Viviana Carolina Llanos - Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECYT), Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Bs. As. Tandil y Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET) - Argentina. Sesión No. 14 - Año 3. Seminario de Investigación PROME "en línea" Posgrado en Matemática Educativa del CICATA Legaria, Instituto Politécnico Nacional. 04 de noviembre de 2013 http://sem-inv-prome.blogspot.mx/

1. Enseñanza de la Matemática mediante
Recorridos de Estudio e Investigación (REI)
mono disciplinares en la escuela secundaria
Viviana Carolina Llanos
vcllanos@exa.unicen.edu.ar
María Rita Otero
rotero@exa.unicen.edu.ar
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT), Universidad Nacional del
Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA).
Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET).
Tandil, Argentina

2. El REI y las preguntas
Q0: ¿Cómo operar con curvas cualesquiera si solo se dispone de la
representación gráfica de las mismas y de la unidad en los ejes?
PREGUNTAS
§ ¿Qué organizaciones matemáticas es posible
reencontrar?
§ ¿Qué caracteriza la actividad matemática? ¿Qué
características tiene la OM efectivamente
reconstruida por la clase, con relación a la actividad
matemática que se lleva a cabo?

3. METODOLOGÍA
• Se
han
realizado
6
implementaciones
durante
tres
años
consecu5vos.
• Las
implementaciones
fueron
realizadas
por
los
inves5gadores
en
dos
cursos
en
paralelo
por
cada
año,
seleccionados
intencionalmente
en
un
mismo
Establecimiento
Educa5vo.
• El
REI
dura
dos
años.
• Han
par5cipado
(N=163)
estudiantes
de
4to
y
5to
Año
de
la
Secundaria.
• Durante
las
implementaciones
se
obtuvieron
los
protocolos
escritos
de
los
estudiantes
en
todas
las
clases,
se
tomaron
registros
de
audio
de
la
clase
y
también
se
registraron
notas
de
campo.

4. La
OMR
ESTUDIO DE FUNCIONES
Operaciones con curvas
Funciones Algebraicas
Funciones Trascendentes
Q0: ¿Cómo operar con curvas cualesquiera si solo se dispone de
la representación gráfica de las mismas y de la unidad en los
ejes?
Qi: suma / resta
OM funciones
polinómicas de primer
grado
Qii: multiplicación
OM funciones
polinómicas de segundo
grado
OM funciones
constantes
OM funciones racionales
OM funciones
OM funciones
exponenciales
logarítmicas
Qiv: potencia
Qv: raiz
OM funciones
OM funciones
potenciales
radicales
OM asíntotas
polinómicas
OM función
OM función
signo
Operación algebraica
Operación geométrica, gráfica y funcional.
semejanza de triángulos
OM funciones
homográficas
parte entera
OM
trigonométricas
Qiii: cociente
OM funciones
OM funciones simétricas y antisimétricas
OM funciones
OM Teorema de Tales
OM límite
Construcción geométrica de cualquier curva
OM funciones
a tramos
OM función
valor absoluto
Ecuaciones e inecuaciones
en cada función algebraica y
OM operaciones con funciones

5. Las
OMER
OMFC
Funciones constantes
OMFL
Funciones
afin
OMFPot.
Funciones
potenciales
Q0: ¿Cómo operar con curvas cualesquiera, si sólo se
conoce su representación gráfica y la unidad en los ejes?
OMFP
Funciones polinómicas
de grado dos
Q1: ¿Cómo multiplicar dos
funciones afín, si sólo se
conoce su representación
gráfica y la unidad en los
ejes?
OMFPD
OMOGC Operaciones
geométricas con cualquier curva
OMFP
Funciones
polinómicas
Q2: ¿Cómo multiplicar más
de dos rectas o rectas y
parábolas o parábolas, si
sólo se conoce su
representación gráfica y la
unidad en los ejes?
OMFP
OMFQ
Funciones
racionales
Q3: ¿Cómo realizar el
cociente entre
funciones polinómicas,
si sólo se conoce su
representación gráfica y
la unidad en los ejes?
OMFQ

6. Q1:
La
OM
de
las
funciones
polinómicas
de
grado
dos
Situación 1 a 3
Las funciones f y g están dadas por los gráficos de las Figuras. Todas las rectas A//B//C//D, son
perpendiculares al eje x. La función h=f.g
a) ¿Cuál podría ser la gráfica más razonable para h? ¿Qué características de la gráfica de h
podrías justificar?
b) Para todo xa y xb equidistantes de los ceros de cada función, CA=BD. ¿Es verdad que
h(xa)=h(xb) ? ¿Podrías justificar?
c) ¿Qué triángulos tendrías que construir para calcular la multiplicación entre f y g en el eje de
simetría, utilizando como lado de uno de los triángulos, la unidad?

7. Situación 4
Las gráficas de las funciones f y g se cortan en (3;2). La función f interseca al eje x en
(-1;0) y g en (5;0). Sea h=f.g ∀ x ∈ R
a) Obtengan todas las fórmulas posibles y la representación cartesiana para h.
b) ¿Cuál es el valor de h para la abscisa de la mediatriz?
c) Si xa y xb son dos abscisas cualesquiera ubicadas a igual distancia respecto de cada
cero de h es h(xa)=h(xb) como hemos demostrado en las situaciones anteriores. Verifiquen
con la fórmula que han obtenido para h, al menos 3 casos y representen los valores
gráficamente.

8. ESTUDIO II: La gestión del REI1
• Se describen las características de las funciones
didácticas topogénesis, cronogénesis y mesogénesis en
cada año:
Implementación
Nivel
Nivel Mesogenético
Nivel Topogenético
Nivel
Cronogenético
Año I
Año II
Año III
Implementaciones 1 y 2
Implementaciones 3 y 4
Implementaciones 5 y 6

9. AÑO Implementaciones y 2
Año 3. 1 - Implementaciones51y 6
Sintesis REI1
AÑO 2 - Implementaciones 3 y 4
(Situaciones 1 a 3)
MARCO GEOMÉTRICO, GRÁFICO Y FUNCIONAL
Implementación
Niveles
Nivel
Mesogenético
Año I
Implementaciones 1 y 2
Se obtiene una curva
aproximada para h:
ž los signos, ceros y unos.
ž se realiza la prueba por la
simetría de la curva, se
construye el eje y se
identifican los puntos
simétricos.
ž La gráfica para h que se
obtiene es razonable.
Año II
Implementaciones 3 y 4
Año III
Implementaciones 5 y 6
+
ž Se analiza la generalidad
en la prueba por la
+
simetría,
Se construyen:
ž algunos múltiplos de la ž se construyen múltiplos
unidad,
de la unidad y otros
ž la técnica del vértice,
puntos a partir de los
ž u n a g r á f i c a b i e n triángulos semejantes en
cualquier abscisa
aproximada de h.
ž se obtiene una gráfica
muy precisa para h.
Protocolo correspondiente al alumno A356. Implementación 3 (Año 2)
Protocolo al alumno A a A Implementación 1 (Año 1)
Protocolo correspondientecorrespondiente22. 5129 (Año 5)
1

10. Situación 4
Situación 4
Sintesis REI1
(Situaciones 4 a 10)
MARCO ANALÍTICO, GRÁFICO, FUNCIONAL (GEOMÉTRICO)
Implementación
Niveles
Nivel
Mesogenético
Año I
Implementaciones 1 y 2
Se construyen:
• las expresiones analíticas
para h,
• la representación gráfica a
partir de puntos obtenidos
analíticamente.
• se recuperan: ceros, unos,
signos, para la grafica de h.
• Se construye la conjetura:
“no toda parábola
p ro v i e n e d e l a
multiplicación de rectas”
AÑO 3
AÑO 3
Implementaciones 5 y 6
Implementaciones 1 y 2
Año II
Implementaciones 3 y 4
Año III
Implementaciones 5 y 6
+
• S e r e t o m a n l a s
características construidas en
el marco geométrico
(técnica del vértice)
• se reconstruye el problema
de las rectas que permiten
generar la misma h.
+
• se verifican las técnicas
del marco geométrico en
el analítico,
• se construye la conjetura
“infinitos pares de rectas
pueden generar una
misma h”,
• se recupera el problema
de las rectas para obtener
la representación
factorizada dada la
polinómica.
Protocolo correspondiente al alumno A5127. Implementación 5 (Año 3)
Protocolo correspondiente al alumno A230. Implementación 2 (Año 1)

11. Algunos
resultados
Con relación a la OMER de las funciones polinómicas de grado dos, se desatacan
algunos resultados:
§ La justificación del vértice y la simetría de la parábola.
§ El papel que adquieren los puntos seguros cuando solo se dispone de la unidad
en los ejes.
§ El análisis de los signos, tarea que los estudiantes realizan en acto desde el
inicio porque necesitan hipotetizar una curva, y en este análisis la relación entre
los ceros y el cambio o no de signo.
§ Tampoco “caen del cielo” las posibles formas de representar algebraicamente la
función, porque la forma factorizada ingresa desde el comienzo como la
consecuencia del planteo del producto. las formas polinómica y canónica.
§ Es también importante que recuperando nociones geométricas se arribe al marco
funcional y analítico funcional

12. Algunos
resultados
Con relación a la gestión del REI:
• Un obstáculo importante para el profesor es resistir la incertidumbre de la clase,
cuando no “aparece” una vía de solución. Es duro vencer la tentación de “tomar
la tiza” e invadir el topos del alumno.
• La cronogénesis en una enseñanza por REI, dilata el tiempo didáctico y es un
obstáculo “cumplir con el programa”
• La modificación de contrato que se introduce altera el proceso de topogénesis.
Un obstáculo importante pero difícil para los alumnos es que el profesor ya no
explica! Y por otro lado, ellos también son los responsables de introducir las
cuestiones que podrían orientar el recorrido.
• Las decisiones adoptadas en el nivel topogenético parecen “fijar” la suerte del
REI debido a su estrecha vinculación con el proceso mesogenético: ¿qué es lo
que se modificó entre las implementaciones en los diferentes años, al punto de
lograr la generación de un medio más rico y de respuestas más elaboradas por
los alumnos?

13. Otras cuestiones estudiadas en el
REI

14. Q2: La OM de las funciones polinómicas
Q2: ¿Cómo multiplicar más de dos rectas o rectas y parábolas o parábolas, si
sólo se conoce su representación gráfica y la unidad en los ejes?
Las funciones f, y h están dadas por el
gráfico de la Figura. La función p = f.h
¿Cuáles son los puntos seguros y los
signos de p?
a) ¿Cuál podría ser la gráfica más razonable
para p? ¿Qué características de la gráfica
de p podrías justificar?
• Identificación de los “puntos seguros” y
los signos
• Generalización de la técnica construida
para el vértice

15. Q3: La OM de las funciones racionales
Q3: ¿Cómo realizar el cociente entre funciones polinómicas, si sólo se conoce
su representación gráfica y la unidad en los ejes?
Las funciones f, y g están dadas por el gráfico
de la Figura.
f
q=
La función
g
(a) ¿Cuál podría ser la gráfica más razonable
para q?
(b) ¿Qué características de la gráfica de q
podrías justificar?
(c) ¿Es q una función?
• Identificación de los “puntos seguros” y
los signos
• Generalización de la técnica construida
para el vértice, ahora para el cociente.
• Asíntotas

16. Conclusiones
y
perspec5vas
Reconocemos limitaciones para ir más allá de un REI finalizado como el que se
propone en este trabajo.
Se advierte una modificación positiva en las actitudes de los estudiantes con
relación a la pedagogía de la investigación.
La realización de una enseñanza basada en preguntas ha sido posible y positiva y
la construcción de respuestas por parte de los estudiantes muy contundente.
Surgen como consecuencia otras preguntas relativas a la investigación:
§ ¿Qué modificaciones son necesarias para permitir una mayor apertura en el REI?
§ ¿Qué instrumentos de análisis permiten describir las modificaciones en las
actitudes básicas de la pedagogía de la investigación y del cuestionamiento del
mundo, en un estudio longitudinal?

17. Este trabajo se desarrolla en el NIECyT (Núcleo de Investigación en
Educación en Ciencia y Tecnología) de la Facultad de Ciencias Exactas de
la UNCPBA (Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos
Aires) con financiamiento del CONICET (Consejo Nacional de
Investigaciones Científicas y Tecnológicas).
Los integrantes del equipo son:
Marcelo Arlego, Ana Córica, Ana Inés Cocilova, Viviana Costa, Ángel don
Vito, Mariana Elgue, Inés Elichiribehety, María de los Ángeles Fanaro,
María Paz Gazzola, Carolina Llanos, María Rita Otero, Verónica Parra,
Diana Patricia Salgado, Patricia Sureda.
¡Muchas Gracias!