173193478 ejemplo-i-metodo-cross-con-correccion-caudales
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Este documento presenta el método de Hardy-Cross para corregir caudales en redes de tuberías. Explica las ecuaciones básicas de conservación de masa y energía involucradas y describe el procedimiento iterativo para corregir los caudales inicialmente supuestos hasta alcanzar el equilibrio hidráulico en cada nodo de la red. Como ejemplo, aplica el método a una red de 6 tuberías y 3 iteraciones para converger a una solución.
![MÉTODO DE HARDY-CROSS CON CORRECCIÓN DE CAUDALES
Ecuaciones Básicas:
[1]
H H
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
−
1 / 2
Q ⋅ ⋅ ⋅
ij g A
ij
ij
ij
⋅ +
ij
ij
i j
Km
l
d
f
⎠
⎝
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
=
Σ
2
Comentario: Surge de la Ecuación de Energía entre los Nodos i a j ,
despejando la Variable Caudal (Qij). (Se ha despreciado el Valor
Cinético v2/2g).
Donde, la Ecuación de Conservación de la Masa para Cada Nodo, nos dice que:
[2]
0
NT
i
= − Σ=
1
Di
j
ij Q Q
Reemplazando (1) en (2), tenemos:
[3]
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
H H
NTi −
⎛
1 / 2
i j g A Q
l
1
Σ =
2 0
⋅ ⋅ − =
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎟ ⎟
⎠
ij
⋅ +
ij
Km
[Ecuaciones de Cabeza]
Σ
⎝
⎜ ⎜
⎝
j
ij Di
ij
ij
d
f
Este tipo de Ecuaciones, se conocen como Ecuaciones
de Cabeza, las cuales para el análisis de Redes
Cerradas, se conocen (NU-1), debiéndose conocer la al
menos una Cabeza de la Red. Estas Ecuaciones son No
Lineales.
Por otra parte, utilizando la Ec. De Conservación de Energía para un Circuito "Cerrado" cualquiera, tenemos:
[4]
⎛
⋅ + ⋅
' Q
NT i
2
Σ Σ
=
⎜ ⎜
⎝
ij
km f
ij ij
ij
l
d
g A
2
2
j ij
[Ecuaciones de Caudal]
Donde NT'i es el Numero de Tubos que conforman el Circuito Cerrado
y donde el valor de perdidas (por fricción y menores) en la trayectoria
cerrada debe ser igual a cero. Este tipo de Ecuaciones, se conocen con
el Nombre de Ec. de Caudal. En Total se tienen NC Ecuaciones, donde
NC es el numero de circuitos que conforman la Red.
⎞
= ⎟ ⎟
⎠
⋅ ⋅
ij
1
0
Metodología:
1. Definir claramente la Geometría de la Red, identificando en forma coherente los Nodos y los Circuitos (NC).
2. Definir/Suponer los diámetros de las Tuberías que conforman la Red. (Es un Proc. De Comprobación de Diseño).
3. Se definen los circuitos cerrados en cualquier orden. Se debe garantizar que todos los tubos queden incluidos por lo menos en un circuito
4. Suponer los Caudales en cada uno de los Tubos de la Red (Verificando Continuidad en cada Nodo), e ir corrigiendo esta suposición en
cada Iteración. Cuanto mejores sean las suposiciones, mas rápido converge el método.
5. Se estima un error de Caudal por Circuito utilizando la Ec. De Perdidas, de la siguiente manera:
Q + Δ
Q
⎞
⎛
l
Σ Σ ⋅ ⋅
⎜ ⎜
ij ij
ij
km
h hf hm f
= + = ⋅ + 2
ij ij ij ij g A
⎝
ij
d
Σ ( Σ
)
( Σ Σ
)
⎞
⎟ ⎟
⎠
hf +
hm
ij ij
⎛ +
⎜ ⎜
⎝
⋅
Q
Δ = −
hf hm
ij ij
ij
Q
2
( )
⋅ ⎟ ⎟
⎠
2
2 ij
ij
Resolviendo, Despreciando términos pequeños y
Despejando ΔQij, obtenemos:
6. Si en alguna de las tuberías del circuito, existe una Bomba Centrifuga, se debe restar la cabeza generada por esta de las perdidas en la
tubería, antes de hacer el calculo de corrección de caudales.
7. Iterar, hasta que la Convergencia en el Balance de Cabezas, llegue a valores razonablemente cercanos a cero.](https://image.slidesharecdn.com/173193478-ejemplo-i-metodo-cross-con-correccion-caudales-141027232333-conversion-gate02/85/173193478-ejemplo-i-metodo-cross-con-correccion-caudales-1-320.jpg)
![Ejemplo:
Datos: ΣKm2-3 = 10 (Válvula). υ (m²/sg) = 1.140E-06
ε (m) = 6.00E-05
H1 (mca) = 100
Nota: Los Diámetros se indican en pulgadas y los Q en l/s.
60 40
1 10" 2 6"
3
Desarrollo del Metodo.
500 m
Entrada de Datos (Primer Ciclo).
1. Suponemos los Caudales. (Verificando la Ec. De Continuidad). Verificar signos de acuerdo a sentido acordado.
Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6]
Longitud (m) 500.0 400.0 200.0 400.0 200.0 600.0 300.0
Σkm 0.0 10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Caudal (l/s)* 120 50 10 -20 10 -40 -80
*IMPORTANTE: En la suposición inicial de Caudales se debe cumplir continuidad en cada nodo.
CIRCUITO I
Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij
(m) (m3/s) (m/s) (m)
1 a 2 0.2540 0.1200 2.3682 0.015686 8.8270 73.55800
2 a 5 0.1016 0.0100 1.2335 0.020456 3.1226 312.25725
5 a 6 0.2032 -0.0400 -1.2335 0.017500 -4.0070 100.17464
6 a 1 0.2540 -0.0800 -1.5788 0.016257 -2.4394 30.49261
Σ = 5.5031 516.48250
ΔQI (m3/s) =
CIRCUITO II
Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij
(m) (m3/s) (m/s) (m)
2 a 3 0.1524 0.0500 2.7410 0.017312 21.2295 424.59046
2 a 5 0.1016 -0.004672 -0.5763 0.022743 -0.7579 162.21042
3 a 4 0.1016 0.0100 1.2335 0.020456 3.1226 312.25725
5 a 4 0.1524 -0.0200 -1.0964 0.018905 -3.0401 152.00743
Σ = 20.5540 1051.06557
ΔQII (m3/s) =
-0.0053275
-0.0097777
I II
300 m
600 m
400 m
200
400 m
200
40
30
30
10"
4" 4"
6"
8"
5 4
6](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. MÉTODO DE HARDY-CROSS CON CORRECCIÓN DE CAUDALES Ecuaciones Básicas: [1] H H ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − 1 / 2 Q ⋅ ⋅ ⋅ ij g A ij ij ij ⋅ + ij ij i j Km l d f ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ = Σ 2 Comentario: Surge de la Ecuación de Energía entre los Nodos i a j , despejando la Variable Caudal (Qij). (Se ha despreciado el Valor Cinético v2/2g). Donde, la Ecuación de Conservación de la Masa para Cada Nodo, nos dice que: [2] 0 NT i = − Σ= 1 Di j ij Q Q Reemplazando (1) en (2), tenemos: [3] ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ H H NTi − ⎛ 1 / 2 i j g A Q l 1 Σ = 2 0 ⋅ ⋅ − = ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ij ⋅ + ij Km [Ecuaciones de Cabeza] Σ ⎝ ⎜ ⎜ ⎝ j ij Di ij ij d f Este tipo de Ecuaciones, se conocen como Ecuaciones de Cabeza, las cuales para el análisis de Redes Cerradas, se conocen (NU-1), debiéndose conocer la al menos una Cabeza de la Red. Estas Ecuaciones son No Lineales. Por otra parte, utilizando la Ec. De Conservación de Energía para un Circuito "Cerrado" cualquiera, tenemos: [4] ⎛ ⋅ + ⋅ ' Q NT i 2 Σ Σ = ⎜ ⎜ ⎝ ij km f ij ij ij l d g A 2 2 j ij [Ecuaciones de Caudal] Donde NT'i es el Numero de Tubos que conforman el Circuito Cerrado y donde el valor de perdidas (por fricción y menores) en la trayectoria cerrada debe ser igual a cero. Este tipo de Ecuaciones, se conocen con el Nombre de Ec. de Caudal. En Total se tienen NC Ecuaciones, donde NC es el numero de circuitos que conforman la Red. ⎞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⋅ ⋅ ij 1 0 Metodología: 1. Definir claramente la Geometría de la Red, identificando en forma coherente los Nodos y los Circuitos (NC). 2. Definir/Suponer los diámetros de las Tuberías que conforman la Red. (Es un Proc. De Comprobación de Diseño). 3. Se definen los circuitos cerrados en cualquier orden. Se debe garantizar que todos los tubos queden incluidos por lo menos en un circuito 4. Suponer los Caudales en cada uno de los Tubos de la Red (Verificando Continuidad en cada Nodo), e ir corrigiendo esta suposición en cada Iteración. Cuanto mejores sean las suposiciones, mas rápido converge el método. 5. Se estima un error de Caudal por Circuito utilizando la Ec. De Perdidas, de la siguiente manera: Q + Δ Q ⎞ ⎛ l Σ Σ ⋅ ⋅ ⎜ ⎜ ij ij ij km h hf hm f = + = ⋅ + 2 ij ij ij ij g A ⎝ ij d Σ ( Σ ) ( Σ Σ ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ hf + hm ij ij ⎛ + ⎜ ⎜ ⎝ ⋅ Q Δ = − hf hm ij ij ij Q 2 ( ) ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ 2 2 ij ij Resolviendo, Despreciando términos pequeños y Despejando ΔQij, obtenemos: 6. Si en alguna de las tuberías del circuito, existe una Bomba Centrifuga, se debe restar la cabeza generada por esta de las perdidas en la tubería, antes de hacer el calculo de corrección de caudales. 7. Iterar, hasta que la Convergencia en el Balance de Cabezas, llegue a valores razonablemente cercanos a cero.
- 2. Ejemplo: Datos: ΣKm2-3 = 10 (Válvula). υ (m²/sg) = 1.140E-06 ε (m) = 6.00E-05 H1 (mca) = 100 Nota: Los Diámetros se indican en pulgadas y los Q en l/s. 60 40 1 10" 2 6" 3 Desarrollo del Metodo. 500 m Entrada de Datos (Primer Ciclo). 1. Suponemos los Caudales. (Verificando la Ec. De Continuidad). Verificar signos de acuerdo a sentido acordado. Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6] Longitud (m) 500.0 400.0 200.0 400.0 200.0 600.0 300.0 Σkm 0.0 10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Caudal (l/s)* 120 50 10 -20 10 -40 -80 *IMPORTANTE: En la suposición inicial de Caudales se debe cumplir continuidad en cada nodo. CIRCUITO I Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 1 a 2 0.2540 0.1200 2.3682 0.015686 8.8270 73.55800 2 a 5 0.1016 0.0100 1.2335 0.020456 3.1226 312.25725 5 a 6 0.2032 -0.0400 -1.2335 0.017500 -4.0070 100.17464 6 a 1 0.2540 -0.0800 -1.5788 0.016257 -2.4394 30.49261 Σ = 5.5031 516.48250 ΔQI (m3/s) = CIRCUITO II Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 2 a 3 0.1524 0.0500 2.7410 0.017312 21.2295 424.59046 2 a 5 0.1016 -0.004672 -0.5763 0.022743 -0.7579 162.21042 3 a 4 0.1016 0.0100 1.2335 0.020456 3.1226 312.25725 5 a 4 0.1524 -0.0200 -1.0964 0.018905 -3.0401 152.00743 Σ = 20.5540 1051.06557 ΔQII (m3/s) = -0.0053275 -0.0097777 I II 300 m 600 m 400 m 200 400 m 200 40 30 30 10" 4" 4" 6" 8" 5 4 6
- 3. Iteracion No. 1 (Segundo Ciclo) Haciendos las respectivas Correcciones de Caudales, tenemos: Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6] Longitud (m) 500.0 400.0 200.0 400.0 200.0 600.0 300.0 Caudal (l/s) 114.6725 40.2223 0.2223 -29.7777 14.4502 -45.3275 85.3275 CIRCUITO I Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 1 a 2 0.2540 0.11467 2.2631 0.015743 8.0896 70.54522 2 a 5 0.1016 0.01445 1.7824 0.019671 6.2698 433.88774 5 a 6 0.2032 -0.04533 -1.3977 0.017263 -5.0756 111.97601 6 a 1 0.2540 -0.08533 -1.6840 0.016156 -2.7579 32.32110 Σ = 6.5259 648.73008 ΔQI (m3/s) = CIRCUITO II Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 2 a 3 0.1524 0.04022 2.2050 0.017608 13.9303 346.33268 2 a 5 0.1016 -0.009420 -1.1620 0.020602 -2.7908 296.25286 3 a 4 0.1016 0.00022 0.0274 0.046873 0.0035 15.90487 5 a 4 0.1524 -0.02978 -1.6324 0.018096 -6.4508 216.63262 Σ = 4.6922 875.12303 ΔQII (m3/s) = Iteracion No. 2 (Tercer Ciclo) Haciendo nuevamente las respectivas Correcciones de Caudales, tenemos: Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6] Longitud (m) [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6] Caudal (l/s) 109.6427 37.5414 -2.4586 -32.4586 12.1013 -50.3573 90.3573 CIRCUITO I Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 1 a 2 0.2540 0.10964 2.1638 0.015800 7.4225 67.69734 2 a 5 0.1016 0.01210 1.4926 0.020026 4.4766 369.92476 5 a 6 0.2032 -0.05036 -1.5528 0.017076 -6.1969 123.05901 6 a 1 0.2540 -0.09036 -1.7832 0.016069 -3.0761 34.04339 Σ = 2.6261 594.72451 ΔQI (m3/s) = CIRCUITO II Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 2 a 3 0.1524 0.03754 2.0580 0.017711 12.1938 324.80966 2 a 5 0.1016 -0.009893 -1.2203 0.020482 -3.0602 309.31918 3 a 4 0.1016 -0.00246 -0.3033 0.025515 -0.2354 95.75650 5 a 4 0.1524 -0.03246 -1.7794 0.017946 -7.6010 234.17691 Σ = 1.2971 964.06225 ΔQII (m3/s) = -0.0050297 -0.0026809 -0.0022078 -0.0006727
- 4. Iteracion No. 3 (Cuarto Ciclo) Haciendo nuevamente las respectivas Correcciones de Caudales, tenemos: Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6] Longitud (m) [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6] Caudal (l/s) 107.4349 36.8687 -3.1313 -33.1313 10.5662 -52.5651 92.5651 CIRCUITO I Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 1 a 2 0.2540 0.10743 2.1203 0.015827 7.1386 66.44608 2 a 5 0.1016 0.01057 1.3033 0.020327 3.4641 327.84746 5 a 6 0.2032 -0.05257 -1.6209 0.017004 -6.7235 127.90900 6 a 1 0.2540 -0.09257 -1.8268 0.016034 -3.2211 34.79830 Σ = 0.6581 557.00084 ΔQI (m3/s) = CIRCUITO II -0.0005907 Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 2 a 3 0.1524 0.03687 2.0211 0.017739 11.7760 319.40310 2 a 5 0.1016 -0.009975 -1.2304 0.020462 -3.1082 311.58093 3 a 4 0.1016 -0.00313 -0.3862 0.024369 -0.3647 116.48025 5 a 4 0.1524 -0.03313 -1.8163 0.017911 -7.9042 238.57104 Σ = 0.3989 986.03531 ΔQII (m3/s) = -0.0002023 Iteracion No. 4 (Quinto Ciclo) Haciendo nuevamente las respectivas Correcciones de Caudales, tenemos: Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6] Longitud (m) [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6] Caudal (l/s) 106.8442 36.6664 -3.3336 -33.3336 10.1778 -53.1558 93.1558 CIRCUITO I Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 1 a 2 0.2540 0.10684 2.1086 0.015834 7.0636 66.11116 2 a 5 0.1016 0.01018 1.2554 0.020414 3.2279 317.15619 5 a 6 0.2032 -0.05316 -1.6391 0.016985 -6.8680 129.20527 6 a 1 0.2540 -0.09316 -1.8385 0.016025 -3.2605 35.00017 Σ = 0.1630 547.47280 ΔQI (m3/s) = CIRCUITO II Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij (m) (m3/s) (m/s) (m) 2 a 3 0.1524 0.03667 2.0101 0.017747 11.6517 317.77696 2 a 5 0.1016 -0.010029 -1.2370 0.020450 -3.1396 313.05248 3 a 4 0.1016 -0.00333 -0.4112 0.024094 -0.4087 122.60091 5 a 4 0.1524 -0.03333 -1.8274 0.017901 -7.9964 239.89167 Σ = 0.1070 993.32203 ΔQII (m3/s) = -0.0001489 -0.0000539
- 5. Solucion Final R/ En ambos circuitos, el criterio de correcion es pequeno, al igual que la sumatorias de perdidas, por lo cual el proceso puede parar, ya que se cumple la Ec. De Conservacion de la Energia en cada circuito. Los Resultados Finales son: Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6] Caudal (l/s) 106.70 36.61 -3.39 -33.39 10.08 -53.30 93.30 Nodo 1 2 3 4 5 6 H (m) 100.00 92.86 81.09 81.45 89.35 96.78