais 2, F, B e 3.
Assim
(46AF)16 = (0100|{z}
B
0110|{z}
6
1010|{z}
A
1111|{z}
F
)2 = (0100011010101111)2 = (100011010101111)2

6. Representac»~ao posicional de inteiros 32
Tabela 4.1. Convers~ao de d¶³gitos hexadecimais para o sistema bin¶ario.
d¶³gito d¶³gitos
hexadecimal bin¶arios
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111
N~ao justi¯caremos este procedimento no seu caso geral. Mostraremos por¶em, passo a
passo, a convers~ao de (46AF)16 para a forma (0100011010101111)2.
(46AF)16 = 4 ¢ 163
+ 6 ¢ 162
+ A ¢ 16 + F
= (0100)2 ¢ 163
+ (0110)2 ¢ 162
+ (1010)2 ¢ 16 + (1111)2
= (0100)2 ¢ 212
+ (0110)2 ¢ 28
+ (1010)2 ¢ 24
+ (1111)2
= (0100)2 ¢ (1 0000 0000 0000)2 + (0110)2 ¢ (1 0000 0000)2 + (1010)2 ¢ (1 0000)2 + (1111)2
= (0100 0000 0000 0000)2 + (0110 0000 0000)2 + (1010 0000)2 + (1111)2
= (0100 0110 1010 1111)2 = (100011010101111)2
Exemplo 4.3 Para converter (10110011111000)2 em hexadecimal basta converter, da
direita para a esquerda, os blocos de digitos bin¶arios em hexadecimal. Assim
(10110011111000)2 = (0010 1100 1111 1000)2 = (2CF8)16
Esquema an¶alogo ao da convers~ao bin¶ario-hexadecimal tamb¶em se aplica quando
uma das bases ¶e uma pot^encia da outra.

7. Representac»~ao posicional de inteiros 33
4.1 Exerc¶³cios
1. Seja n um inteiro positivo, e seja n = (asas¡1 : : : a1a0)10 sua representa»c~ao deci-
mal posicional, isto ¶e,
n = as10s
+ as¡110s¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a110 + a0
sendo as; as¡1; : : : ; a0 algarismos" tomados no conjunto f0; 1; : : : ; 8; 9g.
Demonstre os seguintes resultados:
(a) n ¶e divis¶³vel por 2 se e somente se a0, o d¶³gito das unidades, ¶e par.
(b) n ¶e divis¶³vel por 3 se e somente se a soma dos d¶³gitos de n, as +as¡1 +¢ ¢ ¢+
a1 + a0 ¶e divis¶³vel por 3.
Sugest~ao. Repare primeiramente que 10¡1 = 9, 102
¡1 = 99, 103
¡1 = 999,
etc. Escreva
n = as10s
+ as¡110s¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a110 + a0
= as(10s
¡ 1) + as + as¡1(10s¡1
¡ 1) + as¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1(10 ¡ 1) + a1 + a0
= 9m + (as + as¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 + a0)
(c) n ¶e divis¶³vel por 5 se e somente se a0, o d¶³gito das unidades, ¶e 0 ou 5.
(d) n ¶e divis¶³vel por 9 se e somente se a soma dos d¶³gitos de n, as +as¡1 +¢ ¢ ¢+
a1 + a0, ¶e divis¶³vel por 9. Sugest~ao. A mesma sugest~ao dada para o item b.
(e) n ¶e divis¶³vel por 11 se e somente se a soma alternada de seus d¶³gitos, a0 ¡
a1 + a2 ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)s
as, ¶e divis¶³vel por 11.
Sugest~ao. Mostre primeiramente que, se m ¶e par ent~ao 10m
¡ 1 ¶e multiplo
de 11, e se m ¶e ¶³mpar 10m
+ 1 ¶e m¶ultiplo de 11.
2. Determinar todos os inteiros positivos, m¶ultiplos de 5 que, escritos em base 10,
s~ao de 3 algarismos cuja soma ¶e 19. Resposta. 595, 685, 775, 865, e 955.
3. Demonstre que o quadrado de um inteiro positivo ¶e da forma 4k ou 4k + 1,
sendo k inteiro. Usando este fato, demonstre que nenhum inteiro da seqÄu^encia
11; 111; 1111; 11111; : : : ¶e um quadrado perfeito.
4. Determine um inteiro de quatro algarismos, que somado µa soma de seus algarismos
resulta 2603. Resposta. 2584.
5. Demonstre que o quadrado de um inteiro ¶e da forma 5k ou 5k § 1. Com quais
algarismos pode terminar um quadrado perfeito?
6. (a) Converta 1995 da nota»c~ao decimal µa nota»c~ao em base 7. Resposta. 55507.
(b) Converta 61047 µa nota»c~ao decimal. Resposta. 2111.
(c) Converta 74898 da nota»c~ao decimal µa nota»c~ao em base 8. Resposta. 2222228.

8. Representac»~ao posicional de inteiros 34
(d) Converta 5666578 µa nota»c~ao decimal. Resposta. 191919.
(e) Converta 101010102 e 111111112 µa nota»c~ao decimal. Resposta. 170 e 255,
respectivamente.
(f) Converta 1500 e 819 ao sistema bin¶ario.
Resposta. 101110111002 e 11001100112, respectivamente.
(g) Converta 10110110111101112 e 11000101111001112 ao sistema hexadecimal
(base 16). Resposta. B6F716 e C5E716, respectivamente.
(h) Converta 5BABA16, 45FE16 e 9A0B16 ao sistema bin¶ario.
Resposta. 10110111010101110102, 1000101111111102, e
10011010000010112, respectivamente.
7. Imagine que voc^e viajou para um planeta, onde os habitantes usam o sistema de
numera»c~ao posicional de base 5. Construa tabuadas nesse sistema, para a adi»c~ao
e para a multiplica»c~ao.
Realize as seguintes contas, sem converter os n¶umeros para o sistema decimal,
como se voc^e estivesse que explic¶a-las a seus alunos nesse planeta.
(a) 12343215 + 20301045. Resposta. 33144305.
(b) 44342015 ¡ 4344215. Resposta. 3442305.
(c) 12345 ¢ 30025. Resposta. 43200235.
(d) 143215 ¥ 3345 (divis~ao euclidiana). Resposta. quociente 225 e resto 3135.
8. Nos itens abaixo, imite o procedimento usado no exerc¶³cio anterior, isto ¶e, fa»ca os
c¶alculos aritm¶eticos imitando os algoritmos que voc^e aprendeu na escola b¶asica,
da aritm¶etica do sistema decimal. Realize as opera»c~oes sem converter os n¶umeros
dados para o sistema decimal.
(a) Calcule, dando solu»c~oes no sistema em que os inteiros est~ao representados:
i. 1010110112 + 11001010112. Resposta. 100100001102.
ii. 101010101111012 + 111011010110112. Resposta. 1100110000110002.
iii. 11110010112 ¡ 1001011112 Resposta. 10100111002.
iv. 11011011002 ¡ 1011101012
v. 101112 ¢ 110012. Resposta. 10001111112.
vi. 1101112 ¢ 10110112. Resposta. 10011100011012.
(b) Encontre o quociente e o resto
i. quando 1100101112 ¶e dividido por 11012.
Resposta. q = 111112, r = 1002.
ii. quando 1101001112 ¶e dividido por 111012.
Resposta. q = 1110, r = 10001.
(c) Calcule
i. ABAFADA16 + AB0BADA16. Resposta. 156BB5B416.

9. Representac»~ao posicional de inteiros 35
ii. FADA16 ¡ CAFE16. Resposta. 2FDC16.
iii. CACA16 ¢ B0A16. Resposta. 8BE99E416.
Sugest~ao. Fa»ca primeiramente uma tabuada de todas as multiplica»c~oes
b¶asicas envolvidas: C £ B = 84, A £ B = 6E, etc.
9. (a) Demonstre que todo inteiro ¶e de uma das formas: 3k ou 3k ¡ 1 ou 3k + 1,
com k inteiro.
(b) Demonstre ent~ao que cada inteiro positivo n pode ser representado na forma
tern¶aria balanceada, ou seja, pode ser representado na forma
n = an ¢ 3n
+ an¡1 ¢ 3n¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a1 ¢ 3 + a0
com ai = 0 ou §1, para cada ¶³ndice i.
(c) Um farmac^eutico tem apenas pesos de 1g, 3g, 9g, 27g, 81g, e uma balan»ca
de dois pratos (os pesos podem ser colocados em ambos os pratos). Mostre
que ele pode pesar qualquer objeto com at¶e 121g.
10. Mostre que qualquer peso n~ao excedendo 2k
¡ 1 gramas pode ser medido usando
pesos de 1, 2, 22
, : : : , 2k¡1
gramas, em uma balan»ca de dois pratos, os pesos
sendo colocados num ¶unico prato da balan»ca.
11. Decifre a seguinte brincadeira de adivinha»c~ao.
O m¶agico (adivinho) pede a uma pessoa que pense em um n¶umero de 10 a 100.
O m¶agico executa ent~ao os seguintes passos:
1. Pergunta µa pessoa se o n¶umero pensado ¶e par ou ¶³mpar. Ouvida a resposta,
se for par, pede µa pessoa que divida o n¶umero por 2. Se for ¶³mpar, pede µa pessoa
que subtraia 1 e que ent~ao divida o resultado por 2.
2. Pergunta ent~ao se o novo resultado, assim obtido, ¶e par ou ¶³mpar.
3. O procedimento continua com cada novo resultado. Isto ¶e, o m¶agico pergunta
se o n¶umero resultante ¶e par ou ¶³mpar e, ouvida a resposta, pede µa pessoa para
repetir o procedimento descrito no item 1. O m¶agico pede µa pessoa para avis¶a-
lo quando o resultado tornar-se igual a 1, quando ent~ao os c¶alculos da pessoa
terminam.
O m¶agico vai fazendo anota»c~oes enquanto a pessoa lhe passa as informa»c~oes
solicitadas e, quando ¶e informado de que o resultado ¶e igual a 1, ele revela imedi-
atamente µa pessoa o n¶umero pensado por ela.
Qual ¶e o procedimento adotado pelo m¶agico em suas anota»c~oes ?
12. Explique como converter representa»c~oes de inteiros na base 3 para a base 9 e
vice-versa.
13. Mostre que se n = (akak¡1 : : : a1a0)b ent~ao o quociente e o resto, da divis~ao de
n por bj
s~ao, respectivamente, q = (akak¡1 : : : aj)b e r = (aj¡1 : : : a1a0)b.

10. Representac»~ao posicional de inteiros 36
14. Se n = (akak¡1 : : : a1a0)b ent~ao qual ¶e a representa»c~ao de bm
n na base b ?
15. Uma expans~ao de Cantor para um inteiro positivo n ¶e uma soma da forma
n = amm! + am¡1(m ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + a2 ¢ 2! + a1 ¢ 1!
sendo cada aj um inteiro, com 0 · aj · j.
(a) Encontre a expans~ao de Cantor para 14, 56 e 384. Sugest~ao. Se encontrar
di¯culdade, veja o algoritmo apresentado no item abaixo.
(b) Mostre que qualquer inteiro positivo tem uma expans~ao de Cantor.
Sugest~ao. Seja n um inteiro positivo. Inicialmente, divida n por 2, obtendo
quociente q1 e resto r1. Divida ent~ao q1 por 3, obtendo quociente q2 e
resto r2. Divida ent~ao q2 por 4, obtendo quociente q3 e resto r3. Prossiga
iterativamente. Para cada j, j ¸ 2, ao dividir qj¡2 por j, obtemos quociente
qj¡1 e resto rj¡1. Como q1 > q2 > q3 > ¢ ¢ ¢ ¶e uma seqÄu^encia decrescente
de inteiros n~ao negativos, se n ¸ 3, existir¶a um inteiro m tal que qm 6= 0 e
qm+1 = 0 (se n · 2, teremos simplesmente n = 1! ou n = 2!). Coletando
as divis~oes euclidianas realizadas, mostre ent~ao que
n = r1 + r2 ¢ 2! + r3 ¢ 3! + ¢ ¢ ¢ + rm ¢ m!
(c) Mostre que a escolha dos coe¯cientes a0; : : : ; am, na expans~ao de Cantor de
um inteiro positivo, ¶e ¶unica.
Sugest~ao. Suponha que um inteiro positivo a tenha duas expans~oes de Cantor
distintas, digamos a =
nX
k=1
ak ¢ k! =
mX
k=1
bk ¢ k!. Podemos escrever a =
sX
k=1
ak ¢k! =
sX
k=1
bk ¢k!, completando com coe¯cientes nulos o somat¶orio que
tiver menos termos.
Sendo diferentes as duas expans~oes, existir¶a um ¶³ndice `, o maior poss¶³vel,
tal que a` 6= b`. Teremos ent~ao
sX
k=1
ak ¢ k! ¡
sX
k=1
bk ¢ k! =
`X
k=1
ak ¢ k! ¡
`X
k=1
bk ¢ k! = 0.
Da¶³, (a` ¡ b`)`! = (b`¡1 ¡ a`¡1)(` ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + (b2 ¡ a2)2! + (b1 ¡ a1).
Explique ent~ao porqu^e
ja` ¡ b`j`! · (` ¡ 1)(` ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + 2 ¢ 2! + 1! e, fazendo uso da f¶ormula
apresentada no exerc¶³cio 2f, p¶agina 16, cap¶³tulo 1, mostre que a` = b`.
16. O Jogo chin^es NIM ¶e jogado em duplas como segue. Inicialmente v¶arios palitos
est~ao dispostos em v¶arias ¯leiras. Cada movimento consiste em retirar um ou
mais palitos de apenas uma das ¯leiras. Vence o jogo aquele que retirar o ¶ultimo
palito em sua jogada. Uma posi»c~ao ganhadora ¶e uma con¯gura»c~ao de palitos
tal que, se voc^e deix¶a-la para seu oponente, voc^e poder¶a continuar jogando de

11. Representac»~ao posicional de inteiros 37
modo a ganhar, n~ao importa quais sejam as futuras jogadas de seu oponente. Por
exemplo, se voc^e deixar somente dois palitos, cada um em uma ¯leira, voc^e est¶a
em uma posi»c~ao ganhadora, pois seu oponente ir¶a tirar um dos palitos e voc^e ir¶a
tirar o ¶ultimo palito.
(a) Mostre que a con¯gura»c~ao de duas ¯leiras, com dois palitos cada, ¶e uma
posi»c~ao ganhadora.
(b) Para cada arranjo de palitos em ¯leiras, podemos escrever o n¶umero de palitos
em cada ¯leira no sistema bin¶ario, e dispor esses n¶umeros em uma coluna,
alinhando seus d¶³gitos em colunas, acrescentando zeros quando necess¶ario.
Por exemplo, se a con¯gura»c~ao de palitos ¶e de tr^es ¯leiras, sendo elas de 10,
8 e 3 palitos, escrevemos
10 = 1 0 1 0
8 = 1 0 0 0
7 = 0 1 1 1
Mostre que uma posi»c~ao ¶e ganhadora se o n¶umero de 1's em cada coluna ¶e
par, e ¶e perdedora se o n¶umero de 1's em alguma das colunas ¶e impar. Por
exemplo, se tivermos tr^es ¯leiras com 10, 8 e 7 palitos, como acima, temos
uma posi»c~ao perdedora.
Sugest~ao. Mostre que
(a) a retirada de palitos, de qualquer ¯leira, a partir de uma posi»c~ao ganha-
dora, produz uma posi»c~ao perdedora;
(b) a partir de uma posi»c~ao perdedora, existe uma retirada de palitos, de
uma das ¯leiras, que produz uma posi»cao ganhadora. Considere a ¯leira com
maior n¶umero de palitos. Mostre que ¶e poss¶³vel subtrair um n¶umero de palitos
dessa ¯leira de modo a alterar d¶³gitos previamente escolhidos (transformando
os 0's escolhidos em 1's e vice-versa).