Este documento presenta los conceptos de determinantes, menores y cofactores de matrices. Explica cómo calcular el determinante de una matriz 2x2 como el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. También define menores como el determinante de una submatriz obtenida al eliminar una fila y columna, y cofactores como el menor multiplicado por (-1) elevado a la suma de la fila y columna. Finalmente, muestra cómo evaluar determinantes utilizando cofactores.

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Determinantes
Sistemas de
ecuaciones lineales
1

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Evaluar determinantes de matrices de dimensión 2 × 2.
Evaluar el menor de un elemento en una matriz.
Evaluar el cofactor de un elemento en una matriz.
Evaluar determinantes utilizando menores y cofactores.
Aplicar determinantes para hallar algún elemento de una matriz.
2
Objetivos

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A cada matriz cuadrada se le asocia un
número llamado determinante de , que se
denota con .
3
Determinante de una matriz
Definición del determinante de una matriz 2 × 2
= = −
El determinante de una matriz 2 × 2 es el producto de los
elementos de la diagonal principal menos el producto de los
elementos de la diagonal secundaria.

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= 22
Nota:
El determinante de una matriz 2 × 2 es el producto de los elementos de la
diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
= 10 − −12−3 4−−5 −2=
−5 4
−3 −2
=
= −2= −6 − −4−2 −32 −1
4 −3
= 4 −1
Ejemplo:
Si =
2 −1
4 −3
y B =
−5 4
−3 −2
encuentre:
=
4
Determinante de una matriz

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Práctica
5
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 1

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Práctica:
Si =
3 2
2 −4
y B =
2 −4
−3 5
encuentre:
=
=
Nota:
El determinante de una matriz 2 × 2 es el producto de los elementos de la
diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
6
Determinante de una matriz

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Práctica:
Si =
−3 2
−2
y su determinante es −8, encuentre .
7
Determinante de una matriz

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Definición de menores
Sea = una matriz cuadrada de orden > 1.
El menor del elemento es el determinante
de la matriz de orden − 1 obtenida al eliminar la
fila columna .
Matriz
=
Menor
=
· − ·
8
Menores

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2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= (−2)
Para hallar el menor del elemento que
ocupa la posición fila 1 columna 2 se elimina
la fila 1 y la columna 2 de la matriz A.
Luego se forma un determinante menor
(determinante de dimensión 2 2) su valor
es el producto de los elementos de la
diagonal principal menos el producto de los
elementos de la diagonal secundaria.
=
−2 2
−1 1
− −2
= 0
Solución:
Ejemplo:
Dado la matriz =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
, determine:
9
Menores

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Práctica
10
Buscar el Manual de práctica
Hacer ejercicio 3 de la página 2

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Práctica:
Dado la matriz =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
, determine:
11
Menores

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Matriz
= −1
= −1
Cofactor
= 1 · − ·
12
Cofactores
Definición de cofactores
Sea = una matriz cuadrada de orden > 1.
El cofactor del elemento es = −1

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= 2
13
Cofactores
= 1 2 − 0
2 0
−1 1= −1
!
= −1
Ejemplo:
Dado la matriz =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
, determine:
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
Solución: Para hallar el cofactor del elemento que
ocupa la posición fila 2 columna 2 se eleva
negativo uno a la potencia que sume la fila
2 y la columna 2 que es cuatro. Luego se
multiplica por el menor del elemento que
esta en la fila 2 columna 2. Este se
obtienen eliminando la fila 2 y la columna 2
de la matriz A y se forma un determinante
menor (determinante de dimensión 2 2).
Finalmente se calcula su valor.

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Práctica
14
Buscar el Manual de práctica
Hacer ejercicio 4 de la página 2

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Práctica:
Dado la matriz =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
, determine:
15
Cofactores

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir
como producto de los elementos alineados.
3. Sustituir y calcular los cofactores correspondientes.
= = ( ) + ( ) + ( )
= −1 + −1 +( )
Procedimiento
Evaluar el determinante =
−1
( ) ( ) ( )

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Evaluar determinantes (cofactores)
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
=
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1+ (1)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1+ (1)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1+ (0)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1+ (0)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1
2 0
−2 2
+ (0)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1
2 0
−2 2
+ (0)
= −3 −1 (−2 − −2 )
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1
2 0
−2 2
+ (0)
= −3 −1 (−2 − −2 ) −1 !+ (1) (2 − 0)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1
2 0
−2 2
+ (0)
= −3 −1 (−2 − −2 ) −1 !+ (1) (2 − 0) −1 #+ (0) (4 − 0)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1
2 0
−2 2
+ (0)
= −3 −1 (−2 − −2 ) −1 !+ (1) (2 − 0) −1 #+ (0) (4 − 0)
= −3 −1 (0)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1
2 0
−2 2
+ (0)
= −3 −1 (−2 − −2 ) −1 !+ (1) (2 − 0) −1 #+ (0) (4 − 0)
= −3 −1 (0) 1+ (1) (2)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1
2 0
−2 2
+ (0)
= −3 −1 (−2 − −2 ) −1 !+ (1) (2 − 0) −1 #+ (0) (4 − 0)
= −3 −1 (0) 1+ (1) (2) −1+ (0) (4)
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1
2 0
−2 2
+ (0)
= −3 −1 (−2 − −2 ) −1 !+ (1) (2 − 0) −1 #+ (0) (4 − 0)
= −3 −1 (0) 1+ (1) (2) −1+ (0) (4) = 0 + 2 + 0
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Evaluar determinantes (cofactores)
1. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados.
2. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como
producto de los elementos alineados.
3. Escribir, sustituir, calcular los cofactores y completar las operaciones.
(−3) + (1) + (0)=
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1
= ( ) ( ) ( )
= −3 −1
−2 2
−1 1
−1
2 0
−1 1
+ (1) −1
2 0
−2 2
+ (0)
= −3 −1 (−2 − −2 ) −1 !+ (1) (2 − 0) −1 #+ (0) (4 − 0)
= −3 −1 (0) 1+ (1) (2) −1+ (0) (4) = 0 + 2 + 0 = 2
Solución
Ejemplo:
Evaluar el determinante utilizando cofactores =
2 −3 0
−2 1 2
−1 0 1

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Práctica
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 3

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Evaluar determinantes (cofactores)
Práctica:
Evaluar el determinante =
1 4 −3
−2 0 1
0 3 2
.

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Esta es una muestra de algunas páginas de la
presentación Determinantes. Si deseas la presentación
completa la puedes obtener en matematicaspr.com.
Espero que esta muestra ayude a aclarar sus dudas de
los determinantes.