1. Distribucioni normal dhe
distribucioni standard normal
Ligjërata e gjashtë
1
Qëllimet e mësimit
• Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në
gjendje që të :
 Dini kakrakteristikat e distribucionit normal të
probabilitietit.
 Definoni dhe kalkuloni vlerën e t, gjegjësisht Z.
 Përcaktoni probabilitetin se një vrojtim gjindet në mes të
dy pikave duke shfrytëzuar distribucionin normal
standard (variablën e standardizuar ose devijimin e
normalizuar)
 Përcaktoni probabilitetin që një vrojtim do të jetë mbi ose
nën një vlerë të dhënë duke shfrytëzuar distribucionin
2
normal standard.

2. Variablat e rastësishme
kontinuale -Shembuj
Experimenti Variabla Vlerat e
rastesishme mundshme
Pesha e100 Njerëzve Pesha 45.1, 78, ...
Jetëgjatësia e baterive Orë 900, 875.9, ...
Shpenzimet për ushqim shpenzimet 54.12, 42, ...
Matja e kohës në Koha 0, 1.3, 2.78, ...
Mes te dy arritjeve e arritjes
3
Funksioni i probabilitetit
kontinual
1. Formulë matematikore Frekuencat
2. Paraqet të gjitha vlerat e x, & (Vlerat, Frekuencat)
Frekuencave, f(x)
 f(X) - Nuk është probabilitetit
f(x)
3. Karakteristikat
 Sipërfaqja nën lakore është 1
x
 Mund të gjinden probabilitet a b
më pak se një vlerë e caktuar
. Vlerat
4

3. Probabiliteti i variablave
të rastësishme kontinuale
Probabiliteti është P(c  x  d)
sipërfaqja nën
lakore
f(x)
X
c d
© 1984-1994 T/Maker Co.
5
Llojet e distribucionit të
variablave kontinuale
Llojet e distribucioneve kontinuale
Uniform Normal Eksponencial
6

4. Rëndësia e distribucionit
normal
Shpërndarja normale paraqet shpërndarjen teorike
të probabiliteteve më të rëndësishme për këto
arsye:
1. Një numër i madh i fenomeneve në natyrë dhe
shoqëri kanë përafërsisht shpërndarje normale.
Shembuj tipik janë: gjatësia, pesha, tensioni i
gjakut, rezultatet në testet e intelegjencës,
gabimet gjatë matjeve, etj.
7
Rëndësia e distribucionit
normal
• Në përgjithësi, nëse numër i madh i
faktorëve kanë ndikim të vazhdueshëm,
dhe ndikimi i çdo njërit prej tyre është
shumë i vogël, mund të pritet që
dukuria të ketë shpërndarje normale.
8

5. Rëndësia e distribucionit
normal
2. Shpërndarja normale mund të shërbejë si
zëvendësues i shkëlqyeshëm i
shpërndarjeve teorike diskrete, sidomos atij
të Poison-it dhe Binomial, për ato vlera të
parametrave që nuk janë të dhënë në
tabelën e probabiliteteve. Me fjalë të tjera,
shumë shpërndarje teorike diskrete, në
kushte të caktuara, tentojnë kah shpërndarja
normale.
9
Rëndësia e distribucionit
normal
3. Nga shpërndarja normale janë
formuar edhe shumë shpërndarje të
tjera të vazhdueshme, që gjithashtu
kanë rëndësi shumë të madhe në
analizën statistikore siç janë ai i
Studenti-it, Shpërndarja hi në
katror, Fisherit, etj.
10

6. Rëndësia e distribucionit
normal
4. Shpërndarja normale paraqet bazën për
nxjerrjen e konkluzioneve për parametra të
populacionit për shkak të :
a) lidhjes së saj me Teoremën Qendrore
Kufitare dhe
b) për arsye se metodat parametrike kanë
supozimin e përbashkët që tërësia prej nga
merret mostra ka shpërndarje normale.
11
Kurdo që shohim një lakore normale, mundemi që të imagjinojmë një
Bar-diagram brenda saj.
•12 •13 •14 •15 •16 •17 •18 •19 •20 •21 •22
12
•

7. Shembull: Rezultatet e një kuizi shkollor të 51 studentëve
•
•Nr studentve
•
9
•
8
7
•
6
•
5
•
4
•
3
•
2
•
1 •12 •13 •14 •15 •16 •17 •18 •19 •20 •21 •22
• •
•Rezultatet e kuizit
13
Mesatarja
12+13+13+14+14+14+14+15+15+15+15+15+15+16+16+16+16+16+16+16+1
6+17+17+17+17+17+17+17+17+17+18+18+18+18+18+18+18+18+19+19+19
+19+19+20+20+20+20+20+21+21+22=867
867/51=17
•Nr
studentv
e
•
•
9
•
8
7
•
6
•
5
•
4
•
3
•
2
•
1 •12 •13 •14 •15 •16 •17 •18 •19 •20 •21 •22
• •
•Rezultatet e kuizit
14

8. 12
13 13
Moda 14 14 14 14
15 15 15 15 15 15
16 16 16 16 16 16 16 16
17 17 17 17 17 17 17 17 17
18 18 18 18 18 18 18 18
19 19 19 19 19 19
20 20 20 20
2 121
• 22
•
9
•
8
7
•
6
•
5
•
4
•
3
•
2
•
1 •12 •13 •14 •15 •16 •17 •18 •19 •20 •21 •22
• •
•Rezultatet e kuizit
15
Mediana
12,13,13,14,14,14,14,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,16,16,16,16,17,17,17,17,17,17,17,17,17,18,18,18,18,18,18,18,18,19,19,19,19,19,1
9,20,20,20,20,21,21,22
•Nr
studentv
e
•
•
9
•
8
7
•
6
•
5
•
4
•
3
•
2
•
1 •12 •13 •14 •15 •16 •17 •18 •19 •20 •21 •22
• •
•Rezultatet e kuizit
16

9. • Nga ky shembull mund të përfundojmë se mesatarja, moda dhe
mediana do të bien në të njëjtën vlerë në distribucionin normal
•
•
9
•
8
•Nr studentve
7
•
6
•
5
•
4
•
3
•
2
•
1 •12 •13 •14 •15 •16 •17 •18 •19 •20 •21 •22
• •
•Rezultatet e kuizit
17
Shpërndarja normale
1. ‘Në formë të ziles& f(X)
Simetrike
2. Mesatarja , mediana dhe
moda janë të barabarta
3. ‘Shpërndarja mesatare ’ X
është 1.33 
4. Variabla e rastësishme Mesatarja
ka infinit vlera Mediana
Moda
18

10. Funksioni i probabiliteit-
formula matematikore
 1  x    2
1   
 
f ( x)  e  2 
 2
x = Vlera e variablës së rastësishme (- < x < )
 = Devijimi standard i popullimit
 = 3.14159
e = 2.71828
 = Mesatarja e variablës së rastësishme x
19 Mos e mbani në mend këtë formulë!
Shënimi i shpërndarjes
normale
X është N (μ, σ)
Variabla e rastësishme X ka shpërndarje
normale (N) me mesatare μ dhe devijim
standard σ.
X është N(40,1)
X është N(10,5)
X është N(50,3)
20

11. Efektet e lëvizjes së
parametrave ( & )
f(X)
B
A C
X
21
Probabiliteti i
shpërndarjes normale
Probabiliteti
është nën
lakoren
d
P(c  x  d )  ? f ( x) dx
c
?
normale!
f(x)
x
c d
22

12. Numër i pafundëm i
tabelave
Shpërndarjet normale Secila shpërndarje do
dallohen nga mesatarja dhe të kërkonte tabelën e
devijimi standard. vet.
f(X)
X
Që është numër i pafundëm i tabelave!
23
Distribucioni Normal
Standard i Probabilitetit
 Distribucioni normal me mesatare 0 dhe
devijim standard 1 quhet distribucion
standard normal i probabiliteteve.
 Vlera Z ose t: Distanca në mes të vlerës
së selektuar, e shënuar me X dhe
mesatares së populacionit, e ndarë me
devijimin standard të populacionit.
X 
Z 
24 

13. Standardizimi i
shpërndarjes normale
X  Z është N(0,1)
Z
Shpërndarja  Shpërndarja
normale normale standarde
 = 1
 X = 0 Z
25
Një tabelë!
Shembull i standardizimit
X   6.2  5
Z   .12
 10
Shpërndarja Shpërndarja normale
normale standarde
 = 10 =1
= 5 6.2 X = 0 .12 Z
26

14. Sigurimi i
probabiliteteve
Tabela e shpërndarjes
standarde normale (një pjesë)
Z .00 .01 .02 =1
0.0 .0000 .0040 .0080
.0478
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
= 0 .12 Z
0.3 .1179 .1217 .1255 Zona e hijëzuar
Probabilitetet
27
28

15. 29
Shembull
P(3.8  X  5)
X   3.8  5
Z    .12
 10
Shpërndarja Shpërndarja
normale standarde normale
 = 10 =1
.0478
3.8 = 5 X -.12  = 0 Z
30 Fusha e hijezuar

16. Shembull
P(2.9  X  7.1)
X   2.9  5
Z    .21
 10
X   7.1  5
Shpërndarj Z   .21 Shpërndarja
anormale  10 standarde normale
 = 10 =1
.1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X -.21 0 .21 Z
31 Fusha e hijëzuar
32

17. Shembull
P(X  8)
X  85
Z   .30
 10
Shpërndarja Shpërndarja
normale standarde normale
 = 10 =1
.5000
.3821
.1179
=5 8 X =0 .30 Z
33 Fusha e hijezuar
Shembull
P(7.1  X  8)
X   7.1  5
Z   .21
 10
X  85
Distribucioni Z   .30 Distribucioni
normal  10
standard normal
 = 10 =1
.1179
.0347
.0832
=5 7.1 8 X =0 .21 .30 Z
34 Fusha e hijëzuar

18. SHEMBULL praktik
• Të ardhurat mujore të posa
diplomuarve në një korporatë të
madhe kanë shpërndarje normale me
mesatare aritmetike prej µ= $2000 dhe
devijim standard prej σ= $200. Sa
është vlera e Z për një të ardhur prej
x= $2200? Për një të ardhur prej
X=$1700?
X   2200  2000
Z  1
35  200
SHEMBULL vazhdim
• Për X=$1700,
X  1700  2000
Z   1,5
 200
• Vlera Z = 1 tregon se vlera 2200$ është 1σ
mbi mesataren aritmetike prej $2000, derisa
Vlera Z=-1,5 tregon se vlera prej $1700 është
1.5 σ nën mesataren aritmetike që është
$2000.
36

19. SHEMBULL praktik.
o Përdorimi ditor i ujit për person në
komunën X ka shpërndarje normale me
mesatare 20 galon dhe me devijim
standard 5 galon.
o Rreth 68% e shfrytëzuesve të ujit në
komunën X gjendet në mes të cilave
vlera?
  1  20  1(5).
o Për këtë, rreth 68% e shfrytëzuesve
ditor të ujit do të jetë ndërmjet 15 dhe
25 galon.
37
SHEMBULL 3
 Sa është probabiliteti që një person i
zgjedhur rastësisht nga komuna përdorë
më pak se 20 galon ujë brenda ditës.
Vlera e Z: Z=(20-20)/5=0. Kështu,
P(X<20)=P(Z<0)=0.5
 Sa përqind përdorin në mes të 20 dhe 24
galon?
Vlera e Z e lidhur me X=20 është Z=0
dhe me X=24, Z=(24-20)/5=0.8. Kështu,
P(20<X<24)=P(0<Z<0.8)=28.81%
38

20. •r
SHEMBULL -vazhdim
•a •l • •i •t •r •b •u •i •o •n •: •  • •= •0 •, • • •
• •0 •. •4
•0 •. •3
P(0<Z<0.8)
=0.2881
•0 •. •2
•0<X<0.8
•f •( •x
•0 •. •1
•. •0
•- •5
• -4 -3 -2 -1 •x
0 1 2 3 4
39
Konceptet kyçe
1. Variabla e rastësishme kontinuale
2. Shpërndarja normale
3. Shpërndarja standarde normale
4. Sipërfaqja nën lakoren normale
5. Shpërndarja simetrike
6. Probabilitet e shpërndarjes normale
40