Series de fourier y taylor, historia, concepto, propiedades y ejercicios.

1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior Instituto Universitario de Tecnología del Estado Bolívar Cálculo Serie de Fourier y Taylor Profesor: Ing. Wilmer Colmenares Integrantes: Nilsa González C.I 15.468.160 Wilfredo J. Basanta C.I 10.042.302 Ricardo, Philips C.I. 14.969.020 Ciudad Bolívar, Abril 2010

2. Reseña Histórica En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava of Sangamagrama.3 A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente. En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre. Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII. En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma. que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.

3. Definición de Taylor La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias: f (x) = f (x) = f (a) + f´ (a) (x – a) + f´´ (a) (x – a)2 + f (3) (a) (x – a)3 + … 1! 2! 3! que puede ser escrito de una manera más compacta como: ∞ f (x) = Σf (n) (a) (x – a)n n=0 n! donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

4. S xn= 1 + x + x2 + … + xn + … 1 + ax + x2 + … + xn + … S xn= x – 1 x2 + 1 x3 – 1 x4+… S a(a – 1) … (a – n +1) n! (-1) n (2n+1)! (-1) n (2n+1) S X2n+1= x – 1 x3 + 1 x5 – 1 x7+… a (a – 1) 2! ( -1) n-1 n S S 1 ×3 × 5 ×…(2n-1) . X2n+1 = x + 1 x3 + 3 x5 +… S 1 x3 + 1 x5 – 1 x7 +… X 2n+1 = x - n=0 3 5 7 Propiedades de la serie de Taylor

6. ¥ Xn n (n+2) S n=1 an an + 1 ( n + 1 ) ( n + 3 ) n (n+ 2) ½ ½ lim n ® ¥ lim n ® ¥ R= = 1 = ¥ 1 n2 S n=1 Ejercicios de aplicación a la Ingeniería 1.- Se considera la serie de potencias Obtener su intervalo de convergencia, analizando el comportamiento en los extremos. Calcular su función suma en el interior de dicho dominio Indicación: para determinar la suma, descomponer en fracciones simples el coeficiente del termino general. Solución: El radio de convergencia de la serie de potencia es: En el extremo x = 1, la serie tiene el mismo carácter que la serie converge

7. ¥ S - 1 < t < 1 . t n = 1 , 1 - t n=1 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ x x x -x x S S S S S ∫0 ∫0 ∫0 x n+1 n + 1 1 1 - 1 ∫0 ∫0 1 1 + u t n t n n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 ( ) x n+1 n + 1 dt = - = dt = 1n ( 1 – x ) Entonces, la serie en el extremo x = 1 converge absolutamente y el intervalo de convergencia es [-1 , 1] Para calcular la suma de la serie en los puntos |x|<1, descomponemos: 1 A + B 1 ( A + B)n + 2 A A 1 , n ( n + 2 ) n n+2 2 B = -1 2 = => = => = En consecuencia, Si X E [ 0 , 1 ] entonces integrado en el intervalo [ 0 , x ], obtenemos: ( ) ( ) 1n ( 1 – x ) dt = tn dt = = = Si x E ( -1 , 0 ) entonces integrado en el intervalo [ x , 0 ] obtenemos:

8. ¥ xn n xn+1 n+1 S = = - Ln ( 1 – x ) n=1 ¥ S n=0 ¥ ¥ S S n=1 n=1 ( ) = 1 x2 X2 2 = - ln ( 1 - x ) - x - En consecuencia, Sea X E ( -1 , 1 ) tal que X 0. Entonces: ¥ xn+2 n+2 xn N+2 S 1 x2 = n=1 ( ) 1 x3 x4 xn X2 3 4 n = + + …+ + … ( ) 1 xn x2 X2 n 2 = - x - 1 1 - ln (1 – x) 2 x x2 = - - -

9. ¥ S n=1 = Finalmente, la suma de la serie, para X E ( - 1, 1 ) tales que x 0, es: xn 1 1 1 ln ( 1 - x ) n ( n + 2 ) 2 2 x x2 ln ( 1 - x ) = + + -

10. Definición de Fourier Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma: ∞ f (x) = ao+ Σ[an COS (nx) + bn SIN (nx)] 2 n=1 Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f (x).

11. t ∫-¥ Propiedades de la serie de la transformada de Fourier ( ) [ ]

12. ¥ ¥ ¥ ∫ ∫ ∫ -¥ -¥ -¥ Propiedades de la serie de la transformada de Fourier

13. Ejercicio Básicos de Series de Fourier Halla el campo de convergencia de la serie: ∞ Σx n n=1 n! Solución: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el radio de convergencia directamente. Tenemos: an =1 an + 1 = 1 _ n! (n + 1)! De donde: R = lim an= lim ( n + 1 ) = lim ( n + 1 ) * n! = lim ( n + 1 ) = ∞ n->∞ an + 1 n->∞ n! n->∞ n! n->∞ Por consiguiente, el intervalo de convergencia es ( ∞,∞ ), es decir, la serie converge en toda la recta real.

14. Ejercicio de series de Fourier aplicada a la Ingeniería Eléctrica Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal f (x) = aO + a1 * cos(ω0 ) + a2 * cos(2 * ω0) + a3 * cos(2 * ω0) + … + b1* sen( ω0) + 2 b2* sen( 2 * ω0) + b3* sen( 2 * ω0) + … + bn* sen( n * ω0) a0 / 2 ® valor medio a1, a2, b1, b2, ... ® coeficientes de Fourier w 0 ... ® frecuencia (2·p /T) n · w 0 ... ® harmónicos

15. Ejercicio de series de Fourier aplicada a la Ingeniería Eléctrica ½ a0 = 1 * ∫ ƒ (t) * dt 2 T -½ ½ Coeƒ * cos=> an = 2 * ∫ƒ (t) * cos(n * ω0 ) * t) * dt T -½ ½ Coeƒ * sen => an = 2 * ∫ ƒ (t) * sen(n * ω0 ) * t) * dt T -½