1. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo

2. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo
(a) Escogemos U=0 cuando θ = 0º . Cuando m2 se encuentra
por encima del nivel cero de energía, su energía potencial será
positiva, mientras que la del otro será negativa. La energía
potencial total del sistema es la suma de las energías de los
dos cuerpos.

3. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo
(a) Escogemos U=0 cuando θ = 0º . Cuando m2 se encuentra
por encima del nivel cero de energía, su energía potencial será
positiva, mientras que la del otro será negativa. La energía
potencial total del sistema es la suma de las energías de los
dos cuerpos.
U (θ ) = U1 + U 2 = m2 gl2 sin θ − m1 gl1 sin θ

4. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo
(a) Escogemos U=0 cuando θ = 0º . Cuando m2 se encuentra
por encima del nivel cero de energía, su energía potencial será
positiva, mientras que la del otro será negativa. La energía
potencial total del sistema es la suma de las energías de los
dos cuerpos.
U (θ ) = U1 + U 2 = m2 gl2 sin θ − m1 gl1 sin θ
U (θ ) = ( m2l2 − m1l1 ) g sin θ

5. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo
(a) Escogemos U=0 cuando θ = 0º . Cuando m2 se encuentra
por encima del nivel cero de energía, su energía potencial será
positiva, mientras que la del otro será negativa. La energía
potencial total del sistema es la suma de las energías de los
dos cuerpos.
U (θ ) = U1 + U 2 = m2 gl2 sin θ − m1 gl1 sin θ
U (θ ) = ( m2l2 − m1l1 ) g sin θ
(b) Hallamos las raíces de la primera derivada de la expresión anterior para hallar los máximos de la
función.

6. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo
(a) Escogemos U=0 cuando θ = 0º . Cuando m2 se encuentra
por encima del nivel cero de energía, su energía potencial será
positiva, mientras que la del otro será negativa. La energía
potencial total del sistema es la suma de las energías de los
dos cuerpos.
U (θ ) = U1 + U 2 = m2 gl2 sin θ − m1 gl1 sin θ
U (θ ) = ( m2l2 − m1l1 ) g sin θ
(b) Hallamos las raíces de la primera derivada de la expresión anterior para hallar los máximos de la
función.
dU (θ )
=0
dθ

7. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo
(a) Escogemos U=0 cuando θ = 0º . Cuando m2 se encuentra
por encima del nivel cero de energía, su energía potencial será
positiva, mientras que la del otro será negativa. La energía
potencial total del sistema es la suma de las energías de los
dos cuerpos.
U (θ ) = U1 + U 2 = m2 gl2 sin θ − m1 gl1 sin θ
U (θ ) = ( m2l2 − m1l1 ) g sin θ
(b) Hallamos las raíces de la primera derivada de la expresión anterior para hallar los máximos de la
función.
dU (θ )
=0 ⇒ ( m2l2 − m1l1 ) g cosθ = 0
dθ

8. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo
(a) Escogemos U=0 cuando θ = 0º . Cuando m2 se encuentra
por encima del nivel cero de energía, su energía potencial será
positiva, mientras que la del otro será negativa. La energía
potencial total del sistema es la suma de las energías de los
dos cuerpos.
U (θ ) = U1 + U 2 = m2 gl2 sin θ − m1 gl1 sin θ
U (θ ) = ( m2l2 − m1l1 ) g sin θ
(b) Hallamos las raíces de la primera derivada de la expresión anterior para hallar los máximos de la
función.
dU (θ ) π
=0 ⇒ ( m2l2 − m1l1 ) g cosθ = 0 cos θ = 0 ⇒ θ = cos −1 0 = ±
dθ 2

9. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo.
π π
Para darle sentido físico, − <θ <
2 2

10. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo.
π π
Para darle sentido físico, − <θ <
2 2
Hallamos la segunda derivada de la función energía potencial y
la evaluamos en los puntos críticos hallados antes.
d 2θ
= −(m2l2 − m1l2 ) g sin θ
dθ 2

11. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo.
π π
Para darle sentido físico, − <θ <
2 2
Hallamos la segunda derivada de la función energía potencial y
la evaluamos en los puntos críticos hallados antes.
d 2θ
= −(m2l2 − m1l2 ) g sin θ
dθ 2
d 2U π
>0 ⇒ U es mínima en θ = − (equilibrio estable)
dθ 2 −π 2
2
d 2U π
>0 ⇒ U es máxima en θ = (equilibrio inestable)
dθ 2 −π 2
2
(Suponiendo que m2l2 - m1l1 > 0)

12. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo.
(c) Eso ocurre cuando el sistema se equilibra mediante la ley de
la palanca de Arquímedes. Esto es;
m1l1 = m2l2

13. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo.
(c) Eso ocurre cuando el sistema se equilibra mediante la ley de
la palanca de Arquímedes. Esto es;
m1l1 = m2l2 ⇒ m2l2 − m1l1 = 0

14. Una barra de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento. A distancias l1 y l2 del pivote se
insertan dos masas, m1 y m2. (a) Hallar la energía potencial gravitatoria de las dos masas en función del
ángulo que forman con la horizontal. (b) ¿Para que ángulo se minimiza la energía del sistema? ¿Confirma
este resultado el dicho de que la naturaleza tiende hacia los estados con mínimos de energía? (c) Buscar un
caso en el que la energía potencial no dependa del ángulo.
(c) Eso ocurre cuando el sistema se equilibra mediante la ley de
la palanca de Arquímedes. Esto es;
m1l1 = m2l2 ⇒ m2l2 − m1l1 = 0
Recordemos que U (θ ) = ( m2l2 − m1l1 ) g sin θ
Con lo cual, U siempre será cero independientemente de la
posición.