Sociologie des réseaux sociaux, 8, EHESS/ENS/ENSAE

Sociologie des réseaux sociaux
Paola Tubaro
ENS/EHESS/ENSAE
9 février 2015

Introduction
Rappel
Network theory et theory of networks
Deux angles, dans la terminologie de Borgatti & Halgin (2011):
Network theory = les conséquences des facteurs relationnels
(par ex. avoir beaucoup de liens, ou avoir une position
centrale) sur les résultats pour les individus et/ou les groupes
Theory of networks = les processus qui déterminent les
structures des réseaux (pourquoi les réseaux ont certaines
propriétés)

Introduction
Rappel
Inﬂuence et sélection
Deux angles, dans la terminologie de Steglich et al. (2010):
Inﬂuence: Comment les réseaux changent les comportements
Je fume parce que mes amis fument
Sélection: Comment les comportements changent les réseaux
Comme je fume, je choisis des amis qui fument
Les deux (dynamiquement):
Comme je fume, je choisis des amis qui fument — et par là,
je fume encore plus
"Comportements" = performance, attitudes, etc.

Introduction
Rappel
Nous avons vu que :
Les structures de réseaux affectent les comportements
Les effets de réseau se produisent aux niveaux micro et macro
Ces effets peuvent être non linéaires et peu intuitifs

Introduction
Rappel
Nous avons aussi vu que :
Les modèles de régression (où la variable dépendante est un
comportement) peuvent inclure les eﬀets des structures de
réseaux (variables indépendantes) sur les comportements
Mais il faut contrôler la dépendance des observations

Introduction
Plan
Programme pour aujourd’hui
Introduction
Rappel
Plan
Méthodes : modéliser les réseaux
Stochastic Actor-Oriented Models (SAOM)
La co-évolution d’inﬂuence et sélection

Theory of networks
Perspective traditionnelle: les réseaux sociaux comme variables
explicatives.
Ici: les réseaux sociaux comme variables dépendantes:
Pourquoi des relations sociales se forment-elles?
Comment expliquer l’émergence des réseaux, l’agencement des
liens entre les acteurs qui en font partie, l’évolution des
réseaux dans le temps?
Sur quelles bases la structure des réseaux sociaux peut-elle être
ramenée aux comportements des acteurs?

Expliquer la structure des réseaux
Les attributs des acteurs:
Attributs de (ego): par ex. les personnes plus sociables
envoient plus de liens
Attributs de (alter): par ex., avoir un statut élevé attire des
demandes de conseil
Similarités (homophilie): par ex. préférence de genre dans liens
d’amitié entre enfants
Un processus social endogène:
Positions de ego et alter dans le réseau (centralité, contrainte
etc)
Transitivité
Cycles (i aide j qui aide k qui aide i)
...

Quels modèles statistiques?
La présence/absence d’un lien (variable dépendante) peut être
conceptualisée comme une variable binaire
On peut alors estimer la probabilité de formation d’un lien entre
deux nœuds
Modèles de choix binaire : logit, probit
Mais ces modèles ne contrôlent pas la dépendance des observations
Versions ‘adaptées’ des modèles logit sont utilisées

Le problème de la dépendance
Par déﬁnition, les données relationnelles ne respectent pas le postulat
d’indépendance des observations, nécessaire pour la plupart des modèles
d’inférence statistique standard
u
c
u
c
ub ua ub ua ub ua
¡
¡
¡
¡
¡
¡
e
e
e
e
e
e…
¡
¡
¡
¡
¡
¡ e
e
e
e
e
eu
E'
Réciprocité
E
Transitivité
E
Trois-Cycles

Quelles solutions?
Ancienne génération de modèles, P1, P2 : versions adaptées de
régressions logistiques, tenant compte des dépendances dyadiques
Utilisées pour des données en coupe
Aujourd’hui : P* or ERGM (Exponential random graph model)
Tient compte d’eﬀets dyadiques et triadiques
Actuellement, l’approche la plus avancée pour l’étude des données
relationnelles en coupe
SAOM (Stochastic Actor-Oriented Model), ou R-Siena : eﬀets
dyadiques, triadiques et globaux
Siena s’utilise avec des données longitudinales

L’approche longitudinale
Les Stochastic Actor-Oriented Models (SAOM) (Snijders et al.,
2010) permettent la modélisation longitudinale des données
L’accent est mis sur l’évolution d’un réseau au cours du temps, dans
le but ultime d’en expliquer la structure en fonction du
comportement des acteurs qui en font partie

Exemple: Teenage Friends and Lifestyle Study
Le réseau d’amitié d’un sous-ensemble de 50 ﬁlles, observées 3 fois entre 1995 (13 ans) et 1997. Vague 1

Comment le réseau évolue
Qu’est-ce qui guide les changements des relations interindividuelles
au cours du temps?
Y a-t-il des mécanismes de réciprocité, formation de groupes,
transitivité ?

Les avantages de la modélisation longitudinale
Avec une seule observation, il est diﬃcile d’identiﬁer les facteurs qui
expliquent le réseau: tout dépend de tout le reste
Avec la modélisation longitudinale, on peut expliquer l’état présent
d’un réseau par son passé:
⇒ La structure des relations entre acteurs sociaux peut alors
apparaître plus clairement

Les principes de base de SAOM
Stochastic Actor-Oriented Model: ce sont les choix individuels des
acteurs qui orientent l’évolution du réseau
⇒ plus précisément: chaque acteur contrôle ses relations vers les
autres (liens sortants).
Modèle de rationalité limitée: chacun choisit ses relations en
cherchant à obtenir la position la plus gratiﬁante possible dans le
réseau, mais en raisonnant sur un horizon de court terme
Les acteurs ne se coordonnent pas au préalable
⇒ plus précisément: à chaque moment, un seul acteur a la
possibilité de faire un changement, et peut modiﬁer une seule
relation binaire
⇒ chacun constitue l’environnement changeant des autres

Les principes de base de SAOM (cont.)
On admet une forme de changement latent et continu sous-jacent à
l’évolution du réseau, entre le temps t1 et le temps t2
On inclut une part d’inﬂuence aléatoire dans le modèle pour rendre
compte d’une « variabilité non expliquée »
On conditionne l’évolution du réseau sur la première observation de
ce réseau, sans modéliser cette première observation

Les données
N acteurs sociaux
Variables relationnelles (généralement, mais non nécessairement
dichotomiques – présence ou absence d’un lien)
Mesures répétées d’un même réseau social (au moins deux mesures)

Notation
L’existence d’un lien entre les acteurs i et j est indiquée par Xij ,
avec:
Xij =
1 s il y a un lien de i vers j
0 sinon
Les valeurs Xii sont sans intérêt. L’ensemble des relations Xij = X
Pour distinguer les observations, on rajoute l’indice temporel t (la
matrice X(t) et l’élément Xij (t))

Le changement
La différence entre deux réseaux observés X(t1) et X(t2) est
produite par une séquence de petits changements ou mini-steps
A chaque moment, un acteur i sélectionné de manière aléatoire a la
possibilité de modifier l’une de ses relations Xij :
off ⇒ on: créer un nouveau lien avec j
on ⇒ off: rompre son lien avec j,
off ⇒ off: garder l’absence de lien avec j,
on ⇒ on: garder son lien avec j,
L’acteur prend la décision de modifier ou non un lien dans le but
d’obtenir la position la plus gratifiante possible dans le réseau

Modéliser le changement
Le processus de changement se décompose en deux sous-modèles,
sur la base de l’idée que l’acteur i contrôle ses liens sortants Xij :
Le temps d’attente pour que i ait la possibilité de modiﬁer l’une de
ses relations
Rate function (vitesse de changement)
= combien de changements vont être faits.
La probabilité que i modiﬁe l’une des relations Xij , lorsqu’il a la
possibilité de le faire:
Objective function (fonction-objectif)
= quels changements vont être faits.

Spécification du modèle
Spécification simple: supposons la vitesse du changement constante.
Regardons la fonction-objectif: fi (β, x)
avec: i = acteur, x = réseau, β = un paramètre statistique
Objectif du modèle: estimer les β
Spécification : fi (β, x) =
L
k=1 βk sik (x)
avec βk = les paramètres statistiques indiquant la force de l’effet
sik (x)

Les ’effets’
Les effets sik reflètent:
des effets structuraux (endogènes)
des effets d’attribut (exogènes)
Les attributs sont:
des variables explicatives caractérisant les acteurs, notées vi ;
des variables explicatives caractérisant les dyades d’acteurs (les
deux acteurs à la fois), notées wij
Idée: en contrôlant adéquatement les effets structuraux, il est
possible de regarder les effets de variables autres que structurales
sur l’évolution du réseau

Les effets structuraux
Doivent toujours être présents:
Effet de degré = demi-degré extérieur de i
si1(x) = xi+ = j xij
Effet de réciprocité = nombre de relations réciproques de i
si2(x) = j xij xji

Rappel: la réciprocité
ub uaE'
Un mécanisme fondamental de formation et maintien de relations
Réduit le ’coût’ implicite des liens (en termes de temps,
investissement émotionnel, dévoilement de soi...)
La rupture d’un lien réciproque peut être perçue comme plus
’coûteuse’ que la rupture d’un lien non réciproque
Importance avérée des mécanismes de réciprocité dans l’explication
des comportements (systèmes d’échange de dons et contre-dons)

Résultats dans Teenage Friends and Lifestyle Study
Effet Paramètre (écart-type)
Taux 1 5,848 (0,939)
Taux 2 4,535 (0,692)
degré –2,404∗∗∗
(0,112)
réciprocité 2,896∗∗∗
(0,199)
†
p 0,1; ∗
p 0,05; ∗∗
p 0,01; ∗∗∗
p 0,001;
convergence t ratios all 0,059,
overall maximum convergence ratio 0,181
Vitesse de changement: en moyenne, les acteurs font environ 5 - 6
changements entre deux observations successives
Le paramètre de degré est négatif: en moyenne, les coûts des
relations amicales sont plus élevés que les bénéfices
L’effet de réciprocité est fort et significatif (t = 2,896 /0,2 = 14,55).

La fonction-objectif estimée
La fonction objectif est: fi (x) = j (−2, 404xij + 2, 896xij xji )
Rajouter un lien réciproque (xij lorsque xji = 1) donne une
satisfaction additionnelle de -2,404 + 2,896 = 0,492.
Rajouter un lien non réciproque (xij lorsque xji = 0) donne : -2,404
(les bénéﬁces sont négatifs)

Interprétation du résultat
Les liens réciproques ont une valeur positive, les liens non
réciproques ont une valeur négative
⇒ Les acteurs vont essayer de ne pas former de liens non
réciproques.
Certains de ces liens vont tout de même être formés en raison de la
présence de l’élément aléatoire; ils peuvent devenir réciproques
ensuite, par l’action des autres
Les liens entrants xji ne sont pas pris en compte dans le
raisonnement concernant l’acteur i, car ils ne sont pas sous son
contrôle

Exemple : les relations de i
Demi-degré extérieur = 3
Nombre de liens réciproques = 2
Valeur de
fi = −2, 404x3 + 2, 896x2 = −1, 42

Les choix possibles de i
Demi-degré Liens Gain
extérieur réciproques
Actuel 3 2 -1,42
Ajoute lien vers C 4 3 -0,928
Ajoute lien vers E 4 2 -3,824
Elimine lien vers A 2 1 -1,912
Elimine lien vers B 2 1 -1,912
Elimine lien vers D 2 2 +0,984
Sur cette base (compte tenu de la composante aléatoire), l’acteur i
choisit le changement le plus avantageux

L’estimation, plus précisément
L’acteur i maximise fi (β, x) + Ui (t, x, j)
où Ui (t, x, j) = terme d’erreur, distribuée selon une loi de Gumbel
On estime la probabilité d’un changement dans la dyade i − j:
pij (β, x) =
exp(f (i, j))
n
h=1 exp(f (i, h))
où (f (i, j) = fi (β, x) =
L
k=1 βk sik (x)
C’est la forme logit multinomiale d’un modèle d’utilité aléatoire
(random utility)

D’autres eﬀets structuraux
u
h
ui uj
e
e
e…¡
¡
¡!
E
u
h
ui uj
e
e
e…¡
¡
¡!
Ee
e
eu
u
h
ui uj
¡
¡
¡ e
e
eu
E
Transitivité: si3(x) = j,h xij xihxhj , ’les amis
de mes amis sont mes amis’
Transitivité réciproquée:
si4(x) = j,h xij xihxhj xjh
Trois-cycle: si5(x) = j,h xij xjhxhi

Taux 1 6,257 (1,019)
Taux 2 5,116 (0,869)
degré –2,792∗∗∗
(0,148)
(0,259)
transitivité 0,852∗∗∗
(0,144)
transitivité réciproquée –0,439†
(0,231)
†
p 0.1; ∗
p 0.05; ∗∗
p 0.01; ∗∗∗
p 0.001;
convergence t ratios all 0.055,
overall maximum convergence ratio 0.574.
fi (x) est donnée par: -2,792 x (demi-degré extérieur de i) +2,743 x
(nombre de liens réciproques de i) +0,852 x (nombre de triades
transitives dont i fait partie)

Autres eﬀets structuraux
Popularité: demi-degré intérieur de i (Lazega et al., 2012)
Activité: demi-degré extérieur de i
Nombre de liens indirects de i
....

Les effets des attributs
Attributs de l’acteur (vi ):
Effet d’activité (ego), egoX = vi xi+: l’acteur avec une valeur
élevée de cette variable, va accroître plus rapidement son degré
extérieur
Effet de popularité (alter), alterX = j xij vj : le degré intérieur
des acteurs pour qui cette variable a une valeur élevée,
s’accroît plus rapidement
Effet de égalité, sameX = j xij I{vi = vj }: i préfère se lier à des j
avec la même valeur de cette variable
⇒ Variantes: interaction egoXalterX, ou similarité (simX)
Attributs de la dyade (wij ):
Effet de préférence: la valeur d’un lien entre i et j s’accroît
lorsque wij augmente

Les attributs dans Teenage Friends and Lifestyle Study
Le réseau d’amitié d’un sous-ensemble de 50 ﬁlles, observées 3 fois entre 1995 (13 ans) et 1997. Couleur plus
foncée = consommation d’alcool plus élevée. Vague 1

Eﬀet Paramètres (écart-types)
Rate 1 6,322 (1,053)
Rate 2 5,065 (0,845)
degré –2,818∗∗∗
(0,150)
(0,254)
(0,129)
transitivité réciproquée –0,484∗
(0,203)
smoke1 similarité 0,233 (0,211)
alcohol alter –0,025 (0,069)
alcohol ego 0,025 (0,075)
alcohol ego x alcohol alter 0,120∗
(0,049)
†
p 0.1; ∗
p 0.05; ∗∗
p 0.01; ∗∗∗
p 0.001;
convergence t ratios all 0.099,
overall maximum convergence ratio 0.492.

Interprétation des paramètres
Prendre conjointement tous les effets (egoX, alterX, sameX,
egoXalterX etc) :
Effet de l’alcool: 0, 025vi − 0, 025vj + 0, 12vi vj
Ici, seul egoXalterX est significatif
1 2 3 4 5
1 0,12 0,24 0,36 0,48 0,6
2 0,24 0,48 0,72 0,96 1,2
3 0,36 0,72 1,08 1,44 1,8
4 0,48 0,96 1,44 1,92 2,4
5 0,6 1,2 1,8 2,4 3
⇒ Effet positif : la consommation d’alcool affecte la sélection des amis

Estimation des paramètres
Idée: un modèle d’évolution peut être simulé en engendrant des
données de réseau qui ont la même structure que les données
observées
Les valeurs des paramètres estimés seront celles qui rapprochent le
plus les données simulées des données observées
Méthode des moments (solution de l’équation des moments ne peut
pas être calculée – approximation, basée sur le processus
Robbins-Monro)
(alternative: maximum de vraisemblance)

Estimer inﬂuence et sélection
Inﬂuence: Comment les réseaux changent les comportements
Je bois de l’alcool parce que mes amis boivent
Sélection: Comment les comportements changent les réseaux
Parce que je bois, je choisis des amis qui boivent
Les deux (dynamiquement):
Parce que je bois, je choisis des amis qui boivent — et par là, je
bois encore plus

SAOM pour inﬂuence et sélection
Réseau et comportement sont à la fois variables dépendantes et
indépendantes
Données longitudinales permettent de suivre l’évolution des
comportements en fonction des structures relationnelles, et
inversement
Logique de construction du modèle, et d’estimation, est la même:
L’acteur i maximise fi (β, x, z(x, z)) + Ui (t, x, j)
où z = un comportement d’intérêt
On estime la probabilité d’un changement dans la dyade i − j:
pij (β, x, z) =
exp(f (i, j))
n
h=1 exp(f (i, h))

Alcool et amitié dans Teenage Friends and Lifestyle Study

On a vu que la consommation d’alcool affecte la sélection
Effet Paramètres (écart-types)
Rate 1 6,322 (1,053)
Rate 2 5,065 (0,845)
degré –2,818∗∗∗
(0,150)
(0,254)
(0,129)
(0,203)
alcohol alter –0,025 (0,069)
alcohol ego 0,025 (0,075)
alcohol ego x alcohol alter 0,120∗
(0,049)
⇒ est-ce que l’amitié affecte aussi le choix de consommer de l’alcool?

Réseau
Taux amitié 1 6,376 (1,104)
Taux amitié 2 5,068 (0,930)
degré –2,854∗∗∗
(0,158)
(0,265)
(0,159)
(0,243)
drinking alter –0,024 (0,107)
drinking ego 0,032 (0,102)
drinking ego x drinking alter 0,176∗
(0,073)
Comportement
Taux alcool 1 1,323 (0,334)
Taux alcool 2 1,752 (0,511)
Comport. alcool linéaire 0,416 (0,225)
Comport. alcool quadratique –0,567 (0,345)
Comport. alcool moyenne alter 1,204 (0,805)

Conclusions
Il y a ici un effet de sélection : le comportement (consommation
d’alcool) affecte la structure du réseau (choix des amis)
Mais il n’y a pas d’effet d’influence: la structure du réseau (ici, la
consommation moyenne d’alcool des alters d’un ego donné) ne se
répercute pas sur le comportement

Pour en savoir plus
La page web de Siena: http://www.stats.ox.ac.uk/ snijders/siena/

Bibliography I
Borgatti, S. Halgin, D. (2011). On network theory. Organization
Science, 22(5), 1168–1181.
Lazega, E., Mounier, L., Snijders, T., Tubaro, P. (2012). Norms,
status and the dynamics of advice networks: A case study. Social
Networks, 34(3), 323–332.
Snijders, T., Steglich, C., van de Bunt, G. (2010). Introduction to
actor-based models for network dynamics. Social Networks, 32, 44–60.
Steglich, C., Snijders, T., Pearson, M. (2010). Dynamic networks and
behavior: Separating selection from inﬂuence. Sociological
Methodology, 40, 329–392.

Merci!
Paola Tubaro, paola.tubaro@ens.fr

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