1. 9.2 MA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
PRISMA RECTOPRISMA RECTO
Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a
las bases.
Área de la Superficie Lateral: ASL = (2pBASE)aL
Área de la Superficie Total: AST = ASL + 2ABASE
Volumen: V = (ABASE) aL
Observación:
Si las bases de un prisma recto son regiones limitadas
por polígonos regulares, entonces se trata de un prisma
regular.
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR,PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR,
ORTOEDRO O RECTOEDROORTOEDRO O RECTOEDRO
Es un paralelepípedo recto cuyos bases son
rectángulos. En consecuencia, las seis caras son
rectángulos.
Área de la Superficie Lateral: ASL = 2ac + 2bc
Área de la Superficie Total: AST = 2ac + 2bc + 2ab
Volumen: V = abc
Diagonal: D2
= a2
+ b2
+ c2
CILINDRO CIRCULAR RECTOCILINDRO CIRCULAR RECTO
Denominado también “cilindro de revolución” debido a
que puede generarse por una región rectangular al girar
una vuelta en torno a uno de sus lados.
En forma práctica se dice que un cilindro se desarrolla
en una región rectangular y dos círculos, aquí mostramos
entonces el desarrollo de su superficie lateral.
Área de la Superficie Lateral: ASL = 2πrg
Área de la Superficie Total: AST 2πr (g + r)
Volumen: V = π r2
g
PIRÁMIDE REGULARPIRÁMIDE REGULAR
Es la pirámide recta que tiene la base limitada por un
polígono regular.
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
A
B C
D
A´
F´ E´
D´
B´
EF
P
aL
C´
h
r
360°
g
r
r
g
r
g
2πr
a
b
c
D
A
B C
D
H
E
F
V
O
ap
h

2. Sólidos Geométricos
O : centro de la base
VH : apotema de la pirámide
Área de la Superficie Lateral: ASL = (pbase) . ap
Área de la Superficie Total: AST = ASL + ABASE
Volumen: V =
3
hABASE
Observaciones:
 En una pirámide regular las aristas laterales tienen
longitudes iguales.
 En la pirámide regular la altura de la cara lateral
trazada del vértice de la pirámide se denomina
apotema.
 En la pirámide regular las caras laterales son
congruentes.
CONO CIRCULAR RECTOCONO CIRCULAR RECTO
Denominado también “cono de revolución” debido a
que puede generarse por una región triangular recta al
girar una vuelta en torno a uno de sus catetos.
Para calcular el área de la superficie lateral ésta se
desarrolla como un sector circular.
Área de la Superficie Lateral: ASL = π r g
Área de la Superficie Total: AST = π r (g + r)
Volumen: V =
3
hr2
π
Observaciones
 Un cono se denomina equilátero si es revolución y la
generatriz tiene la misma longitud que el diámetro de
la base.
 El desarrollo de la superficie lateral de un cono
equilátero es un semicírculo.
ESFERAESFERA
Es el sólido limitado por una superficie esférica, la cual
se define como el conjunto de todos los puntos del espacio
que equidistan de un punto fijo denominado centro.
La distancia de todo punto de la superficie esférica al
centro se denomina radio.
 Un plano secante a una esfera determina en ella un
círculo, al cual se le denomina máximo si contiene al
centro de la esfera y menor en otro caso.
V =
3
4
π R3
ASE = 4π R2
1. La base de un prisma triangular regular es inscriptible
en una circunferencia de radio igual a 8 3 cm. Si la
altura del prisma es el doble del apotema de la base,
hallar el área lateral del sólido.
2. La base de un prisma recto de 6 m de altura es un
rectángulo que tiene uno de sus lados el doble del
otro. Si su área total es 144 m2
, hallar la diagonal del
sólido.
3. Tres caras de una caja rectangular tienen áreas
iguales a 49 cm2
, 64 cm2
y 9 cm2
. Hallar el volumen de
la caja.
- 2 -
R
R
O
círculo
máximo
g
r
O
h
r
g
360°
h

3. Sólidos Geométricos
4. Se tiene una hoja rectangular de 5 cm de ancho y 6
cm de largo. Se construye una caja abierta, cortando
en las esquinas cuadrados de 1 cm de lado. Hallar la
capacidad de la caja.
5. La altura de un cilindro recto mide 6 m y el área lateral
36 π m2
. Hallar su volumen.
6. ¿Cuánto mide el radio de la base de un cilindro, si su
altura es 2 cm y su área lateral es 6 π cm2
?
7. En un cilindro recto el área lateral es igual al área de
la base. Si el radio de la base es 8 m, hallar el
volumen del cilindro.
8. Un vaso cilíndrico de diámetro “d” y altura “h” está
lleno de agua. Si se vierte el contenido en otro vaso
de diámetro “2d”, ¿hasta qué altura subirá el agua?
9. Se tiene una pirámide cuadrangular regular cuyo
apotema mide 12 y cuya altura mide 6 2 .
Determinar el volumen de la pirámide.
10. Se ha construido un cono con un sector circular de
120° y radio R y un círculo base de radio r. ¿En qué
relación están los radios r y R?
11. Dado un trapecio rectangular ABCD (recto en A y D),
de lados: AB = 3, BC = 10 y CD = 9, determinar el
volumen del sólido generado por la rotación completa
del trapecio alrededor del lado AD .
12. Un triángulo isósceles de base 6 m y altura 3 m gira
alrededor de una perpendicular a la base, levantada
desde uno de sus extremos. Calcular el volumen del
sólido generado.
13. Hallar el volumen de la esfera inscrita en un cono de
6 cm de radio y 10 cm de generatriz.
14. Determinar el volumen de una esfera inscrita en un
cubo de área lateral igual a 24 cm2
.
1. La diagonal de un paralelepípedo rectángulo es 5 2
m. Sabiendo que sus dimensiones están en
progresión aritmética de razón 1, hallar el volumen del
sólido.
A) 80 m3
C) 70 m3
E) 50 m3
B) 60 m3
D) 40 m3
2. Se tiene un prisma de base cuadrangular regular cuya
área lateral es 48 m2
. y el área de la base igual a 4 m2
,
calcular el volumen del prisma.
A) 24 m3
C) 16 m3
E) N.A.
B) 12 m3
D) 18 m3
3. Se tiene un ladrillo que pesa 4 kg. Si todas sus
dimensiones fueran reducidas a un quinto de su actual
magnitud, el ladrillo pesaría:
A) 800 gr C) 160 gr E) N.A.
B) 1 kg D) 32 gr
4. Cada vez que Jorgito se mete a la tina, el nivel del
agua sube 10 cm. Si la tina mide 1,5 m por 1 m, hallar
el volumen de Jorgito.
A) 15 m3
C) 7500 cm3
E) 150 m3
B) 1,5 m3
D) 150,000 cm3
5. Las áreas de 3 caras de un paralelepípedo rectangular
son 6, 12 y 8 cm2
. Su volumen será:
A) 36 cm3
C) 12 cm3
E) 48 cm3
B) 24 cm3
D) 72 cm3
6. La altura de un prisma recto mide 8 m; su base es un
rectángulo, en el que uno de sus lados es 3/4 del otro.
Si el área total es 552 m2
¿cuál es la longitud de una
de las diagonales del prisma?
A) 6 m B) 9 m C) 12 m D) 17 m E) 18 m
7. Se tiene una pirámide regular inscrita en un cubo de
arista “a”. Se pide hallar el apotema de la pirámide.
A) 2 a/2 C) a E) a/3
B) 3 a/2 D) 5 a/2
8. El volumen de una pirámide regular de base cuadrada
de 16 cm de lado es 1280 cm3
. Hallar el área total de
la pirámide.
A) 546 cm2
C) 834 cm2
E) 724 cm2
B) 800 cm2
D) 624 cm2
9. El área lateral de una pirámide regular cuadrangular
es de 36 m2
. Si el apotema de la pirámide mide 2
veces el radio del círculo que circunscribe a la base,
hallar el lado de la base.
A) 3 m C) 9 m E) 3 2 m
B) 4 m D) 9 2 m
- 3 -

4. Sólidos Geométricos
10. La base de una pirámide regular es un cuadrado de
lado 12 y el apotema de la pirámide mide 10. Hallar el
área total de la pirámide.
A) 448 B) 328 C) 336 D) 192 E) 384
11. Calcular el volumen de una pirámide hexagonal
regular, sabiendo que las aristas laterales miden el
doble del lado de la base. El lado de la base es “a”.
A)
2
a3 3
C)
2
a4 3
E)
2
a7 3
B)
2
a5 3
D) a3
12. Hallar el volumen del cilindro mostrado en la figura; si
AO = 4 m y m∠OAB = 30°, siendo “O” el centro del
círculo de la base.
A) 12 π m3
B) 4 3 π m3
C) 16 π m3
D) 8 3 π m3
E) 10 π m3
13. En un cilindro circular recto de 6 cm de radio, que
contiene agua. Se introduce una esfera de plomo de
3 cm de radio. ¿En cuánto sube el nivel del agua en el
cilindro?
A) 0,5 cm C) 1 cm E) 2,5 cm
B) 2 cm D) 3 cm
14. En la figura ABCD es un paralelogramo donde: m∠A
=135°, AB = 4 y AD = 8. Calcular el volumen del sólido
generado por el paralelogramo cuando gira alrededor
de BC .
A) 30 π
B) 32 π
C) 64 π
D) 96 π
E) 128 π
15. Si se hace rotar un rectángulo de lados “a” y “b”
alrededor del lado “b” se genera un cilindro. Si se le
hace rotar alrededor del lado “a” se genera otro
cilindro. Hallar la relación de volúmenes de ambos
cilindros.
A) 1 / ab C) (a + b) / b E) 2 / ab
B) a / b D) (a – b) / b
16. En la figura, se muestra un cilindro de revolución con
generatriz PH = 3 m “O” es el centro de la base. Si
la distancia de H a PO es 1 m, calcular el volumen
del cilindro.
A) 3 3 π / 2 m3
B) 2 3 π m3
C) 3 π / 3 m3
D) 3 π / 2 m3
E) 3 3 π m3
17. El volumen de un cono circular recto de diámetro 32 m
es 1024 π m3
. Hallar el área total del cono.
A) 576 π m2
C) 432 π m2
E) 360 π m2
B) 320 π m2
D) 288 π m2
18. Determinar el volumen de un cono recto de radio igual
a 8, si su generatriz forma un ángulo de 60° con la
base.
A) 512
3
3
C) 512 π
3
3
E) 256 π
2
3
B) 256
3
3
D) 256 π
3
3
19. Se tiene un cono cuyo volumen es igual al de un cubo
de 24 cm2
de área total. Determinar el volumen del
cono.
A) 6 cm3
C) 8 cm3
E) 24 cm3
B) 9 cm3
D) 8/3 cm3
20. En un cono recto la relación entre el área lateral y el
área de su base es 5/3. Si el área total es 24 π m2
,
hallar el volumen del cono.
A) 5 π m3
C) 15 π m3
E) 12 π m3
B) 3 π m3
D) 9 π m3
21. El diámetro de la base de un cono recto de revolución
mide 20 cm. Si las generatrices forman un ángulo de
60° con el plano de la base, encontrar el área total del
cono.
A) 150 π cm2
C) 300 π cm2
E) 500 π cm2
B) 200 π cm2
D) 400 π cm2
22. Un cono y un cilindro tienen iguales bases y altura.
¿En qué proporción están sus volúmenes?
A) 3 : 1 B) 2 : 1 C) 1,5 : 1 D) 4 : 3 E) 1 : 3
- 4 -
A
BO
A
B
C
D
P
HO

5. Sólidos Geométricos
23. La generatriz de un cono circular recto es el doble del
diámetro. Su área total es de 80π cm2
. Calcular la
longitud de la generatriz.
A) 4 cm C) 8 cm E) 16 cm
B) 6 cm D) 10 cm
24. Un cono es tal que visto de frente se ve como un
triángulo equilátero de lado “a”. Calcular el volumen
del cono.
A) π a3
/ 12 C) π a3
3 / 24 E) π a3
3 / 8
B) π a3
3 / 12 D) π a3
/ 24
25. Hallar el volumen del sólido generado por la rotación
de un trapecio isósceles ABCD, alrededor de un base
mayor AD , si AB = BC = CD = a y AD = 2a.
A) 4 π a3
C) 4 π a3
/ 3 E) 2 π a3
B) π a3
D) 8 π a3
/ 3
26. Hallar el volumen de un cono inscrito en un cubo cuya
diagonal mide 3 .
A) 2 π / 3 C) π / 4 E) π / 12
B) π / 3 D) π / 6
27. Una cuerda del círculo base de un cono circular recto
de 4 m de altura mide 8 m. Si la distancia de la cuerda
al centro del círculo es 2 m, ¿cuánto mide la
generatriz?
A) 12 cm B) 8 cm C) 6 cm D) 4 cm E) 3 cm
28. Un cono recto de 24 m de altura tiene un punto M
sobre su generatriz que dista 10 m del vértice y 6 m
de la altura. Determinar el volumen del cono.
A) 324 π m3
C) 2540 π m3
E) 2592 π m3
B) 864 π m3
D) 432 π m3
29. El diámetro de una esfera mide 60 cm. ¿Cuál es el
diámetro de la base de un cono de igual volumen,
cuya altura es 30 cm?
A) 0,60 m C) 1,60 m E) 3,20 m
B) 1,20 m D) 2,40 m
30. Se tiene una esfera inscrita en una semiesfera de
radio “R”. ¿En qué relación se encuentran las áreas
totales de la esfera y la semiesfera?
A) 1 : 2 B) 1 : 2 C) 1 : 4 D) 1 : 3 E) 1 : 3
31. ¿En qué relación se encuentran las áreas totales de
una esfera y una semiesfera del mismo radio?
A) 5 : 3 B) 2 : 1 C) 3 : 2 D) 3 : 1 E) 4 : 3
32. ¿Cuál es el área total de una esfera circunscrita a un
cubo de 6 3 m de arista?
A) 162 π m2
C) 324 π m2
E) 360 π m2
B) 81 π m2
D) 486 π m2
33. ¿Cuál es el volumen de una esfera inscrita en un cubo
de 6 m de arista?
A) 48 π cm3
C) 36 π cm3
E) 18 π cm3
B) 24 π cm3
D) 12 π cm3
34. Hallar la relación de volúmenes entre un cubo y la
esfera inscrita.
A) π / 6 C) π / 3 E) 3π / 2
B) 2 / 3π D) 6 / π
35. La sección máxima de una esfera tiene un área S.
¿Cuál es el área total resultante al partir dicha esfera
en dos pedazos iguales?
A) S B) 2 S C) 3 S D) 4 S E) 6 S
36. Una esfera de radio igual a 3 cm tiene el mismo
volumen que un cono circular recto cuyo radio de la
base es 2 cm. Hallar la altura del cono.
A) 12 cm C) 24 cm E) 27 cm
B) 48 cm D) 36 cm
37. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro recto.
Hallar la relación entre el volumen de la esfera y el
volumen del cilindro.
A) 4 / 9 B) 2 / 5 C) 1 / 4 D) 2 / 3 E) 1 / 3
38. Calcular el área de la esfera circunscrita a un cubo, si
el área de la esfera inscrita es igual a 60.
A) 120 B) 60 C) 180 D) 240 E) 320
39. Un barquillo tiene la forma de un cono de 12 cm de
altura y 6 cm de radio. Se llena el barquillo de helado
de modo que la porción de helado exterior al barquillo
sea una semiesfera. Hallar el volumen del helado.
A) 144 π cm3
C) 180 π cm3
E) 288 π cm3
B) 72 π cm3
D) 360 π cm3
40. Calcular el área total de un cono recto, si el diámetro
de su base mide 20 m y las generatrices están
inclinadas 60° con respecto a la base.
A) 400 π m2
C) 150 π m2
E) 200 π m2
B) 500 π m2
D) 300 π m2
- 5 -

6. Sólidos Geométricos
23. La generatriz de un cono circular recto es el doble del
diámetro. Su área total es de 80π cm2
. Calcular la
longitud de la generatriz.
A) 4 cm C) 8 cm E) 16 cm
B) 6 cm D) 10 cm
24. Un cono es tal que visto de frente se ve como un
triángulo equilátero de lado “a”. Calcular el volumen
del cono.
A) π a3
/ 12 C) π a3
3 / 24 E) π a3
3 / 8
B) π a3
3 / 12 D) π a3
/ 24
25. Hallar el volumen del sólido generado por la rotación
de un trapecio isósceles ABCD, alrededor de un base
mayor AD , si AB = BC = CD = a y AD = 2a.
A) 4 π a3
C) 4 π a3
/ 3 E) 2 π a3
B) π a3
D) 8 π a3
/ 3
26. Hallar el volumen de un cono inscrito en un cubo cuya
diagonal mide 3 .
A) 2 π / 3 C) π / 4 E) π / 12
B) π / 3 D) π / 6
27. Una cuerda del círculo base de un cono circular recto
de 4 m de altura mide 8 m. Si la distancia de la cuerda
al centro del círculo es 2 m, ¿cuánto mide la
generatriz?
A) 12 cm B) 8 cm C) 6 cm D) 4 cm E) 3 cm
28. Un cono recto de 24 m de altura tiene un punto M
sobre su generatriz que dista 10 m del vértice y 6 m
de la altura. Determinar el volumen del cono.
A) 324 π m3
C) 2540 π m3
E) 2592 π m3
B) 864 π m3
D) 432 π m3
29. El diámetro de una esfera mide 60 cm. ¿Cuál es el
diámetro de la base de un cono de igual volumen,
cuya altura es 30 cm?
A) 0,60 m C) 1,60 m E) 3,20 m
B) 1,20 m D) 2,40 m
30. Se tiene una esfera inscrita en una semiesfera de
radio “R”. ¿En qué relación se encuentran las áreas
totales de la esfera y la semiesfera?
A) 1 : 2 B) 1 : 2 C) 1 : 4 D) 1 : 3 E) 1 : 3
31. ¿En qué relación se encuentran las áreas totales de
una esfera y una semiesfera del mismo radio?
A) 5 : 3 B) 2 : 1 C) 3 : 2 D) 3 : 1 E) 4 : 3
32. ¿Cuál es el área total de una esfera circunscrita a un
cubo de 6 3 m de arista?
A) 162 π m2
C) 324 π m2
E) 360 π m2
B) 81 π m2
D) 486 π m2
33. ¿Cuál es el volumen de una esfera inscrita en un cubo
de 6 m de arista?
A) 48 π cm3
C) 36 π cm3
E) 18 π cm3
B) 24 π cm3
D) 12 π cm3
34. Hallar la relación de volúmenes entre un cubo y la
esfera inscrita.
A) π / 6 C) π / 3 E) 3π / 2
B) 2 / 3π D) 6 / π
35. La sección máxima de una esfera tiene un área S.
¿Cuál es el área total resultante al partir dicha esfera
en dos pedazos iguales?
A) S B) 2 S C) 3 S D) 4 S E) 6 S
36. Una esfera de radio igual a 3 cm tiene el mismo
volumen que un cono circular recto cuyo radio de la
base es 2 cm. Hallar la altura del cono.
A) 12 cm C) 24 cm E) 27 cm
B) 48 cm D) 36 cm
37. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro recto.
Hallar la relación entre el volumen de la esfera y el
volumen del cilindro.
A) 4 / 9 B) 2 / 5 C) 1 / 4 D) 2 / 3 E) 1 / 3
38. Calcular el área de la esfera circunscrita a un cubo, si
el área de la esfera inscrita es igual a 60.
A) 120 B) 60 C) 180 D) 240 E) 320
39. Un barquillo tiene la forma de un cono de 12 cm de
altura y 6 cm de radio. Se llena el barquillo de helado
de modo que la porción de helado exterior al barquillo
sea una semiesfera. Hallar el volumen del helado.
A) 144 π cm3
C) 180 π cm3
E) 288 π cm3
B) 72 π cm3
D) 360 π cm3
40. Calcular el área total de un cono recto, si el diámetro
de su base mide 20 m y las generatrices están
inclinadas 60° con respecto a la base.
A) 400 π m2
C) 150 π m2
E) 200 π m2
B) 500 π m2
D) 300 π m2
- 5 -