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THESE
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L'ECOLE POLYTECHNIQUE
pour obtenir le titre de
DOCTEUR de l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE
en INFORMATIQUE
par Olivier MALLET
Interprétation Abstraite
appliquée à
la Compilation et la Parallélisation
en Programmation Logique
Soutenue le 29 Juin 1992 devant le jury composé de :
Patrick COUSOT
Maurice BRUYNOOGHE
Pierre DERANSART
Gilberto FILE
Yves BEKKERS
Serge BOURG AULT
Président du jury
Rapporteur
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur

2. THESE DE DOCTORAT EN INFORMATIQUE DE L'ECOLE POLYTECHNIQUE
soutenue le 29 Juin 1992, par Olivier Mallet
Interprétation abstraite appliquée à la cornpilation
et la parallélisation en progra1nrr1ation logique
Résumé
L'interprétation abstraite est une technique puissante d'analyse sémantique qui permet la détection
de propriétés dynamiques. Elle repose sur la notion d'abstraction (ou approximation) qui rëmplace
les éléments du domaine habituel - dit concret - par ceux du domaine abstrait.
Nous présentons une sémantique déductive de Prolog, qui approche la sémantique opérationnelle
standard et possède une propriété de compositionnalité gril.ce à l'utilisation de l'espace des termes
quotienté par la relation de renommage et griice à une décomposition de l'opérateur d'unification
en deux parties indépendantes.
Puis nous proposons pour cette sémantique un interprète abstrait "générique", c'est-à-dire qui
nécessite pour une analyse donnée un nombre très limité d'informations décrivant le domaine et les
opérateurs abstraits. Cet interprète est implémenté en C, fonctionne avec précision et efficacité,
et n'est pas restreint aux treillis abst.raits de hauteur finie. Nous utilisons ensuite cet outil pour
détecter certaines familles de propriétés, et expliquons comment un compilateur ou un répartiteur
de programmes Prolog peut tirer parti de telles informations.
Optimizing Compilation and Parallel Scheduling
of Logic Programs with Abstract Interpretation
Abstract
Abstract interpret.ation is a powerful technique for semantic analysis t.hat can discover run-time
properties of programs. It relies upon the notion of an abstraction (or approximation) which
substitute the elements of the concrete, i.e. standard, domain with those of the abstract domain.
We propose a deductive semant.ics for Prolog which approximates the standard operational one
and is compositional, thanks to the use of the quotient set of the terms space with respect to the
variance relation and thanks to the splitting of unification into two independent parts.
Then we build for this semantics a "generic" abstract interpreter, meaning it needs minimal
amounts of information about the abstract domain and operators in order to cope with a new
analysis. This interpreter is written in C, works accurately and efficiently, and can handle non
finite-height lattices as abstract domains. We then put this too! to work with various types of
properties and show how the computed results can help a Prolog compiler or parallel scheduler.

3. Table des matières
INTRODUCTION 9
1 INTERPRETATION ABSTRAITE 13
1.1 Introduction . 13
1.1.1 Historique . 13
1.1.2 Pourquoi? . 13
1.1.3 Comment? 14
1.1.4 Pourquoi la programmation logique ? 17
1.2 Modélisation des programmes 18
1.3 Simplification des systèmes d'équations 21
1.3.1 Introduction . 21
1.3.2 Treillis complets . 22
1.3.3 Opérateurs sur un treillis . 22
1.3.4 Points fixes et théorème de Tarski 23
1.3.5 Fermetures sur un treillis complet 25
1.3.6 Connexion de Galois 26
1.3.7 Paire de fonctions adjointes supérieure 27
1.3.8 Approximation de points fixes d'un opérateur par approxi-
mation de l'opérateur . 29
1.3.9 Amélioration d'une approximation 30
1.4 Accélération de la convergence . .. 31
1.4.1 Itération croissante approchée supérieurement 31
1.4.2 Itération croissante approchée inférieurement . 31
1.4.3 Application 31
1.4.4 Elargissement et rétrécissement 32
1.4.5 Solution approchée d'un système d'équations . 33
1.5 Exemples d'interprétations abstraites 34
1.5.1 La règle des signes 34
1.5.2 Les intervalles . 37
1.5.3 Les modulas . 38
1.5.4 Combinaison d'abstractions 39
2 APPLICATION A LA PROGRAMMATION LOGIQUE 41
2.1 Fondements de la Programmation Logique 41
2.1.l Notions classiques . 41

4. 6 TABLE DES MATIÈRES
2.1.2 Terminologie spécifique à l'interprétation abstraite . 48
2.2 Nouveaux espaces ............. .
2.2.1 L'espace de Herbrand étendu
2.2.2 Produit de deux n-uplets de termes
2.2.3 Le produit externe sur Un .
2.2.4 Produit et unification . . . .
2.3 Les diverses sémantiques de Prolog
2.3.l Semantique déclarative ...
2.3.2 La sémantique du point fixe
2.3.3 La sémantique de la résolution SLD
2.3.4 Autres sémantiques ........ .
2.3.5 Conclusion : choix de la sémantique .
2.4 Les travaux précédents . . . .
2.4.1 Mellish . . . . . . . . .
2.4.2 Jones and S!Z)ndergaard
2.4.3 Bruynooghe . .
2.4.4 Et les autres ... . . . .
2.5 Objectif ........... .
2.5.1 Un Interprète Abstrait Générique
2.5.2 Propriétés recherchées . . . .
2.5.3 Le compromis précision/coût .
2.6 Modèle simplifié . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Introduction ......... .
2.6.2 Sémantique déductive concrète
2.6.3 Sémantique Abstraite .
2.6.4 Exemple des modes
2.7 Modèle récursif complet . . .
2. 7.1 Introduction . . . . . .
2.7.2 Les points de programme.
2.7.3 Les états mémoire. . . . .
2.7.4 Arbres résolus d'un programme
2.7.5 La sémantique collectionneuse .
2.7.6
2.7.7
2.7.8
2.7.9
2.7.10
2.7.11
2.7.12
Le système de la sémantique concrète .
Lien entre les sémantiques déductive et collectionneuse
L'abstraction ............ .
La sémantique abstraite . . . . . . . . . . .
Correction de la sémantique abstraite ....
Abstraction par morphisme de substitutions
Abstraction par morhisme de termes
2.7.13 La résolution .
2.7.14 Mise en oeuvre ........... .
2. 7.15 Reexécution ............. .
2.7.16 Réalisation de l'analyseur sémantique .
49
49
57
60
62
65
66
66
67
67
68
68
69
74
77
80
80
80
81
81
83
83
84
87
90
93
93
95
96
97
99
101
105
111
113
116
119
121
127
134
134
135

5. TABLE DES MA TIÈRES
3 APPLICATION A LA COMPILATION
3.1 Les Analyses ............ .
3.1.1 Les modes ......... .
3.1.2 Modes : deuxième approche
3.1.3 Typage ........... .
3.1.4 Couverture et partage . . .
3.1.5 Quotient par les constantes
3.1.6 Intervalles d'entiers . . .. .
3.2 Utilisation des Analyses ..... .
3.2.1 Optimisation de l'unification .
3.2.2 Suppression de vérifications dynamiques de types
3.2.3 La gestion de la mémoire . . . .
3.2.4 Suppression de points de choix .
3.2.5 Déverminage ......... .
4 APPLICATION A LA PARALLELISATION
4.1 Parallélisme et programmation logique
4.1.1 L'architecture ...
4.1.2 Modèle d'exécution ..
4.1.3 Le parallélisme 0 U . .
4.1.4 Le parallélisme d'appel
4.1.5 Parallélisme ET
7
137
138
138
143
147
154
168
171
175
175
178
179
181
183
185
186
186
188
189
191
192
4.2 Analyses . . . . . . . . . . . . 197
4.2.1 Typage récursif . . . . 197
4.2.2 Profondeur des termes 202
4.3 Utilisation des résultats . . . . 204
4.3.1 Identification des directions des streams 204
4.3.2 Calcul des CGE pour le parallélisme ET restreint 205
4.3.3 Groupage et allocation de ressources . . . . . . . 206
4.4 Conclusion sur l'interprétation Abstraite et le parallélisme 207
CONCLUSION 209
BIBLIOGRAPHIE 211
NOTATIONS 227
INDEX 231

6. INTRODUCTION
L'analyse sémantique des programmes a pour objectif de découvrir certaines de
leurs propriétés dynamiques, c'est-à-dire relatives à leur exécution. Lorsqu'une
telle analyse est entièrement automatique et efficace, elle constitue un outil qui
peut être intégré dans une chaîne de production de logiciel, et dont les appli-
cations s'étendent de l'optimisation du code compilé jusqu'à la validation de
programmes.
L'interprétation abstraite est une technique d'analyse sémantique introduite
par P. et R. Cousot dans [CC77]. Son principe de base est celui de l'approximation
par abstraction : le programme est exécuté sur un domaine plus simple que le
domaine standard, où les éléments sont regroupés selon certains critères. Bien sûr,
l'exécution elle-même du programme - qu'on qualifie d'interprétation abstraite
- doit être modifiée, d'une part pour prendre en compte ces regroupements, et
d'autre part pour assurer sa terminaison.
Cette approche constitue un bon compromis pratique entre les techniques de
vérification systématique, généralement affligés de complexités pathologiques, et
les techniques de démonstration de théorèmes qui restent malheureusement non
automatisables.
L'interprétation abstraite est appliquée depuis quelques années à l'optimi-
sation de la compilation dans le domaine des langages procéduraux (surtout le
célèbre FORTRAN). Le phénomène s'est emparé de la recherche en programma-
tion logique vers 1986. A juste titre, en effet, puisque Prolog et ses nombreux
cousins présentent deux caractéristiques qui en font les cibles idéales d'une ana-
lyse sémantique :
• Ce sont des langages déclaratifs, ce qui veut dire que le programmeur four-
nit très peu de détails explicites concernant l'exécution. En particulier, il
ne déclare pas les types de ses variables, il ne précise pas si un paramètre
d'appel est utilisé en entrée ou en sortie (ou les deux), il ne spécifie pas
quelles clauses peuvent être utilisées pour un appel donné. Ce déficit d'in-
formation explicite fait que les meilleurs compilateurs Prolog ne permettent
pas - et de loin - d'atteindre les performances des langages procéduraux
pour des programmes simples.
• La sémantique des programmes logiques est excessivement simple et régu-
lière, ce qui en favorise naturellement l'analyse.

7. 10 INTRODUCTION
L'optimisation de la compilation des programmes logiques est donc un pre-
mier but que nous nous fixons. Le second est l'optimisation de leur parallélisation.
En effet, les modèles d'exécution parallèle pour cette famille de langages ne man-
quent pas, mais ne parviennent pas à des taux élevés de parallélisation sans l'aide
d'annotations manuelles des programmes. Ces annotations, qui sont à nouveau
le reflet des informations dissimulées par la sémantique très concise des langages
logiques, peuvent être partiellement engendrées par un outil d'interprétation abs-
traite, et ce sera notre second but.
Depuis 1986, la recherche s'est structurée et l'on a vu apparaître la notion de
cadre générique d'interprétation abstraite. Il s'agit d'une structure d'accueil qui
s'instancie en un interprète abstrait capable de détecter une propriété donnée.
Les renseignements nécessaires à cette instanciation sont les différents domaines
et opérateurs abstraits, le mécanisme d'interprétation abstraite restant, lui, le
même. Les cadres génériques existants présentent des qualités variables de faci-
lité d'instanciation, d'adaptabilité (à une analyse), de précision des résultats et
d'efficacité (dans leur exécution).
Nous avons défini dans ce travail un cadre générique qui se démarque des pré-
cédents à l'occasion de plusieurs choix fondamentaux (cf. ci-dessous), ce qui lui
permet d'atteindre de bons niveaux dans ces quatre catégories de performances.
La facilité d'instanciation est le fait du petit nombre d'opérateurs abstraits à
fournir (2 ou 3, sans compter les prédicats prédéfinis). L'adaptabilité est démon-
trée par la palette des analyses des chapitres 3 et 4 (en particulier, l'analyse des
intervalles est une première). La précision des résultats est tout à fait comparable
à celle des meilleurs approches actuelles. L'efficacité pratique de l'outil (écrit en
C) lui permettrait d'être intégré sans aucun problème à la phase d'optimisation
globale d'un compilateur.
Plan
Le Chapitre 1 rappelle brièvement les fondements théoriques de l'interprétation
abstraite telle qu'elle a été définie dans [CC77], et tente de donner une compré-
hension intuitive de la méthode.
Le Chapitre 2 présente notre cadre générique. Après une première section
destinée à rappeler les fondements de la programmation en logique et à en figer
le vocabulaire, une deuxième section introduit l'espace de Herbrand étendu qui
jouera un rôle important dans le cadre générique. L'idée est de quotienter l'espace
des termes courants par la relation de renommage afin de disposer d'une forme
canonique unique. De nombreuses propriétés de cet espace sont démontrées, et
des opérateurs y sont définis et étudiés, - homologues des opérateurs standards
d'application d'une substitution et d'unificateur le plus général-.
Les sections 2.3, 2.4 et 2.5 préparent la définition du cadre générique en
justifiant le choix primitif de la sémantique de la résolution SLD comme base de
départ pour la sémantique concrète, puis en s'intéressant à quelques approches
représentatives de l'état actuel de la recherche.
La section 2.6 présente un modèle simplifié dont l'utilité pratique est très

8. INTRODUCTION 11
limitée et qui a pour but de mettre en évidence les écueils qui rendent impossible
une approche trop directe du problème.
Enfin, la section 2.7 contient la description complète de notre cadre générique,
de la sémantique concrète - déductive - jusqu'à l'algorithme de résolution, et
les consignes de mise en oeuvre pratique de l'outil associé. Les caractéristiques ori-
ginales de notre approche comprennent en particulier le choix de l'espace quotient
des n-uplets de termes comme domaine concret, l'utilisation d'une sémantique
déductive compositionnelle favorisant la résolution du système sémantique ap-
proché et la présence de plusieurs mécanismes d'élargissement dans l'algorithme
de résolution afin d'en garantir la terminaison rapide.
Le Chapitre 3 satisfait notre premier but : optimiser la compilation des pro-
grammes Prolog (dans le cadre de la machine de Warren) grâce à notre outil.
La section 3.1 décrit en détail la configuration du cadre générique pour quelques
analyses plus ou moins classiques, et la section 3.2 explique comment utiliser les
résultats de ces analyses pour obtenir des programmes cibles plus efficaces.
Le Chapitre 4 remplit le même rôle que le précédent vis-à-vis de notre second
but : la parallélisation des programmes logiques. Ici, l'hypothèse que nous faisons
est celle d'une architecture parallèle de type hypercube, du langage Prolog pur,
et d'un modèle d'exécution exploitant à la fois les parallélismes de type ET et
OU. La section 4.1 décrit deux nouvelles analyses, et la section 4.2 montre com-
ment leurs résultats peuvent optimiser et simplifier les algorithmes de répartition
dynamique des calculs.
La conclusion est suivie d'une importante bibliographie, d'une liste des nota-
tions employées et d'un index des principaux termes spécifiques.

9. Chapitre 1
INTERPRETATION
ABSTRAITE
1.1 Introduction
1.1.1 Historique
L'interprétation abstraite est une technique relativement récente mais était déjà
pratiquée sans bases formelles avant [CC77] sous diverses formes et multiples
noms (entre autres évaluation partielle et propagation de contraintes).
Des formes primitives (au sens chronologique) particulièrement célèbres en
sont les méthodes de preuve de Hoare et de Floyd. A l'origine en effet, l'interpré-
tation abstraite est un outil de preuve de programmes, c'est-à-dire un analyseur
de programme qui vérifie statiquement que telle ou telle propriété dynamique
concernant les valeurs des variables est vraie à tel point du programme au cours
de toute exécution. On l'utilisait alors notamment pour prouver des variants et
invariants de boucle ou autres assertions visant à déterminer correction et ter-
minaison. Malheureusement l'absence de support mathématique formel ne per-
mettait pas d'obtenir toute la souplesse et l'automatisation souhaitables.
Une autre famille de méthodes de preuve s'oppose à la précédente. Il s'agit
des méthodes de transformations de programmes, qui sont fermement établies
sur la sémantique dénotationnelle des programmes, mais dont la lourdeur limite
l'usage.
Cousot [CC77] [Cou78] a donné un cadre mathématique solide à l'interpré-
tation abstraite ainsi qu'un ensemble de techniques à appliquer dans ce cadre,
qui ont permis à de nouvelles applications plus complexes de voir le jour dans le
domaine des langages impératifs et même fonctionnels ([Str90]).
1.1.2 Pourquoi ?
L'interprétation abstraite peut être utilisée soit comme un outil de preuve de
programmes à part entière, soit comme un auxiliaire qui permet à d'autres outils
informatiques - tels que compilateur, interprète, répartiteur de tâches dans le

10. 14 INTERPRETATION ABSTRAITE
cas parallèle, - d'opérer plus efficacement grâce à une meilleure connaissance
des conditions d'exécution, et ce pour un faible coût (fini) de traitement initial.
Voici une liste non exhaustive d'applications (sans a pr.iori sur le langage)
• preuves de programme :
vérification d'invariants booléens du programme (ex.: correction)
vérification de variance d'une expression entière (ex.: terminaison)
• optimisation de code compilé :
suppression de tests dynamiques (ex.: indices de tableaux)
expressions redondantes ou constantes
prétypage statique
• meilleur contrôle :
détection de parallélisme
détection de branches mortes (code inutile)
• renseignements divers :
indications sur la forme des solutions
estimations de complexité/ coût
Certaines de ces propriétés n'auront guère d'intérêt dans l'environnement de
la programmation logique (par exemple la détection d'expressions redondantes,
étant donné le caractère généralement symbolique des données manipulées) et
inversement des propriétés qui n'apparaissent pas ici y seront très fécondes.
1.1.3 Comment?
L'interprétation abstraite consiste à exécuter au lieu du programme étudié une
bonne approximation de ce programme, et à observer au cours de cette exécution
dite abstraite des propriétés qu'on pourra alors transférer sur l'exécution réelle
dite concrète.
Le lien entre l'exécution réelle et l'exécution approchée est défini initialement
par deux applications dites respectivement d'abstraction et de concrétisation qui
font correspondre à un terme réel de l'exécution réelle (on dira du domaine
concret) un terme approché ou abstrait de l'exécution approchée (du domaine
abstrait) et réciproquement.
Ce lien détermine ensuite la façon dont l'exécution abstraite va se dérouler.
Idéalement, on aimerait que, à tout instant de l'exécution réelle, l'abstraction
d'un terme réel soit égale au terme abstrait correspondant, au même point de
contrôle de l'exécution abstraite. On se contentera de moins puisqu'on demandera
simplement une relation d'infériorité ou de supériorité entre les deux.

11. INTERPRETATION ABSTRAITE
1
1 Exécution 1 J
Sémantique concrète1--1 ~~~~~~~~~--
1 solution concrète
Approximation
de la sémantique
Approximation
du domaine
15
Interprétation
!Sémantique abstraite 1
1
r-~~~~~~~~~~1
1 Solution abstraite!
abstraite
Figure 1.1: Principe de l'interprétation abstraite : ce diagramme commute
Plus formellement, on considère le programme comme un système dynamique
discret, c'est-à-dire un automate à états finis déterministe (avec en plus la no-
tion d'états erronés). Ce modèle s'applique aussi bien aux programmes parallèles
qu'aux programmes séquentiels. Dans les langages classiques (impératifs et sé-
quentiels), l'état est généralement un couple (contexte, position) où "contexte"
encapsule l'ensemble des données dynamiques de l'interprète au point de pro-
gramme repéré par "position". L'ensemble des transitions possibles est décrit par
la sémantique opérationnelle du langage. Cette formulation permet de considé-
rer la sémantique opérationnelle du programme comme un système d'équations,
dont la solution est l'exécution concrète.
Une fois munis d'une sémantique opérationnelle et de la notion d'états, il nous
reste à définir les propriétés à vérifier. Ces propriétés ne font pas nécessairement
partie du langage cible, autrement dit ne s'expriment pas toujours en tant que
formule bien formée du langage. Ce sont de manière générale des prédicats sur
l'ensemble des états (c'est-à-dire des applications de l'ensemble des états sur
{vrai,faux}).
Un premier exemple est celui du typage automatique dans les langages pos-
sédant des systèmes de types mais n'obligeant pas le programmeur à declarer le
type de chaque variable (Prolog, LISP, BASIC). Dans ce cas, soit Ex le prédicat
qui à un couple (contexte, point de programme) associe le booléen : "dans ce
contexte, la variable X est de type entier" qui est vrai si la variable X visible en
ce point de programme représente un entier. Ce prédicat n'est pas une expression
booléenne du langage, mais il constitue une propriété à laquelle on est en droit
de s'intéresser.
Autre exemple, les preuves de terminaison de boucles utilisent fréquemment
un test de décroissance stricte d'une expression positive entière dite variante.
Or cette notion de décroissance fait intervenir un couple (état précédent, état
courant), ce qui n'est pas exprimable directement en général dans le langage de
programmation (sauf si le programmeur a eu la prévenance de fournir une va-
riable contenant la valeur précédente de la variante). Il faut alors faire intervenir

12. 16
Programme logique
Système d'équations
INTERPRETATION ABSTRAITE
Exécution ,... - - - - - - - - - - - ,
·····························>• Solution concrète
Résolution
:
:
..
:
:
1:
--~----
- .J
: approche
Solution concrète approchée
Approximation Concrétisation
Résolution
Système d'équations approché Solution abstraite
approchée
Figure 1.2: Les étapes d'une interprétation abstraite
dans le prédicat des entités définies au niveau de la sémantique opérationnelle
du langage. La propriété de variance peut ainsi s'écrire :
(E'x ~ 0) et (E'x - Ex < 0)
où E et E' sont respectivement l'état précédent et l'état courant, x est l'ex-
pression variante et Ex représente la valeur de l'expression variante x dans l'état
E.
Disposant du système d'équations représentant la sémantique opérationnelle
concrète du programme et d'une propriété à vérifier, on doit trouver une version
approchée (abstraite) de ce système, compatible avec la détection de cette pro-
priété. Cette version doit être la plus simple possible afin que sa résolution soit
aisée, mais l'approximation doit préserver autant que possible la propriété afin
d'obtenir des résultats précis. Nous fournissons dans cette thèse des méthodes
afin de franchir cette étape qui est souvent la plus aventureuse.
La dernière étape est l' "interprétation abstraite" proprement dite : elle con-
siste à résoudre le système approché par des méthodes itératives de convergence
simple ou accélérée.
Nous récapitulons ci-dessous la liste des choix à effectuer pour obtenir une
interprétation abstraite :
• le langage avec sa sémantique opérationnelle
• la sémantique déductive équivalente basée sur des états

13. INTERPRETATION ABSTRAITE 17
• la propriété à détecter
• l' "opérateur" de simplification adapté à cette propriété
• la méthode de résolution du système approché
Il est à noter que ces choix ne sont pas tous de même niveau. Si l'on établit un
parallèle avec le cycle de vie d'un logiciel, on peut dire que certains relèvent du
niveau spécification (langage et propriété), certains du niveau conception (séman-
tique déductive et opérateur de simplification) et d'autres du niveau réalisation
(méthode de résolution).
Pour le présent mémoire, le premier choix seul est fixé : la programmation
logique (il s'agit plutôt d'une famille de langages que d'un langage unique, mais
une famille très homogène). La suite traite donc des choix restants qui pourront
avoir chacun des réponses multiples.
1.1.4 Pourquoi la programmation logique ?
Les langages de la programmation logique sont réputés pour leur concision. Cette
concision tient à l'importance de l'aspect spécificatif (ou déclaratif) des pro-
grammes par rapport à l'aspect impératif : on exprime ce qu'on doit obtenir,
mais pas comment l'obtenir. Les informations dont dispose un compilateur ou
tout autre outil manipulant un programme logique sont donc minimes en l'ab-
sence d'analyseur sémantique, ce qui rend ces outils généralement peu perfor-
mants par rapport à ceux qui travaillent dans des langages plus diserts.
Cette particularité rend l'interprétation abstraite particulièrement attrayante
pour la programmation logique. Nous exposerons aux chapitres 3 et 4 les nom-
breuses propriétés inexprimées par les langages et dont la connaissance présente
un intérêt pour le programmeur ou un outil tel que compilateur ou gestionnaire
de parallélisme. Nous pouvons dès maintenant citer la liste suivante :
1. état d'instanciation des variables
2. partage de variables
3. typage des termes
4. parallélisabilité
5. évaluation de complexité
qui sont orientés vers l'optimisation de l'unification (1,2,3), de la résolution
(1,3) et de la répartition des tâches en environnement multi-processeurs (4,5).
Idéalement, la prise en compte de ces propriétés par un compilateur-répartiteur
"intelligent" pourrait permettre :

14. 18 INTERPRETATION ABSTRAITE
• de faire disparaître le surcoût en temps d'exécution qu'induit habituelle-
ment la programmation logique par rapport à des langages procéduraux
plus directs comme C (qui est devenu la référence en matière de perfor-
mance) ;
• de conserver l'avantage, pour le concepteur, d'une programmation symbo-
lique et déclarative ;
• de fournir une implantation parallèle simple et efficace.
Une telle évolution permettrait de reclasser la programmation logique comme
une famille de langages tout à fait performants et en même temps possédant
puissance et facilité d'expression, ce qui constitue un avantage indéniable en
matière de génie logiciel.
1.2 Modélisation des programmes
Le but de ce paragraphe est d'introduire un nouveau type de sémantique : la
sémantique déductive (en avant ou en arrière), qui se prête particulièrement bien,
de par son caractère très mathématique, aux approximations que nous désirons
lui faire subir. A cette fin, on modélise les programmes informatiques comme des
systèmes dynamiques discrets.
Définition 1 un système dynamique discret est un quintuplet (S, r, Ve, V17 , vç) où
• S est l'ensemble des états
• r est une relation interne de S dite de transition
• Ve est le sous-ensemble de S des états d'entrée
• V17 est le sous-ensemble de S des états de sortie
• vç est le sous-ensemble de S des états erronés
et qui vérifie les conditions :
1. S est non vide
4. Vn v1,, vç sont deux à deux disjoints.
Eclairons cette définition par quelques indications d'ordre intuitif:
• les états dont il est question sont les couples (états de mémoire, point de
programme) des programmes informatiques ;

15. INTERPRETATION ABSTRAITE 19
• la relation de transition lie les états précédant et suivant l'exécution d'une
instruction élémer.taire quelconque. On parle d'état successeur direct d'un
état e pour désigner les états e' tels que T(e, e'). Réciproquement les anté-
cédents directs de e' sont les états e tels que T(e,'e') ;
• la condition 2 dit que les états d'entrée sont inatteignables, c'est-à-dire
qu'ils n'ont aucun antécédent, direct ou indirect ;
• la condition 3 dit que les états de sortie sont stables (si on y est, alors on
y reste).
NB : dans le cas d'un programme déterministe, où chaque état a un successeur
au plus, la relation de transition est une fonction.
NB : un prédicat de S est un élément de S ---+ B ={vrai,faux} qui définit par
l'image réciproque de {vrai} un sous-ensemble de S. Dans la suite, on considèrera
indifféremment un prédicat comme une fonction ou comme l'ensemble ainsi défini.
NB : pour plus de clarté, nous ne noterons pas l'application d'une fonction J
à un élément x sous la forme normale du lambda-calcul (Jx), mais sous la forme
fonctionnelle plus pratique J(x).
Définition 2 Soient a, j3 E S2
---+ B deux relations. Le produit de a par j3 est la
relation notée a o j3 définie par :
La notion de fermeture transitive réflexive d'une relation découle de manière
classique de la définition du produit.
Définition 3 Si j3 est un prédicat de S et T une relation de transition, on définit
les deux prédicats de S suivants :
wp(T)(j3) = Àe.{3e' ES, T(e, e') et /3(e')}
est l'ensemble des ascendants directs des états qui satisfont /3,
sp(T)(j3) = Àe.{3e' E S,T(e',e) et j3(e')}
est l'ensemble des descendants directs des états qui satisfont /3.
En fait on s'intéressera surtout à wp(T*) et sp(T*) où T'" est la fermeture
réflexive et transitive de T, ce qui correspond à l'exécution d'un nombre quel-
conque (voire nul) d'instructions élémentaires du programme. Voici une première
caractérisation de T* :
Théorème 1 Soient T E S2
---+ B une relation de transition et eq la relation
d'égalité sur S, alors :
T* = lfp (Àa.[eq ou a o T]) = lfp (Àa.[eq ou T o a])

16. 20 INTERPRETATION ABSTRAITE
Ce théorème exprime que la fermeture réflexive et transitive d'une relation r
est la plus petite relation dont le graphe vérifie les deux conditions suivantes :
- être stable par une composition par T (à gauche ou à droite),
- contenir le graphe de la transition nulle (relation eq).
La première condition correspond à la transitivité et la seconde à la réflexivité
de la fermeture.
On a ensuite une proposition démontrant la dualité entre les ensembles sp et
wp d'une part, et les relations de transition T et r-1
d'autre part :
Proposition 1 Pour toute relation de transition T d'inverse r-1
(définie comme
À(e1 , e2 ).r(e2 , e1) ), les égalités suivantes sont vraies:
sp(r)
wp(r)
(r*t1
wp(T-l)
sp(T-l)
(r-1)*
En reportant l'égalité du théorème 1 dans la définition de wp et sp, on obtient
le principal résultat de cette section :
Théorème 2 les égalités suivantes sont vraies :
wp(r*) À/3.(,e'.{:le2 : /3(e2) et lfp (,a.(,e.(e = e') ou sp(r)(a)))(e2)})
- À/3.lfp (Àa.{/1 ou wp(r)(a)})
sp(r*) Àf1.(,e'.{3e1 : /3(e1) et lfp (,a.(,e.(e = e') ou wp(r)(a)))(e1)})
- À/3.lfp (Àa.{/1 ou sp(r)(a)})
wp(r* )(/3), où le prédicat /3 désigne un ensemble d'états de sortie, représente
tous les états susceptibles d'être les prédécesseurs (directs ou indirects) d'un de
ces états. On dit que wp(r*) représente la sémantique déductive en arrière du
programme.
De même, sp(r*)(/1), où le prédicat /3 désigne un ensemble d'états d'entrée,
représente tous les états susceptibles d'être les successeurs d'un de ces états. On
dit que sp(r*) représente la sémantique déductive en avant du programme.
Le théorème que nous venons d'énoncer offre une formulation en terme de
point fixe de chacune de ces sémantiques, et en utilisant l'opérateur de transition
unitaire que l'on souhaite: wp(r) ou sp(r).
En pratique, les états sont décomposés en un couple (point de programme,
état mémoire) et l'équation de point fixe à résoudre pour la sémantique déduc-
tive en avant (ou en arrière) d'un programme TI et pour une condition initiale
(ou finale) <.p prend la forme d'un système X = Frr(i.p)(X), où chaque équation
correspond à un des points du programme.
Le théorème fondamental qui permet de faire le pont entre la modélisation
sous forme de systèmes dynamiques discrets et les programmes informatiques est
le suivant (donné ici pour un système en avant) :

17. INTERPRETATION ABSTRAITE 21
Théorème 3 Soit Il un programme comportant n variables à valeurs dans U et
a points de programme. Le plus petit point fix( (P1 , ... ,Pa) de Fn(<p) est tel que,
ViE{l, ...,a}:
P; = .m2 .{:lm1 E un :<p(m1 ) et r•(< m1 ,a~ >, < m 2 ,a;) >)}
où a; est le ième point de programme, et a~ le point d'entrée.
Ce qui veut dire, en clair, qu'en chaque point de programme i, le prédicat P;,
ième composante du plus petit point fixe de Fn(<p), dit si un état de mémoire
est atteignable en ce point à partir d'un état de mémoire en entrée vérifiant la
condition <p.
Donc P; caractérise tous les états mémoires que l'on est susceptible de ren-
contrer au point de programme i au cours de l'exécution à condition qu'on parte
d'un état d'entrée respectant la spécification <p.
Le plus petit point fixe de Fn(<p) contient ainsi toute l'information locale
nécessaire pour dire si une propriété donnée est vérifiée en un point de programme
ou non. A partir de là, notre tâche va consister à calculer une approximation de
ce point fixe.
En conclusion, une des indications les plus utiles fournies par [Cou78] est
qu'il est plus aisé de chercher des propriétés à partir d'une sémantique déductive
(i.e. sous forme d'un système d'équations) plutôt que d'une sémantique opéra-
tionnelle. Cela permet en effet de transférer le problème du terrain informatique
- plus ou moins propice à l'intuition - vers le terrain mathématique où les
méthodes d'approximation et de résolution de systèmes d'équations sont plus
classiques et connues.
1.3 Simplification des systèmes d'équations
1.3.1 Introduction
Nous venons de voir que la sémantique d'un programme peut s'exprimer sous la
forme d'un système d'équations. Le plus souvent ce système est réactif, c'est-à-
dire que la même variable apparaît plusieurs fois dans le système, ce qui interdit
un calcul direct des solutions.
La méthode standard pour résoudre complètement le système est naturel-
lement d'utiliser la sémantique opérationnelle sur le programme d'où provient
le système, mais nous ne voulons en aucun cas d'une exécution totale du pro-
gramme, car le gain de la méthode serait nul.
Rappelons qu'on ne s'intéresse ici qu'à des vues partielles des solutions du
système puisqu'on ne cherche que certaines propriétés dynamiques pouvant don-
ner lieu à une optimisation. Il faut donc dégager des méthodes permettant, étant
donnée la propriété à rechercher, de passer du système initial - dit concret -
à un système approché - dit abstrait - le plus simple possible pour en faci-
liter la résolution et pourtant assez complet pour détecter le mieux possible les
propriétés cherchées. Nous décrivons dans les paragraphes qui suivent quelques
techniques permettant d'obtenir des approximations correctes.

18. 22 INTERPRETAT/ON ABSTRAITE
1.3.2 Treillis complets
Pour définir ce qu'est une approximation cc rrecte d'un système d'équations, et
pouvoir utiliser des bonnes propriétés générales de ce type de fonctions, on se
placera dans des treillis complets. Suivent quelques définitions destinées à fixer
le vocabulaire que nous utiliserons par la suite.
Définition 4 un treillis complet est un hexuplet (L, ::;, .l, T , U, n) tel que :
• ::; est un ordre partiel sur L
• toute partie S de L admet une borne supérieure notée US
• toute partie S de L admet une borne inférieure notée nS
• .l est le plus petit élément de L
• T est le plus grand élément de L
Définition 5 Soient (L, ::;, .l, T, U, n) et (M, ::;, .l', T', U', n') deux treillis com-
plets tels que M Ç L ; alors M est un sous-treillis de L si et seulement si U = U'
et n = n'.
Définition 6 Soit (L, ::;, .l, T, U, n) un treillis complet. J est un idéal de L si
et seulement si J est un sous-ensemble non vide de L tel que :
• (aEl,xEL,x::;a)=*(xEJ)
• (a E 1, b E 1) =* (a U b E 1)
Proposition 2 J est un idéal de (L, ::;, .l, T, U, n) si et seulement si J est un
sous-ensemble non vide de L tel que :
(a E J, bE J) {::? (a U b E J)
1.3.3 Opérateurs sur un treillis
Les applications internes d'un treillis complet sur lui-même sont appelées opéra-
teurs.
Définition 7 Un opérateur f du treillis complet (L, ::;, .l, T, U, n) est un mor-
phisme complet pour l'union si et seulement si VS Ç L, f (US) = Uf( S).
Définition 8 Un opérateur f sur un treillis (L, ::;) est dit monotone ssi
V(x,y) E L2
,(x:::; y)=* (J(x):::; J(y))
NB : on emploiera parfois le terme croissant dans le même sens.

19. INTERPRETATION ABSTRAITE 23
Définition 9 Soient µ un ordinal quelconque et < x 6
: ô E µ > une famille
d 'éléments de L. On dit que < x 6
: ô E µ > est une chaîne ascendant; si
ou une chaîne strictement ascendante si
La propriété suivante sera très utile pour assurer la terminaison des calculs
par itération lorsqu'on travaillera dans un treillis infini :
Définition 10 On dit qu'un treillis L vérifie la condition de chaîne ascendante
si toute chaîne strictement ascendante de L est finie.
Définition 11 Soit w le premier ordinal limite infini. Nous dirons qu'un opé-
rateur f de (L, ::;, 1-, T , U, n) est continu supérieurement ssi pour toute chaîne
ascendante < x 6
: ô E w > nous avons :
[ Définition duale pour la continuité inférieure. ]
Définition 12 Un opérateur f de L est dit continu ssi il est continu inférieure-
ment et supérieurement.
Proposition 3 Tout opérateur continu est monotone.
1.3.4 Points fixes et théorème de Tarski
Définition 13 Soit f un opérateur sur le treillis L, on définit les ensembles
suivants :
postfp (!) = {x/f(x):::; x} est l'ensemble des post-points fixes de f
prefp (!) = {x/x :S f(x)} est l'ensemble des pré-points fixes de f
fp (!) = {x/x = J(x)} est l'ensemble des points fixes de J
L'ensemble fp (!) des points fixes d'un opérateur monotone est du plus haut
intérêt puisque la résolution du système d'équations de la sémantique abstraite
est essentiellement un calcul de point fixe. fp (!) possède un plus petit élément
(le plus petit point fixe) noté lfp (!) et un plus grand élément (le plus grand
point fixe) noté gfp (!). Nous rappelons ici les principaux résultats concernant
fp (!).

20. 24 INTERPRETATION ABSTRAITE
Définition 14 Soient L un treillis complet etµ( L) le plus petit ordinal tel que la
cardinalité de la classe {8 : 8 E µ( L)} soit strictement supérieure à !a cardinalité
de L. Soit f un opérateur monotone de L. L'itération crois~ante partant de d E L
et définie par f est la séquence < x8
: 8 E µ( L) > d'éléments de L définie par
récurrence transfinie comme suit :
{
x0
= d
x 8
= f (x8
-
1
) pour tout ordinal successeur 8 E µ( L)
x8
= lJa<S xa pour tout ordinal limite 8 E µ( L)
L'utilisation d'itération transfinie au lieu d'une simple itération sur les natu-
rels permet de ne pas demander à J d'être continu. Dans le cas où J l'est ou bien
si L est fini, on pourra revenir à une simple itération sur les naturels.
Définition 15 La séquence < x8
: 8 E µ(L) > d'éléments de L treillis complet,
est dite stationnaire ssi :le E µ,[V,B E µ, ,B ~ c ::::} x" = xP], auquel cas la
limite de cette séquence est x". Nous noterons luis(!)(d) (resp. !lis(!)(d)) la
limite d'une itération croissante (resp. décroissante} partant de d et définie par
f E mon(L ~ L).
Voici le théorème principal qui donne les méthodes de calcul de points fixes :
Théorème 4 Soient f un opérateur monotone du treillis complet L, et d un
élément de L. Alors l'itération croissante partant de d et définie par f, si elle est
une chaîne ascendante, est stationnaire et sa limite est le plus petit des points
fixes de J supérieurs à d.
Corollaire 1 Si f est un opérateur monotone du treillis complet L, et si de plus
J est continu ou L est fini, alors :
Id E prefp (!), .lim Ji(d) E pf(f)
1...... 00
Corollaire 2 Si f est un opérateur monotone du treillis complet L, alors l'itéra-
tion croissante partant de 1- et définie par f est stationnaire et de limite lfp (!).
Théorème de Tarski 1 L'ensemble fp (!) des points fixes d'un opérateur J du
treillis complet (L, ~' 1-, T, U, n) est un treillis complet pour l'ordre~ (mais pas
nécessairement un sous-treillis de L).
Une deuxième version (dite constructive) du théorème de Tarski donne ex-
plicitement les éléments du treillis fp (!) en fonction de ceux de L : plus grand
élément, plus petit élément, bornes inférieure et supérieure.
Le théorème 4 ci-dessus nous a donné une méthode de calcul itérative du plus
petit point fixe d'un opérateur monotone. Mais dans le cas général, ce calcul reste
complexe lorsque l'opérateur f représente la sémantique déductive concrète d'un
programme. Nous avons deux moyens de rendre possible en pratique ce calcul :
les techniques d'accélération de la convergence et les techniques de simplification
des équations. Nous utiliserons les deux.

21. INTERPRETATION ABSTRAITE 25
1.3.5 Fermetures sur un treillis complet
La fermeture est une pièce de la plus haute utilité dans la conception des in-
terprétations abstraites. Il s'agit d'une fonction d'approximation qui possède de
nombreuses vertus, et que nous utiliserons pour simplifier le système d'équations
décrivant la sémantique d'un programme.
Définition 16 Une fermeture supérieure est un opérateur monotone, extensif
(i.e. Vx,x ~ f(x)} et idempotent.
La propriété principale des fermetures, due à Ward en 1942, est la suivante :
Proposition 4 Si (L, ~' 1-, T, U, n) est un treillis complet et f une fermeture
supérieure de L, alors (J(L), ~' f(1-), f(T), >.S.j(US), n) est un treillis complet.
Les parties de Moore sont des sous-ensembles distingués de L qui induisent
naturellement certaines fermetures, c'est-à-dire certaines approximations. Il sera
donc utile de pouvoir les reconnaître.
Définition 17 Une partie M de L est une partie de Moore inférieure de L ssi
pour tout x E L, l'ensemble {y E M / x ~ y} n'est pas vide et admet un plus petit
élément.
Proposition 5 M est une partie de Moore inférieure ssi il existe une fermeture
supérieure de L dont M est l'image.
Théorème 5 Soit S une partie quelconque de L , la fermeture supérieure dont
l'image est la plus petite partie de Moore inférieure contenant S est égale à :
x 1--+ n{y Es u {T}/x ~y}
On pourra utiliser une "méta-fermeture" supérieure pour trouver les ferme-
tures supérieures qui constitueront nos approximations. Pour cela, trois ferme-
tures supérieures mon, ext et idem vont permettre d'approcher tout opérateur
par un opérateur respectivement monotone, extensif, ou idempotent, et la com-
position des trois sera également une fermeture supérieure, qui permettra d'ap-
procher tout opérateur par une fermeture supérieure.
Définition 18 mon, ext et idem sont des opérateurs sur le treillis L --+ L des
opérateurs de L définis ainsi :
mon: (L-+L) ----t (L-+L)
f 1--+ >.x. U {f(y)/y E L,y ~ x}
ext: (L-+L) ----t (L-+L)
f 1--+ >.x.x U f(x)
idem: (L-+L) ----t (L-+L)
f 1--+ luis(>.g.g o g)(f)

22. 26 INTERPRETATION ABSTRAITE
La version constructive du théorème de Tarski (à laquelle nous avons fait
allusion plus haut) donne alors les résultats suivants :
Proposition 6
• ext est une fermeture supérieure de L --+ L et pour tout f de L --+ L, ext(J)
est le plus petit opérateur extensif de L plus grand ou égal à f. (ext( L --+
L), ::=;, Àx.x, Àx.T, LJ, n) est le treillis complet des opérateurs extensifs.
• De même, mon est une fermeture supérieure de L --+ L et pour tout f de
L --+ L, mon(!) est le plus petit opérateur monotone de L plus grand ou
égal à f. mon( L --+ L) est le sous-treillis complet des opérateurs monotones
de L--+ L.
• mono ext = ext o mon est une fermeture supérieure de L --+ L. L'ensemble
Z =mono ext(L--+ L) = mon(L--+ L) n ext(L--+ L) est un sous-treillis
complet (Z, ::=;, Àx.x, Àx.T, LJ, n) de L--+ L (sous-treillis des opérateurs ex-
tensifs et monotones).
• fers = idem o ext o mon = idem o mon o ext est une fermeture supérieure
de L --+ L et pour tout f E L --+ L, fers (!) est la plus petite fermeture
supérieure de L supérieure ou égale à f. fers (L --+ L) est le treillis complet
des fermetures supérieures de L.
L'opérateur fers constitue donc un méta-opérateur optimal d'approximation
supérieure d'un opérateur quelconque par une fermeture supérieure, et mérite à
ce titre d'être retenu. Donnons-en toutefois une forme plus maniable en pratique:
fers(!) = Àx.lfp (,y.x LJ mon(J)(y))
Voici un résultat simple et utile :
Proposition 7 Si p est une fermeture supérieure du treillis L d'image M, alors
p= (p, ..., p) est une fermeture supérieure du treillis produit Ln d'image Mn .
1.3.6 Connexion de Galois
La connexion de Galois est une autre façon de définir une approximation. A
la différence de la fermeture supérieure qui opère à l'intérieur d'un treillis, une
connexion de Galois établit un pont bidirectionnel entre deux treillis différents,
ce qui permet de changer radicalement le domaine de calcul.
Définition 19 Une connexion de Galois [EM85} est un couple d'applications
(a,/) telles que :
• A et C sont des treillis complets
• a : C --+ A est continue

23. INTERPRETATION ABSTRAITE 27
• / : A ---+ C est continue
• VxEC,1(a(x))~x
• VaEA,a(r(a))=a
NB : dans le vocabulaire de l'interprétation abstraite, a est appelée abstrac-
tion, / concrétisation, A domaine abstrait et C domaine concret.
La continuité requise pour a et / est une propriété forte et n'est pas souvent
utilisée. Une notion plus faible est celle de paire de fonctions adjointes superieure.
1.3.7 Paire de fonctions adjointes supérieure
Définition 20 Une paire de fonctions adjointes supérieure est un couple d'ap-
plications (a,/) telles que :
• A et C sont des treillis complets
• a : C ---+ A est monotone
• / : A ---+ C est monotone
• V(x,a) E C x A,(x::; 1(a)) {:} (a(x)::; a)
On note alors : A i>(a,/) C.
On dispose de la caractérisation équivalente suivante :
Proposition 8 A i>(a,/) C si et seulement si :
• A et C sont des treillis complets
• a : C ---+ A est monotone
• / : A ---+ C est monotone
• /00'.~ld
• 0'.0/~ld
Il est clair que toute connexion de Galois est a fortiori une paire de fonctions
adjointes supérieure. Une fermeture supérieure détermine également une paire de
fonctions adjointes supérieure :
Proposition 9 Si p est une fermeture supérieure du treillis complet L, alors
(p, Id) est une paire de Jonctions adjointes supérieure entre L et le treillis image
de p.
Démonstration :
On a bien deux treillis complets.