Este documento presenta el método de Hardy Cross para resolver problemas de redes de tuberías. Explica que el método se basa en dos leyes: 1) la ley de continuidad de masa en los nodos, y 2) la ley de conservación de energía en los circuitos. Describe el procedimiento iterativo para distribuir caudales en la red satisfaciendo estas leyes, usando ecuaciones de pérdidas por fricción. Luego, aplica el método a un ejemplo numérico para determinar los caudales en cada tramo.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Civil
Departamento de Hidráulica
Hidráulica (1366)
METODO DE CROSS CONVENCIONAL
Profesor
Sergio Silva

2. TUBERIAS EN SERIE
Se habla de tuberías en serie cuando se quiere llevar el fluido de un punto a otro punto por un solo camino.
En este caso se cumplen las leyes siguientes:
Los caudales son los mismos para cada uno de los tramos de tubería:
Q = Q1= Q2=K= Qi
Las pérdidas de carga de cada una de las secciones se suman:
hL= hL1+hL2+K+hLi
EJEMPLO

3. TUBERIAS EN PARALELO
EJEMPLO
Se habla de tuberías paralelo cuando se establecen varios caminos para llevar el fluido de un punto a otro.
En este caso se cumplen las leyes siguientes:
El caudal total será igual a la suma de los caudales de cada rama:
Q = Q1+Q2=SKQi
La pérdida de carga será la misma en cada una de las ramas:
hL= hL1= hL2=ShLi

4. REDES DE TUBERIAS
EJEMPLO
Se habla de redes de tuberías cuando el fluido se lleva de un punto hacia diversos puntos a través de varios caminos.
Este tipo de configuración es común en sistemas de acueductos, en donde se forman ramificaciones complicadas formando mallas. Esta configuración posee la virtud de permitir realizar reparaciones a algún sector del sistema sin tener que interrumpir el suministro.
El cálculo de sistemas de tuberías de este tipo es laborioso y se hace por el método de aproximaciones sucesivas de Hardy Cross

5. HARDY CROSS
Es el autor del método para modelar redes complejas de abastecimiento de agua. Es uno de los métodos más usuales para resolver una gran cantidad de problemas.

6. MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED
El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes:
Ley de continuidad de masa en los nodos.
Ley de conservación de la energía en los circuitos.
El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen Williams o, bien, la ecuación de Darcy Weisbach.

7. MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED
La ecuación de Hazen Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross.
Ello obedece a que supone un valor constante para el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía.

8. MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED
La ecuación de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías.

9. MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED
El Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nodos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que hacerlo con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva.
Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nodos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente

10. FUNDAMENTOS DEL METODO DE HARDY CROSS
El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:
1.Ley de continuidad en los nodos: "La suma algebraica de los caudales en un nodo debe ser igual a cero"
Donde:
Qij: Caudal que parte del nodo i o que fluye hacia dicho nodo.
qi: Caudal concentrado en el nodo i.
m : Número de tramos que confluyen al nodo i.

11. FUNDAMENTOS DEL METODO DE HARDY CROSS
2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos:
"La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".
Donde:
hfij: Pérdida de carga por fricción en el tramo
n : Número de tramos del circuito i

12. Ejercicio N º1:
Donde:
Hf perdida por fricción (m)
Q Caudal asignado a cada tramo (m3/s)
K factor de rugosidad
Chw coeficiente de rugosidad (120 para este ejemplo)
D Diámetro de cada tubería (m)
L longitud de cada tubería (m)

13. Ejercicio N º1:
Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es:
Donde:
Hf perdida por fricción (m)
Q Caudal asignado a cada tramo (m3/s)
K factor de rugosidad
Chw coeficiente de rugosidad (120 para este ejemplo)
D Diámetro de cada tubería (m)
L longitud de cada tubería (m)

14. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj.
Esto es puramente convencional y podría ser al contrario.
Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1que debe satisfacer una red. Se obtiene así:
Ejercicio N º1:

15. Caudales distribuidos
La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido
arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de continuidad encada nodo (en valores absolutos naturalmente).
Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.
Ejercicio N º1:

16. MALLA I
MALLA II
BN 8.643,4753
CM 2.507,6762
NM 7.236,2295
NM 7.236,2295
MB 1.791,1973
NC 2.149,4367
Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga f0h en cada malla aplicando la ecuación de descarga.
Valores de k
MALLA I
MALLA II
BN (+0.07) +63,4052
CM (-0.11) - 42,2521
NM ( -0.02) -5,2049
NM (0.02) +5,2049
MB (-0.13) -41,1092
NC (0.09) +24,9847
+17,0911
- 12,0624
Ejercicio N º1:

17. Aplicamos ahora la ecuación
Para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada
ramal. Se obtiene para cada circuito.
Ejercicio N º1:

18. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf
son los siguientes
Calculamos nuevamente la corrección
Ejercicio N º1:
TRAMO ORIGINAL FINAL HF
BN 0.0700 + -0.006232655 = 0.0638 53.3581164
NM -0.0200 + -0.006232655 - 0.007072112 = -0.0333 -13.3705473
MB -0.1300 + -0.006232655 = -0.1362 -44.8294772
Σ -4.84190814
CAUDAL
CORRECCION
CIRCUITO 1
TRAMO ORIGINAL FINAL HF
CM -0.1100 + 0.007072112 = -0.1029 -37.3643655
NM 0.0200 + 0.007072112 - -0.006232655 = 0.0333 13.3705473
NC 0.0900 + 0.007072112 = 0.0971 28.7375306
Σ 4.74371234
CIRCUITO 2
CAUDAL
CORRECCION

19. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf
son los siguientes
Calculamos nuevamente la corrección
Ejercicio N º1:
CIRCUITO 1
CAUDAL
TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF
BN 0.0638 + 0.001669921 = 0.0654 55.971905
NM -0.0333 + 0.001669921 - -0.002417844 = -0.0292 -10.4939331
MB -0.1362 + 0.001669921 = -0.1346 -43.8181767
Σ 1.65979519
CIRCUITO 2
CAUDAL
TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF
CM -0.1029 + -0.002417844 = -0.1053 -39.004328
NM 0.0333 + -0.002417844 - 0.001669921 = 0.0292 10.4939331
NC 0.0971 + -0.002417844 = 0.0947 27.4273615
Σ -1.08303337
- (1.6597/ 2.849,2924) = -0.000582529
- (-1,0830/ 1.885,4948) = 0,00057

20. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf
son los siguientes
Calculamos nuevamente la corrección
Ejercicio N º1:
- (- 0,3917/ 2.861,8261) = 0.000136885
- (0,3998 / 1.907,3822) = - 0,00020
CIRCUITO 1
CAUDAL
TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF
BN 0.0654 + -0.000582529 = 0.0649 55.0535995
NM -0.0292 + -0.000582529 - 0.000574403 = -0.0304 -11.2755896
MB -0.1346 + -0.000582529 = -0.1351 -44.1697507
Σ -0.39174089
CIRCUITO 2
CAUDAL
TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF
CM -0.1053 + 0.000574403 = -0.1048 -38.611795
NM 0.0292 + 0.000574403 - -0.000582529 = 0.0304 11.2755896
NC 0.0947 + 0.000574403 = 0.0952 27.7360712
Σ 0.39986593

21. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf
son los siguientes
Calculamos nuevamente la corrección
Ejercicio N º1:
- ( 0,1429/ 2.857,4569) = - 0.00005
- (-0,0928 / 1.900,8676) = 0,000048
CIRCUITO 1
CAUDAL
TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF
BN 0.0649 + 0.000136885 = 0.0650 55.2687591
NM -0.0304 + 0.000136885 - -0.000209641 = -0.0300 -11.0387612
MB -0.1351 + 0.000136885 = -0.1350 -44.0870204
Σ 0.14297746
CIRCUITO 2
CAUDAL
TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF
CM -0.1048 + -0.000209641 = -0.1050 -38.7548473
NM 0.0304 + -0.000209641 - 0.000136885 = 0.0300 11.0387612
NC 0.0952 + -0.000209641 = 0.0950 27.6232167
Σ -0.09286944

22. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf
son los siguientes
Finalizamos el calculo de la corrección
Ejercicio N º1:
CIRCUITO 1
CAUDAL
TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF
BN 0.0650 + -5.00366E-05 = 0.0649 55.1900654
NM -0.0300 + -5.00366E-05 - 4.88563E-05 = -0.0301 -11.1061126
MB -0.1350 + -5.00366E-05 = -0.1351 -44.1172532
Σ -0.03330044
CIRCUITO 2
CAUDAL
TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF
CM -0.1050 + 4.88563E-05 = -0.1049 -38.7214876
NM 0.0300 + 4.88563E-05 - -5.00366E-05 = 0.0301 11.1061126
NC 0.0950 + 4.88563E-05 = 0.0951 27.6494983
Σ 0.03412328

23. En consecuencia los caudales son:
Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.
Obsérvese que la condición 1, Σhf =0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación.
Ejercicio N º1:

24. Ejercicio N º2:
Datos.
• Longitud de cada tramo.
• Fluido transportado: agua.
• Viscosidad cinemática: 1e-6 m2/s
• Salidas
• C=140
A
B
C
H
G
F
E
D
I
J
200
300
300
150
200
200
150
180
230
200
450
450
200
150
150
150
400
300
400
150
200

25. Ejercicio Nº2:
Se debe determinar el caudal de entrada a la red.
Elegir las mallas y un sentido de recorrido.
(la numeración de las mallas se realiza arbitrariamente)
A
B
C
H
G
F
E
D
I
J
200
300
300
150
200
200
150
180
230
200
I
II
III
IV
V
VI

26. Ejercicio Nº2:
NOTA:
Se debe garantizar que el mismo caudal que entra debe ser el mismo caudal que sale.
Asignar un caudal a cada tramo asegurando que se cumpla el principio de la conservación de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se opone al sentido de recorrido de la malla.
Q entra=Q sale
A
B
C
H
G
F
E
D
I
J
100
900
650
300
80
1010
330
70
480
330
30
200
300
300
200
200
150
180
230
200
I
II
III
IV
V
VI

27. Ejercicio Nº2:
NOTA:
El diámetro de la tubería puede tantearse garantizando que la velocidad se encuentre entre 0.60 y 3 m/s.
Se supone una velocidad entre 0.60 y 3m/s, para con el tantear un diámetro comercial
Formula para tantear el diámetro
•Q: caudal de que transita por el diámetro de la tubería
•Vi: velocidad inicial para el tanteo del caudal.

28. Ejercicio Nº2:
NOTA:
La velocidad debe mantenerse entre 0.6 y 3 m/s
Luego que se tiene el diámetro, se procede a buscar un diámetro comercial teniendo como referencia el diámetro tanteado.
Con el diámetro comercial encontrado se busca la velocidad real de cada tramo.
Formula para buscar la velocidad real

29. Ejercicio Nº2:
Cada tubería tiene un factor de rugosidad, el cual se denota con la letra “K”; para el cálculo del factor de rugosidad es necesario un coeficiente de rugosidad, el cual depende de cada tubería, se denota con la letra “c”.
Se calcula el factor de rugosidad “k”.
Formula para calcular K.
• L: longitud del tramo.
• c: coeficiente de rugosidad. (depende del tipo de tubería)
• Ø: diámetro del tramo en desarrollo

30. Ejercicio Nº2:
Después que se tiene el factor de rugosidad, se multiplica por el caudal de la siguiente forma:
•K: factor de rugosidad
•Q: caudal del tramo en desarrollo
El valor obtenido de la formula anterior se multiplica por 1.85.

31. Ejercicio Nº2:
Por Último se debe obtener un factor de corrección:
• El error correcto no debe ser mayor a 0.0001
Ecuación para determinar el error:
NOTA: En caso de que el error en la primera corrida, no sea el deseado debe realizarse Tantas corridas como sea necesario hasta obtener el error correcto.

32. Ejercicio Nº2:
En el momento de realizar otra corrida el caudal debe corregirse de acuerdo a la corrección obtenida en la anterior.
En caso de ser un tramo único, es decir, que no se repite en alguna otra malla, solo se le sumara al caudal inicial ( en m3/s) la corrección de la malla.
En caso de ser un tramo común, es decir, que si se repite en alguna otra malla, al caudal inicial ( en m3/s) se le sumara la corrección de la malla en donde se encuentre el tramo en desarrollo, y se le restara la corrección de la malla en donde el tramo se repita.
• : Corrección de la malla en donde se encuentra el tramo en desarrollo
• : corrección de la malla en la que se repite el tramo en desarrollo

33. Ejercicio Nº2:
•1era Corrida. (malla I)
•2da Corrida. (malla I)
Tramo único

34. Ejercicio Nº2:
•1era Corrida. (malla I)
•2da Corrida. (malla I)
Tramo común (B-E)

35. Ejercicio Nº2:
Cada tramo genera una perdida por fricción la cual se calcula de la siguiente forma:
•F: factor de fricción
•L: longitud del tramo en desarrollo.
•Ø: diámetro del la tubería (tramo en desarrollo)
•V: velocidad del flujo en el tramo.
•g: gravedad
Para calcular el factor de fricción es necesario saber el numero de Reynolds y la rugosidad relativa, el cual se calcula de la siguiente forma
•Ø: diámetro del la tubería (tramo en desarrollo)
•V: velocidad del flujo en el tramo.
•J: viscosidad del fluido
Número de Reynolds
Rugosidad relativa
•Ø: diámetro del la tubería (tramo en desarrollo)
•Ke: rugosidad relativa de la tuberia
(Hazen-William)
O mediante Dárcy- Weisbach

36. Ejercicio Nº2:
•Modelo de la tabla para desarrollar el método de cross. (solución del ejercicio)
En la siguiente imagen se muestra el ejercicio presentado antes, desarrollado en su primera corrida,

37. Ejercicio Nº2:
•Modelo de la tabla para desarrollar el método de cross. (resolución del ejercicio)
En la siguiente imagen se muestra el ejercicio presentado antes, ya en su ultima corrida, con el error correcto de 0.0001