Ecología de los números reales en la enseñanza secundaria y en la formación del profesorado.

1. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Facultad de Ciencias - Instituto de Matemática
Doctorado en Didáctica de la Matemática
Ecología de los números reales
Ecología de los números reales
en la enseñanza secundaria y en la
en la enseñanza secundaria y en la
formación del profesorado
formación del profesorado
Tesista: Rosa Mabel Licera
Directores: Josep Gascón (Universitat Autònoma de Barcelona)
Marianna Bosch (Universitat Ramon Llull)
Tutora: Astrid Morales

2. Asumimos como marco teórico metodológico la
TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LO DIDÁCTICO (TAD)
Organización de la presentación:
Problemática docente inicial
Las tres dimensiones consideradas en nuestro
problema de investigación:
- Epistemológica
- Económica-institucional
- Ecológica.
Objetivo General
2

3. Problemática docente inicial
Problemática docente inicial
7º identificación de π con 3,14

4. Momento de transición entre dos etapas de la enseñanza secundaria
(alrededor del noveno o décimo año de estudios):
Etapa de las matemáticas Etapa de las matemáticas
elementales (ME) avanzadas (MA)
•Propuesta de sistematización del trabajo matemático alrededor del
sistema de los números reales (Acuerdo general respecto a que el
estudio de los números reales sea el punto de partida para acceder a
nuevos saberes).
•Tema de estudio problemático para la mayoría de los profesores
- El estatus de número de los irracionales es cuestionado
- No se reconocen razones de ser para R
- No puede establecerse una clara relación entre este
conjunto y los otros conjuntos numéricos.
(Scaglia 2000, Romero 1997, Artigue 1998, Robinet 1986, Margolinas 1985,
4
entre otros)

5. Las actividades en torno a los reales no remiten a las prácticas habituales
con números ni se organizan como una respuesta adecuada a
situaciones problemáticas
(¿Se suman las expresiones decimales no periódicas, cómo? ¿Cómo se
comparan?).
Este saber aparece “aportado por la cultura (matemática)” lo
que impide cuestionar su validez, obligando al alumno -y al
profesor- a aceptar lo instituido.
Problemática docente:
¿Qué tengo que enseñar a mis alumnos de números
reales y cómo debo hacerlo?
En particular, ¿Para qué se necesita la explicitación de los
números irracionales, dónde se necesitan? ¿Qué aporta al
irracionales,
trabajo matemático su consideración? 5

6. Dimensiones de un problema
Dimensiones de un problema
didáctico
didáctico
(Gascón, 2011)
(Gascón, 2011)
-- Epistemológica
Epistemológica
-- Económica
Económica
-- Ecológica
Ecológica
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7. Dimensión epistemológica del problema
Dimensión epistemológica del problema
didáctico
didáctico
En la formulación de todo problema didáctico el investigador asume,
aunque sea implícitamente, una interpretación del ámbito matemático que
está en juego.
Desde la TAD se impone como principio metodológico básico, la
explicitación de dicha interpretación, lo que se constituye en el Modelo
Epistemológico de Referencia (MER) relativo a la actividad
matemática involucrada en el problema a abordar. (Bosch y Gascón,
2007)
¿Cuál es la amplitud del ámbito M más adecuada para
plantear el problema didáctico relativo a la enseñanza de
los números reales?
7

8. Para dar respuesta a esta cuestión nos basamos en:
•El modelo epistemológico general de la matemática que
propone la TAD que da cuenta tanto de las razones de
ser como del proceso de construcción y uso de los
saberes matemáticos en términos de praxeologías.
•El modelo propuesto por BAUJAMA (2000) en torno al
problema de la medida de las magnitudes continuas.
•Un estudio histórico epistemológico del saber número
real en el ámbito científico (Licera 2008).
•La infraestructura matemática propuesta por Lebesgue
(1975) que da cuenta de la ampliación del campo
numérico más allá de los naturales.
8

9. El ámbito matemático en el que situamos el problema didáctico en
cuestión abarca el problema de la medida de magnitudes continuas.
Postulamos que los números reales forman parte de un
modelo matemático que propone respuestas a dicho
problema.
(posición avalada por distintas investigaciones en el ámbito de la TAD,
(posición avalada por distintas investigaciones en el ámbito de la TAD,
Bronner, 1997; Bahujama 2000; Chevallard & Bosch, 2001; Sierra, 2006).
Bronner, 1997; Bahujama 2000; Chevallard & Bosch, 2001; Sierra, 2006).
Nuestro MER tiene por pretensión completar el propuesto por
BAHUJAMA, 2000, desde la resignificación de “la actividad de medir”
(relegada –en las instituciones escolares- casi exclusivamente a la
aplicación de fórmulas de cálculo) y donde la razón de ser del nuevo
sistema numérico tenga que ver con el desarrollo de técnicas
potentes, fiables y económicas que resuelvan problemas
relativos a las cantidades de magnitud continua. 9

10. Dimensión económico-institucional
Dimensión económico-institucional
Abarca cuestiones problemáticas relativas a las praxeologías
matemáticas y didácticas vigentes en los espacios institucionales
involucrados en el problema de investigación.
En particular nos preguntamos:
¿Cómo se consideran, describen e interpretan los números
¿Cómo se consideran, describen e interpretan los números
reales en la escuela secundaria, en particular en la etapa MA? Es
reales en la escuela secundaria, en particular en la etapa MA? Es
decir, ¿cuál es el modelo epistemológico dominante de los
decir, ¿cuál es el modelo epistemológico dominante de los
números reales en esta etapa?
números reales en esta etapa?
¿En qué forma incide el modelo epistemológico dominante de los
¿En qué forma incide el modelo epistemológico dominante de los
números reales sobre la forma de organizar su estudio? ¿Qué
números reales sobre la forma de organizar su estudio? ¿Qué
tipo de actividades matemáticas aparecen efectivamente? ¿Qué
tipo de actividades matemáticas aparecen efectivamente? ¿Qué
tipo de actividades matemáticas -propias de los conjuntos
tipo de actividades matemáticas -propias de los conjuntos
numéricos (comparación, adición, multiplicación…)- no
numéricos (comparación, adición, multiplicación…)- no
aparecen? ¿Qué fenómenos didácticos se evidencian?
aparecen? ¿Qué fenómenos didácticos se evidencian?
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11. Análisis praxeológico del campo numérico en el que se sustenta la
práctica matemática correspondientes a MA
Material empírico: libros de texto, de actual circulación, los diseños curriculares
correspondientes y entrevistas a profesores.
Observamos la presencia persistente de fragilidades e
inconsistencias en la actividad matemática que involucra la
manipulación de números irracionales. A pesar que “se dice” que
se trabaja con números reales la mayoría de las tareas
(desarrolladas a modo de ejemplo o propuestas para el alumno)
involucran solo números racionales.
Cuando se trata con números irracionales –porque no se los puede
evitar- se evidencia la ausencia de técnicas y tecnologías pertinentes,
eficaces. Se adoptan las siguientes actitudes:
1) Se identifican con una aproximación racional desde un uso
abusivo del signo “=”. 2) Se explicita que se dará una aproximación
pero la cota de error se da en forma totalmente arbitraria. 3) Quedan
indicados en términos de operaciones. Como las tareas no van más
allá de calcular, no se hace nada con los resultados, este asunto es
11
totalmente irrelevante.

12. En general se evidencia:
Ausencia de cuestiones problemáticas que se constituyan en Razones de
Ser de la ampliación del campo numérico más allá de los racionales.
Atomización de las tareas propuestas al interior del modelo numérico, tareas
estereotipadas.
Rigidez en las técnicas de comparación y cálculo, técnicas de corto alcance.
Monumentalismo, mostración de contenidos cristalizados, presencia de
elementos tecnológico-teóricos decorativos.
Estos hechos aparecen como “síntomas” de un fenómeno didáctico-
matemático latente.
Esbozo provisional:
El SEM en la escuela secundaria evita el tratamiento de la
problemática que provoca el uso de los números
irracionales.
12

13. Dimensión ecológica del problema de investigación
Dimensión ecológica del problema de investigación
Nos preguntamos sobre la factibilidad de una organización didáctica que
supere el fenómeno descrito. Desde nuestro MER dicha organización debería
articular de manera funcional la actividad matemática en torno a la medida de
magnitudes continuas y la ampliación progresiva del campo numérico.
Estamos considerando la dimensión ecológica del problema, que Berta
Barquero (2009) describe en los siguientes términos:
…la TAD se pregunta cuáles son las condiciones que
permiten, facilitan o favorecen que determinadas actividades
matemáticas y didácticas puedan desarrollarse (existir, tener
lugar, o “vivir”) en un determinado entorno institucional (la
escuela primaria, la escuela secundaria, la universidad, un
entorno profesional determinado o la sociedad en general) y
cuáles son las restricciones que dificultan, entorpecen o
incluso impiden la puesta en práctica de estas actividades.
13

14. Desde la TAD se sitúa el origen de dichas restricciones en las
instituciones ,en el tipo de conexiones (o falta de ellas) entre
todos los niveles de la escala de codeterminación didáctica
(Chevallard 2001, 2005).
En este marco nos preguntamos:
¿En qué niveles surgen las restricciones que dificultan o
impiden que las praxeologías matemáticas escolares en
torno a los números reales incluyan elementos tecnológico-
teóricos capaces de producir y justificar técnicas que
promuevan un uso funcional de los números reales? ¿Cuáles
son esos elementos?
14

15. Algunas hipótesis respecto al modelo epistemológico didáctico dominante en el SEM en
secundaria relativo al sistema de los números reales:
Relación estrictamente “formal” (esto es, no de manera funcional) del
sistema de los números reales con otras áreas de la matemática escolar.
En particular, los reales no se vinculan al problema de la medida de
magnitudes formando parte de organizaciones matemáticas que den
respuesta a alguna cuestión planteada en este ámbito.
Predominio de una interpretación de los números reales muy
influenciada por su caracterización axiomática. Esta situación no es
casual, responde a un punto de vista dominante en la institución escolar
que tiende a adoptar como modelo epistemológico de los saberes a
estudiar –en forma implícita, naturalizada y por lo tanto incuestionable- el
vigente en el ámbito científico, donde las cuestiones que han ido
constituyéndose en razones de ser del origen y desarrollo de los saberes
se han ido “olvidando”.
Ausencia en Secundaria de una tecnología mínima para dar sentido,
construir, modificar, interpretar, justificar, relacionar, cuestionar técnicas
en torno a la práctica matemática efectiva con números reales.
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16. El fenómeno de evitación planteado y la caracterización de las
restricciones institucionales que lo producen se constituyen en un
problema importante en SEM y consecuentemente se traduce en
un problema de la profesión docente:
¿Puede vivir en alguna institución un conocimiento con carácter
“funcional” de los números reales?
¿En qué sentido sería funcional una praxeología relativa a los números
reales?
Si es así, ¿Qué tareas y técnicas se requieren para el trabajo con los
irracionales? ¿Qué tecnología mínima se requiere para describir,
justificar, interpretar, esta práctica matemática?
En particular, ¿Hasta qué punto sería posible que viviese en secundaria
una forma de entender los números reales alternativa a la dominante que
permitiese una actividad matemática que no provoque el conjunto de
hechos indeseables descritos?
¿Qué argumentos juegan a favor o en contra de la presencia de los
16
irracionales en la enseñanza secundaria?

17. La formación matemática clásica (profesorado) no da respuestas
matemáticas a este problema profesional. Lo que se hace
habitualmente es extraer de la matemática sabia las OM
presentes en la formación de profesores.
En este trabajo nos proponemos un camino distinto:
Objetivo general:
Objetivo general:
Construir, experimentar y evaluar una praxeología
Construir, experimentar y evaluar una praxeología
matemática para la enseñanza (en la formación
matemática para la enseñanza (en la formación
inicial del profesorado de matemáticas) que tome
inicial del profesorado de matemáticas) que tome
como cuestión inicial el problema profesional
como cuestión inicial el problema profesional
planteado.
planteado.
Esto implica que dicha construcción permita delinear
características de una praxeología a enseñar para el ámbito
de la escuela media que supere el fenómeno planteado.17

18. Tanto la praxeología para la enseñanza como la praxeología a
enseñar se piensan desde la noción de
Recorrido de Estudio e Investigación (REI) (Chevallard, 2004 y
2005) que plantea una epistemología escolar centrada en el cuestionamiento
del mundo en contra del punto de vista monumentalista.
La nueva epistemología escolar representada por los REI pone en primer
plano la búsqueda de las razones de ser de las organizaciones matemáticas
estudiadas.
Resaltamos que los REI como herramienta teórica y metodológica ya ha
empezado a dar sus frutos, como lo muestran los trabajos de tesis doctorales
de Rodríguez (2005), Sierra (2006), Barquero (2009) y Ruiz-Munzón (2010).
18

19. En este momento estamos revisando y completando los
estudios realizados correspondientes a las dos primeras
dimensiones planteadas.
También estamos avanzando en la delimitación del REI para
la formación del Profesorado en Matemática.
Gracias!!!

20. Referencias bibliográficas
Barquero, B. (2009). Ecología de la modelización matemática en la enseñanza universitaria de las
matemáticas, Tesis doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona.
BAHUJAMA (2000): Análisis didáctico del artículo “El peso de un recipiente. Estudio de los
problemas de la medición en CM” en el marco de la Teoría Antropológica; XIV Jornadas del SI-
IDM, Cangas do Morrazo.
Bosch, M., Fonseca, C. & Gascón, J. (2004). Incompletitud de las Organizaciones Matemáticas
Locales en las instituciones escolares. Recherches en Didactique des Mathématiques, 24(2-3),
205-250.
Bronner, A. (1997). Etude didactique des nombres réels, idécimalité et racine carrée. Tesis
doctoral. Université J. Fourier, Grenoble.
Chevallard, Y. (1985/1991). La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné (2.ª
edición) Grenoble: La Pensée Sauvage.
Chevallard, Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique: Perspectives apportées par une
approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12 (1), 73-112.
Chevallard, Y. (1999). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du
didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19 (2), 221-266.
Chevallard, Y. (2004). Vers une didactique de la codisciplinarité. Notes sur une nouvelle
épistémologie scolaire. Journées de didactique comparée 2004 (Lyon, 3-4 mai 2004).
http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/article.php3?id_article=45
Chevallard, Y. (2005). La place des mathématiques vivantes dans l’éducation secondaire :
transposition didactique et nouvelle épistémologie scolaire. En : Ducourtioux, C. & Hennequin, P.-L.
(Éds.) La place des mathématiques vivantes dans l’enseignement secondaire. Publications de
l’APMEP Nº 168 (pp. 239-263). Paris : APMEP.
20

21. Chevallard, Y., Bosch, M. & Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la
enseñanza y el aprendizaje, Barcelona: ICE UB/Horsori.
Gascón, J. & Bosch, M. (2007). La miseria del “generalismo pedagógico” ante el problema de la
formación del profesorado. En Ruiz-Higueras, L., Estepa, A. & García, F. J. (Eds.) Sociedad,
Escuela y Matemáticas. Aportaciones de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (pp. 201-240).
Jaén: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Jaén.
Gascón, J. (2011). Las tres dimensiones fundamentales de un problema didáctico. El ccaso del
álgebra elemental. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. 14 (2):
203-231.
Lebesgue, H. (1975). La mesure des grandeurs, Libraire scentifique et technique. Paris.
Licera, Rosa Mabel (2008). La construcción del número real y el problema de la medida de
magnitudes continuas en la enseñanza media. Análisis epistemológico y didáctico, Tesis de
Maestría. Universidad Nacional de Río Cuarto.
Margolinas, C. (1985). Estudios en didáctica de las matemáticas, un balance sobre los
conocimientos de los números después de la clase de 4ª, el número en todos sus estados.
Robinet, J. (1986). Les reels: quels modèles en ont les élèves? Cahier de didactique des
mathematiques, 21.
Romero Albadalejo, (1997). La introducción del número real en enseñanza secundaria: una
xperiencia de investigación-acción, Tesis doctoral. Colección MATHEMA, Editorial Comares.
Granada.
Ruiz-Munzón, N. (2010). La introducción del álgebra elemental y su desarrollo hacia la
modelización funcional, Tesis doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona.
Scaglia, S. (2000): Dos conflictos al representar números reales en la recta (Tesis doctoral)
Universidad de Granada.
Sierra, T. (2006). Lo Matemático en el diseño y análisis de Organizaciones Didácticas. Los
Sistemas de Numeración y la Medida de Magnitudes Continuas, Tesis Doctoral. Universidad 21
Complutense de Madrid.