1. FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Criterio de la función:
f x ax2 bx c
El vértice de la función: El punto máximo o mínimo alcanzado por la función.
Existen varias formas para determinar el vértice:
1- Hallando el punto medio entre los ceros de la función (o raíces: x1 y x2 ), y luego
evaluando ese valor en la función, para obtener la coordenada “y”.
Raíces de la ecuación:
ax2 bx c 0
Además habrá tantas raíces reales como sea el valor del discrimínate, veamos:
< 0 habrá CERO “0” raíces, no cortará nunca el eje “ x ”.
= 0 habrá solo UNA raíz real, y será donde toque al eje “ x ” (tangente)
> 0 Habrá DOS raíces reales y serán dos los puntos de intersección con
el eje “ x ”.
Gráficamente tendríamos lo siguiente:
<0
=0
>0
2- O bien, utilizando la siguiente fórmula:
b
V
,
2a 4a
ó
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2. FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006
b 4ac b 2
V
2a , 4a
Donde el discriminante “ ” será igual a:
b 2 4ac
Eje de simetría: Es la recta vertical que interseca (corta) a la parábola en el punto del vértice:
b
.
2a
Es simétrico con respecto a los puntos de la función cuadrática que contienen el mismo valor
real de la variable dependiente.
La concavidad: La parábola correspondiente a la función cuadrática
f x ax2 bx c
será:
1- Cóncava hacia arriba si el coeficiente “ a ” es POSITIVO, y por lo tanto el vértice es un
punto MÍNIMO.
2- Cóncava hacia abajo si el coeficiente “ a ” es NEGATIVO, y por lo tanto el vértice es un
punto MÁXIMO.
Intersección con el eje “
y ”: Cuándo la variable independiente de la función se anula (o sea “ x ”
es cero), la parábola interseca al eje de las ordenadas en:
f 0 c
El par de coordenadas será entonces:
0, c . Esta será la intersección con el eje “ y ”.
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3. FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006
Veamos algunos casos especiales con la función cuadrática:
Caso 1:
f x ax2 bx c
con
>0
a, b, c
son reales y
a0
interseca o corta al eje “ x ” en dos puntos diferentes (dos raíces
reales)
x1 ,0
x2 ,0
y
Si a 0
La parábola es cóncava (abierta) hacia arriba.
Si a 0
La parábola es cóncava hacia abajo.
El vértice es un punto MÍNIMO
El vértice es un punto MÁXIMO
b 4ac b 2
V
2a , 4a
Intersección con el eje “
y”
0, c 0, y
Eje de simetría
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x
b
2a
Caso 2:
f x ax2 bx c
con
=0
a, b, c
son reales y
a0
interseca o corta al eje “ x ” en un solo punto (una raíz real)
x
1, 2
,0
Si a 0
La parábola es cóncava (abierta) hacia arriba.
Si a 0
La parábola es cóncava hacia abajo.
El vértice es un punto MÍNIMO
El vértice es un punto MÁXIMO
b 4ac b 2
V
2a , 4a
V x,0
Intersección con el eje “
y”
0, c 0, y
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Eje de simetría
x
b
2a
x es la única raíz
Caso 3:
f x ax2 bx c
con
<0
a, b, c
son reales y
a0
No interseca o corta al eje “ x ” en ningún punto (no hay raíz real)
Si a 0
La parábola es cóncava (abierta) hacia arriba.
Si a 0
La parábola es cóncava hacia abajo.
El vértice es un punto MÍNIMO
El vértice es un punto MÁXIMO
b 4ac b 2
V
2a , 4a
V x,0
Intersección con el eje “
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y”
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0, c 0, y
Eje de simetría
x
b
2a
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