1) O documento descreve um livro sobre tensores na física, dividido em três partes. 2) Estuda-se propriedades e transformações de tensores, sua interpretação e utilidade na física. 3) Inclui cálculo tensorial, geodésicas, curvatura de Riemann, teoria gravitacional de Einstein.

1. ÍWAeoMa&of,TGoQQt'
AUTHORIZATION FOR PUBLICATION
AUTORIZAÇAO PARA PUBLICAÇAO
ruiaDQLGEWR&Ø
PALAVRAS CHAVES/KEY WORDS
OU Tensores, Tensores na Física, Teoria Cravitacio
B
I nal de Einstein - V.W.J.jKirchhoff
Dir. Ci&nc!. ttsp. Atmo5
AUTOR RESPONSAVEL DISTRIBUIÇÃO/DISTRIBUTION - RV46ADA POREVISS e
: C EXTERNA/EXTERNAL
Pinto
[ INTERNA / INTERNAL
J-.
en& Adalid M rano- RESTRITA/RESTRICTED
Editor Cinc. Eo. Atn
CDUIUDC-
r 514.743.4
DATA/ DATE
Novembro/89
Rena Adalid Medrano-B
1
o,
a
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1-
o
a
FsIIMn-NnTAq /ARqTPACT-
ORIGEM
ORIGIN
L DAE
PROJETO
PROJECT
L IONO
No DE P46. ULTIMA PAG,
(N0 0 PAGE "( LAST PAGE
230 J 229
VERSÃO NQDEMAPAS
VERSION NOOF MAPS
PUBLICAÇÃO N2
PUBLICATION NO
41
CAMPOS VETORIAIS, ESPAÇOS LINEARES
E TENSORES NA FÍSICA
PARTE III - ANÁLISE TENSORIAL E SUAS
APLICAÇÕES
Estudam-se os tensores, suas transformações e propriedades, do ponto
de vista da sua interpretaço e utilidade na física. Inicia-se
explicitando-a necessidade da existncia dos tensores na física;
depois são definidos através das propriedades de transformação por
rotaçao em sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais. Segue-se um
breve estudo dos tensores referidos a coordenadas oblíquas objetivando
o surgimento natural dos conceitos de tensores covariantes e
contravariantes. Os tensores referidos a coordenadas curvilíneas
generalizadas (tensores generalizados) 5a0, tratados de maneira mais
formal estudando-se, entre outros, o Jacobiano, contração, tensores
fundamental e recíproco, tensores relativos, Teorema do .Quociente,
componentes físicas, direç6es principais, símbolos de Christoffel,
derivada covariante, etc. Como introduçao as aplicações deduzem-se
expressões para a derivada absoluta de tensores, a equação das
geodésicas e o tensor de curvatura. Segue-se um breve estudo da Teoria
Gravitacional de Einstein aplicando-se sua solução particular
(Schwarzschild) a trajet5ria de planetas em torno do Sol. Deduzem-se
também expressões para as equações de Naxwell na relatividade geral.
No final de cada capítulo prop6em-se problemas elucidat6rios. Este
trabalho é a terceira e última parte do livro "Campos Vetoriais,
Espaços Lineares e Tensores na Física", cujas partes 1 e II foram
publicadas como relatórios {NPE-2026-RPE/289, mar. 1981 e INPE-2565-
MD/020, nov. 1982, respectivamente.
Esta é a terceira parte do livro "Campos Vetoriais, Espaços Lineares e
Tensores na Física"
INPE- 149

2. ÍNDICE
pág.
RESUMO iV
ABSTRACT VI
LISTA DE FIGURAS VFii
CAPITULO 11 - O TENSOR ...........................................1
11.1 - Tensores na física ........................................1
11.2 - Os Tensores e os sistemas de coordenadas ..................7
Problemas........................................................ 1 3
CAPITULO 12 - TENSORES CARTESIANOS ...............................15
12.1 - Matrizes de rotação .......................................15
12.2 - Tensor de primeira ordem ..................................22
12.3 - Diádicas. Tensores de segunda ordem ......................23
12.4 - Tensores de ordem superior ................................33
12.5 - Tensores sjmtricos e anti-simétricos. Pseudotensores . 35
12.6 - Contração de (ou produto interno entre) tensores ..........41
12.7 - Derivadas de •tensores cartesianos .........................43
12.8 - Transformação mais geral de coordenadas ...................47
Problemas........................................................50
CAPITULO 13 - TENSORES CARTESIANOS OBLÍQUOS ......................59
13.1 - Vetores covariantes e contravariantes .....................59
13.2 - Tensor fundamental ........................................60
13.3 - Tensores covariantes, contravariantes e mistos ............Li
13.4 - Tensor reciproco ..........................................67
13.5 - Vetores base covariantes e contravariantes ................70
Problemas........................................................72
-1-

3. Pág.
CAPITULO 14 - TENSORES GENERALIZADOS ............................75
14.1 - Sistema arbitrário de coordenadas ........................75
14.2 - Vetor contravariante e covariante ........................77
14.3 - O Jacobiano da transformação .............................83
14.4 - Tensores de ordem superior ...............................86
14.5 - Contração ................................................89
14.6 - Tensor fundamental .......................................91
14.7 - Tensor reciproco .........................................99
14.8 - Tensores relativos .......................................101
14.9 - Teorema do quociente .....................................107
14.10- Componentes flsicasdos tensores .........................112
14.11- Módulo de um vetor e ângulo entre vetores ................119
14.12- Direções principais de um tensor simétrico ...............121
14.13- A operação de rotacionar .................................126
14.14- Simbolos de Christoffel ..................................129
14.15- Derivada covariante ......................................134
14.16- Gradiente, divergente e rotacional .......................137
Problemas.......................................................144
CAPÍTULO 15 - APLICACÕES DO CÁLCULO TENSORIAL ...................155
15.1 - Derivada absoluta de tensores ............................155
15.2 - Geodésicas ...............................................161
15.3 - Tensor de (curvatura) Riemann-Christoffel ................172
Problemas.......................................................186
CAPITULO 16 - TEORIA GRAVITACIONAL DE EINSTEIN ..................191
16.1 - Formulação ...............................................191
16.2 - Solução de Schwarzschild .................................196
- 11 -

4. Pág.
16.3 - Orbitas planetárias 200
16.4 - Equaç6es de Maxwell na relatividade ......................210
16.4.1 - Equações de Maxwell na relatividade restrita 211
16.4.2 - Equações de Maxwell na relatividade geral .......218
APÊNDICE A - ESPAÇO-TEMPO DE MINKOWSKI
BIBLIOGRAFIA ....................................................223
- 111 -

5. RESUMO
Neste trabalho estudam-se os tensores, suas propriedades
e transformaçéos, do ponto de vista da sua interpretação e utilidade na
fsica. Assim, inicia-se o estudo explicitando a necessidade da exis
tência dos tensores na física. Em seguida, os tensores são definidos
formalmente através das propriedades de transformação, das suas compo
nentes, perante a transformação por rotação de sistemas de coordenadas
cartesianas ortogonais; a seguir estudam-se outras propriedades, inclu
indo os produtos tensoriais e as derivadas de tensores. Segue-se um bre
ve estudo dos tensores referidos a coordenadas oblíquas, com a idéia de
fazer com que surjam, de maneira natural, os conceitos de tensores cova
riantes e contravar -jantes. Os tensores referidos a coordenadas curvill
neas generalizadas (tensores generalizados) são tratados demaneiramais
formal, incluindo-se no estudo o Jacobiano da transformação, a contra
ção, os tensores fundamental •e reciproco, os relativos, o Teorema do
Quociente, componentes fsicas, direções principais, smbolos de
Christoffel e derivada covariante, entre vários outros. Uma introdução
às aplicações é fornecida definindo a derivada absoluta de tensores e
deduzindo expressões para a equação das geodésicas e tensor de curvatu
rã. A Teoria Gravitacional de Einstein, embora fazendo parte das apli
cações, é tratada em separado, apresentando a solução de Schwarzschild
e aplicando esta solução à trajetória de planetas em torno do Sol. Dedu
zem-se também expressões para as equações de Maxwell na relatividade ge
ral. Em cada capítulo, quando possível, apresentam-se exemplos que vi
sam elucidar a teoria e propõem-se problemas que ajudam o leitor a pôr
em prática os conhecimentos adquiridos. Este trabalho é a PARTE III
- iv -

6. (última) do livro "Campos Vetoriais, Espaços Lineares e Tensores na
Física", cujas Parte 1 e II foram publicadas nos relatórios INPE-2028-
RPE/289, março 1981 e INPE-2565-MD/020, novembro 1982, respectivamente.
Como esses, este trabalho tambni baseado em notas de aula sobre Mito
dos Matemáticos da FÍsica que o autor leciona nos cursos de pós-gradua
ço do INPE.
-v -

7. APCTDAr'T
In this work the tensors, their transíorniation and other
properties, froni the viewpoint of their interpretation and use in
physics are studied. Tensors are first introduced by showing the need
of their existence in physics. Then they are formally defined through
the transformation properties of their components upon the rotation aí
orthogonal Cartesian coordinates; other properties aí Cartesian tensors
including tensor products and derivatives are alsa studied. It follows
a brieí treatment of tensors referred to oblique Cartesian coordinates
such that the cancepts aí covariant and contravariant terms emerge in
a natural way. Tensors referred ta arbitrary curvilinear coordinates
are íormally treated studing the Jacobian aí the transíarmatian, cantrac
tian, the fundamental and reciproca] tensors, the quatient theorem, ph
sical campanents, principal directions, Christoffel symbals and cova
riant derivative among several athers. An intraductian ta application
af the tensor theory by defining the concept aí absalute derivative, de
riving the equation af geadesics and the curvature tensor, is offered.
The Einsteins's gravitational theary, nanetheless part aí the applica
tians, is separately treated saiving the equatians follawing the
Schwarzschild spherically syninietric solutian applied to planetary ar
bits. General relativistic expressions for the Maxwell's equatians are
alsa derived. In every Chapter, whenever passible, elucidating examples
are worked and prablenis that help the reader to understand better the
theary are prapased. This work is Part III (the last) af the boak "Vector
Fields, Linear Spaces and Tensors in Physics", whose Parts 1 and II
were already published as internal reports INPE-2028-RPE/289, Mar. 1981
- vi -

8. and INPE-2565-MD/020, Nov. 1982, respectively. As the previous Parts,
this is also based on lecture notes on the Mathematical Methods of Phy
sics course that the author teaches in the graduate prograin of INPE.
- - vii -

9. LISTA DE FIGURAS
Pág.
11.1 - Tensão num ponto P da secção transversal de uma barra re 3
tangular submetida à ação de uma força F .................
11.2 - Componentes contravariantes (a) e covariantes (b) do vetor
V referido a coordenadas oblíquas ........................10
12.1 - Rotação positiva em torno do eixo é de um ângulo S. O ve
tor V é a projeção de V no plano da figura ..............17
12.2 - Ângulos de Euler , e y correspondentesatrês rotaç6es
sucessivas (começãndo do sistema é. e terminando no é?).
1 1
As regiões com a mesma achura encontram-se num mesmo plano 22
13.1 - Mudança de vetores base em coordenadas oblíquas ..........62
14.1 - Sistema esférico-polar como exemplo de sistema de coordena
das cujos vetores base mudam de orientação para cada ponto
doespaço ................................................76
15.1 - Curva geodésica C que une os pontos x(o) e x( 1 ). A curva
C' & uma muito próxima da C ..............................164
15.2 - Calota de raio geodésico p numa esfera de raio R .......174
16.1 - Concepço bidimensional de um espaço curvo devido à presen
çade uma massa estelar ..................................208
A.1 - Dois sistemas de referência, o S fixo e o S' que se movi
menta com velocidade v = v ..............................A.1
- viii -

10. PARTE III
ANÁLISE TENSORIAL E SUAS APLICAÇÕES
CAPÍTULO 11
O TENSOR
11.1- TENSORES NA FÍSICA
As leis da f{sica e sua aplicação a problemas práticos
são comumente expressas mediante equações que contam grandezas escala
res, vetoriais, e grandezas denominadas LensoTes; Os tensores são gran
dezas intimamente relacionadas com as propriedades físicas do meio.
As grandezas escalares e vetoriais, e suas propriedades,
são as mais conhecidas dentro da flsica elementar. Na Parte 1 deste li
vro fez-se uma revisão dos métodos principais de estudo destas grande
zas e dos campos escalares e vetoriais que elas originam. Já os tenso
res são grandezas conhecidas, principalmente, nos campos avançados da
flsica, tais como na Eletrodinâmica, Mecnica Quântica, Fsica de Plas
mas, Teoria da Relatividade, etc.
De uma maneira similar à definição dos campos escalares e
vetoriais, define-se um campo tensorial por um tensor cujo valor depen
de, exclusivamente, da posição do ponto considerado no espaço. Mas o
que representa o "valor" de um tensor? Ou, mais apropriadamente, o

11. se
que é um tensor? A resposta matemática a esta pergunta será encontrada
nesta terceira parte do livro. No que diz respeito ao significado físi
co dos tensores, pode-se dizer que estes encontram-se relacionados com
as propriedades físicas, intrinsecas, do meio. Contudo, uma melhor com
preensão s6 é posslvel através de exemplos específicos, que demonstram
a necessidade da existência deste novo ente matemático. A seguir apre
sentar-se-ão alguns exemplos a este respeito.
Imagine-se uma barra de secção transversal retangular,
apoiada nos seus extremos, e submetida a um esforço devido à força ex
terna E, da maneira indicada na Figura 11.1(a). De uma maneira geral,
o esforço (força que atua sobre uma secção transversal da barra, a qual
tende a separá-la) não será o mesmo em todos os pontos da barra,nem mes
mo para todos os pontos de uma mesma secção. Seja o corte A A', perpen
dicular à direção §2' imaginariamente separada como na Figura 11.1(b);
cada elemento de área do corte estará sujeito a uma tensão diferente,
que, em conjunto, tenderão a separar as duas faces do corte. A tensão
(força por unidade de área) 12 no ponto P será um vetor de componentes
(T21 , T22 , T23 ) cuja intensidade e direção dependerão das propriedades
flsicas do material da barra.

12. -3-
A
Fig. 11.1 - Tensão num ponto P da secção transversal de uma barra re
tangular submetida ã ação de uma força F.
Se agora o corte for feito por um plano normal à direção
o qual passa pelo mesmo ponto P (corte longitudinal não indicado na
Figura 11.1), ter-se-á que as componentes da tensão T i , que atuam so
bre P, serão respectivamente (T11 , T12 , Ti,). Por último, uma tensão
diferente 13 será encontrada na secção transversal normal a e3 no pon
to P. Com todas estas componentes pode-se fazer um arranjo matricial,
da seguinte maneira:
Til T 12 T1 .
T = T21 T 22 T.2
T31 T32 T33 j
(11.1)

13. -4-
Observe-se que a matriz 1' engloba todas as propriedades fisicas do pon
to P no interior da barra. Diz-se que o elemento Tij é neste caso,
Íí
componente ij do tensor de tensão T".
Outro exemplo da aplicação de tensores na física é repre
sentado pela condutividade elétrica. Num meio condutorde eletricidade,
a densidade de corrente J é, de certa maneira, proporcional ao campo
elétrico E presente no meio. Assim,
3 u , ( 11.2)
onde o coeficiente a é conhecido como condutividade elétrica. Se o
meio for, por exemplo, um metal, a condutividade seria praticamente uma
grandeza escalar constante, e a relação (11.2). converter- se- ia numa
igualdade e', portanto, a direção da corrente elétrica seria a mesma que
a do campo elétrico aplicado. A explicação disto, em termos microscõpi
cos, pode ser atribuida ã facilidade com que os elétrons se deslocam em
qualquer direção, dependendo apenas da direção e sentido do campo E.
Neste caso, diz-se que o meio, cujas caracteristicas estão contidas im
plicitamente em a, é um meio "isotr6pico". Assim, num meio condutor
i sotrópi co:
= a . (11.3)
Todavia, quando o meio é uanisotr6picol (por exemplo ,num
cristal onde a facilidade de deslocamento dos elétrons, em resposta ao
campo elétrico E, depende da direção em que este campo é aplicado e,

14. -5-
portanto, a condutividade em um mesmo ponto tem propriedades diferentes
para direções diferentes), observa-se que a corrente elétrica flui, em
geral, em direção diferente à do campo elétrico aplicado. Neste caso,
a condutividade elétrica a um tensor, e a equação (11.2) pode ser
escrita mais apropriadamente na forma
= (11.4)
onde a representa o tensor condutividade, e o produto do segundo mem
bro é um produto tensorial que, neste caso, é um simples produto escalar.
A razão da representação (convencional) do tensor condutividade com dois
tis 5 que este é um tensor de segunda ordem cujas componentes podem tam
bém ser arranjadas numa forma matricial. Este tipo de representação é
conveniente apenas quando os tensores são referenciados a coordenadas
cartesianas, onde os tensores de primeira ordem são representados por
um til, os de terceira por três, etc. Um vetor v é também um tensor
de primeira ordem. Assim como na notação indicial um vetor pode ser ré
presentado por uma de suas componentes, um tensor de primeira ordem V
é, geralmente, representado por uma de suas componentes V.. Neste tipo
de representação, que é a mais comum no estudo dos tensores, um tensor
de segunda ordem T, pode, também, ser representado por uma de suas
"componentes" T.
13
Nesta representação por componentes, a expressão tenso
ria] para a densidade de corrente (que é um tensor de primeira ordem)
pode ser escrita na forma

15. - 6 -
iJ. E O.. E.
1 1J 3
(11.5)
onde se deve notar que o produto do segundo membro tem de ser equ iva
lente ao de um produto matricial, entre uma matriz de segunda ordem e
um vetor coluna (os indices repetidos deixam implícito o somatErio eri
volvido), para que o resultado seja um vetor. Observa-se, na equação
(11.5), que uma componente qualquer da densidade de corrente, 3, depen
de das três componentes do campo elétrico. A relação (11.5) é a expres-
são da conhecida lei da Ohm.
Como um último exemplo, considere-se o momento de inércia
Um objeto sólido, que gira em torno de um eixo fixo, possui um momento
angular L que, de certa maneira, é proporcional sua velocidade angu
lar w. Quando o eixo de rotação é, ao mesmo tempo, o eixo de simetria
do objeto, tem-se que
L.
1
= 1 w.
1
, ( 11.6)
onde a constante de proporcionalidade, i, é o momento de inérciado cor
po que, neste caso, é apenas uma grandeza escalar. Para um eixo de ro
tação arbitrãrio, porém, o momento de inércia é um tensor 1... Portari
to, pode-se dizer que o momento de inércia é uma grandeza que implicita
mente inclui propriedades geométricas e físicas do corpo, em relação ao
eixo considerado. De fato, da Mecânica Clássica sabe-se que o tensor
de inércia é dado por:
1..
13 13
= p(x) (jxt 2 .. - x
1
.x.)d 3x , (11.7)
]
v

16. -7-
onde p(x) é a densidade de massa do corpo, x é o vetor de posição, e
6.. é o deita de Kronecker. Neste caso, o tensor de inércia é também
li
um tensor de segunda ordem.
£ interessante observar na equação (11.5) que os elemen
tos de um tensor podem sempre ser arranjados em forma matricial. Assim,
os elementos (ou componentes) de um tensor de segunda ordem, T, podem
ser representados por uma forma matricial, T. Entretanto, as componen
tes de uma matriz não necessariamente são componentes de um tensor. A
diferença fundamental entre estes dois conceitos,conforme ser5 visto
logo mais, encontra-se nas propriedades de transformação de cada elemen
to do tensor.
Nos exemplos citados anteriormente, nota-se que os tenso
res, de certa maneira, "descrevem" (ou, também, representam) as proprie
dades físicas do meio no qual se desenvolve o fen&meno físico. Daqui de
corre que as propriedades de um tensor são independentes do sistema de
coordenadas utilizado para sua representação. O que muda com o sistema
de coordenadas são as suas componentes.
11.2-OSTENSORES E OS SISTEMAS DE COORDENADAS
No estudo dos tensores, o mais importante é o tipo de
transformação a que estão sujeitas suas componentes, quando se muda de
sistema de coordenadas. Assim, por exemplo, quando o sistema de coorde
nadas original é o cartesiano ortogonal fixo (com os vetores base de oh
entação fixa) e as transformações são feitas para outro sistema semelhan

17. -8-
te, os tensores expressos nestes sistemas são chamados de tensores car
tesianos ortogonais, ou, simplesmente, de tensores cartesianos. O estu
do deste tipo de tensores seu o tema do Capitulo 12.
Alternativamente, quando os tensores são expressos em sis
temas de coordenadas oblTquas (i.e., os vetores base de orientação fixa,
porém com
31
. . 6
1
.
3
.),sistemas de coordenadas que também são chama
-
das de cartesianas obliquas, a transformação de coordenadas dos tenso
res expressos nestes sistemas determina o estudo dos tensores cartesia
nos oblíquos. O que aparece como novidade neste sistema de coordena
das é que as componentes de um vetor (tensor de primeira ordem) podem
ser de dois tipos! E o que é mais importante, ambos os tipos de componen
tes são de natureza diferente. Para dar uma idéia geométrica destas
componentes, considere-se um vetor V, referenciado a um sistema de
coordenadas oblTquas de vetores base unitários e e 2 , na forma mos
trada na Figura 11.1(a). Desta Figura pode-se ver que
= vi é, + V 2 e 2
onde as componentes V 1 e V 2 são obtidas mediante a construção do pa
ralelogramo correspondente, nas direç6es é j e e 2 . Estas componentes
são chamadas de componentes contravariantes do vetor V. Portanto, num
espaço multidimensional, o vetor V pode ser representado, em termos
das suas componentes contravari antes, na seguinte forma:
E v' , ( 11.8)
onde o somatdrio sobre os indices repetidos subentendido.

18. SE
Esta representação de V, que resulta da soma vetorial
(lei do paralelogramo) entre os vetores v é., é a mesma mostrada na
equação (1.3), onde o vetor v é também o resultado da soma dos veto
res V. ê, onde, porém, as componentes V. so obtidas mediante a ré
laço V = V . é , uma vez que é •
1
.. é
3
. = 6.
13
.-
-
O outro tipo de componentes que o vetor V pode ter, quan
do referenciado a um sistema obliquo, é aquele formado pelas projeções
de V sobre as direç6es dos vetores base, isto é:
v. = v . é. (11.9)
1 -
Estas componentes chamadas dècovari&ntés séo ilustradas
na Figura 11.2(b). Deve-se notar, entretanto, que embora este tipo de
componentes seja similar ao do caso ortogonal, a soma vetorial destas
componentes é tal que:
vi ii (11.10)
ou seja, com estas componentes no é possível reproduzir o vetor V me
diante uma simples soma vetorial.

19. e2
v11
(a)
VI
(b)
- 10 -
Fig. 11.2 - Componentes contravariantes (a) e covariantes (b)
do vetor V referido a coordenadas obliquas.
O leitor poderá perceber que, no sistema de coordenadas
oblíquas, o mesmo vetor V pode ser representado tanto pelas suas com
ponentes contravariantes V 1 como pelas suas covariarites V.. Nota-se,
entretanto, que para representação de V pelos elementos V. não exis
te uma expressão similar à(11.8). Esta dificuldade e superada quando
& utilizada a representação matricial do vetor. Assim,
ív1 1 ív 1
e
= , = v2 j
LV3i lv3J
onde qualquer um destes vetores coluna representa o vetor V. Desta ob
servação decorre que, em sistemas de coordenadas oblíquas um vetor po
de ser representado alternativamente por suas componentes contravarian
tes ou covariantes. Deve ficar evidente, porem, que suas manipulaç6es
serão em geral diferentes. Em particular, e o que & mais importante,in

20. - 11 -
tuitivamente não se deve esperar que a lei de transformação das compo
nentes covariantes do vetor V, de um sistema de coordenadas fixo a um
outro,seja a mesma que a lei de transformação das componentes contrava
dantes. Nota-se também que para o caso especial de coordenadas carte
sianas ortogonais (.
1 . J
. = 6
1
..
3
), as componentes covariantes e contra
-
-
variantes de um vetor são idnticas, e suas relaç6es de transformação a
um outro sistema ortogonal são mais simples. (De certa maneira, estas
relaç6es de transformação são apenas as já estudadas na Parte II deste
livro).
Nos dois casos de coordenadas fixas mencionados anterior
mente (coordenadas ortogonais e oblíquas), os vetores base são fixos.
Isto e, para cada ponto do espaço os vetores base conservam sempre as
mesmas orientaç6es. Todavia, existe ainda o caso mais geral de trans
formação de um sistema de coordenadas arbitrário em um outro, onde as
direç6es relativas dos vetores base mudam entre si para cada ponto do
espaço, seguindo uma lei preestabelecida. Este sistema de coordenadas
& chamado tamb&m de curvilneas generalizadas. Um exemplo particular
deste tipo de coordenadas e o caso das curvilneas ortogonais estudadas
no Capitulo 3 onde, embora as orientaç6es dos vetores base (curvilíneos)
sejam diferentes para cada ponto do espaço em relação ao cartesiano fi
xo, o sistema permanece rgido e ortogonal. O estudo de tensores sujei
tos a transformações deste tipo corresponde à análise dos tensores gene
ralisados, que tambm serão estudados em CapÍtulos po $teri ores.
Algo de extrema importãncia na aplicação da transformação
de coordenadas a problemas práticos, que deve ser sempre lembrado,& que

21. - 12 -
as leis da flsica, que normalmente so expressas mediante equaç6es, so
as mesmas para qualquer sistema de referncia correspondente ao mesmo
espaço. Assim, por exemplo, a equação (11.5), expressa num sistema de
vetores base arbitrrios, ser:
E'.
1 1] 3
Esta expressão, comparada com a (11.5), implica que se
for feita a transformaço separadamente das componentes 3., a.. e E.,
que serão posteriormente substituidas na equação (11.5), dever-se-á ne
cessariamente obter a relação (11.11).

22. - 13 -
PROBLEMAS
11.1- No sistema de coordenadas da Fig. 11.2, tem-se que:
• e 2 = - ,
2
= 2 1 + 3
Determinar as componentes
coritravariantes de V,
covariantes de V.
11.2- Encontrar as componentes do tensor de inércia de um triângulo re
to, de
450,
lado a e densidade superficial uniforme, referido
origem de um sistema cartesiano coincidente com os lados ortogo
nais do triângulo.
11.3- Um gs parcialmente ionizado, onde a densidade numérica dos el
trons N é igual i dos lons N., é colocado num campo magnéti
co B = B e 3 e elétrico E = E 1 é1 + E 3 ê3 constantes. Supondo
que a equação de movimento das partTculas carregadas para cada
espécie a é dada pela equação:
q
01
(E xB) = m a 'o v a=e,i
- -a a-a

23. - 14 -
e sabendo que a densidade de corrente elétrica gerada pelas car
gas elétricas é dada por:
= N(q y + q.
obter a relação J = g E, identificando o tensor condutividade
g. Nas equaç6es acima: q. = -q é a carga do elétron, v é a
velocidade e m é a massa das particulas da espécie a, N(=N=
N.) é a densidade numérica de cada espécie e 'u é a freqüéncia
OL
de colisoes das particulas de especie a com as neutras.
Sugestão: Resolver a equação de movimento para cada componente de
ya
e, em seguida, substitui-Ias em J

24. CAPITULO 12
TENSORES CARTESIANOS
12.1- MATRIZES DE ROTAÇÃO
Considere-se um sistema cartesiano tridimensional 5 de
vetores base . ortogonais entre si. Um vetor V, neste espaço, tem
por componentes V 1 , V 2 e V 3 . Suponha-se que o sistema de coordena
das é girado ao redor do eixo ê 3 de um ingulo a, no sentido positi
vo da orientação do sistema, de maneira que a relação entre os vetores
base do sistema 5 e do novo 5' seja tal que:
2 3'= 3 ,
e~1 = e 2 . e = cos a
A representação esquemática desta rotação é a mesma que a
ilustrada na Figura 4.2 onde, porém, o vetor mostrado é a projeção do
vetor tridimensional V sobre o plano da figura. Portanto, as compo
nentes de V neste novo sistema,de acordo com a equação (4.20), são da
das pelas relações:
Vi = V 1 cos a + V2 sen a
= -V 1 sen a t V 2 cos a
-
v a -

25. - 16 -
ou, alternativamente, fazendo uso da notação matricial:
= [M3 (a) 1 v
onde
cosa sena O
M3(a) = - sen a cos a O , (12.2)
o o 1
matriz que deve ser lida da seguinte maneira: matriz de rotação em tor
no do eixo , num ângulo a. Esta rotação chamada de positiva por
que o sentido da rotação, segundo a regra da mão direita, coincide com
a do eixo . Uma rotação negativa obtida pela simples substituição
de a por -a.
As matrizes de rotação são facilmente obtidas por inspec
ção. A rotação ao redor do eixo de um ângulo , de acordo com a
Figura 12.1 , conseguida pelas seguintes relaç6es entre as componentes
de V, em ambos os sistemas:
= V 3 cosS + VI sen S
= -VsenS + VcosS,
-
'2 - '2 '

26. - 17 -
ai
e
Fig. 12.1 - Rotação positiva em torno do eixo
&deum ãngulo 8. O vetor V,
a projeção de V no plano da fi .gu
ra.
de onde se tem que a matriz de rotação M2(S)
cosa O -sena
1112 (8) O 1 O
sena O cos$
(12.3)
Entretanto, não é necessârio desenhar esquemas parecidos,
como o mostrado na Figura 12.1, toda vez que se precise encontrar ama
triz de rotação em torno de um eixo qualquer. Para isto, é suficiente
observar algumas caracteristicas comuns na forma das matrizes (12.2) e
(12.3) e,assim, estabelecer conclus6es interessantes. Por exemplo, oele

27. n
mento da diagonal, que corresponde ao eixo de rotação, é sempre ¶.Assim,
se o eixo de giro é ü &, então M 33 = 1, conforme se pode observar
na equação (12.2). Por outro lado, todos os elementos da linha e colu
na correspondentes a este elemento unitãrio são nulos. Observa-se, tam
bõm, que os elementos restantes da diagonal são sempre o cosseno do in
guio (o) da rotação. Finalmente, os elementos restantes, fora da dia
gonal , são da forma
M.. = ± sen O
1J
onde o sinal (positivo ou negativo) depende dos Tndices numéricos. Se
estes se encontram na seqümncia 1, 2, 3, 1, o sinal é positivo; se na
seqüência inversa 3, 2, 1, 3, o sinal é negativo. Assim, por exemplo,
o elemento M 13 da matriz (12.3) é - sen S; no entanto: M 31 = sen 8.
As observaç6es feitas acima podem ser sumariadas conve
nientemente da seguinte maneira. Se o eixo do giro é o 1, então a ma
triz de giro M(0) terá os seguintes elementos:
14.
ii
=
Ii i
= 6.
i
( i = 1, 2, 3)
Mij = 6ij cos O + 6+.
sen O (i,j 0 (12.4)
onde 6..
ij
e c. . são os jã familiares simbolos deita de Kronecker
e anti-simétrico de Levi-Civita, amplamente utilizados na Parte 1 deste
livro.

28. - 19 -
Com os resultados desta análise indutiva, pode-se escre
ver agora a matriz de rotação em torno de qualquer eixo, tomando cuida
do apenas com o sentido da rotação (isto é, ángulo de rotação positivo
para urna rotação positiva e negativo para rotação negativa). Desta ma
neira, a matriz de rotação M 1 (y) terá os seguintes elementos:
1 O O
M 1 (y) = O cos 'r sen 'r
O -sen'r cosy
(12.5)
Matrizes de rotação em torno dos outros eixos podem ser
obtidas por analogia. Uma orientação arbitrária é conseguida mediante
apenas 3 rotaç6es sucessivas. Assim, por exemplo, partindo dos siste
mas base 5. pode-se chegar a um arbitrário 5 , mediante as seguin
tes transformações (ou rotaç6es) sucessivas:
52' 53 i, I., (3 = ,
o
M2 ()
§i' !z' 3
2"
, 3
M3(y) 21112u -
> , , 3 -
Naturalmente, pode-se também fazer outras seqüências de rotaç6es em tor
no de eixos diferentes. O importante é que são necessárias apenas três
rotaçées para chegar a uma orientação arbitrária.

29. - 20 -
A transformação das componentes de um vetor V, referido
a um sistema de coordenadas 5, a um terceiro sistema S, í efetuada
mediante transformaç6es matriciais sucessivas, da seguinte maneira:
YI = [143(a)] y
= [142(S)] y' = [142(5)] £14(a)] v
V ... = [Mg(y)] [14 (5)1 [M3 (y)] ti (12.6)
Conseqüentemente, a matriz de transformação de um sistema
ortogonal tridimensional 5 a um outro similar S" é dada por
!í(a, , ) = [143(-Y)1 [142(5)] [143 (a)] . ( 12.7)
Pode-se verificar que, neste caso, a matriz de transformação
M 11 M 12 M13
M 21 M22 M 23 (12.8)
M 31 M 32 M33 J

30. - 21 -
tem os seguintes elementos:
M11 = cosy cos$ cosa - seny sena
M12 = cosy cosa sena + seny cosa
ti13 = -cosy sens
ti21 = -seny coss cosa - cosy sena
ti22 = -seny cosS sena + cosy cosa
ti23 = seny sens
M31 = sen8 cosa
M32 = sen sen a
M 33 = cos
Este tipo de transformação é muito comum na Mecânica dás
sica, onde certos tipos de problemas ficam mais fáceis de resolver num
sistema de coordenadas especial (como, por exemplo, o sistema natural
de coordenadas, mencionado na Seção 9.1), para logo depois transformar
a solução de volta ao sistema original de coordenadas. Os ângulos a,
S e y são chamados de Ângulos de Euler. A Figura 12.2 ilustra a ori
entação dos vetores base, após cada rotação, começando do sistema mi
cial (, &, @), passando pelos sistemas ê2' , ) e (, &, ) ate--2
chegar, finalmente, ao sistema desejado (&f, i', &').

31. - 22 -
'-1
Fig. 12.2 - Ângulos de Euler ct , e y correspondentes a
três rotações sucessivas (começando do sistema
é. e terminando no ê1. As regiões com a mes
1 -
ma hachura encontram-se num mesmo plano.
12.2- TENSOR DE PRIMEIRA ORDEM
Voltando à equação (12.6) e chamando M 1 ]
. aos elementos
da matriz M (ci, , - ), esta expresão na notação indicial fica:
M V. . (12.9)
1 -
M.
3
Esta relação de transformação define os tensores de pri
meira ordem: grandezas que se transformam segundo a relação acima, onde
os coeficientes da transformação são os elementos da matriz de rotação
M, são chamadas de tensores de primeira ordem. Observa-se que este ë

32. - 23 -
o mesmo tipo de transformação (6.9) que já foi estudado na Seção 6.3,
onde a matriz de transformação C corresponde a M da (12.9). O
leitor pode verificar que a matriz de transformação (12.8) uma matriz
ortogonal, isto :
-
AI: = AI (12.10)
conforme se deveria esperar, uma vez que os vetores base do sistema são
mutuamente ortogonais.
12.3- DIÁDICAS, TENSORES DE SEGUNDA ORDEM
Conforme mencionado no Capítulo 4, considera-se que dois
vetores pertencem ao mesmo espaço vetorial quando cada um pode ser ex
presso por uma combinação linear dos vetores base do espaço. Entretanto,
estes dois vetores não precisam representar grandezas fsicas semelhan
tes. Muito pelo contrário, quando existe interação entre vetores, as
grandezas flsicas que representam são, em geral, intrinsecamente dife
rentes. Assim, da interação entre dois vetores diferentes pode surgir
uma terceira grandeza com propriedades físicas próprias. Por exemplo,
a equação dW = F . dx indica o trabalho dW (grandez escalar) desen
volvido pela força F, quando seu ponto de aplicação percorre uma dis
tância elementar dx. Neste exemplo, E e dx são dois vetores domes
mo espaço (dado que E F. . e dx 5 i. dxj, porm de propriedades
físicas diferentes de cuja interação surge uma terceira grandeza de pro
priedades fsicas definidas. Alm do produto escalar e o já conhecido
produto vetorial, a operação entre dois vetores pode tambm ser feita

33. - 24 -
mediante o produto tensorial. Os dois primeiros produtos (escalar e ve
tonal) não precisam de maiores explanações após o estudo feito na Parte
1 deste livro. Analisa-se, em seguida, a natureza do terceiro tipo de
associação entre vetores.
Seja o produto (de certa maneira algébrico) dos vetores
8 e B, expressos num sistema ortogonal tridimensional
A B = (A11 + A27 + A33) (B 11 + +
Desenvolvendo este produto algbnico, tem-se:
8 B = A1B1&i1 + A 1 B212 + A1B313 +
+ A2B 12 1 + A2B2 2@2 + A2B323 +
+ A3B131 + A3B232 +
O novo ente, que desta maneira acaba de ser gerado, e cha
nado de d-Lddica. Com a convenção de indices repetidos, a expressão an
tenor fica:
A B E A.B. j. (12.11)
-- 1] 1J
Cada um destes termos são chamados de unidades diddicas ou, semplesmen
te diódas. É interessante notar que com as componentes da diádica pode-se

34. - 25 -
formar, se se quiser, um arranjo matricial. Chamando [ = AB ã nova
grandeza assim formada e a cada elemento
T. .
13 1
= A.
3
B. , (12.12)
segue-se que
T . (12.13)
Em seguida far-se-ã uma análise das propriedades desta no
va grandeza. Para isto é necessrio nio esquecer que o -ultimo fator, é.,
é simplesmente um vetor, e como tal sujeito a operações conhecidas en
tre vetores. Assim, pode-se, por exemplo, fazer o produto escalar da
didica (12.13) com o vetor V E Vkêk. Assim,
T . V T.. '/ ê.é. . é = T.. V é. 6. = T.. V. é.
- ij k-i--j -k 13 k -ijk 133-1
de onde se tem que,
= ( Ti V3)ê + ( T 2 V1 ) 2 + ( T3j v)ê .(12.14)
Este resultado é um vetor Logo: o produto escalar de uma diádica com
um vetor di outro vetor. Note-se que cada componente do novo vetor,
T.. V, representa, exatamente, a notaçio indicial do produto de uma
matriz T com o vetor coluna v. Portanto, o produto escalar entre 1
e V, na notação matricial, fica:

35. - 26 -
T11 T 12 T13 V 1 A1 B 1 A1 B 2 A1 B 3 V 1
TV = T 21 T 22 T23 V 2 = A28 1 A2 B 2 A2 B 3 V 2 (12.15)
T 31 T 32 T 33 V 3 A 3 B1 A 3 B 2 A 3 B 3 V 3
£ interessante observar que a matriz T, por sua vez, é
formada pelo produto, em sequência, de um vetor coluna A com um vetor
linha (vetor coluna transposto) È. Assim,
A1 . A1 B 1 A1 B2 A1 [3
T = = A2 (B1 B 2 B3) = A 2 B1 A2 B 2 A2 B 3 (12.16)
A3 A 3 B1 A 3 B 2 A 3 B 3
Note-se a diferença que existe entre a matriz T, que ape
nas é um arranjo de elementos, e a didica T, que em si representa uma
soma de termos.
O produto AB que gera os elementos A.B. é chamado de
produto externo. Portanto, o produto externo entre dois vetores forma
uma didica.
A seguir, ver-se-í a transformação do produto externo de
dois vetores em um outro sistema de coordenadas. Chamando-se A e B
às componentes de dois vetores no sistema de coordenadas s, e obser
vando que as componentes de cada um dos vetores se transforma segundo
(12.9), tem-se que o produto AB segue a seguinte transformação
A B E M.k A. M. 1 B1 = Mik M.1 A.R B1
1 J 1

36. - 27 -
ou tamb&:
T. E
M.k M.1 Tkl , (12.17a)11]
onde não se deve esquecer a soma dupla implTcita nos indices repetidos.
Esta última expressão define o tensor cartesiano de segun
da ordem. Toda entidade 1, cujas componentes, 1.., se transformam
segundo a equação (12.17a),ë chamada de Tensor Cartesiano de Segunda
Ordem. Desta maneira, o produto externo de dois vetores forma um teri
sor de segunda ordem. Não se deve esquecer que os coeficientes da trans
formação correspondem aos elementos da matriz de rotação (ortogonal) M.
t interessante observar, na equação (12.14), que o produ
to escalar de um tensor de segunda ordem com um vetor resulta em outro
vetor. Aliás, esta conclusão estava iS implicita na equação da lei de
Ohm (11.4).
Lembra-se o leitor que as componentes de um tensor 1(x)
podem ser arranjadas de tal maneira que constituam os elementos de uma
matriz T(x). Agora pode-se imaginar, erroneamente, que os elementos
de uma matriz quadrada seriam também as componentes de uru tensor. Por
esta razão õ necessrio salientar que uma matriz uru simples arranjo
de elementos, ao passo que as componentes de um tensor obedecem a pro
priedades definidas de transformação. Contudo, uma pergunta natural que
surge : dado um conjunto de grandezas escalares, arranjadas em forma
de matriz, como que se sabe se correspondem ou não a elementos de

37. n
um tensor? Na realidade, tudo se reduzem satisfazer a relação de trans
formação (12.17a) que, alias, uma restrição rigorosa. Daqui decor
re que esta relação de transformação merece urna atenção espetial atra
võs de exemplos esclarecedores. Antes disso, no entanto, a relação
(12.17a) colocar-se-ã numa forma matricial a qual leva, ãs vezes, a ope
rações mais simples. Nesta relação, os fatores M.. e Tkl são Sim
ples escalares; logo:
T!.M. T M = M. T (Ã). ].
k ki i ik ki 11] 1 j
T'=MTM. (12.1 7b)
Nesta forma, as componentes do tensor são tratadas como
simples elementos de matriz.
EXEMPLO 12.1
Deseja-se saber se as matrizes seguintes são tensores:
y 2 -xy x2 -xy
A = e B =
-xy x 2 -xy
onde x e y são as coordenadas cartesianas num plano.
A transformação de coordenadas para este caso bidimensio
nal ë dada pela rotação em torno do eixo z: X' =

38. - 29 -
= xcoscz + ysena ;
y' = - xsena + yCOSa
Z I = z
Observa-se que, para este caso, é suficiente uma matriz de 2 x 2 elemen
tos
cos a sena
-sena Cosa
Antes de continuar com o exemplo, note-se que se os elemen
tos das matrizes A e A forem constantes, as matrizes seriam também
constantes e, portanto, sua transformação levaria i mesma matriz cons
tante referida apenas a outro sistema de coordenadas. Os tensores cons
tantes transformam-se de maneira semelhante, não havendo diferença com
as matrizes. Nestes casos, no entanto, a identificação vem através do
significado fisico ou matemãtico destas grandezas.
No exemplo atual, primeiro transformar-se-ã cada elemento
utilizando a relação (12.17a) e depois seré efetuada a transformação das
coordenadas. Se o resultado que se obtiver para cada elemento for o
mesmo que o elemento original,porém com as variáveis coorespondentes ao
novo sistema, então a matriz será um tensor.

39. - 30 -
Considerem-se primeiro os elementos da matriz A: Ah E
13
Mik M.1 Aki.
A 1 E Mik M11 Aki
= M 11 (M11 A11 + M 12 Al2) + M 12 (M11 A21 + M22 A22 )
= y2 cos 2 a - 2(x sen a) (y cos a) + x 2 sen2 a
Observe-se que o elemento A 1 & dado ainda em termos das coordenadas
originais. Portanto, agora necessário fazer a transformação de coor
denadas. Isto, no entanto, & feito diretamente observando que
= (y cos a - x sen a)2 =
E Mik M21 Aki
= _Y2 cosa sena - X3'cOs 2 ci +xysen2 a+x2 senacoSa
= - (x cos a + y sen a) (-x sen a + y cos a)
= -x ' y ' , etc.
Pode-se verificar que todos os elementos da matriz trans
formam-se segundo a relação dos tensores. Logo, os elementos A. j com
p6em um tensor.

40. - 31 -
Para o caso da matriz E, utilizar-se-ã a forma matricial
da transformação de tensores (12.17b) com S = sen a e O = cos a.
O S y 2 xy O -s
BI
-s o xy x 2
s o
(Cy - Sx) 2 SC(x2 - y 2 ) + (02 - S 2 )xy
SC(x2 - y 2 ) + (02 - S2 )xy (Sy - Cx)2
Pode-se ver que:
= (y cos a + x sen a) 2
x y'2
Assim, como pelo menos uni dos elementos de E não se trans
forma segundo um tensor, esta matriz não um tensor.
EXEMPLO 12.2
Uma grandeza matemática que possui dois indices e foi
de uso muito comum nos capTtulos anteriores o delta de Kronecker 6.
13
Ser que esta entidade (que por definição apenas representa um sTmbolo)
um tensor? Evidentemente, se e um tensor, tera que se transfor
mar segundo (12.17a). Ou seja, tem de satisfazer a relação:

41. - 32 -
6! . E M
j
M 6
iij k i ki
(12.18)
Para isto, e importante lembrar que o deita de Kronecker
uma definição, e, portanto, apiicãvel a qualquer sistema de base veto
ria] ortogonal. Assim:
1 se
6?. = 6.. -
13 13
se ij
Evidentemente, esta a conclusão a que se deve chegar,
partindo da relação (12.18). Aplicando as propriedades do simbolo
6k1'°
segundo membro da relação (1.2.18), fica:
6'. E M i
j
M
k k
Porem,
= (M)k.
logo:
6.'. = M. (M)
13 ik kj
= (Mfl.. = (i) =

42. - 33 -
onde foi utilizada a propriedade de M ser uma matriz de transforma
cão ortogonal.
Portanto, o deita de Kronecker é uni tensor cartesiano de
segunda ordem.
12.4- TENSORES DE ORDEM SUPERIOR
Os tensores cartesianos de terceira ordem podem também
ser definidos pela associação de trs vetores na forma: A B C, formando
"triidicas". A transformação destas grandezas pode ser escrita, em ana
logia com as diidicas, da seguinte maneira:
Ai! 8!j C
E M. 1 M.jm M
kn
A1 Bm
C
k 1
Ê mediante este tipo de transformação que são definidos os tensores car
tesianos de terceira ordem. Assim, toda grandeza que se transforma se
gundo:
T! E M i j
M M Tijk i m kn lmn
é chamada de tensor de terceira ordem.
Em geral, um tensor cartesiano de ordem arbitrria se
transforma segundo:

43. - 34 -
Th
i
M
j
M M ... M T . (12.19)
ijk ... ti a S ky nn dy ... ti
De uma maneira análoga ã definição de produto externo en
tre dois vetores, existe também o produto externo entre tensores de
ordem arbitrária. Assim, por exemplo, o produto externo entre dois teri
sores de segunda ordem T P, agora expresso unicamente em termos das
suas componentes,
T.. k1 =
di como resultado um tensor de quarta ordem. Obviamente, a ordem do ten
sor formado pelo produto externo de dois outros tensores é igual so
ma das ordens de cada um dos tensores. Deste ponto de vista, os veto
res representam tensores de primeira ordem, uma vez que o produto exter
no de dois vetores, A e B,
A. B. = T.. E T
1 3 13 =
forma um tensor de segunda ordem.
Analogamente, o produto externo de um escalar x com um
tensor de primeira ordem,
xA E XA. = B. e 8
- 1 1

44. - 35 -
di como resultado um outro tensor de primeira ordem. De onde se cmi
clui que o escalar x é um tensor de ordem zero.
12.5- TENSORES SIP4ÊTRICOS E ANTI-SIN(ËTRICOS. PSEUDOTENSORES
Um tensor de segunda ordem, T
1]
. . , é chamado de tensor si-
metrico quando seus elementos satisfazem a seguinte relação:
T.. = T..
13 J1
No entanto, quando
T..= -T..
13 31
o tensor é chamado de anti-simétrico. Aqui, surge a seguinte pergunta:
Seré que um tensor, sendo simétrico num determinado sistema de coordena
das cartesianas, também vem a ser um tensor simétrico em qualquer ou
tro sistema cartesiano? A resposta é positiva, e a demonstraçgo desta
propriedade é como se segue
TL E
M ik j 1
M
ki
T = M
ik. M j1 1k
. T = M
J. M ik 1k
. T = Th
31
. ( 12.20)
Esta mesma propriedade se aplica aos tensores anti-si
métricos.

45. - 36 -
Para tensores de ordem superior, podem-se tambeni definir
estas mesmas propriedades de simetria, porém, em relação a apenas dois
de seus indices. Assim, um tensor de terceira ordem é simétrico em re
lação aos seus dois primeiros índices, quando
T.. = T ji
ijk k
Chama-se de pseudotensor ao tensor cujas componentes são
regidas pela transformação (12.19), exceto que vai multiplicado pelo de
terminante da matriz de transformação. Isto é,
Thk E M M.s Mk ... M T 6 det M (12.21)
Para o caso da matriz de transformação (12.8), tem-se que: det P4 = 1.
Em geral, pode-se demonstrar (ver problema 5 do Capitulo
5) que o determinante de uma matriz de transformação ortogonal (isto
é, M = M') é: det M = ±1. Portanto, para uma matriz de transformação
ortogonal, têm-se ainda dois tipos de transformação. Quando det P4 =+1,
a transformação é chamada de rotação própria; este é o caso dos siste
mas de mão direita que, nos sistemas tridimensiobais estudados na Parte
1, são representados por . x = Eiik k (ver Seção 1.5).
Quando det M= -1, a transformação é chamada de rotação
imprópria. Este tipo de transformação também leva o tensor (ou melhor,

46. as suas componentes) a ser expresso no sistema desejado, exceto que a
direçio de um dos vetores base, neste sistema, é invertido. (Isto é, um
vetor base qualquer do novo sistema é. é trocado pelo
£ interessante, ainda, saber qual o tipo de tensor que é
gerado ao fazer o produto externo de um tensor simples (por exemplo
de segunda ordem) T e um pseudotensor r:
1 C.
ThT E M. M T M M T detM
ij pq 1 jk i ki pr qs rs
E M
i
M
j
M M T T detM
k i pr qs ki rs
Chamando
R E
kirs ki rs
tem-se que
E
ijpq M1.k M. 1 Mpr Mqg Rkl det M
Portanto, o produto externo de um tensor simples com um
pseudotensor (ou vice-versa) é um pseudotensor.
Obviamente, o produto externo de dois pseudotensores dé
como resultado um tensor, unia vez que (det M) 2 = 1.

47. EXEMPLO 12.3
Seja o sTmbolo de Levi-Civita E..k que no Capitulo 1
foi definido com um smbo10 anti-simétrico. Dado que este sTmbolo pos
sui três índices, naturalmente surge a pergunta: Este smbolo é, de fa
to, um tensor? Para responder esta pergunta, suponha-se que, de fato,
Clik é um tensor, portanto, satisfaz a relação:
E
Mil Mk Eimn (12.22)
ijk
De uma maneira análoga ao feito para otensor de Kronecker,
aqui também se faz uso das propriedades definidas do símbolo de Levi-
Civita. Assim, sabendo que
1 quando os valores numéricos dos índices se encon
tram na seqüência positiva: 1, 2, 3, 1
1Dm =
- 1 quando a seqüência é negativa: 3, 2, 1, 3
O quando aparecem índices repetidos
deseja-se saber se Ehk. após a transformação, tem as mesmas proprie
dades no novo sistema de coordenadas. Suponha-se, por exemplo, que:
i = 1, j = 2, k = 3. Para estes valores numéricos dos índices, a rela
ção (12.22) transforma-se em:
EE
M11 M 2 M3
lmn

48. - 39 -
Nota-se que esta expressão é a representação indicial do
determinante de uma matriz de 3x3 elementos (ver a equação (5:10)).
Portanto,
6123 = detM
Para outro conjunto de valores onde os Tndices são repeti
dos, por exemplo, i = 1, j = 2, k = 2, tem-se que,
6122 E c ri ri M = O
lmn 11 2m 2n
Este resultado é devido ao fato de que as duas ifltimas linhas do deter
minante são iguais. Analogamente, para outros conjuntos de valores
tem-se:
1 -
6231 r E ri21 M ri3m = E M ri M dat M
lmn in fim
1 21 3m E
6321 = M M M = - c M M M =-detM
lmn 31 2m In nnil in 2m 31
onde foram usadas as propriedades de inversão de indices no fator c
lmn
Pode-se ver que o smbolo de Levi-Civita satisfaria todas
as relações que definem o simbolo anti-simétrico de Levi-Civita se a
transformação fosse decorrente de uma rotaçcio prõpria, ou seja, quando
det M = 1

49. n
Se as rotações fossem impr6prias (det M = - 1),os resulta
dos anteriores, então, não corresponderiam 5 definição do simbolo do
Levi-Civita que, por ser definição, não deveria depender de qualquer
sistema cartesiano de referência.
Para que os resultados sejam os desejados, será necess
rio que na transformação (12.22) seja incluTdo o fator det M, ficando,
portanto,
M
j
M P1. € detM . (12.23)iijk i m Kfl lmn
Desta maneira, mesmo para uma rotação imprõpria,ter-se-ia
que:
123 = detM detM = (det /4)2 =
1
= -(det M)2 = - 1
onde todas as propriedades do tensor anti-simétrico são satisfei:tas. Co
no conseqüência, e de acordo com a Equação (12.23), chega-se conclu
são de que o simbolo de Levi-Civita é um pseudotensor.

50. - 41 -
12.6- CONTRAÇÃO DE (OU PRODUTO INTERNO ENTRE) TENSORES
Considere-se o produto escalar entre dois vetores:
A . B E A.B. . (12.24)
A nova entidade assim formada é evidentemente uma grandeza escalar. O
que tem acontecido, portanto, que da associação de dois tensores de
primeira ordem, A e B, mediante o produto escalar entre ambos, cha
mado também de produto interno, gera-se um tensor de ordem zero.
A relação (12.24) indica que quando dois Tidices do ten
sor são considerados iguais (implicando, portanto, uma soma sobre estes
Indices repetidos), o tensor diminui de ordem. A operação de fazer dois
indices iguais e chamada de contraç5o (ao contrário do produto externo
entre tensores que implica uma "construção").
Em seguida, ver-se-ão as propriedades de transformação do
produto interno assim definido:
A B E M M A B = () M A B = ( r) A B
ii 1 kilkl kiilkl kiki
E
klAkBl = Ak B k

51. - 42 -
Portanto, A B ê um tensor de ordem zero em ambos os sis
temas de coordenadas, ou tambm o produto escalar entre vetores ë uma
invariante sob a transformação por rotação.
Outros exemplos de contração entre tensores foram rnencio
nados nas relações (11.5) e (12.14). A contração não s6 implica uma
redução na ordem do tensor, mas também, e como conseqüência disto, uma
redução do número de componentes do tensor. Por exemplo, o produto ex
terno entre o tensor T.. e: O V
13 k
P.. = T
ij
V
ijk k
é um tensor de terceira ordem de 33 = 27 componentes no sistema carte-
siano tridimensional. Entretanto, o produto interno entre os mesmos ten
sores é:
P.. . = T.. Q13J 1] 3 j
que é um tensor de primeira ordem com apenas 3 componentes.
Em seguida ver-se-ão algumas contraç6es interessantes co
nhecidas sob o ponto de vista do c1cu10 vetorial. Por exemplo, consi
dere-se o produto vetorial:

52. - 43 -
E
Eijk A B . (12.25)
Olhando para o segundo membro pode-se ver que esta opera
ção representa a contração primeiramente entre o pseudotensor Ci•k e
o tensor Bk. cujo resultado dá origem a um pseudotensor de segunda or
dem e, em seguida,à contração .deste novo pseudotensor com o tensor AJ.
Pode-se ver que o resultado final é um pseudotensor de primeira ordem.
Assim, conclui-se que o produto vetorial entre A e B gera um pseudo
tensor.
De forma análoga o produto
A . B x C E E.. A, B. C
- ijk 1 j k
representa um pseudoescalar.
12.7- DERIVADAS DE TENSORES CARTESIANOS
Uma das operaç6es muito comuns no cálculo tensorial & a
diferenciação ou derivação. Nesta seção será demonstrado que a deriva
da de um tensor cartesiano em relação a uma outra variável que não seja
nenhuma das coordenadas gera, como conseqüncia, um outro tensor da mes
ma ordem, ao passo que quando a derivação í feita em relação a uma das
coordenadas do sistema ou a alguma variável diretamente ligada às coor
denadas, o resu1tado' um tensor de ordem superior ao original.

53. - 44 -
Primeiro ver-se-á o que acontece com as propriedades de
transformação quando a derivada i em relação a uma variável não rela
cionada com as coordenadas. Por exemplo, seja üi esta variável e cmi
sidere-se o tensor:
Th (xi, x x, w) E M.
k
M
j
T
13 i
(x1, x 2 , x 3 , w)
i ki
DL. 3
FMk M.1 T
ikll30)
30)L
aU. aTkl
= M. M. 1
3w 3w
(12.26)
Chamando
3 T 7
- 'ki - k1
tem-se:
Z!. E M. M. 7
ij ik ji ki
Esta relação mostra que, independentemente das proprieda
des fisicas da nova grandeza gerada
1k1'
a transformação deste novo
ente ê a mesma que a transformação de um tensor de segunda ordem. Por
tanto, a derivada de uni tensor cartesiano, em relaçãoa uma variável que
não depende das coordenadas, é outro tensor da mesma ordem.

54. - 45 -
Para o caso da derivada do tensor em relação a uma das
coordenadas, o caso ë diferente. Seja o tensor fl. = Th (xi, 4, 4).li ij
A derivada deste tensor, e de sua transformação em relação a uma das
coordenadas, e:
aU. a
LMÍk M.1 TklJ = Mik M. 1 - Tkl
M m m
Note-se que a matriz de transformação para sistemas de coordenadas car
tesianas sõ depende dos ãngulos de rotação e, portanto, não é afetada
pelas derivadas. Por outro lado
a aT axki n
- Tkl(xl,x2,x3) E
axM n m
Lembrando que as coordenadas também se transformam segundo
E M xM mm n
ou na notação matricial:
= Mx
e sabendo que a matriz de transformação, M, é uma matriz (não-singular)
ortogonal, tem-se que:
X x F4

55. n
Voltando à notaçào tensorial,
X E (M) x' = Mx'
n nr r rn r
de onde:
ax
- ri _.r = ri 6' = M
rn rn rm mn
M m
ax
= rim
ax
n
M
Com este resultado a derivada do tensor fica:
Th E M.M.1M _À_ 'ki
ax'
1 1
k mn
ax
M ti
(12.27)
Nesta expressão, nota-se a presença de 3 fatores de trans
formação, que, segundo a equação (12.19), corresponde à transformação
de um tensor de terceira ordem. Logo, a derivada de um tensor cartesia
no em relação às coordenadas é um outro tensor de ordem acrescido de
uma unidade. r interessante notar que este tipo de derivada correspon
de ao gradiente do cãlculo vetorial, uma vez que a derivada é feita em
relação a todas as coordenadas. Assim, na notação com tis, a operação
de derivar pode ser colocada na forma: v T.

56. - 47 -
Observe-se que o fato de as derivadas dos tensores, em re
laço às coordenadas, serem diferentes de zero, significa que existe uma
variação do valor do tensor para diferentes pontos do espaço. Ou também
pode-se dizer que, para cada ponto do espaço, existe uni valor definido
do tensor. Esta situação, em analogia com as definições de campo esca
lar e vetorial, conhecida como canrpo tensorial, e o estudo dos campos
tensoriais chamado de cáLculo tensorial.
12.8- TRANSFORMAÇÃO MAIS GERAL DE COORDENADAS
As transformações que at aqui foram vistas referem-se es
pecificamente a transformações por rotação do tipo (12.8). Para campos
tensoriais, em geral, quando se fala de componentes do tensor, o que re
almente interessa são as componentes associadas às direções dos vetores
base do sistema. Assim, por exemplo, um vetor V no ponto x do es
paço pode ser expresso mediante suas componentes
E V 1 ()
Fica evidente que, para que um campo vetorial seja expres
so por suas componentes vetoriais, não interessa onde se encontre a ori
gem do sistema de coordenadas; apenas é necessria a orientação dos ve
tores base. Portanto, para a transformação das suas componentes é ne
cessãria apenas a matriz M de transformação. De uma maneira similar,
para campos tensoriais em geral a transformação das componentes de um
tensor é feita apenas com o conhecimento de M.

57. n
No entanto, se a transformação envolve não apenas rota
ç6es, mas tambini uma transla03o da origem dó sistema, esta transforma
ção afeta apenas o vetor de posição x, e não as outras grandezas do
espaço. Neste caso, as coordenadas de um ponto no espaço se transfor
mam segundo:
XI
= Mx + a OU E P1.. x. + a. , (12.28)
1 1J ]
1
onde a o vetor coluna "translação", cujas componentes são as coorde
nadas da origem do novo sistema.
Entretanto, se x não diretamente o vetor de posição,
mas, por exemplo, a diferença entre dois vetores de posição,
Ax = Xj - fa
então, sua transformação também não depende do vetor translação, confor
me é mostrado a seguir:
= = Mx1 +a—Mx2 —a =
de onde se tem que
Ax' = MAx . ( 12.29)

58. - 49 -
Logo, inclusive para este caso, o vetor translaço não en
tra na transformação. Desta maneira, conclui-se que a relação de trans
formação (mais geral), indicada na equação (12.28), é aplicâvel só a ve
tores de posição. Note-se que, segundo a relação (12.29),o elemento de
linha x transforma-se como um vetor comum.

59. - 50 -
nnnnl rinr
12.1- Considere-se o vetor:
= + - 2 3
Encontrar as componentes de V no sistema de referncia obtido
depois de girar o sistema de coordenadas inicial:
primeiro em torno do eixo 2' num angulo de 300; depois em
torno do , num ãngulo de 450,
primeiro emtorno do , em
450;
depois em torno do ,em 30°.
12.2- Seja o vetor
= v11 + v22 + v33
Encontrar a matriz de transformação tal que no novo sistema:
y = Cv = YI)
12.3- Demonstrar que a matriz (12.8) do testo & uma matriz ortogonal.
12.4- A transformãço por rotação pode, alternativamente, ser interpre
tada como a transformaçao que leva o ponto P, de coordenadas x.,
ao P', de coordenadas x. Considerando esta nova interpretação:

60. - 51 -
Determinar as regiões que o ponto P pode ocupar, mediante
transformaçéos deste tipo.
Encontrar a matriz de transformação que leva o ponto de coorde
nadas (1, 1, 1) ao (1 +
2 ,/2
12.5- Num sistema cartesiano tridimensional, considere-se um vetor d de
finido pelas coordenadas esféricas O e •. O sistema cartesia
no é girado em torno de a num ângulo positivo a. Encontrar a ma
triz de transformação entre os sistemas inicial e final.
12.6- Um tetraedro é orientado de maneira que o v&rtice 1 se encontra
sobre o eixo e 3 , o centro do tetraedro coincide com a origem de
coordenadas, o vértice 2 encontra-se no plano dos versores e3 e ê 1
e o vértice 3 na região de x 2 > O. O tetraedro é girado de ma
neira que o vértice 1 passa a ocupar a posição do 3, o 3 do 4 e o
4 a do 1, respectivamente. O vértice 2 permanece fixo. Encontrar
a matriz de transformação correspondente.
12.7- Se os vetores base é.
1
de um sistema cartesiano ortogonal se trans
—
formam em um outro similar, segundo a relação
3
M
1
.. é
J
.
1 -
demonstrar que:

61. - 52 -
n1 Mk = 1
3
M Mk. = O para ixk
ii
,i=l
12.8- Considere-se a transformação
Xj = x 1 cosh o + iX4 senh O ,
4 = x2
X = x3
x4 = -ix 1 senh o + xt, cosh o (12 = - 1).
Mostrar que esta uma transformação ortogonal.
Fazendo x 1 = x, x2 = y, x3 = z, xk = ict e tgh o = onde
X, y e z são coordenadas espaciais, t o tempo, c a veloci
dade da luz e v a velocidade relativa entre os sistemas de
coordenadas S e S', determinar a transformação dos siste
mas (x, y, z, t) e (x', y', Z, t'). Esta a transformação
de Lorentz da teoria da relatividade restrita.

62. - 53 -
12.9- Seja a matriz
cos 2$ sen 2$ O
sen 2$ -cos 2$ O
0 O 1:
Determinar se esta matriz € uma de transformação por rotação.
Se a resposta de a) for positiva, identificar o sistema de coor
denadas ao qual é aplicável.
12.10- Otensor formado pela.diãdica A tem o mesmo conjunto de compo
nentes que o formado por BA. Elucidar as diferenças, relação e
propriedades comuns das matrizes formadas com as componentes de
ambos os tensores. Qual a condição para que uma diãdica forme um
tensor simétrico?
12.11Supondo.que A. A. 1 e A. A. = P.., encontrar as componentes
do tensor A e as do P.. dado que P 11 = =
13
12.12- Considere
,
-se o tensor anti-simétrico A..(f,j= 1,.?, ... , N).De
monstrar que:
A...
1.]
V
1
. V
3
. = O
O determinante da matriz formada com as componentes deste tensor
é nulo,quando N é impar.

63. - 54 -
12.13- Considere-se o tensor arbitrário T num espaço tridimensio
na]. Supondo as seguintes relaç6es de simetria:
= T ..kl; T..kl = T..lk; Tj .kl = Tkl..
quantas componentes independentes possui este tensor?
12.14- Demonstrar que a grandeza
=X6
ij 6
+p
6]. +v
6
j
. +1(6
1 ki ik j ii k ijkl
onde:
1 se todos os índices so desiguais
ij
6.. =
kl j O se existem dois ou mais indices repetidos
satisfaz as relaç3es:
= Ckli. e c =

64. •xz x2 •
z2 -XZj
xz xy -x 2
C = yz -xy
yz -xz
-xz
B =
-x 2 xz
xz xy
D = yz
-x2 yz
-xy
-xz
- 55 -
12.15- Sejam as matrizes:
onde os escalares x, y e z so as coordenadas cartesianas. Su
pondo que as coordenadas se transformam segundo as relações
x' = ax - bz
= y
z' = bx + az
a) determinar quais das matrizes acima podem. ser identificadas como
tensores.
•b) Supondo que os tensores identificados em a) so formados por diã
dicas, determinar os vetores correpondentes.

65. - 56 -
12.16- Sejam os vetores U. e V.. Demonstrar que, após uma transforma
ção por rotação, ficam inalterados:
os módulos de U. e V.
o ãngulo entre os dois vetores.
12.17- Aequação de uma superficie qudrica 1 dada por:
A.. x. x. + 1 = O
1) 1. 3
Demonstrar que os coeficientes. A.. são componentes de um tensor
simétrico de segunda ordem.
12.18- -Identificar o tipo de tensor a que correspondem as grandezas:
Y
V V
12.19- Determinar se a grandeza: AÍkl = ik
6 íl
~
jk
um te!i
sor.
12.20- Determinar se a grandeza: V 2 'P E -.- --- é um tensor.
ax. Bx.
1 1

66. - 57 -
12.21- Seja A.
tj k
unitensor cartesiano arbitrário.
Provar que a grandeza:
P.. = A.. + A .. + A. . + A.. + A .. +
ikjijk ijk ktj jki.
é um tensor.
Mostrar que P é um tensor completamente simétrico (em rela
ijk
ço a todos os pares de ndices).
Se R.. = R.. , então R. . + R . . + R. . = O, onde
i.jk jik ijk kij jki
R.. = A.. +A.. -A,.. -A,..
ijk ijk jik iCij KJi

67. CAPÍTULO 13
TENSORES CARTESIANOS OBLÍQUOS
13.1- VETORES COVARIANTES E CONTRAVARIANTES
Os tensores referenciados a coordenadas oblíquas (onde os
vetores base tm orientaçes fixas), chamadas tambni de coordenadas car
tesianas generalizadas, são conhecidos como tensores cartesianos obil
quos. A intenção deste capítulo á fazer que a transição entre o estudo
dos tensores cartesianos ortogonais e oestudo dos tensores generaliza
dos seja gradual, introduzindo conceitos que são mais fáceis de ser "vi
sualizados" utilizando coordenadas oblíquas do que utilizando coordena
das mais gerais, onde o tratamento matemático á mais abstrato.
A interpretação geométrica das componentes de um tensor
de primeira ordem foi ilustrada na Figura 11.2, onde se fez a distinção
entre componentes contravariantes e covariantes de um mesmo vetor.Assim,
o vetor V pode ser representado pelas suas componentes contravarian
tes V1 , obtidas a partir da lei do paralelogramo, ou pelas suas compo
nentes covariantes V,, obtidas diretamente da projeção do vetor V 50
bre os vetores base do sistema. Não se deve esquecer que em ambos os
casos o vetor
& o mesmo. Desta maneira, o vetor V pode ser repre
sentado, alternativamente, por um vetor coluna (matriz coluna) de ele
mentos contravariantes, ou por outro de componentes covariantes. Assim,
para um espaço N-dimensional existirão dois tipos de vetores coluna, o
e o v , que representam o mesmo vetro V, a saber:
-cov -

68. n
vi
V2
=
- vi
v =
- 2ov
vi
V2
v.1
(13.1)
Na análise tensorial, estes dois tipos de vetores coluna são representa
dos apenas por uma de suas componentes: contravariante V' e covarian
te V., respectivamente. Evidentemente, se o sistema de coordenadas 5
o cartesiano ortogonal, os dois vetores coluna são id@nticos, recobran
do-se a conhecida representação ónica, onde as componentes são simples
mente chamadas de " as componentes " do vetor.
13.2- TENSOR FUNDAMENTAL
Comumente, os vetores base do sistema de coordenadas car
tesianas são escolhidos de maneira que Ie.I = 5» = 1. Assim sendo,
para o caso de coordenadas obliquas, tem-se que 5. . 5. = cos a..,
onde a
1] 5 o ângulo entre os versores 5. e 5.. Entretanto, em ge
- J -
rã] os vetores base não precisam ser vetores unitarios, isto e, o produ
to escalar entre dois deles pode ser uma grandeza ate maior que a unida
de. Portanto, uma representação mais geral 5 necessária para especi
ficar o produto interno entre os vetores base de um sistema de coorde
nadas oblíquas. Desta maneira, define-se a grandeza 9.. como se segue:

69. - 61 -
e. . e. = g. . (13.2)
-1 li
onde Je i l é unia grandeza que, em geral, é diferente da unidade.
O conjunto de grandezas g. j é chamado de tensor funda
mental ou, também, de tensor metrico. Mais tarde, na seção 14.6, ser
demonstrado que esta grandeza . é de fato um tensor covariante de segun
da ordem.
interessante observar, na definição (13.2), que os ele
mentos g. j formam um conjunto que convenientemente pode ser arranja
do em forma de matriz, e que esta matriz assim formada é uma matriz
simétrica.
13.3- TENSORES COVARIANTES, CONTRAVARIANTES E MISTOS
Voltando ao conceito de vetores base, unia mudança de coor
denadas traz, de forma geral, nio apenas urna mudança nas direç6es dos
vetores base, mas também no valor absoluto dos vetores base do novo sis
tema. A Figura 13.1 esquematiza uma mudança de coordenadas, em duas di
mens&es, entre os sistemas 5 e 5, onde
E N11 e, + N12 e 2
e 2 = N21 2i + N 22 e2

70. - 62 -
Utilizando a notação indicial,este sistema de equações
pode ser representado apenas por:
E N
1J
. . e
-J
. , ( 13.3)
onde P1.. a matriz de transformação. (De acordo com a Figura 11.2(a),
IJ
embora aqui não seja de importncia, interessante notar que os elemen
tos P1..1J
são as componentes contravariantes dos vetores . , referidos
-1
ao sistema de vetores base e.).
- 3
n-
/
/
/
Fig. 13.1 - Mudança de vetores base em
coordenadas obliquas.
Os elementos da matriz N.. podem ser obtidos da seguin
te maneira. Suponha-se que- o vetor V, da expressão (11.8), o vetor
de posição x; isto i
X E x ei , (13.4)

71. onde os e.
1
são os vetores base, não necessariamente unitários, e os
x são as componentes contravariantes de x. Com base em (13.4), defi
ne-se o elemento da linha dx como o vetor diferença entre o vetor de
posição (13.4) e um outro infinitesimalmente pr6ximo dela; isto :
dx E dx1 e. . (13.5a)
Este mesmo elemento de linha pode também ser expresso no
sistema 5 da seguinte maneira:
dx E d (13.5b)
Igualando as duas últimas relações, tem-se:
e. E 4- e. . (13.6)
aR' -)
As relações (13.3) e (13.6) são id@nticas; logo:
àxjNij = --- . (13.7)
ax
Os coeficientes definidos por (13.7) podem ser calculados
utilizando as relações de transformação de coordenadas:
x = x1 (i', R2 ... RN) . ( 13.8)

72. - 64 -
A transformação das componentes covariantes V., de um
vetor V, do sistema de vetores e. ao e. pode agora ser obtida da
seguinte maneira. Seguindo a definição (11.9), a componente covariante
do vetor V é dada por:
e E N
13
. . V . e
J
.
1 - - -
onde foi utilizada a relação (13.3). Por outro lado, V. = V . e., de
onde se tem que:
V.
1
E N
13
. . V. . (13.9)
:i
O interessante & que esta transformação obedece à mesma
lei de transformação que a dos vetores base, indicada na relação (13.3).
Isto é, as componentes V. do vetor V e os vetores base e.
1
se "co
- -
transformam", sendo esta a razão pela qual as componentes V. são cha
madas de componentes covariantes do vetor V. A expressão (13.9) é cha
mada de relação de transformação das componentes covariantes do vetor
v.
A relação (13.3), escrita na notação matricial, fica:
= Ne
Onde e e são vetores coluna cujos elementos são os vetores base,
e e., respectivamente.

73. sie
Supondo que IV & unia matriz não-singular, tem-se:
= ir'
ou, retornanto à notação inicial:
e. E (r1 ).. .
- 1 13 3
(13.10)
Esta a relação que fornece a transformação inversa entre os vetores
base. Substituindo esta relação na equação (11.8), vem:
V E V e. E V1 (ir').. . = (ir').. V' .
- 1 13J 31. 3
Chamando ainda
E (r').. v' , ( 13.11)
tem-se que:
V
í
e. E V3 ë. ;
- J
ou seja, o vetor V pode ser expresso, mediante a mesma representação,
tanto no sistema 5 como no S.

74. A expressão (13.11) é a relação que define a transforma
cão das componentes contravariantes do vetor V. A denominação de con
travariante pode ser associada natureza inversa da matriz de transfor
mação; (isto , inversa da matriz de transformação covariante).
Em suma, pode-se dizer que os vetores coluna VcoI e V
- -cov
ou simplesmente V' e V, respectivamente, são definiç6esmais gerais
de "vetores". As entidades, que se transformam segundo as relações
(13.9) e (13.11) são chamadas de tensores covarianteccontravariante de
primeira ordem, respectivamente.
Analogamente, entidades que se transformam segundo
T. . E
N.1
k Nt.1 Tkl (13.12)
1]
e
ii
(j( ' )
ik
(ia)ji Tkl
(13.13)
são chamadas de tensores covariante e contravariante de segunda ordem,
respectivamente.
Como resultado da associação por produto externo de um ve
tor covariante A e outro contravariante B 3 , origina-se uma nova
grandeza, a saber:
E
N. k(N ' )..l AIKB'

75. - 67 -
Chamando:
Ti=A. B3
tem-se que:
'fl E N (f) j Ti
i1 k i k
(13.14)
Toda grandeza que se transforma segundo a relação (13.14)
chamada de tensor mito de segunda ordem. Naturalmente, este tipo de
tensor não tem paralelo em sistemas cartesianos ortogonais.
O leitor pode verificar que contração entre tensores somen
te existe entre um Tndice covariante e um contravariante (ou vice-versa),
uma vez que a contração entre Tndices do mesmo nivel leva a uma grande
za que não mais tensor. Pode-se demonstar que:
A.B1 E A. Bi (13.15)
1 3
13.4- TENSOR RECIPROCO
O produto escalar entre o elemento de linha dx e um dos
vetores base d como resultado a componente covariante dx., confor
definido na relação (11.9), isto ë:

76. n
dx. = dx . e.
J -
E (e.
1
dx') . e. e e=
J1
. . . dx'
-J - -
E g. dx' = g.. dx' . (13.16)
Observe-se que, neste caso, o tensor fundamental atua como
se fosse uni operador que converte uma componente contravari ante numa co
variante. Em outras palavras, o tensor g.. tem a propriedade de "abai
xar" o índice do tensor sobre o qual atua. Ao mesmo tempo, pode-se no
tar que no segundo membro existe uma contração entre dois tensores, es
pecificamente entre o Tndice covariante de um deles e o contravariante
do outro.
Em correspondncia com a operação de abaixar um índice
contravariante, existe a operação inversa de "levantar" o índice. Isto
pode ser feito multiplicando a equação (13.16) pela matriz inversa de
g' (formada com os elementos de g.), ou seja g', e definindo:
(q 4 ) 1 =
gJ
tem-se
9kj dx. E
gki
g 1 dx' . (13.17)

77. n
No entanto, por definição
9 k = ( 1I'
31 ki
= (1) = deita de Kronecker.
ki
Observe-se nesta última expressão que se os elementos das
matrizes g e g 1 forem componentes de tensores, a contração só será
possÍvel se gki for um tensor contravariante, uma vez que:
9k g.31 = gij
9 j = . ( 13.18)
1
A nova grandeza 9íassim definida é chamada de tensor
reciproco (do tensor fundamental). Ao mesmo tempo, a relação (13.18)
define também o deita de Kronecker, expresso em coordenadas obliquas. O
leitor pode demonstrar que s é um tensor misto seguindo as mesmas
passagens do Exemplo 12.2.
Voltando à expressão (13.17) tem-se:
9kj dx. E 6 dx' = dxk
3 1
Assim:
dxk = 9ki dx. (13.19)
Pode-se ver que o tensor reciproco (contravariante de se
gunda ordem) atua como um operador que levanta um Indice covariante.

78. - 70 -
Faz-se notar que sendo o tensor fundamental, g.. , unia gran
deza simétrica em relação aos seus Tndices, o tensor reciproco 9 13 uni
bm serã simëtrico em relação aos mesmos indices.
13.5- VETORES BASE COVARIANTES E CONTRAVARIANTES
Os vetores base, que t&ni sido de uso comum no material vis
to at aqui, são chamados de vetores base covariantes, devido à sua ca
racteristica de transformação indicada na relação (13.3).
Define-se um vetor base contravariante e 1 mediante o se
guinte produto escalar:
e 1 . e. = . (13.20)
- 3
Esta definição tem implicações muito interessantes. Por
exemplo
e 1 . e. = O se i j,
-
ou seja, os vetores e 1 são ortogonais aos e. Por outro lado,
e' . e. =
- -1

79. - 71 -
(A titulo de analogia, 5 interessante notar que a relação
entre vetores base covariantes e contravariantes 5 similar à relação en
tre os vetores do espaço "primitivo"e do espaço ÍÍdualII, respectivamente,
estudados no Capitulo 7).
A exist5ncia dos vetores base contravariantes traz como
consequ5ncia uma representação alternativa de um vetor corno uma soma ve
tonal em função das suas componentes covaniantes. Lembrando a repre
sentação (11.8) para um vetor e fazendo uso da propriedade do tensor re
ciproco de levantar os Índices covariantes, tem-se que:
V E vi e.
1 E
V. e.-
J 1
Dada a simetria do tensor recíproco, tem-se ainda que
91.1 ei = ji =
; ( 13.21)
logo
V E V . (13.22)
O interessante das relações (11.8) e (13.22) 5 que ambas
representam uma adição vetorial das suas componentes, contravariantes
e covariantes respectivamente, de acordo com a lei do paralelogramo!

80. - 72 -
nni-nI rMftC
13.1- Demonstrar a relação (13.6).
13.2- Demonstrar que a propriedade de contração entre tensores cartesia
nos oblíquos, é posslvel somente entre índices covariante e con
travariante, ou vice-versa, verificando que:
A.
1
B. é uma entidade que não é tensor;
3-
A' B. é um tensor invariante.
13.3- Demonstrar que o delta de Kronecker é um tensor misto de segunda
ordem.
13.4- Demonstrar que o tensor fundamental, g., é um tensor covarian
te de segunda ordem.
13.5- Sejam as coordenadas cartesianas ortogonais x, y e as coordena
das de outro sistema x, 3 relacionadas mediante:
x = - 2
Demonstrar que x e y constituem um sistema de coordenadas oblI
quas encontrando o ângulo entre os vetores base do novo sistema.

81. - 73 -
13.6- Supondo um sistema cartesiano ortogonal 5 de coordenadas (x, ,y)
e outro obliquo S de coordenadas (€, ri), de maneira que x e
sejam coincidentes e que entre os eixos e r exista um ângu
lo a, determinar:
as relaç6es de transformação entre ambos os sistemas;
os vetores base covariantes do sistema ;
as componentes do tensor fundamental
as componentes do tensor reciproco.
13.7- Supondo os mesmos sistemas de coordenadas do Problema 13.5 e as
componentes V e V, do vetor V, encontrar as componentes
covariantes e contravariantes de V no sistema .
13.8- Seja a seguinte relação de transformação de coordenadas:
= x + y ,
n = -x + y
= 3z ,
onde x, y e z correspondem ao sistema cartesiano ortogonal 5
e , Ti e c, a um sistema obliquo . Determinar:

82. - 74 -
os vetores base covariantes . (com os resultados, verificar
as relações (13.15));
as componentes do tensor fundamental;
as componentes contravariantes do vetor definido por A=3ê 1 +2e2
(verificar que = 3i + 22);
os vetores base contravariantes e (verificar que . ë. =
13.9- Utilizando a mesma relação de coordenadas do Problema 13.8:
encontrar as componentes contravariantes no sistema dos veto
res V = (3. 2 0) e = (2 -3. 0) definidos no sistema S;
mostrar que V . U uma grandeza invariante.
13.10- Demonstrar que o tensor reciproco, em termos dos vetores base con
travariantes, dado por
gÍ . .
13.11- Sabendo que o tensor recTproco um contravariante de segunda or
dem, demonstrar que a rei ação de transformação de vetores base con
travariantes dada por
E
(p1)

83. rftDfrIIl A lA
TENSORES GENERALIZADOS
14.1- SISTEMA ARBITRÁRIO DE COORDENADAS
Neste capitulo, ver-se-á a transformação das componentes
de um tensor, referenciadas a um sistema arbitrário de coordenadas chá
madas tai-nb&m de curvilineo generalizado (onde, inclusive, a orientação
relativa entre os vetores base do sistema varia para cada ponto do espa
ço) em um outro sistema igualmente arbitrário. Naturalmente, nesta anã
lise encontram-se incluidos os tensores cartesianos ortogonais e obli
quos, estudados nos captulos anteriores, os quais chegam a ser simples
casos particulares do que se segue.
Exemplos de sistemas de coordenadas, cujos vetores base
mudam de orientação em relação a um sistema fixo, para cada ponto do es
paço, são as coordenadas curvilneas ortogonais embora, neste caso, a
orientação relativa entre os vetores base permaneça fixa. Entre estes
sistemas de coordenadas, tem-se as esférico-polares e cillndrico-circu
lares, estudados no Capitulo 3. No sistema esférico-polar, mostrado na
Figura 14.1, para um ponto x no sistema de coordenadas r, o e •, os
vetores base neste ponto são respectivamente: , ô e . As componen
tes do versor , em função do sistema fixo i, , e i, são:
E = seno cos + seno sen + coso i

84. - 76 -
Fica evidente que esta direção é diferente para cada ponto do espaço.
Naturalmente, os outros vetores base tambm mudam de direção.
Se, no exemplo da Figura 141., se quisesse mudar do siste
ma esférico-polar para o cartesiano, ter-se-ia de usar as seguintes re
laç6es entre as coordenadas de ambos os sistemas:
x = r seno cos = x(r,e,$)
y = r seno sent = y(r,o,)
z = r cos o
e.
Fig. 14.1 - Sistema esférico-polar como exemplo de
sistema de coordenadas cujos vetores
base mudam de orientação para cada pon
to do espaço.

85. - 77 -
Note-se que, neste caso, as relações de transformação não
são mais lineares, como foi o caso das transformações cartesianas. De
uma maneira geral, e chamando de x as coordenadas de uni sistema
S, e x ãs do sistema S, as relações de transformação agora podem
ser escritas da seguinte maneira:
= (x1 x2 ... , x, ... , (14.1)
t importante esclarecer que as novas coordenadas não precisam ser inter
pretadas de maneira geomtrica. Podem ser simples mudanças de variãveis.
14.2- VETOR CONTRAVARIANTE E COVARIANTE
O vetor elementar dx que une o ponto representado pelo
vetor de posição x com outro muito próximo dele i dxdX 1 e.Todavia,
de uma maneira mais simples, este vetor elementar pode ser representado
apenas por uma de suas componentes, dx'. Analogamente, no sistema ,o
vetor elementar representado por di'. As componentes de d' são
obtidas diferenciando diretamente a relação (14.1); isto :
d_X E . dx3 . ( 14.2)
Esta ultima expressão define a transformação das componeri
tes contravariantes de um vetor ou, mais simplesmente, a transformação
de um vetor contravariante. Assim, toda grandeza que se transforma se
gu ndo:

86. n
-. -1
V1 E --- V3 (14.3)
BX
é chamada de vetor contravariant4. Note-se que, neste tipo de transfor
mação, para obter a transformação de um vetor no sistema S, as deriva
das parciais são feitas nas coordenadas do sistema 'com barra" (numera
dor), em relação às coordenadas do sistema "sem barra" (denominador).
A equação (14.3) é uma generalização das transformaç6es
(12.1) e (13.11), dos tensores cartesianos ortogonais e oblquos, res
pectivamente. Pode-se ver que as grandezas --- são equivalentes aos
axJ
elementos das matrizes de transformação correspondentes. De fato, e
chamando Q3. 1
= , vê-se que, com estes elementos,pode-se construir
uma matriz de transformação.
Em seguida, encontrar-se-á a relação de transformação de
um vetor covariante. Para isto, considere-se a função escalar 4(xt ) =
X i
( x', x2 , ... ... xN) que, por ser uma grandeza escalar, é invarian
te em relação à transformação de coordenadas; isto é: ïi(xt) = En
tretanto, o conjunto formado com as derivadas é um vetor (grandeza
âx
com um indice) que "mede" o grau de variação de o nesse sistema de co
ordenadas. Derivando ' em relação ao sistema de coordenadas S, tem-
-se:
- (1) =-LL (xi ) = -- (xi)

87. - 79 -
Assim:
3t = 3m ct,
Bk - k
(14.4)
Esta expressão define a transformação de um vetor covari
ante. Toda grandeza que se transforma segundo:
- axJV. E -: V.
aR'
(14.5)
é chamada de vetor covariante. Observe-se que na transformação covari
ante as derivadas parciais são feitas nas 'coordenadas do sistema "sem
barra" (numerador), em relação às coordenadas do sistema "com barra" (de
nominador).
Para facilitar a memorização das relações de transforma
ção dos vetores contravariante e covariante, é interessante notar que
quando a posição do fndice é superior (contravariante), ou inferior (co
variante) na grandeza que se encontra no primeiro membro, no segundo mem
bro sua coordenada fica, correspondentemente, no numerador ou no denonil
nador.
Aproveitando a relação de transformação (14.2) e dividin
do ambos os membros por dt, ter-se-ia a relação de transformação do ve
tor velocidade (14.3). Portanto, o vetor velocidade é um vetor contra
variante.

88. n
EXEMPLO 14.1
Suponha-se que nas coordenadas polares (r, o) se faz a se
guinte troca de varivel: x = ln r, de maneira que as novas coordena
das "polares" agora sejam x e o. £ interessante saber como i que se
transformam neste novo sistema as componentes contravariantes Y do
vetor V, expressas no sistema cartesiana (x, y).
As relações de transformação segundo a equação (14.3) são:
= + - v
= + -
ax
Fica evidente.que o problema consiste em encontrar os valores das deri
vadas parciais. Não se deve esquecer que as relações de transformação
das coordenadas polares em cartesianas, são:
x = rcos O
y = rseno

89. - 81 -
ou, alternativamente,
= x2 + y2
tge= 1
x
Assim, então
ax - ax ar
ax ar ax
Porém,
ax 1 are --
ar r ax r
logo, segue-se que
= = cos e
ax r2 r
Todavia,
r =

90. n
de onde se tem:
-- - e
-x
COSO
Bx
Analogamente,
- x- - e
-
sena
Finalmente:
xV x = e
-
( coso Vx + sena V)
De uma maneira similar, encontra-se que
- = -e
-x
san o e -
de onde se tem que:
= e (-sena Vx + coso V')

91. n
Pode-se verificar também que a transformação inversa é:
VX = xV' - yV 0 e VY = yV
+ xV0
O problema de encontrar as transformaç6es covariantes é
deixado para o leitor.
14.3- O JACOBIANO DA TRANSFORMAÇÃO
No último exemplo apresentado, a transformação inversa dos
vetores covariantes (deixada como exerc{cio) pode ser encontrada apli
cando diretamente as relaç6es de transformação, ou, também, resolvendo
o sistema de duas equaç6es obtido da primeira transformação. Entretanto,
surge sempre a pergunta: Sob que condições existe uma transformação in
versa? Ou melhor ainda: Quando é possTvel a transformação de um siste
ma de coordenadas em um outro, e vice-versa? Em seguida,encontrar-se-á
uma relação matemática que responde a este tipo de perguntas.
Considere-se a relação de transformação (14.5) na sua for
ma matricial. Para isto, é necessário notar que o primeiro índice de
cada elemento da matriz tem de corresponder ao Tndice do operador
axt
por razoes obvias. Assim, chamando
(1

92. n
a relação (14.5) pode ser escrita na forma
= QV
cov -cov
(14.6)
onde os vetores coluna s ão formados com as componentes covariantes e
onde
2
Dx1 Dx Dx
_1 -1
Dx Dx Dx
1 2 fl
Dx Dx Dx
-_2
Dx Dx Dx
Dx 1 DX 2 DX"
Dx
-n -n
Dx
-n
Dx
A transformaç ão inversa obtida multiplicando a equação
(14.6) por na suposição de que este inverso exista. Assim,
v- v
cov cov
(14.7)
Isto , a transformação inversa existe apenas quando Q
é uma matriz não-singular. Lembrar da Seção 5.5 que esta condição 5
satisfeita quando: det 0 ~ O.

93. n
O determinante da matriz Q é urna grandeza de muita sig
nifidncia e é comumente designado por:
detQ = det = -
~ Xil
Assim,
x1 ax
-1 -1
âx
ax ax
-2 -2 -2
a BX
(14.8)
1 2
Bx
ax
-n -n -n
3x
Este determinante recebe o nome de Jacobiano da transfor
mação, cujo valor diferente de zero garante a exist ência da transforma
cão de um sistema em outro, e vice-versa. Outras representações do
Jacobiano comumente encontradas na literatura correspondente são:
laxi
a
(x 1 , x 2 , ... , x')
1
( ,
-2
x , ... , x )

94. Embora tenha sido usada a relação de transformação dos ve
tores covariantes para chegar à expressão do Jacobiano, pode-se denions
trar que uma expressão equivalente é obtida se se fizer uso da relação
de transformação dos vetores contravariantes.
Lembrar que o Jacobiano já tinha sido mencionado na Seção
3.5, porém, sob um ponto de vista diferente, embora, na oportunidade,fo
rã adiantado que se tratava do "acoplamento" entre dois sistemas de co
ordenadas.
14.4- TENSORES DE ORDEM SUPERIOR
De uma maneira similar ao caso dos tensores cartesianos
oblTquos, o produto externo entre dois vetores contravariantes origina,
também, um tensor contravariante de segunda ordem. Assim,
A' B 3 E !if ai Ak B1
Chamando, como antes,
T'3 = A
i
Bi
tem-se:
E . ( 14.9)
axlC âx1

95. n
Desta maneira chega-se à definição do tensor contravariante de segunda
ordem. Toda grandeza, cuja transformação seja dada pela relação (14.9),
chamada de tensor contravariante de segunda ordem.
De maneira semelhante, são definidos os tensores seguin
tes:
1] 1 )
ti =
1 - ax i
tensor covariante
Tkl = de segunda ordem.
(14.10)
= tensor misto de segunda ordem. (14.11)
EXEMPLO 14.2
Neste exempl o, i nvesti ga-se a natureza do deita de Kronecker,
sob o ponto de vista de coordenadas generalizadas. Deve-se lembrar que,
de uma maneira mais ou menos intuitiva, inferiu-se que este símbolo era
um tensor misto conforme a relação (13.18).
Para saber se o deita de Kronecker &, de fato um tensor
misto, é necessário submeta-lo à transformação de um tensor misto e ver
se, depois da transformação, esta grandeza continua a satisfazer as pra
priedades definidas. Assim,

96. n
= ~ X1 6 k
ax' aR1 1
Aplicando, nesta expresso, as propriedades do slmbolo de
Kronecker no sistema sem barra, tem-se
1 -
a xk j a
O último termo e 1
-t
= 1) ou e zero
a
tema sao variáveis
mação torna-se uma
Kronecker obedece
se i = (ou seja, para um valor numrico de i=I,
se i = j, uma vez que as coordenadas no mesmo sis
independentes entre si. Logo, a relação de transfor
identidade, de onde se conclui que o deita de
transformação
E .?.iI •4 6k (14.12)
ax jj 1
Esta relação mostra que os elementos 6 são as componen
tes de um tensor misto.
Convida-se o leitor a provar que o deita de Kronecker não
satisfaz as transformações de um tensor contravariante, nem as de uni co
variante.

97. 14.5- CONTRAÇÃO
Conforme já foi adiantado nos capitulos sobre tensores
cartesianos em geral, a propriedade de contração implica redução da or
dem do tensor. Aqui, também, a contração 5 feita igualando dois indi
ces. Porém, e aqui está a diferença mais importante, os indices envol
vidos tem de ser mistos, isto é, uni indice covariante e um contravari
ante, ou vice-versa. A contração não pode ser feita com índices do mes
mo "nve1", conforme é demonstrado a seguir.
Seja o tensor T'j V.; dado que o índice j é repetido,
(este é "mudo " ), o Índice que caracteriza o tensor é o contravariante i.
Chamando
AL E T'3 V.
3
tem-se que a transformação desta grandeza é:
Ãi E T13 .
3
Tk1 y = ' v
- Dxk ax1
Porém,
-
- m
- i 1 1 151
ax ax ax

98. Portanto,
E ---- TSV
axk m =
(14.13)
Esta transformação corresponde a um vetor contravariante.
Logo a grandeza T V. (originalmente um tensor de terceira ordem,
contravariante nos índices iJ e covariantes no outro Tndice ) urr
vetor contravariante.
Por outro lado, suponha-se que se queira fazer uma contra
ção entre indices contravariantes, por exemplo: T 13 V1 . Para elucidar
se isto faz sentido, sup6e-se que esta grandeza um tensor. Portanto:
T 11 VI E -- !± TklVm
axk x1 ac
Pode-se ver que a relação que se obtem no segundo membro não leva a uma
contração e, devido à soma sobre os Tndices repetidos j, nem sequer
a transformação de um tensor. Isto prova que a contração de um tensor
sô ocorre quando os Tndices iguais ficam em niveis diferentes.
Às vezes necessário explicitar que um determinado ten
sor o resultado de uma contração. Assim, por exemplo, na equação
(14.13) o tensor contravari ante A 1 o resultado da contração dos teri
sores T
kin
e V. Para que isto seja assim entendido, a relação (14.1I
pode também ser escrita na forma:

99. - 91 -
E A . (14.14)
3 m
• A propriedade de existir contração de tensores somente en
tre indices de nivel diferente permite reconhecer alguns tipos de veto
res na mecânica clâssica. Assim, por exemplo, na expressão dos traba
lhos virtuais, o trabalho 5W desenvolvido por uma força F sobre um
objeto que e deslocado numa distância elementar dx : W = E . dx. Na
anãlise tensorial, este produto escalar vem a ser urna contração entre
o vetor contravariante dx1 õ (forçosamente) o vetor covariante F..
Assim, 6W E F. dx1 .
14.6- TENSOR FUNDPIENTAL
No capitulo referente aos tensores cartesianos obliquos,
o tensor fundamental foi definido mediante a relação (13.2):
g13. . = e.
1
.
- 3
e.
-
onde os e. são vetores base (ou direções) do sistema cartesiano obil
quo. Neste sistema, a magnitude (ou modulo) de um vetor elementar dx,
no espaço das coordenadas, i dada por:
e
(dx) 2 = ( dx) . (dx) E (dx1 e) . (dx3 e.) = g.. dx 1 dx3
O tensor fundamental g3 (ou melhor, as suas componen
tes) para o caso das coordenadas obliquas é uma orandezaconstante. En

100. - 92 -
tretanto, em tensores generalizados sffo diferentes para cada ponto do
espaço, dependendo inteiramente das coordenadas do ponto. A seguir, de
monstrar-se-i que estas grandezas são componentes de um tensor covarian
te e não apenas de uma matriz, conforme fora mencionado na seção 13.2 do
capitulo anterior.
Sabendo que jdx I 2 uma grandeza invariante para qual
quer sistema de coordenadas, tem-se que
dx j 2 e
.
j
d
d 3 e g1 dxk dx1 , (14.15)
onde as grandezas g.., nos dois sistemas, são de natureza tensorial
desconhecida.
Efetuando a transformação dos vetores d no primeiro
membro, tem-se:
1 -)
.. ddV g.. - d xkdx l
13 13 xk '
Comparando o segundo membro desta última expressão com
o segundo membro da equação (14.15), tem-se que
kl 7[ (14.16)

101. - 93 -
Esta transformação corresponde a um tensor covariante de segunda ordem
do sistema S ao sistema S. Portanto, conforme já fora adiantado,
conclui-se que o tensor fundamental d um tensor covcniante.
Neste ponto fica interessante encontrar uma interpretação
geométrica para o significado do tensor fundamental. Para isto, suponha-
-se um espaço bidimensional "curvo", tal como o de uma superflcie esfé
rica de raio R. Usando as coordenadas esférico-polares, segundo aequa
ção (3.6), o elemento de comprimento, neste espaço, é dado por:
dx 2 = R 2 (de) 2 + R2 sen 2 e (d) 2
Para este caso, com d' = de e d 2 = d, tem-se que:
9,1 = p2 92 2 = R2 sen 2 e
e 9 12 = 921 = O
O importante destas relaçées é que as componentes do tensor fundamental
encontram-se intimamente relacionadas com as características geométri
cas do espaço. De fato, conforme será visto mais tarde, o tensor funda
mental é uma grandeza que descreve as propriedades geométricas do espa
ço.
Aqui vale a pena digressionar momentaneamente para escla
recer o tipo de espaços que aparecem, diferentes do costumeiro tridi

102. - 94 -
mensional. Note-se que o tensor g. j do exemplo é um tensor com matriz
diagonal. Em geral, quando o elemento de comprimento é obtido mediante
a relação:
dxI 2 = 9 11 (dx') 2 + 9 22 (dx 2 ) 2 + g 33 (dx 3 ) 2 + ... , ( 14.17)
onde as componentes g.. são constantes, o espaço é chamado de espaço
Euclidiano, referido a um sistema de coordenadas cartesianas x 1 de ve
tores base mutuamente ortogonais. Entretanto, num mesmo espaço [ucli
diano pode ter-se uni sistema de coordenadas obliquas, ou, em geral, um
sistema de coordenadas curvilineas generalizadas, onde o quadrado do com
primento elementar é expresso por:
!dH 2 E g.. dx 1 dx j > O , (14.18)
onde o comprimento elementar s6 é zero quando a distncia entre dois pon
tos adjacentes é nulo.
Todo espaço cujo comprimento elementar seja dado por
(14.18) é também chamado de espaço planoh. Assim ,para o caso da superfi
cie esférica, a qual foi chamada de espaço bidimensional "curvo", che
gou-se a uma expressão Euclidiana para seu comprimento elementar. Isto
significa que este espaço bidimensional é apenas um subespço do
Euclidiano tridimensional.
Espaços que no sEo Euclidianos são chamados de espaços
curvos ou Riemanianos. A definição de um espaço Riemaniano vem, também,

103. - 95 -
do conceito de distância elementar entre dois pontos adjacentes, porém,
sem precisar- que a grandeza Id1 2 seja positiva. Isto é, neste ti
po de espaços, a grandeza g' 3 dx1 dx3 pode ser também negativa, in
clusive pode ser zero, sem que a distância entre dois pontos adjacentes
seja nula. O que importa mesmo é a existência de um tensor fundamental
simétrico de segunda ordem. Um exemplo deste tipo de espaço é o espaço-
tempo da Teoria da Relatividade Geral. Mais adiante, nos CapTtulos 15
e 16,são tratados os espaços curvos e suas aplicaç6es.
Agora volta-se ao estudo do tensor fundamental. Uma pro
priedade deste tensor é obtida da equação (14.15) depois de rearranjar
convenientemente os Tndices mudos. No segundo membro da expressão:
!dx 2 g.. dx' dx (14.19)
13
trocam-se os i 's pelos j 's e vice-versa, de maneira que:
dxI 2 e g. . dx3 dx' = g. . dx' dx
31 31
Comparando o ultimo membro desta expressão com a (14.19),
conclui-se que
gij = 9ji
(14.20)
Isto é, o tensorfundcEnentai é um tensor simétrico. Esta mesma conclu
são tinha sido obtida de uma maneira trivial, em coordenadas obliquas,
uma vez que o tensor fundamental fora definido apenas como o produto

104. escalar entre os vetores base do sistema de coordenadas, conforme mdi
cado na equação (13.2).
Suponha-se agora que o sistema de coordenadas x é o
cartesiano ortogonal fixo, e que o sistema de coordenadas x é um sis
tema curvilineo generalizado. Para este caso, a equação (14.17) fica
Idxl2 = (dx') 2 + (dx2 ) 2 +
de onde vem que
= 1
Logo,
Idxj2 E dx1 dx1
Por outro lado, da relação (14.15), tem-se que
ldI2 E dx1 dx1 E
gkl d
di 1 , ( 14.21)
onde os vetores dx 1 transformam-se segundo:
dx1 -5 d
a xk

105. - 97 -
Portanto, efetuando esta transformação na relação (14.21),
tem-se:
did' E
Fica evidente que:
- - ax
kl - k 1
É importante ressaltar que esta relação permite determi
nar as componentes do tensor fundamental do sistema de coordenadas i',
quando a transformação feita de um sistema cartesiano ortogonal.
EXEMPLO 14.3
Supondo que o sistema de coordenadas i' é o esfrico-
-polar ( = r, = e e = 4'), encontrar-se-ão as componentes do
tensor fundamental, deste sistema, relativas ao cartesiano ortogonal fi
xo.
Lembra-se que a relação de transformação entre os dois
sistemas e o seguinte:
2 _1
x =xsenx cosx, x =x senx senx e =x cosx

106. SI-
Logo,
É '2 É 2 É 2
- & X 1 a x2 ax2 - IDxI+— —+ + +1. 1 -1 -1 1 1 1 1
ax Dx 8c B 1
-2 2 -2 _ 2 -z 2
= (sen x cos x ) + (sen x sen x ) + (cos x ) =
511 = 1
Analogamente,
g 2 2 = r2 e 53 3 = r2 sen 2 O
Os outros elementos fora da diagonal so todos zero, conforme pode ser
facilmente verificado. Portanto, os elementos do tensor fundamental,
colocados na forma matricial, sio:
1 O O
g = O r2 O
O O r2 sen 2 O.)
Assim o elemento jdx l
2, em coordenadas esférico-polares, é dado por:
12 ...2. -
dxl - = (d ). + 22 (dx ) 2 + g 33 (d 3 )
2
(14.23a)
]dxl 2 = ( dr) 2 + r 2 (d) 2 + r 2 sen 2 o (dt) 2 (14.23b)

107. Naturalmente, a relação (14.23a) é equivalente à equação
(3.6), onde o quadrado das "métricas" h. das coordenadas curvilmneas
identifica-se com as componentes do tensor fundamental (chamado também
de tensor métrico) g.11
14.7- TENSOR RECIPROCO
A seguir, ver-se-ao as caracterTsticas do tensor recipro
co. Para isto, lembra-se que os elementos do tensor recíproco, ou me
lhor as componentes do inverso da matriz g, foram definidas mediante
a equação (13.18).
g g = 1
onde, de uma maneira arbitrária, os elementos de 9 1 foram chamados de
componentes do tensor (recíproco) contravariante de segunda ordem. Em
seguida esta denominação será justificada.
Chamando (ç') = g aos elementos da matriz g 1 , e
de acordo com a relação (13.18), tem-se que
liii = 51
9jk - k
O que se conhece nesta expressão é que a grandeza g. é um tensor co
variante de segunda ordem, e no segundo membro da equação o delta de
Kronecker, que em coordenadas generalizadas é um tensor misto. Escre

108. - 100 -
vendo a equação anterior no sistema S e efetuando a transformação
do tensor misto no segundo membro, tem-se:
ak' axm in
g ]k E
71 Ç M=
— g
9run
Por outro lado, efetuando a transformação do tensor
- fundamental gjkno primeiro membro, esta equação fica:
i] Dx D? - D i DX" in
9 —g = —o g
Dx3
1c nm k - nin
Igualando os coeficientes de
Dx"
-
g em ambos os membros, tem-se:
D i'x ij - D in
=
-. Dx
Multiplicando os dois membros desta equação por - e, evidentemente,
ax"
somando sobre todos os Tndices repetidos, tem-se:
ik DX' aT in
(14.24)
Dxl Dxfl
A relação (14.24) mostra que os elementos da matriz g'
se transformam segundo as componentes de um tensor contravariante de se
gunda ordem. Portanto, o tensor recíproco 5 um tensor contravariante
de segunda ordem.