calculo numerico, ejercicios propuesto, polinomios resolucion por teoria de la interpolacion

1. 1. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con
la siguiente tabla de valores, e interpolar en el punto x = 1.
xi -4 -3 2 -6
yi -16 -5 -10 -50
𝑙𝑖( 𝑥) =
Π
𝑖 ≠ 𝑗
𝑥 − 𝑥𝑖
𝑥𝑗 − 𝑥𝑖
𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑗=0
∙ 𝑙𝑖( 𝑥)
𝑙0( 𝑥) =
( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2)( 𝑥 − 𝑥3)
( 𝑥0 − 𝑥1)( 𝑥0 − 𝑥2)( 𝑥0 − 𝑥3)
=
( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 6)
(−4 + 3)(−4 − 2)(−4 + 6)
𝑙0( 𝑥) =
1
12
𝑥3
+
7
12
𝑥2
− 3
𝑙1( 𝑥) =
( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥2)( 𝑥 − 𝑥3)
( 𝑥1 − 𝑥0)( 𝑥1 − 𝑥2)( 𝑥1 − 𝑥3)
=
( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 6)
(−3 + 4)(−3 − 2)(−3 + 6)
𝑙1( 𝑥) = −
1
15
𝑥3
−
8
15
𝑥2
−
4
15
𝑥 +
16
5
𝑙2( 𝑥) =
( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥3)
( 𝑥2 − 𝑥0)( 𝑥2 − 𝑥1)( 𝑥2 − 𝑥3)
=
( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 3)( 𝑥 + 6)
(2 + 4)(2 + 3)(2 + 6)
𝑙2( 𝑥) =
1
240
𝑥3
+
13
240
𝑥2
+
9
40
𝑥 +
3
10
𝑙3( 𝑥) =
( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2)
( 𝑥3 − 𝑥0)( 𝑥3 − 𝑥1)( 𝑥3 − 𝑥2)
=
( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 2)
(−6 + 4)(−6 + 3)(−6 − 2)
𝑙3( 𝑥) = −
1
48
𝑥3
−
5
48
𝑥2
+
1
24
𝑥 +
1
2
𝑝( 𝑥) = 𝑦0 𝑙0( 𝑥) + 𝑦1 𝑙1( 𝑥) + 𝑦2 𝑙2( 𝑥) + 𝑦3 𝑙3( 𝑥)
Sustituyendo:
𝑝( 𝑥) = −16 ∙ (
1
12
𝑥3
+
7
12
𝑥2
− 3) − 5 ∙ (−
1
15
𝑥3
−
8
15
𝑥2
−
4
15
𝑥 +
16
5
) − 10
∙ (
1
240
𝑥3
+
13
240
𝑥2
+
9
40
𝑥 +
3
10
) − 50 ∙ (−
1
48
𝑥3
−
5
48
𝑥2
+
1
24
𝑥 +
1
2
)

2. 𝑝( 𝑥) = −2𝑥2
− 3𝑥 + 4
2. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Newton en
diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a continuación, e interpolar en el punto
x= 3 (DIFERENCIAS DIVIDIDAS)
xi -4 6 2
yi -20 -30 -
2
Por diferencias divididas:
xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2]
-4 -20
-1
6 -30 -1
-7
2 -2
Luego:
𝑃2( 𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1)
𝑃2( 𝑥) = −20 − 1 ∙ ( 𝑥 + 4) − 1 ∙ ( 𝑥 + 4) ∙ ( 𝑥 − 6)
𝑃2( 𝑥) = 𝑥 − 𝑥2
3. Se quiere aproximar la función f(x) = −seno( 6 x ) en el intervalo [−1,1] utilizando interpolación
polinómica con 5 puntos dados por el vector x=[ .8,.5, .3, .9, -.9]. ¿Cuál es el error máximo teórico
que se cometería en el punto −0.5? ¿Y cuál el error real?
Por diferencias divididas:

3. x 𝑓[𝑥0] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, xi+1, xi+2, xi+] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3, xi+4]
0,8 0,99616461
3,79094872
0,5 -0,14112001 18,9547436
-5,68642308 -56,6951974
0,3 0,99616461 13,2852239 -39,3631516
-0,37233354 10,2221604
0,9 0,77276449 -1,02580062
0,85862721
-0,9 -0,77276449
Luego:
𝑃4( 𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1) + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1) ∙ ( 𝑥 − 𝑥2) + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1)
∙ ( 𝑥 − 𝑥2) ∙ ( 𝑥 − 𝑥3)
𝑃4( 𝑥) = 0,99616461 + 3,79094872 ∙ ( 𝑥 − 0,8) + 18,9547436 ∙ ( 𝑥 − 0,8) ∙ ( 𝑥 − 0,5)
− 56,6951974 ∙ ( 𝑥 − 0,8) ∙ ( 𝑥 − 0,5) ∙ ( 𝑥 − 0,3) − 39,3631516 ∙ ( 𝑥 − 0,8)
∙ ( 𝑥 − 0,5) ∙ ( 𝑥 − 0,3) ∙ ( 𝑥 − 0,9)
Para x = - 0,5
𝑃4( − 0,5) = 0,99616461 + 3,79094872 ∙ ( − 0,5 − 0,8) + 18,9547436 ∙ ( − 0,5 − 0,8)
∙ ( − 0,5 − 0,5) − 56,6951974 ∙ ( − 0,5 − 0,8) ∙ ( − 0,5 − 0,5) ∙ ( − 0,5 − 0,3)
− 39,3631516 ∙ ( − 0,5 − 0,8) ∙ ( − 0,5 − 0,5) ∙ ( − 0,5 − 0,3) ∙ ( − 0,5 − 0,9)
𝑃4( − 0,5) = 22,35935452
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |
𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑉𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙
|
𝑒 𝑟 = |
𝑠𝑒𝑛(−0.5 ∙ 6) + 22,35935452
𝑠𝑒𝑛(−0.5)
|
𝑒 𝑟 = 46,93215675