задания ГИА 2015

1. Варианты заданий для проведения государственной итоговой
аттестации по математике в 11 классах профильного уровня
Задания для проведения государственной итоговой аттестации по
математике в 11 классах профильного уровня представлены в двадцати
вариантах.
Содержание заданий соответствует действующей программе по
математике.
Каждый вариант аттестационной работы состоит из трѐх частей, которые
отличаются по сложности и форме тестовых заданий.
В І части аттестационной работы предложено 15 заданий с выбором
одного правильного ответа (10 заданий по алгебре и 5 заданий по геометрии). К
каждому заданию даны четыре варианта ответа, из которых только один верный.
Задание считается выполненным правильно, если учащийся указал только одну
букву, которой обозначен верный вариант ответа. Правильное решение каждого
задания этой части оценивается одним баллом.
ІІ часть аттестационной работы состоит из 4 заданий (2 задания по алгебре
и началам анализа и 2 задания по геометрии). Решение должно иметь краткую
запись. Правильное решение каждого заданий этой части оценивается двумя
баллами.
ІІІ часть аттестационной работы состоит из 2 заданий (1 задание по
алгебре и началам анализа и 1 задание по геометрии). Решение должно иметь
развернутую запись с обоснованием. Полное решение каждого задания этой
части оценивается четырьмя баллами.
Время выполнения аттестационных заданий − 4 академических часа.
Сумма баллов, начисленных за правильно выполненные учащимся
задания, в соответствии с максимально возможным количеством предложенных
баллов для каждой части (І часть – 15 баллов; ІІ часть – 8 баллов; ІІІ часть – 8
баллов) – 31 балл.
Соответствие количества набранных баллов учащимся оценке по
пятибалльной системе оценивания учебных достижений учащихся приведено в
таблице:
Количество набранных
баллов
Оценка по пятибалльной системе
оценивания учебных достижений учащихся
29-31 5
22-28 4
16-21 3
3-15 2
1-2 1
Для объективного оценивания работы рекомендуем использовать
поэлементный анализ решения каждого задания.

2. ВАРИАНТ 1
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Какая из функций является линейной?
А) ; Б) ;
В) √ ; Г) .
№2. Выполните вычитание .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Известно, что и . Оцените значение выражения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№4. Решите уравнение ( ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№5. Сколькими способами читатель может выбрать книги из ?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. Функции и заданы графиками, изображенными
на рисунке. Укажите все значения , для которых выполняется
неравенство .
А) ; Б) [ ] [ ];
В) ] [ ]; Г) [ ] [ ].
№7. Найдите значение выражения (√ ) √
.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Решите неравенство .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Определите все критические точки функции на отрезке
[ ], если на рисунке изображен график функции .
А) и ; Б) , и ;
В) и ; Г) и .
№10. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Через
сколько секунд после начала движения точка остановится?
А) с; Б) с;
В) с; Г) с.
№11. Внутренний угол правильного многоугольника при одной из его вершин равен .
Сколько сторон имеет этот многоугольник.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№12. В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна ее боковой стороне и образует с
большим основанием угол . Найдите тупой угол трапеции.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№13. Найдите координаты середины отрезка , если , .

3. А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами см и см. Высота
пирамиды √ см. Найдите объем пирамиды.
А) √ см3
; Б) √ см3
;
В) √ см3
; Г) см3
.
№15. Осевое сечение цилиндра – квадрат, периметр которого равен см. Найдите объем
цилиндра.
А)
√
см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Найдите значение выражения √ √ √ √ .
№17. Решите уравнение .
№18. Векторы и перпендикулярны, | | , | | . Определите | |.
№19. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании и
боковой стороной . Определите объем пирамиды, если все ее боковые ребра наклонены к ее
основанию под углом .
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями , .
№21. Радиус шара см. В него вписана правильная четырехугольная призма, высота которой
см. Найдите сторону основания призмы.

4. ВАРИАНТ 2
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Решите систему уравнений {
А) ; Б) ( );
В) ; Г) .
№2. Возведите в степень ( ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Решите неравенство .
А) ]; Б) [ ;
В) ; Г) .
№4. Упростите выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№5. Вычислите интеграл ∫ .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. На рисунке изображен график одной из данных функций.
Укажите эту функцию.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. Найдите разность арифметической прогрессии, первый член
которой равен , а восьмой равен .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Во время сушки яблоки теряют своей массы. Сколько килограммов свежих яблок
надо взять, чтобы получить кг сушеных?
А) кг; Б) кг;
В) кг; Г) кг.
№9. На рисунке изображен график функции . Пользуясь
графиком сравните и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) сравнить невозможно.
№10. Найдите первообразную функции , график которой
проходит через начало координат.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Угол при основании равнобедренного треугольника равен , а основание – см.
Найдите длину радиуса описанной окружности.
А) см; Б) см;
В) см; Г) √ см.
№12. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в раза?
А) увеличится в раз; Б) увеличится в раз;

5. В) увеличится в раз; Г) другой ответ.
№13. Найдите координаты вектора , если и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Объем четырехугольной призмы равен см3
, а площадь основания призмы см2
.
Найдите высоту этой призмы.
А) см; Б) см;
В) см; Г) √ см.
№15. Объем шара см3
. Найдите диаметр шара.
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Решите неравенство √ .
№17. Решите уравнение .
№18. Через конец отрезка проведена плоскость. Через конец и точку этого отрезка
проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость в точках и . Найдите
длину отрезка , если см, .
№19. Равнобедренный треугольник с боковой стороной см и основанием см вращается
около основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Исследуйте функцию и постройте ее график .
№21. Основанием призмы является квадрат со стороной √ √ см. Одна из боковых граней
тоже квадрат, а другая − ромб с углом . Найдите площадь полной поверхности призмы.

6. ВАРИАНТ 3
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Решите систему уравнений {
А) Б)
В) решений нет; Г) .
№2. Возведите в степень ( ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Решите неравенство .
А) ]; Б) [ ;
В) ; Г) .
№4. Упростите выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№5. Вычислите интеграл ∫ .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. На рисунке изображен график одной из данных функций. Укажите
эту функцию.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. Найдите пятый член геометрической прогрессии
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Утром из автобусного парка выехало всех автобусов. К обеду из них вернулись.
Какой процент автобусов остался на маршруте?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. На рисунке изображен график функции . Укажите
правильное неравенство.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Найдите первообразную функции , график
которой проходит через точку .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. В треугольнике одна сторона равна √ 8 см, а противолежащий угол равен . Найдите
длину радиуса описанной окружности.
А)
√
см; Б) √ см;
В) см; Г) см.
№12. Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в
раз?
А) ; Б) ;

7. В) ; Г) .
№13. Найдите координаты вектора , если и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. В основании прямой четырехугольной призмы лежит ромб, площадь которого см2
.
Высота призмы см. Найдите объем призмы.
А) см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
№15. Диаметр шара равен см. Найдите объем шара.
А) см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Решите неравенство √ 11  хх .
№17. Решить уравнение .
№18. Через конец отрезка проведена плоскость. Через конец и точку этого отрезка
проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость в точках и
соответственно. Найдите длину отрезка , если см, .
№19. Равнобедренный треугольник с боковой стороной см и основанием см вращается
около основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Исследуйте функцию и постройте ее график .
№21. Основание наклонного параллелепипеда − квадрат со стороной , одна из вершин
другого основания проектируется в центр этого квадрата. Высота параллелепипеда равна .
Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

8. ВАРИАНТ 4
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Сумма двух чисел , а их разность . Найдите эти числа.
А) и ; Б) и ;
В) и ; Г) и .
№2. Решите уравнение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3 Решите неравенство .
А) (- ; Б) [ ];
В) ( ] [ Г) .
№4. Упростите выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№5. В классе учащихся. Наугад выбирают одного. Какова вероятность того, что это
мальчик, если мальчиков в классе ?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. Вычислите значение выражения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. На каком из рисунков изображен график функции ?
А) Б) В) Г)
№8. Решите уравнение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Функция определена на промежутке [ ] и имеет
производную в каждой точке области определения. На рисунке
изображен график функции . Сколько точек
экстремума имеет функция ?
А) ни одной; Б) шесть точек;
В) три точки; Г) четыре точки.
№10. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. В треугольнике стороны см, см, –
биссектриса, см. Найдите .
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
№12. В стороны см, √ см, . Найдите .
А) ; Б) или ;

9. В) ; Г) решений нет.
№13. Точки и симметричны относительно точки . Найдите
и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Высота правильной четырехугольной пирамиды см, а апофема см. Вычислите
площадь боковой поверхности пирамиды.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
№15. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной см. Найдите
площадь поверхности конуса.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Найдите область определения функции √ .
№17. Тело движется прямолинейно по закону . Найдите координаты точек, в
которых тело пребывает в состоянии покоя.
№18. Дано три точки , , . Вычислите косинус угла
треугольника .
№19. В цилиндре параллельно его оси на расстоянии см от нее проведено сечение. Площадь
этого сечения см2
. Вычислите высоту цилиндра, если радиус основания равен см.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Докажите тождество √ √ √ ( ), если .
№21. Найдите объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, стороны основания
которой равны дм и дм, а диагональ дм.

10. ВАРИАНТ 5
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Сумма двух чисел , а их разность . Найдите эти числа.
А) 9 и ; Б) и ;
В) и ; Г) и .
№2. Решите уравнение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Решите неравенство .
А) Б) [ ];
В) ( ] [ Г) .
№4. Упростите выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№5. В классе учащихся. Наугад выбирают одного. Какова вероятность того, что это
девочка, если девочек в классе ?
А)
30
12
; Б) ;
В) ; Г) .
№6. Вычислите значение выражения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. На каком рисунке изображен график функции ( )?
А) Б) В) Г)
№8. Решите уравнение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Функция, график которой изображен на рисунке, определена на
промежутке [ ]. Укажите множество значений аргумента функции
при которых .
А) ; Б) [ ] [ ];
В) [ ]; Г) ].
№10. Вычислите площадь фигуры изображенной на
рисунке
А) ; Б)
√
;
В) ; Г)
√
.
№11. В треугольнике стороны см,
см, – биссектриса, см. Найдите .

11. А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
№12. В стороны см, √ см, . Найдите .
А) ; Б) или ;
В) ; Г) решений нет.
№13. Точки и симметричны относительно точки .
Найдите и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Высота правильной четырехугольной пирамиды – см, а сторона основания – cм.
Найдите боковое ребро пирамиды.
А) см; Б) √ см;
В) √ см; Г) см.
№15. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной см. Найдите
площадь поверхности конуса.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Найдите область определения функции √ .
№17. Тело движется прямолинейно по закону . Найдите координаты точек, в
которых тело пребывает в состоянии покоя.
№18. Дано три точки , , . Вычислите косинус угла
треугольника .
№19. В цилиндре параллельно его оси на расстоянии см от нее проведено сечение, площадь
которого см2
. Вычислите радиус основания цилиндра, если его высота равна см.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Докажите тождество √ √ , если .
№21. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сторона верхнего основания равна
см, а боковое ребро длиной см наклонено к большему основанию под углом . Найдите
объем пирамиды.

12. ВАРИАНТ 6
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. В растворе, массой г, содержится г соли. Сколько процентов соли содержится в
растворе?
А) ; Б) ;
B) ; Г) .
№2. Вычислите значение выражение ( √ ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Укажите область значений функции .
А) ]; Б) ];
В) [ ; Г) [ ].
№4. Сократите дробь
√ √
√ √
.
А) √ √ ; Б)
√ √
;
В) √ √ ; Г)
√ √
.
№5. Найдите производную функции в точке .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. Решите неравенство ( ) .
А) ; Б) ;
В) ]; Г) .
№7. Найдите значение выражения .
А) ; Б) ;
В) √ ; Г) .
№8. Найдите область определения функции √ .
А) [ ; Б) ] [ ;
В) [ ]; Г) ] .
№9. Для какой из приведенных функций функция является первообразной?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Найдите моду выборки .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Определите вид треугольника со сторонами см, см и см.
А) прямоугольный; Б) остроугольный;
В) тупоугольный; Г) определить невозможно.
№12. Периметр ромба равен см, а один из его углов . Найдите длину меньшей
диагонали.
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
№13. Найдите скалярное произведение векторов и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .

13. №14. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием см
и боковой стороной см. Высота призмы равна см. Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
№15. Прямоугольник со сторонами 10 см и 4 см, вращается вокруг большей стороны. Найдите
площадь поверхности тела вращения.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Запишите значения функции , , , в порядке возрастания.
№17. Вычислите интеграл ∫ .
№18. Через точку , не лежащую между двумя параллельными плоскостями и , проведены
две прямые, которые пересекают плоскость в точках и , а плоскость − в точках и
соответственно. Найдите длину отрезка , если cм, .
№19. В основании наклонной призмы лежит параллелограмм со сторонами дм и дм и
острым углом . Боковое ребро призмы равно дм и образует с плоскостью основания
угол . Найдите объем призмы.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Из всех прямоугольников с площадью дм2
найдите тот, периметр которого
наименьший.
№21. Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится осью на отрезки см и см.
Зная, что образующая равна см, определите его объем.

14. ВАРИАНТ 7
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. В сплаве, который весит г, содержится г меди. Сколько процентов этого сплава
составляет медь?
А) ; Б) ;
B) ; Г) .
№2. Вычислите значение выражение ( √ ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Укажите область значений функции .
А) ; Б) [ ;
В) [ ; Г) .
№4. Сократите дробь
√
√
.
А) √ ; Б)
√
;
В)
√
; Г) √ .
№5. Найдите производную функции в точке .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. Решите неравенство ( ) .
А) ]; Б) [ ;
В) ; Г) .
№7. Найдите , если и .
А) √ ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№8. Найдите область определения функции √ .
А) ; Б) ] [ ;
В) [ ; Г) [ ].
№9. Какая из функций не является первообразной для функции ?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Найдите медиану выборки .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Стороны треугольника равны см, см и см. Определите вид треугольника.
А) прямоугольный; Б) остроугольный;
В) тупоугольный; Г) определить невозможно.
№12. Один из углов ромба равен , а длина меньшей диагонали – см. Найдите периметр
ромба.
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
№13. Какой из предложенных векторов перпендикулярен вектору ?
А) ; Б) ;
В) ; Г)

15. №14. Основание прямой призмы − равнобедренный треугольник с основанием см и боковой
стороной см. Высота призмы равна см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
№15. Квадрат со стороной см вращается около серединного перпендикуляра к стороне.
Найдите площадь поверхности тела вращения.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Запишите значения функции , , , в порядке возрастания.
№17. Вычислите интеграл ∫ .
№18. Через точку , не лежащую между двумя параллельными плоскостями и , проведены
две прямые, которые пересекают плоскость в точках и , а плоскость − в точках и
. Найдите , если м, .
№19. В наклонной треугольной призме стороны основания равны см, см и см. Боковое
ребро √ см образует с плоскостью основания угол . Найдите объем призмы.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Из всех прямоугольников с диагональю дм найдите тот, площадь которого
наибольшая.
№21. В усеченном конусе отношение площадей оснований равно , образующая длиной см
наклонена к плоскости основания под углом . Найдите объем этого конуса.

16. ВАРИАНТ 8
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Найдите область значений функции .
А) [ ]; Б) [ ];
B) [ ; Г) [ .
№2. Найдите дискриминант уравнения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Найдите произведение неравенств и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№4. Упростите выражение, найдите его значение ( ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№5. Решите неравенство .
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№6. График какой из функций изображен на рисунке?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. Найдите область определения функции √ .
А) ; Б) [ ;
В) [ ; Г) .
№8. Решите уравнение ( ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на
рисунке.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Сколькими способами из учеников класса можно
сформировать команду из учеников для участия в спортивных
соревнованиях?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Найдите радиус окружности, если длина дуги см, а соответствующий центральный
угол .
А) см; Б) см
В) см; Г) см.
№12. Угол вписан в окружность. Точка – центр окружности. Хорда ,
. Найдите радиус окружности.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .

17. №13. Какая из данных точек принадлежит координатной плоскости ?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Площадь боковой грани правильной четырехугольной призмы равна см2
, а периметр
основания 20 см. Найдите длину бокового ребра призмы.
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
№15. Осевое сечение цилиндра − квадрат со стороной см. Найдите объем цилиндра.
А) см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Решите неравенство √ .
№17. Найдите закон движения точки, скорость которой , если за c
она проходит путь м.
№18. Найдите длину вектора , если , .
№19. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами см, см и см. Высота
этой пирамиды проходит через вершину меньшего угла основания. Расстояние от вершины
пирамиды до прямой, которая содержит меньшую сторону основания, равна см. Найдите
объем пирамиды.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Разбейте число на два неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов
первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.
№21. Радиусы оснований шарового пояса равны м и м, а радиус шара м. Определите
объем шарового пояса, если параллельные плоскости, которые пересекают шар, расположены
по разные стороны от центра шара.

18. ВАРИАНТ 9
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. На сколько процентов изменится значение величины, которая равна 80 м, если уменьшить
ее до м?
А) уменьшится на ; Б) увеличится на ;
B) увеличится на ; Г) уменьшится на .
№2. Найдите дискриминант уравнения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Найдите произведение неравенств и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№4. Упростите выражение, найдите его значение ( ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№5. Решите неравенство .
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№6. График какой из функций изображен на рисунке?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. Найдите область определения функции .
А) ; Б) ;
В) ; Г) [ ].
№8. Решите уравнение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на
рисунке.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Сколькими способами из пяти членов баскетбольной команды можно выбрать капитана
и его заместителя.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Найдите радиус окружности, если длина дуги см, а соответствующий центральный
угол .
А) см; Б) см;
В) см; Г) 12 см.
№12. Угол вписан в окружность. Точка – центр окружности. Хорда ,
. Найдите радиус окружности.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№13. Середина отрезка с концами в точках и принадлежит…

19. А) оси ; Б) оси ;
В) оси ; Г) плоскости .
№14. Площадь боковой грани правильной четырехугольной призмы равна см2
, а периметр
основания см. Найдите длину бокового ребра призмы.
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
№15. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной см. Найдите объем цилиндра.
А) см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Решите неравенство ( ) .
№17. Найдите закон движения точки, скорость которой , если за c
она проходит путь м.
№18. Найдите длину вектора , если , .
№19. Основанием пирамиды является треугольник , стороны которого см,
см, см. Грани и перпендикулярны к основанию, а грань
образует с ней угол . Найдите объем пирамиды.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Разбейте число на два неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата
первого слагаемого на второе слагаемое было наибольшим.
№21. Радиусы оснований шарового пояса равны м и м, а радиус шара м. Определите
объем шарового пояса, если параллельные плоскости, которые пересекают шар, расположены
по одну сторону от центра шара.

20. ВАРИАНТ 10
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Каков процент жирности молока, если в кг молока содержится г жира?
А) ; Б) ;
B) ; Г) .
№2. Чему равно произведение корней уравнения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Сравните числа и , если .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№4. Вычислите
√ √
√
.
А) √ ; Б) √ ;
В) √ ; Г) √ .
№5. Решите неравенство .
А) ; Б) ];
В) [ ]; Г) другой ответ.
№6 Графиком функции является парабола, изображенная
на рисунке, – дискриминант квадратного уравнения .
Сравните и с нулем.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. Упростите выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Найдите неопределенный интеграл ∫ .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Найдите точки минимума функции , определенной на
, если знак ее производной изменяется по схеме, изображенной на
рисунке.
А) ; Б) ;
В) ; ; Г) точек минимума нет.
№10. Стрелок в сериях по выстрелов в каждой попал в мишень следующее количество
раз . Найдите размах этой выборки.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен √ см. Найдите
диаметр окружности, описанной около этого шестиугольника.
А) см; Б) см;
В) √ см; Г) √ см.
№12. У треугольников и , . Найдите и , если см,
см, см, см.
А) см, см; Б) см, см;
В) см, см; Г) см, см.
№13. Параллельный перенос задается формулами , , . В какую
точку при этом параллельном переносе переходит начало координат?
x
y
0

21. А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна см, а ее апофема – см.
Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
№15. Радиус шара уменьшили в раза. Во сколько раз уменьшился объем шара?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Решите уравнение .
№17. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке
№18. Точка – середина отрезка, концы которого находятся на оси и в плоскости
. Найдите координаты концов и длину отрезка.
№19. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, которая пересекает основание по
хорде, которая стягивает дугу . Определите площадь боковой поверхности цилиндра, если
диагональ сечения равна и образует с плоскостью основания угол .
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями , .
№21. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной и острым углом . Большая
диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом . Найдите объем призмы.

22. ВАРИАНТ 11
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Найдите знаменатель дроби, которая равна дроби , если ее числитель равен .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№2. Найдите точку пересечения графика функции c осью .
А) Б) ;
В) ; Г) .
№3. Решите систему неравенств { и укажите ее наибольшее целое решение.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№4. Какая из приведенных функций является четной?
А) √ ; Б) ;
В) ; Г) .
№5. Решите неравенство .
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№6. Укажите область значений функции , график
которой изображен на рисунке.
А) [ ]; Б) [ ];
В) [ ]; Г) .
№7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Найдите значение выражения √ √ .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Найдите общий вид первообразных для функции .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Среди платков, которые лежат в ящике, платка белые. Наугад берут один платок.
Какова вероятность того, что он белый?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Две стороны треугольника равны м и м, а угол между ними равен . Найдите
третью сторону.
А) √ м; Б) √ м;
В) √ м; Г) определить невозможно.
№12. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних углов равна ?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№13. При каком значении векторы и коллинеарные?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
x1
3
05 1
2
 xfy 
y

23. №14. Дан куб . Найдите градусную меру угла, гранями которого являются
полуплоскости и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№15. Прямоугольный треугольник с катетами см и см вращается около большего катета.
Найдите объем тела вращения.
А) см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Упростите выражение
№17. Найдите значение производной функции √ в точке .
№18. Плоскости и параллельны. Через вершины , который находится в плоскости ,
проведены параллельные прямые, которые пересекают в точках , и соответственно.
Найдите периметр , если см, .
№19. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями см и см, а диагональ
боковой грани призмы образует с основанием угол . Найдите площадь боковой
поверхности призмы.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Вычислите интеграл ∫
√
.
№21. Радиус шара равен см. Определите площадь его поверхности, которую видно из
точки, удаленной от центра шара на см.

24. ВАРИАНТ 12
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Найдите знаменатель дроби, которая равна дроби , если ее числитель равен .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№2. Найдите точку пересечения графика функции c осью .
А) Б) ;
В) ; Г) .
№3. Решите систему неравенств {
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№4. Какая из приведенных функций является нечетной?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№5. Решите неравенство .
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№6. Укажите область значений функции , график которой
изображен на рисунке.
А) [ ]; Б) ;
В) [ ]; Г) .
№7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Найдите значение выражения √ .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Какая из функций является первообразной для функции ?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. В ящике лежат шариков, из которых белые. Какова вероятность того, что вынутый
наугад шар окажется белым?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. В стороны см, см, . Найдите .
А) √ см; Б) √ см;
В) √ √ см; Г) √ см.
№12. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов
равна сумме внешних, взятых по два при каждой вершине?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№13. При каком значении векторы и коллинеарные?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Дан куб . Найдите градусную меру угла, гранями которого являются
полуплоскости и .
 xfy 
4
3
4
2
0 x
y

25. А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№15. Образующая конуса равна см, а высота − см. Найдите объем конуса.
А) см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Упростите выражение
( )
( ( ) )
№17. Найдите значение производной функции √ в точке .
№18. Плоскости и параллельны. Через вершины треугольника , который находится в
плоскости , проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость
соответственно в точках , и . Найдите периметр , если дм,
.
№19. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями см и см, а диагональ
боковой грани призмы образует с плоскостью основания угол . Найдите площадь боковой
поверхности призмы.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Вычислите интеграл ∫
( )
.
№21. На каком расстоянии от центра шара радиуса см должна находиться точка, которая
светится, чтобы она освещала его поверхности?

26. ВАРИАНТ 13
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Найдите от числа .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№2. Через какую из данных точек проходит график функции √ .
А) ; Б) ;
B) ; Г) .
№3. Решите двойное неравенство .
А) ; Б) ;
В) ( ); Г) .
№4. Решите уравнение √ .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№5. Сравните числа и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. Найдите производную функции .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. На каком из рисунков изображен график функции √ ?
А) Б) В) Г)
№8. Сколько корней имеет уравнение ?
А) один; Б) два;
В) бесконечно много; Г) ни одного.
№9. Найдите площадь фигуры ограниченной линями , , .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Игральный кубик подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что выпавшее число
окажется простым?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Угол между диагоналями прямоугольника равен , а меньшая сторона см. Найдите
диагональ прямоугольника.
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
№12. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна . Чему равна
площадь данного прямоугольного треугольника?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№13. Найдите расстояние от точки до начала координат.

27. А) ; Б) √ ;
В) ; Г) √ .
№14. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной см. Высота призмы равна см.
Найдите боковую поверхность призмы.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
№15. Площадь поверхности шара равна см2
. Найдите объем шара.
А) см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Найдите период функции ( ).
№17. Решите неравенство , если .
№18. Диагонали ромба равны см и см. Точка , лежащая вне плоскости ромба, удалена
от всех его сторон на см. Найдите расстояние от точки к плоскости ромба.
№19. Апофема правильной четырехугольной пирамиды – l. Определите боковую поверхность
пирамиды, если − двугранный угол при основании.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Решите систему уравнений {
№21. Через вершину конуса проведена плоскость, которая пересекает основание конуса по
хорде. Эту хорду видно из центра основания под углом . Расстояние от центра основания
до середины высоты сечения равно см. Найдите, под каким углом плоскость сечения
наклонена к плоскости основания, если радиус основания конуса равен см.

28. ВАРИАНТ 14
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Найдите от числа .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№2. Через какую из данных точек проходит график функции у √х?
А) ; Б) ;
B) ; Г) .
№3. Решите двойное неравенство .
А) ; Б) [ ];
В) ( ); Г) .
№4. Решите уравнение √ .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№5. Сравните числа и .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. Найдите производную функции .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. На каком из рисунков изображен график функции ( ) ?
А) Б) В) Г)
№8. Какое из уравнений не имеет корней?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Найдите площадь фигуры ограниченной линями , , , .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Игральный кубик подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что выпавшее число
окажется четным?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Диагональ прямоугольника равна см и образует с меньшей стороной угол . Найдите
меньшую сторону прямоугольника.
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
№12. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна . Чему равна
гипотенуза данного треугольника?
А) √ ; Б) √ ;
В) ; Г) √ .

29. №13. Найдите расстояние от точки до начала координат.
А) √ ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной см. Высота призмы равна см.
Найдите боковую поверхность призмы.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
15. Объем шара см3
. Найдите площадь поверхности шара.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Найдите период функции .
№17. Решите неравенство , если .
№18. Точка , равноудаленная от сторон ромба, находится на расстоянии см от плоскости
ромба. Найдите расстояние от точки до сторон ромба, если его диагонали равны см и
см.
№19. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна , а двугранный угол
при основании . Найдите полную поверхности пирамиды.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Решите систему уравнений {
№21. Через две образующие конуса проведена плоскость, которая пересекает основание
конуса по хорде длиною см. Хорда отсекает от окружности основания дугу . Площадь
образованного сечения равна см2
. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью
основания конуса.

30. ВАРИАНТ 15
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Каков процент жирности молока, если в кг молока содержится г жира?
А) ; Б) ;
B) ; Г) .
№2. Чему равно произведение корней уравнения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Сравните числа и , если .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№4. Вычислите
√ √
√
.
А) √ ; Б)
√
;
В) √ ; Г)
√
.
№5. Решите неравенство .
А) ]; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№6. Графиком функции является парабола,
изображенная на рисунке, – дискриминант квадратного уравнения
. Сравните и с нулем.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№7. Упростите выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Найдите неопределенный интеграл ∫ .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Знак производной функции , определенной на ,
изменяется по схеме, изображенной на рисунке. Найдите все
промежутки, на которых функция убывает.
А) ] [ ; Б) ] [ ];
В) [ ] [ ; Г) [ ].
№10. Баскетболист в сериях по бросков попал в корзину следующее число раз .
Найдите среднее значение этой выборки.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Правильный треугольник со стороной √ см вписан в окружность. Найдите сторону
квадрата, вписанного в эту окружность.
А) √ см; Б) √ см;
В) см; Г) см.
№12. Даны треугольники и . Зная , , см, см,
см, см, найдите и .
А) см, см; Б) см, см;
x
y
0

31. В) см, см; Г) см, см.
№13. Параллельный перенос задается формулами , , . В
какую точку при этом параллельном переносе переходит начало координат?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна см, а ее апофема –
см. Вычислите боковую поверхность пирамиды.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
№15. Во сколько раз необходимо увеличить радиус шара, чтобы ее объем увеличился в
раз?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Решите уравнение .
№17. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .
№18. Точка – середина отрезка, концы которого находятся на оси и в плоскости
. Найдите координаты концов и длину отрезка.
№19. Площадь боковой поверхности цилиндра равна половине площади его полной
поверхности. Зная, что диагональ осевого сечения равна см, найдите полную поверхность
цилиндра.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями , .
№21. Основание прямой призмы – ромб со стороной , угол между плоскостями двух боковых
граней равна ( ), большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол
. Найдите объем призмы.

32. ВАРИАНТ 16
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Выполните действия .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№2. При каком значении переменной не имеет смысла выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Областью определения какой из функций является множество действительных чисел?
А) √ ; Б) √ ;
В) √ ; Г) √ .
№4. Найдите нули функции .
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№5. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. На каком из рисунков схематически изображен график функции ?
А) Б) В) Г)
№7. Найдите множество значений функции .
А) [ ]; Б) [ ];
В) [ ]; Г) [ ].
№8. Упростите выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Найдите ( ), если .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .
А) ; Б) [ ;
В) [ ; Г) ].
№11. Вычислите площадь кругового сегмента, если радиус круга дм, а соответствующий
центральный угол равен .
А) дм²; Б) дм²;
В) дм²; Г) дм².
№12. В равностороннем треугольнике высота равна дм. Найдите радиус вписанной
окружности в этот треугольник.
А) дм; Б) дм;
В) дм; Г) дм.
№13. Среди точек , , , укажите пару точек, которые
являются симметричными относительно оси .
А) и ; Б) и ;

33. В) и ; Г) и .
№14. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды см, а апофема см.
Вычислите боковую поверхность пирамиды.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
№15. Высота конуса √ см, осевое сечение – правильный треугольник. Определите боковую
поверхность конуса.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Найдите значение выражения ( ( )).
№17. Решите уравнение .
№18. Через точку, удаленную от плоскости на расстоянии см, проведены две наклонные к
этой плоскости длиной см и √ см. Угол между проекциями этих наклонных равен .
Найдите расстояние между основаниями наклонных.
№19. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно см и образует с плоскостью
основания угол . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Число разложите на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
№21. Найдите наибольший объем цилиндра, площадь полной поверхности которого равна
см2
, если длина радиуса основания принадлежит промежутку [ ].

34. ВАРИАНТ 17
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Выполните действия ( ) ( ) .
А) ( ) ; Б) ( ) ;
В) ( ) ; Г) ( ) .
№2. При каком значении переменной не имеет смысла выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Областью определения какой из функций является множество действительных чисел?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№4. Найдите нули функции .
А) ; Б)
В) ; Г) другой ответ.
№5. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. На каком из рисунков схематически изображен график функции xy 5,0log ?
А) Б) В) Г)
№7. Найдите множество значений функции .
А) [ ]; Б) [ ];
В) [ ]; Г) [ ].
№8. Упростите выражение .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Найдите , если .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения ( ) .
А) ; Б) [ ;
В) [ ; Г) ].
№11. Вычислите площадь кругового сегмента, если радиус круга м, а соответствующий
центральный угол равен .
А) м²; Б) м²;
В) м²; Г) м².
№12. В равностороннем треугольнике высота равна дм. Найдите радиус окружности
описанной около этого треугольника.
А) дм; Б) дм;
В) дм; Г) дм.

35. №13. Среди точек , , , укажите пару точек, которые
являются симметричными относительно плоскости .
А) и ; Б) и ;
В) и ; Г) и .
№14. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды − правильный треугольник,
периметр которого см. Вычислите боковую поверхность пирамиды.
А) √ см2
; Б) √ см2
;
В)
√
см2
; Г) 144√ см2
.
№15. Осевое сечение конуса − правильный треугольник с площадью √ см2
. Определите
боковую поверхность конуса.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Найдите значение выражения ( √ ).
№17. Решите уравнение .
№18. Из точки, удаленной на расстояние см от плоскости, проведены две наклонные к этой
плоскости длиной см и см. Расстояние между основаниями наклонных равно см.
Найдите угол между проекциями этих наклонных.
№19. Боковая грань правильной треугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под
углом . Найдите площадь боковой поверхности, если высота пирамиды равна см.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Число разложите на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
№21. Найдите наименьшую возможную площадь полной поверхности цилиндра, если
известно, что его объем равен см3
, а длина радиуса основания принадлежит промежутку
[ ].

36. ВАРИАНТ 18
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Вычислите .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№2. Сократите дробь .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Выражение √ имеет смысл, если
А) ]; Б) [ ;
В) ; Г) .
№4. Найдите наименьший положительный период функции ( ).
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№5. Найдите промежутки, на которых функция убывает.
А) ; Б) ;
В) [ ; Г) ].
№6. Укажите график нечетной функции.
А) Б) В) Г)
№7. Найдите значение выражения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Решите уравнение ( ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Найдите наименьшее значении функции на отрезке [ ].
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Найдите производную функции √ .
А) √ Б)
√
;
В) √ ; Г)
√
.
№11. Стороны параллелограмма равны дм и дм, а одна из диагоналей дм. Найдите
вторую диагональ параллелограмма.
А) √ дм; Б) √ дм;
В) √ дм; Г) дм.
№12. Проекция катета на гипотенузу, длиной см, равна см. Найдите данный катет.
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.
№13. Какой из данных векторов коллинеарен вектору ?

37. А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Основание прямой призмы − прямоугольник со сторонами см и см. Боковое ребро
см. Найдите площадь полной поверхности призмы.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
№15. Площадь осевого сечения конуса см2
, а его высота равна см. Найдите объем конуса.
А) см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Решите уравнение √ √ .
№17. Вычислите √ .
№18. Дано точки и . Запишите формулы параллельного переноса, при
котором точка переходит в точку , и параллельного переноса, при котором переходит в
.
№19. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна и образует с
плоскостью основания угол . Найдите площадь боковой поверхности призмы.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями | |, .
№21. Зная, что площадь полной поверхности цилиндра равна см2
, а боковая поверхность
составляет см2
, найдите объем цилиндра.

38. ВАРИАНТ 19
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Вычислите .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№2. Сократите дробь .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Выражение √ имеет смысл, если…
А) ; Б) ;
В) ]; Г) [ .
№4. Найдите наименьший положительный период функции ( ).
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№5. Найдите промежутки, на которых функция возрастает.
А) ]; Б) [ ;
В) ; Г) .
№6. Укажите график четной функции.
А) Б) В) Г)
№7. Найдите значение выражения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Решите уравнение ( ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Найдите наибольшее значении функции на отрезке[ ].
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№10. Найдите производную функции .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№11. Стороны параллелограмма равны см и см, а одна из его диагоналей равна см.
Найдите вторую диагональ параллелограмма.
А) см; Б) √ см;
В) √ см; Г) см.
№12. Катет прямоугольного треугольника равен см, а его проекция на гипотенузу – см.
Найдите гипотенузу.
А) см; Б) см;
В) см; Г) см.

39. №13. Какой из данных векторов коллинеарен вектору ?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами см и см.
Найдите площадь полной поверхности призмы, если высота призмы – см.
А) см2
; Б) см2
;
В) см2
; Г) см2
.
№15. Площадь осевого сечения конуса см2
, а диаметр основания см. Найдите объем
конуса.
А) см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Решите уравнение √ √ .
№17. Вычислите √ √
.
№18. Дано точки и . Запишите формулы параллельного переноса, при
котором точка , переходит в точку , и параллельного переноса, при котором точка ,
переходит в точку .
№19. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с боковым ребром
угол . Радиус окружности, описанной около боковой грани, равен . Вычислите площадь
боковой поверхности призмы.
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями | |, .
№21. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, зная что объем цилиндра равен см3
,
а площадь боковой поверхности см2
.

40. ВАРИАНТ 20
I часть
Задания 1-15 имеют по четыре варианта ответов, из которых только один ответ
правильный. Выберите правильный, на Ваш взгляд, ответ. Правильное решение каждого
задания оценивается одним баллом.
№1. Какая из функций не является линейной?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№2. Выполните вычитание .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№3. Известно, что и . Оцените значение выражения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№4. Решите уравнение ( ) .
А) ; Б) ;
В) ; Г) другой ответ.
№5. В классе учащихся. Сколькими способами можно среди них выбрать старосту и его
заместителя?
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№6. Функции и заданы графиками, изображенными на
рисунке. Укажите все значения , для которых выполняется неравенство
.
А) [ ]; Б) ;
В) [ ] [ ]; Г) [ ].
№7. Найдите значение выражения .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№8. Решите неравенство .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№9. Укажите все точки экстремума функции на отрезке
[ ], если на рисунке изображен график .
А) и ; Б) , и ;
В) и ; Г) и .
№10. Тело движется прямолинейно по закону .
Найдите скорость тела через с после начала движения.
А) м/с; Б) м/с;
В) м/с; Г) м/с.
№11. Внутренний угол правильного многоугольника при одной из его вершин равен .
Сколько сторон имеет этот многоугольник.
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№12. Дана трапеция . На большем основании трапеции взята точка так, что
, , . Найдите угол .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .

41. №13. Найдите координаты середины отрезка , если , .
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
№14. Объем треугольной пирамиды равен дм3
. Высота пирамиды √ дм. Найдите
площадь основания данной пирамиды.
А)
√
дм2
; Б) √ дм2
;
В)
√
дм2
; Г) дм2
.
№15. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна см. Найдите объем
цилиндра.
А)
√
см3
; Б) см3
;
В) см3
; Г) √ см3
.
II часть
Решение заданий 16-19 должно содержать короткую запись без обоснования. Правильное
решение каждого задания оценивается двумя баллами.
№16. Найдите значение выражения √ √ √ √ .
№17. Решите уравнение .
№18. Векторы и перпендикулярны, | | , | | . Определите | |.
№19. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом и прилежащим
острым углом . Определите объем пирамиды, если все боковые ребра пирамиды наклонены к
ее основанию под углом .
III часть
Решение заданий 20-21 должно содержать обоснование. В нѐм необходимо записать
последовательные логические действия и их объяснения. Правильное решение каждого
задания оценивается в четыре балла.
№20. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями , .
№21. Высота правильной четырехугольной призмы см, сторона основания см. Найдите
радиус описанной около нее сферы.