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C nica 2.3
- 1. 2.3 Determine a curva representada pela equação dada.
148442 22
−=−−−− yxyxyx (1)
• Reescrevendo (1) como:
14−=+ KXAXX t
(2); Onde:
−−
−
=
12
22
A
=
y
x
X [ ]84 −−=K
• Autovalores de A :
−=
=
⇒=−−=
−−−
−−
2
3
)(6
12
22
2
12
λ
λ
λλλ
λ
λ
p
• Autoespaço associado a 1λ :
−−
−−
=
−−−
−−
=⋅−
42
21
12
22
)(
1
1
21
λ
λ
λ IA
Soluções do seguinte sistema:
( ) }{ RS ∈−=⇒
−
=⇒=+⇒
=
⋅
−−
−−
ααα
α
ββα
β
α
;,2
2
02
0
0
42
21
• Autoespaço associado a 2λ :
−
−
=
−−−
−−
=⋅−
12
24
12
22
)(
2
2
22
λ
λ
λ IA
Soluções do seguinte sistema:
( ) }{ RS ∈=⇒=⇒=−⇒
=
⋅
−
−
βββ
β
αβα
β
α
;2,
2
02
0
0
12
24
• Substituindo α por 1− e β por 1, encontra-se dois autovetores, 1
→
V
e 2
→
V , associados à 1λ e 2λ , respectivamente:
( )[ ]1;21 −=
→
V ; ( )[ ]2;12 =
→
V
• Normalizando 1
→
V e 2
→
V :
−
=
−
=→
→
5
5
;
5
52
5
1
;
5
2
|||| 1
1
V
V
;
=
=→
→
5
52
;
5
5
5
2
;
5
1
|||| 2
2
V
V
• Definindo P , D e X ′ :
Matriz dos autovetores de A (gera yx ′′ - rotação anti-horária: 0det > ):
−
=
= →
→
→
→
55552
55255
||||
,
|||| 1
1
2
2
V
V
V
V
P ;
- 2. Matriz diagonal dos autovalores (com 1λ e 2λ posicionados de acordo com
os autovetores em P ):
−
==
=
30
02
0
0
1
2
APPD t
λ
λ
;
Matriz X ′ :
XPX ′= , onde:
′
′
=′
y
x
X .
• Substituindo os dados acima em (2):
14)()( −=′+′′=′+′⋅⋅′=′+′⋅′ XKPXDXXKPXAPPXXKPXAPXP tttt
• Voltando à forma não-matricial:
[ ] [ ] 14
55552
55255
84
30
02
−=
′
′
⋅
−
⋅−−+
′
′
⋅
−
⋅′′
y
x
y
x
yx
Realizando as operações:
145432
5
20
32
5
8
5
8
5
16
5
4
32 222222
−=′−′+′−=′−′+′−=′−′+′−′−′+′− xyxxyxyyxxyx
Completando o quadrado:
( )
( )
( ) 24352
143552
143522
145432
22
22
22
22
−=′++′−
−=′+
−+′−
−=′+′+′−
−=′−′+′−
yx
yx
yxx
xyx
• Substituindo ( )5+′x por x ′′ e y′ por y ′′ :
2432 22
−=′′+′′− yx
1
812
22
=
′′
−
′′ yx
• Tem-se uma hipérbole com as seguintes características no sistema de
coordenadas yx ′′′′ :
Focos:
( )0,20 e ( )0,20−
Assíntotas:
xy ′′=′′
4
3
e xy ′′−=′′
4
3