Prof. Dr. Nilo Sampaio

1. Prof.Dr. Nilo Sampaio

2. Tópicos
 Pesquisa Operacional e Probabilidade
 Mega Sena
 O futebol é uma caixinha de…
probabilidades

4. Pesquisa Operacional
 A área de pesquisa operacional destina-
se a otimizar ou melhorar projetos
fazendo uso da matemática , estatística
e algoritmos para auxiliar na tomada de
decisões.

6. Utilizando a Estatística
Planejamento dos Projetos
Para
 Criar um projeto nada mais é que fazer um
planejamento daquilo que se deseja utilizando
diferentes meios que possam auxiliar em seu
desenvolvimento.

7.  A estatística é uma ferramenta muito utilizada na
elaboração de projetos , visando melhorias que podem
ser feitas em relação a custo, tempo dentre outros.

8. Estudo de Caso 1
 Em uma empresa, foi elaborado um determinado
projeto constituído das seguintes atividades:
1. Prever unidades do produto a serem vendidas (1-2)
2. Estudar o preço dos concorrentes(2-3)
3. Procurar mão de obra especializada(2-4)
4. Estabelecer salário dos funcionários(2-5)
5. Estabelecer preço de venda(3-5)
6. Levantamento do Material(4-5)
7. Levantamento do Custo(3-6)
8. Preparo do orçamento(5-6)

9.  Criou-se então uma tabela com as estimativas dos dias
para cada atividade , com a duração otimista ,
pessimista e mais provável:

10.  Após determinar as durações anteriores , pode-se
determinar a duração estimada do projeto e a variância
utilizando as seguintes fórmulas:
 Duração estimada =
 Variância( ²)=

12.  Tendo encontrado a duração estimado de cada
atividade pode-se montar o quadro PERT, que irá nos
mostrar o caminho crítico do projeto e a duração
estimada do projeto:

13.  Caminho crítico: é o caminho de maior duração e que
garante que todas as atividades do projeto serão feitas
num menor tempo. Todas as atividades do caminho
crítico tem folga=0,portanto o caminho crítico do
projeto será:
(1 – 2), (2 – 3) e (3 – 6), que são as atividades do projeto
cuja folga é igual a zero.

14.  A duração estimada do projeto é de 13 dias.
 A variância do projeto corresponde a soma das
variâncias que compõe o caminho crítico:
Σ ²= 0,444 + 1 + 4 = 5,444
 Sabendo-se que o desvio padrão corresponde à
√ ²,logo o desvio padrão do projeto é:
√ ²= √5,444=2,333

15.  Pelo fato de serem dados estimados, surgiu a seguinte
pergunta durante a elaboração do projeto:
“Qual a probabilidade de o projeto demorar mais de
14 dias para ficar pronto?”
Para responder a esta pergunta iremos utilizar a fórmula
da normal padronizada:
Onde:
X= 14;

16.  Z = (14 – 13)/2,333
 Z = 0,43
 Após encontrar o valor de Z iremos utilizar a tabela de
distribuição normal, que irá indicar
corresponde ao encontrado acima.
o
valor

17. Tabela de Distribuição Normal

18.  O valor encontrado na tabela corresponde a 0,6664.
 Para
calcular a porcentagem correspondente a
probabilidade do projeto durar mais que 14 dias
corresponde a:
 P(Duração > 14) = 1 – 0,6664 = 0,3336 =
0,3336 x 100 = 33,36%
Portanto conclui-se que a probabilidade de o
projeto demorar mais que 14 dias para ficar pronto
é de 33,36%.

19. Estudo de Caso 3 -O futebol é uma
caixinha de… probabilidades

20.  As probabilidades apontam uma tendência (e nunca uma
afirmação) de que esse time saia vencedor do próximo
jogo ou aquele time termine o campeonato em primeiro
lugar. E é justamente por isso que as probabilidades
veiculadas são 80%, 50%, 47% etc. e nunca 100% ou 0%.

21. Critérios Utilizados
 Desempenho das equipes na competição ou no último
ano
 Mando de campo
 Qualidade dos adversários
 Resultados mais recentes têm mais peso

22. O que não é considerado pelos
estatísticos
 Contratações, contusões e suspensões
 Histórico das equipes: títulos, peso da camisa e da
torcida
 Mudanças de treinador
 Erros de arbitragem e “malas brancas”

23. Lei dos Grandes Números
 Fórmula:

24. Exemplo 1
 Num total de 100 jogos o Flamengo obteve 62
vitórias e nos 4 jogos obteve 3 vitórias. Qual a
probabilidade deste time ser campeão?
 A princípio muitas das pessoas utilizar os resultados dos
últimos jogos para calcular a probabilidade, encontrando
assim um valor de 75 %,pois
(¾)x100=75%,mas na
verdade é um erro pois a probabilidade real da equipe
erguer a taça deve levar em consideração todos os jogos e
todas as vitórias, sendo assim as chances reais giram em
torno de 62% e não de 75% como muitos pensaram
,
pois
(62/100)x100=62%.

25. Exemplo 2
 Para saber a probabilidade de um time ganhar o jogo
vamos utilizar o seguinte exemplo : Foi disputado no
Maracanã um jogo entre Flamengo e Palmeiras, onde o
Flamengo saiu campeão. Iremos calcular o vetor PC1 do
Flamengo agora após a vitória. Para isso utilizaremos o
vetor anterior ou seja PC0.

26.  Fórmula:
 Onde os números contidos entre parênteses(1,0,0)
correspondem a 1 vitória,0derrotas e 0 empates,p é o
peso que damos ao passado, ou seja leva em
consideração as vitórias e derrotas antigas.Não devemos
considerar p=0, pois se p=0 quer dizer que o que passou
não conta pra nada que é um absurdo e se elevarmos
muito o valor os valores na probabilidade seguirão
praticamente inalterados jogo a jogo e r = rendimento.

27.  O rendimento é calculado da seguinte maneira:
 Onde r max = 1 e r min =0
 Pra calcular o vetor do Palmeiros será feito algo parecido:
 Neste caso nota-se que ao invés de utilizar somente o
rendimento do flamengo usa-se
 Constatamos que o novo vetor do Flamengo será igual
a 1 e do Palmeira igual a zero , pelo fato de não termos
adotado nenhum antecedente.

28.  Não existe uma única “maneira correta”. Existem várias
formas possíveis, com várias formulações matemáticas
possíveis e (pelo menos) duas maneiras possíveis de
analisá-las.

29. Conquista
Conquista
Rebaixamento
Rebaixamento
do Título
do Título
para a Série B
para a Série B
Time
Time
Santos
Santos
35.6 %
35.6 %
< 0.01 %
< 0.01 %
Internacional
Internacional
34.5 %
34.5 %
< 0.01 %
< 0.01 %
Atlético MG
Atlético MG
7.6 %
7.6 %
0.2 %
0.2 %
Fluminense
Fluminense
5.8 %
5.8 %
0.4 %
0.4 %
Grêmio
Grêmio
4.4 %
4.4 %
0.6 %
0.6 %
Vasco
Vasco
3.7 %
3.7 %
0.7 %
0.7 %
São Paulo
São Paulo
2.5 %
2.5 %
1.3 %
1.3 %
Botafogo
Botafogo
1.5 %
1.5 %
1.9 %
1.9 %
Coritiba
Coritiba
1.4 %
1.4 %
1.9 %
1.9 %
Cruzeiro
Cruzeiro
1.0 %
1.0 %
2.8 %
2.8 %
Palmeiras
Palmeiras
0.6 %
0.6 %
4.5 %
4.5 %
Flamengo
Flamengo
0.4 %
0.4 %
5.0 %
5.0 %
Corinthians
Corinthians
0.3 %
0.3 %
4.8 %
4.8 %
Atlético GO
Atlético GO
0.3 %
0.3 %
7.5 %
7.5 %
Figueirense
Figueirense
0.3 %
0.3 %
9.4 %
9.4 %
Bahia
Bahia
0.08 %
0.08 %
14.2 %
14.2 %
Ponte Preta
Ponte Preta
< 0.01 %
< 0.01 %
66.5 %
66.5 %
Portuguesa
Portuguesa
< 0.01 %
< 0.01 %
79.8 %
79.8 %
Sport
Sport
< 0.01 %
< 0.01 %
98.6 %
98.6 %
Náutico
Náutico
< 0.01 %
< 0.01 %
99.95 %
99.95 %

30. Tabela
Time
Santos
Internacional
Atlético MG
Fluminense
Grêmio
Vasco
São Paulo
Botafogo
Coritiba
Cruzeiro
Palmeiras
Flamengo
Corinthians
Atlético GO
Figueirense
Bahia
Ponte Preta
Portuguesa
Sport
Náutico
Pontos
3560
3450
760
580
4.4 0
370
250
150
140
100
60
40
30
30
30
6
1
1
1
1

32.  12 rodadas -> 10 jogos por rodada = 120 jogos
 3 resultados possiveis(vitória,empate,derrota)
 120x3 = 360
 Cruzeiro = 97% de chances de ser campeão
 360 -> 349 jogos

33. Quem tem mais chances

34. Mega-Sena

35. A Mega Sena é o jogo de loteria mais famoso no
Brasil,onde os sorteios ocorrem duas vezes na semana.
Na Mega-Sena você joga marcando de 6 a 15 números
entre os 60 disponíveis na cartela. São sorteados 6
números e o valor destinado à premiação é distribuído
nas seguintes proporções:
 35% para os acertadores de 6 números (sena)
 20% para os acertadores de 5 números (quina)
 20% para os acertadores de 4 números (quadra).
 Os 25% restantes são acumulados para serem
distribuídos aos acertadores da Sena nos concursos de
final 0 e 5. (Os concursos são numerados
sequencialmente.)

38. Tabela preço x números jogados

39.  Fórmula usada:
Onde:
 n=número total de pedras a serem sorteadas
 p=número de pedras “apostadas”

40. Probabilidade Jogando 6 Números
C(60,6) = 60!/6!(60-6)!
C(60,6) = 50.063.860 combinações
 p = 1/50063860= 1,99x10^-8
 Preço = R$ 2,00

41. Jogando 10 Números
Ao jogar 10 dezenas para acertar 6, temos a seguinte
combinação:
 C(10,6) = 10! / (6!.(10-6)!)
C(10,6) = 210
Então, ao jogar 10 dezenas, consegue-se 210
combinações (diferentes, lógico) de 6 dezenas.
Então a chance de ganhar são de 210 em 50.063.860
Ou 1 chance em 238.400, isto é
 p = 1/ 238.400
4,19.10^-4
 Preço = R$420,00

42. Jogando 15 Números
 JOGAR 15 números e acertar 6 números:
 C(15,6) = 15! / (6!.(15-6)!)
 C= 5005 combinações
 p = 5005/50063860=0,09%
 Preço: R$10010,00

43. É hora de testar a sorte!

44. Bibliografia
 http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2c2.html
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Categoria:Pesquisa_oper
acional
 http://afinaldecontas.blogfolha.uol.com.br/2012/05/26
/o-futebol-e-uma-caixinha-de-probabilidades/
 Livro: Administração da Produção e Operações
 Norman Gaither e Greg Fraizer – 8ª Edição

45. Grupo
 Fábio Rocha
 Jéssica Roza
 Míriam Fabris
 Pedro Pena
 Priscila Belsoff