Teoría de errores

1. Hector Parra ci_ V-23.482.096
Teoría de Errores
La teoría de errores es una ciencia fundamental para todas las materias donde se manejan y
analizan grandes volúmenes de datos provenientes de observaciones directas o mediciones
realizadas en laboratorio o trabajos de campo, tales como los que se desarrollan en topografía,
geodesia, física, química y sobre todo estadística.
Esta ciencia, parte de la estadística, fue desarrollada por el matemático alemán Karl Friedrich
Gauss a partir de sus estudios algebraicos y complementada luego por el inglés Sir Isaac
Newton quien aplica su teoría del análisis matemático a la estadística y mas tarde por el
francés Pierre Simon Laplace quien con su teoría de las probabilidades le da a la estadística
y la teoría de errores carácter de ciencia.
Existen varios procedimientos para cumplir los objetivos de la teoría de errores, algunos
incluyen procedimientos propios del análisis matemático, como integrales, derivadas,
logaritmos Neperianos, etc. no parece ser necesario en estos apuntes tal profundización sobre
un tema que no reviste capital importancia para las prácticas topográficas, por lo que solo se
verá una versión básica del tema, que se adecua al tema predominante en el ámbito
topográfico, la medición en todos sus aspectos. No obstante en el CD de este apunte se puede
encontrar una versión mas completa de esta teoría, para quien quiera profundizar en el tema.
Cuando se efectúa la medición de una distancia para conocer su magnitud, solo se obtiene un
valor aproximado de la misma, debido a variadas causas y efectos que afectan a todas las
mediciones por lo que es imposible conocer con certeza y perfección la verdadera magnitud
medida y el error que se ha cometido al hacerlo. Es objetivo de la teoría de errores hallar el
valor mas cercano posible al verdadero de la magnitud que medimos y el error que hemos
cometido durante el trabajo de campo.
• En la vida cotidiana la mayoría de las personas están acostumbradas a contar, pero no
así a realizar mediciones.
• La cantidad de personas presentes en este salón son p. e. 23, 33, 36 y no 32.9
• La topografía se encarga de medir cantidades cuyo valor exacto o verdadero no se
puede determinar, como el caso de distancias, elevaciones, volúmenes.
Aunque nunca se conocer el valor exacto de una cantidad que se mide, podemos saber de
forma exacta cual debe ser la suma de un grupo de mediciones, p. e. la suma de los 3 ángulos
internos de un triángulo debe ser igual a 180º, y la suma de los 4 ángulos internos de un
rectángulo debe ser 360º y así sucesivamente.
Sin embargo, se debe tener habilidad para ejecutar mediciones precisas, esto resulta obvio
cuando pensamos en largos puentes, túneles, edificios altos, etc.; pero también es necesario
la precisión en los levantamientos topográficos.

2. Causas de los errores
Son numerosas pero solo nombraremos las más importantes:
Indeterminación de los extremos de la magnitud a medir (por ej. el ancho de una calle sin
líneas municipales perfectamente determinadas o el ángulo o la distancia determinada por
dos señales muy gruesas).
Limitaciones de nuestros sentidos, principalmente el de la vista, cuya acuidad visiva es de
aproximadamente 00° 01' 00"; disminuyendo con la edad o enfermedades.
Imperfección o inadecuación de los instrumentos utilizados, tanto por fabricación, malos
tratos, falta de mantenimiento, o razones económicas.
Condiciones psicofísicas del operador como ser cansancio, estrés, enfermedades, apuro y
porque no falta de responsabilidad o experiencia.
Imprecisión intrínseca de los métodos de cálculo, como cuando se utilizan calculadoras y la
cantidad de decimales no son suficientes para las precisiones requeridas.
Condiciones atmosféricas adversas que puedan alterar los resultados de las mediciones.
Tipos de errores
Errores groseros o equivocaciones: Se deben a inexperiencia o irresponsabilidad del
operador. En general su valor absoluto es grande y por lo tanto fácil de localizar dentro de
una serie de mediciones. Las observaciones que han dado origen a estos valores se
descartan ya que no pueden ser tenidas en cuenta para el cálculo pues harían decaer
estrepitosamente la precisión.
Errores sistemáticos: Tienen su origen en causas permanentes y por lo tanto actúan siempre
con el mismo signo y módulo. Son ocasionados por imperfecciones de los instrumentos, por
factores meteorológicos o por la llamada "ecuación personal del operador" tendencia de cada
operador a “redondear” las mediciones hacia abajo o hacia arriba, también forma de
posicionarse frente al instrumento, acuidad visiva individual y formas características de
bisectar, nivelar, etc.
En general se los puede calcular con suficiente precisión y por lo tanto anular. Tampoco son
tenidos en cuenta para el cálculo.
Errores Accidentales: Son aquellos que responden únicamente a las leyes del azar,
absolutamente fortuitos, se encuentran presentes en todo tipo de mediciones, pueden ser tanto
positivos como negativos, y en grandes series tienden a anularse entre sí.
Por su imponderabilidad se los denomina también casuales o irregulares, y de ellos se ocupa
fundamentalmente la teoría de errores.

3. No obstante su irregularidad cumplen con ciertas pautas como lo ha demostrado la
experiencia, estas son:
Los errores positivos y negativos de un mismo módulo se producen con igual probabilidad.
Los errores pequeños se producen con mayor frecuencia que los errores grandes.
Ejemplos
Calcular el error aparente de las siguientes mediciones.
05,030,1025,10
05.020,1025,10
25,10
2
30,1020,10
2
1







x
1
2



n


l
1
=10,20m l
2
=10,30m
• Error estándar (σ) y varianza (σ
2
)
Son términos estadísticos que se emplean para expresar la
precisión de unos grupos de medidas. La ecuación de ladesviación
estándar es:
σ es la desviación estándar
error aparente
es la suma de los cuadrados de los residuos individuales
n es el número de observaciones
La varianza es igual a σ
2
, el cuadrado de la desviación estándar.

4. Otro ejemplo es el caso en que se cuenta la cantidad de partículas alfa emitidas por una fuente
radioactiva en un intervalo de cinco segundos. Sucesivas mediciones arrojarán diversos
resultados (similares, pero en general distintos). En este caso, de nuevo, estamos frente a una
manifestación de una incertidumbre intrínseca asociada a la magnitud “número de partículas
emitidas en cinco segundos”, más que a las incertidumbres que tienen como origen las
imperfecciones de los instrumentos o del observador. Todas estas limitaciones derivan en
que no podamos obtener con certeza “el” valor de un mesurando, sino que solo podamos
establecer un rango posible de valores donde pueda estar razonablemente contenido, lo que
hacemos evaluando e informando la incertidumbre de la medición.
Una forma de expresar el resultado de una medición es con la notación x ± ∆x (1.2) e
indicando a continuación la unidad de medición. Además de la incertidumbre absoluta ∆x se
definen: la incertidumbre relativa o error relativo: x x x ∆ ε = , que expresa cuán significativa
es la incertidumbre comparada con el valor medido, la incertidumbre relativa porcentual o
error relativo porcentual: ε % = ε x 100% . Estas dos últimas cantidades son más descriptivas
de la calidad de la medición que el error absoluto. El siguiente ejemplo puede hacer más claro
este punto; imaginemos que medimos, con una regla graduada en milímetros, la longitud (l)
y diámetro (d) de una mina de lápiz. Si suponemos que dicha mina tiene aproximadamente l
≈20 cm y d ≈1 mm respectivamente, dado que la apreciación nominal de la regla es de 1 mm,
ambas magnitudes tendrán el mismo error absoluto (∆d ≈ ∆l ≈1 mm). Sin embargo, es claro
que la medición de la longitud de mejor calidad que la del diámetro ya que ∆d/d ≈ 100% y
∆l/l ≈ 5%.
Se realizaron mediciones del radio de la Tierra RT, su distancia al Sol dST y la distancia Sol-
Marte dSM. Los resultados fueron:
I. RT = (6.38 ± 0.02) x 106 m II. dST = (1.50 ± 0.02) x 1011 m III. dSM = (2.28 ± 0.02 )
x1011 m Experimentos de Física – S.Gil 2011 6
A) Compare los errores absolutos y relativos de estas mediciones ¿Cuál de todas estas
mediciones tiene “mejor calidad”? ¿Cuál es el parámetro que se ha medido con mayor
precisión? Los errores relativos y absolutos para cada caso son:
I. .0 003 .6 38 .0 02 = ≈ ∆ T T R R o sea ε RT ≈ 3.0 % y ∆RT=2x104 m II. .0 01 5.1 .0 02 =
≈ ∆ ST ST R R o sea ε RST ≈1% y ∆RST=2x109 m III. .0 009 .2 28 .0 02 = ≈ ∆ SM SM R
R o sea ε SM ≈ 9.0 % y ∆RSM=2x109 m
El radió de la Tierra es el parámetro que tiene “mejor calidad” ya que su error relativo es el
menor de los tres. También este parámetro, RT, es el que fue medido con mayor precisión,
ya que tiene menor error absoluto.