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1.
Quinto Año de
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2.
CAPÍTULO 2
ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36) Factorial de un número NIVEL I Resolución 7 1 (n + 3 )! Resolución 1 · = 10 3 (n + 1)! E = (n + 2)! – 2(n+1)! (n + 3)! = 30(n + 1)! E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2] (n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)! ∴ E = n(n + 1)! Rpta.: D (n + 3)(n + 2) = 30 Resolución 2 ∴ n=3 Rpta.: B 7! − 2 × 5! 7 ·6 ·5! − 2·5! 7·6· 5 ! − 2· 5 ! M= = = 6! − 10 × 4! 6·5! − 2·5·4! 6· 5 ! − 2· 5 ! Resolución 8 42 − 2 (x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880 M= 6−2 (x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880 ∴ M = 10 Rpta.: E (x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880 Resolución 3 (x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880 1 1 1 1 (x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72 E= = = = 4!+ 3! 4· 3!+ 3! 3!(4 + 1) 3!· 5 x–1=5 4 4 E= = Rpta.: E ∴ x=6 Rpta.: B 3!· 4 · 5 5! Resolución 9 Resolución 4 1 1 (n + 1) 1 (x − 1)! (x + 2 ) = 5 E= − = − x! 3 n! (n + 1)! n!(n + 1) (n + 1)! n +1 1 n + 1− 1 3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)! E= − = (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! 3x + 6 = 5x E= n ∴ x=3 Rpta.: B ∴ (n + 1)! Rpta.: D Resolución 10 Resolución 5 (n + 1)!− n! = (n + 1)n!− n! = n![n + 1− 1] m!(n + 1)! m!(n + 1) n! R= E= = (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! (m + 1)! n! (m + 1)m! n! n!n n!· n · n n! n2 n+1 R= = = ∴ E= Rpta.: B (n − 1)! n(n − 1)! n! m+1 ∴ R = n2 Rpta.: B Resolución 11 Resolución 6 11!+10!+ 9! 11· 10· 9· 8!+10· 9· 8!+ 9· 8! R= = (n + 2)! = 6 (n + 2)(n + 1)n! = 6 121· 8! 121· 8! à n! n! 11 10· 9 + 10· 9 + 9 · R= (n + 1)(n + 2) = 6 121 Resolviendo: ∴ R=9 Rpta.: B ∴ n=1 Rpta.: A -2-
3.
Quinto Año de
Secundaria Resolución 12 Resolución 3 (n + 1)! (n + 3 )! (n + 2)! − n n + 3 + (n − 2)! 2 − =6 P= ( ) n! (n + 2)! n! (n − 3)! (n + 2)(n + 1)n! − n n + 3 + (n − 2)(n − 3)! 2· (n + 1)n! (n + 3)(n + 2)! = 6 P= ( ) − n! (n − 3)! n! (n + 2)! P = n2 + n + 2n + 2 − n2 − 3n + n − 2 2n + 2 – n – 3 = 6 ∴ P=n Rpta.: C ∴ n=7 Rpta.: C Resolución 4 Resolución 13 ( x − 5)! 2 ( x − 4 )! (x + 6 )! − (x + 2)! = 44 = ( x − 3)! ( x − 2)! ( x + 4)! x! ( x − 5)! 2 ( x − 4 )! ( x + 6 )(x + 5)( x + 4)! − (x + 2)( x + 1) x! = 44 = ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5)! (x − 2) ( x − 3 ) (x − 4 )! (x + 4 )! x! 1 2 (x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 44 = x–2 = 2x – 8 x−4 x−2 8x + 28 = 44 ∴ x=6 Rpta.: D ∴ x=2 Rpta.: D Resolución 5 Resolución 14 ( x − 2)!+ (x − 1)! = 720 (n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2 x (n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2 (x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x (n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2 (x–2)!(1+x–1) = 720 x [(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n (x–2)! = 6! x–2= 6 [(n–1)!]2[n] = 36n ∴ x=8 Rpta.: B (n–1)! = 6 (n–1)! = 3! Resolución 6 (n – 1) = 3 (n + 4)! − (n + 3)! = 25 ∴ n=4 Rpta.: C (n + 2)! (n + 2)! (n + 4 )(n + 3 )(n + 2 )! − (n + 3 )(n + 2 )! = 25 NIVEL II (n + 2 ) (n + 2 )! n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25 Resolución 1 n2 + 6n + 9 = 25 n! R= − n2 ∴ n=2 Rpta.: C (n − 2)! n (n − 1)(n − 2)! Resolución 7 R= − n2 = n2 − n − n2 (n − 2)! A= (n + 1)!+ n! (2n + 3)! ∴ R = –n Rpta.: D (2n + 1)!+ (2n + 2)! (n + 2)! Resolución 2 A= (n + 1)n!+ n! (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)! · (2n + 1)!+ (2n + 2)(2n + 1)! (n + 2)(n + 1· n! ) n (n + 1)!− n! n (n + 1) n!− n! n· n!(n + 1− 1) M= = = (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! = n! n + 2 · ( 2n + 3 )(2n + 2) (2n + 1)! (2n + 1)! 2n + 3 ( n + 2 )(n + 1)n! n· n· n! n· n· n (n − 1)! M= = (n − 1)! (n − 1)! 2 (n + 1) = n +1 ∴ M = n3 Rpta.: C ∴ A=2 Rpta.: B -3-
4.
Resolución
8 (13· 12)2 (11!)2 13· 12· 11 10! · − (n + 7 )! ⋅ (n + 5 )! = 10! 2 (12 + 1) (11!) 2 10! (1+ 11) (n + 6 )!+ (n + 5 )! (13· 12)2 − 13· 12· 11 (n + 7)!(n + 5)! = 10! (13 )2 12 (n + 6) · (n + 5)!+ (n + 5)! (12)2 – 13· 11 (n + 7 )! (n + 5)! = 10! (n + 5)! [n + 6 + 1] ∴ 1 Rpta.: A Resolución 12 (n + 7)(n + 6)! = 10! (n + 6)! = 10! (119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!)24 (n + 7 ) (119! 5!)x!! = (5!!)23!· 24 n + 6 = 10 (119! 120)x!! =(5!!)24! ∴ n=4 Rpta.: E (120!)x!! = (5!!)24! Resolución 9 (5!!)x!! = (5!!)24! R= (a!!+ 2)!− 2(a!!+ 1)! = (a!!+ 2)(a!!+1)!− 2(a!!+ 1)! x!! = 24! x!! = 4!! (a!!+ 1)! (a!!+ 1)! ∴ x=4 Rpta.: B R= (a!!+ 1)! (a!!+ 2 − 2) Resolución 13 (a!!+ 1)! 5 5 5 ∴ R = a!! Rpta.: B = = 5!+ 4!+ 3! 5· 4· 3!+ 4· 3!+ 3! 3!(20 + 4 + 1) Resolución 10 5 1 4 4 = = = Rpta.: D E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!! 3!· 25 3· 2· 1 5 5· 4· 3· 2· 1 5! · E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!! E = (n!!–1)! n!! – n!!! Resolución 14 E = n!!! – n!!! (n + 2)! = 5+ (n + 12)! ∴ E=0 Rpta.: C n! (11+ n)! Resolución 11 (n + 2)(n + 1)n! = 5 + (n + 12)(n + 11)! (13!)2 13! n! (n + 11)! 2 − 2 10!+ 11! (12!) + 2 (12!11!) + (11!) (n+2)(n+1) = 5+n+12 (13!)2 − 13! n2 + 3n+2 = 5+n+ 12 (12!+ 11!)2 10!+ 11! n2 + 2n = 15 ∴ n=3 (13· 12· 11!)2 − 13· 12· 11· 10! (12· 11!+ 11!)2 10!+ 11· 10! ∴ Suma valores = 3 Rpta.: C ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46) NIVEL I Resolución 2 Resolución 1 5 pantalones 3 blusas N° maneras = 5 × 3 N° maneras = 6 × 4 ∴ N° maneras = 15 Rpta.: C ∴ N° maneras = 24 Rpta.: D -4-
5.
Quinto Año de
Secundaria Resolución 3 Resolución 9 m 5 ...................← Personas V2 = 20 5 --------------- ← asientos m! m (m − 1) (m − 2 )! N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1 = 20 = 20 ( m − 2 )! (m − 2)! ∴ N° maneras = 120 Rpta.: C m(m–1) = 4 × 5 ∴ m=5 Rpta.: C Resolución 10 Resolución 4 A B C D ← asientos N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3 Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta- ∴ N° maneras = 360 Rpta.: B mos. N° maneras = 4! Resolución 5 ∴ N° maneras = 24 Rpta.: B 3 : anillos: 4 : dedos N° maneras = 4· 3· 2 Resolución 11 ∴ N° maneras = 24 Rpta.: C N = a b c d > 6000 6523 Resolución 6 N° maneras = 1· 3· 2· 1 10 : amigas ∴ N° maneras = 6 Rpta.: D 6 : invitadas Resolución 12 10· 9· 8· 7 N° maneras = C10 6 = 8· 7· 6· 5 1 2· 3· 4 · C8 = 4 1 2· 3· 4 · ∴ N° maneras = 210 Rpta.: B ∴ N° cuadriláteros = 70 Rpta.: B Resolución 7 Resolución 13 n N = abc = 15 4 números: {1; 2; 3; 4; 5} n (n − 1)(n − 2 )(n − 3 ) N° maneras = 5· 4· 3 = 15 ∴ N° maneras = 60 Rpta.: D 1 2· 3· 4 · n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3 Resolución 14 ∴ n=6 Rpta.: B n + 1 n : ... (1) n n − 1 Resolución 8 Entonces: x x C5 + C6 = 28 n + 1 n + 1 n + 1 = = = n+1 C5 + C6 = C6 +1 = 28 x x x n n + 1− n 1 ( x + 1) x (x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 28 n n n 1 2· 3· 4· 5· 6 · = = =n n − 1 n − (n − 1) 1 (x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3 En (1): ∴ x=7 Rpta.: C n+1 ∴ Rpta.: D n -5-
6.
Resolución
15 Resolución 7 x C5 = 21 p + q (p + q)! = (p + q)! = p p! (p + q) − p ! p! q! x (x − 1)(x − 2)(x − 3 )(x − 4 ) = 21 1 2·3· 4· 5 · Además: x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3 p + q p + q p + q = = ∴ x=7 Rpta.: E q (p + q) − q p ∴ Son equivalentes I y II Rpta.: B NIVEL II Resolución 1 Resolución 8 4 : biólogos → se escogen 2 3 : químicos → se escogen 2 De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminos 5 : matemáticos → se escogen 3 De venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminos N° maneras = 9· 9 = 81 N° maneras = C4 · C3 · C5 2 2 3 Quitamos los 9 caminos de ida. N° maneras = 81 – 9 4·3 3·2 5·4·3 ∴ N° maneras = 72 Rpta.: B N° maneras = 1· 2 · 1· 2 · 1· 2 · 3 Resolución 2 ∴ N° maneras = 180 Rpta.: C N° maneras = 7· 6 · 5 ∴ N° maneras = 210 Rpta.: D Resolución 9 x Resolución 3 = 0 ..... (1) 10 Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Se sabe que: N = a bc d e m ↓ ↓↓ ↓ ↓ =0 ⇔ m<n ∧ m>0 98765 n N° formas = 9· 8·7· 6· 5 En (1): x < 10 x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ∴ N° formas = 15120 Rpta.: C Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9 Resolución 4 ∴ Producto: 9! Rpta.: D L I B R O → 5 letras N° palabras = 5! Resolución 10 ∴ N° palabras = 120 Rpta.: B n + 1 n n n + 1 − Q= + + + Resolución 5 2 1 n − 1 n − 1 25· 24 Se sabe que: C25 = 2 12 · m m = ∴ N° partidos = 300 Rpta.: D n m − n n + 1 m + 1 n n n Resolución 6 = y = n − 1 2 n − 1 1 N° diagonales = C8 − N° lados Luego: 2 n + 1 n (n + 1)n 8 ·7 Q = 2 + = 2 + n N° diagonales = 1· 2 − 8 2 1 12 · ∴ N° diagonales = 20 Rpta.: B ∴ Q = n2 + 3n Rpta.: B -6-
7.
Quinto Año de
Secundaria Resolución 11 Resolución 12 n n −1 + = 99 n + 1 n − 2 Se sabe que: m =0 ⇔ m < k N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1 k ∴ N° maneras = 120 Rpta.: E n =0 n + 1 Resolución 13 Luego: 3 : entradas → se toma 1 n −1 n −1 3 : de fondo → se toma 1 0+ = 99 = 99 n − 2 (n − 1) − (n − 2) 5 : postres → se toma 1 3 3 5 N° maneras = C1 · C1 · C1 n − 1 = 99 n – 1 = 99 1 N° maneras = 3· 3· 5 ∴ n = 100 Rpta.: D ∴ N° maneras = 45 Rpta.: A BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53) NIVEL I Resolución 1 A) (x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5 = x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5 B) (1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 + 7(1)(3a)6 + (3a)7 =1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7 C) (1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b 4 – 462(1)6b5 + 462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11 = 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9 + 11b10 – b11 6 1 6 5 -1 4 -1 2 3 -1 3 2 -1 4 -1 5 -1 6 D) x − x = x – 6(x) ·(x ) + 15(x) (x ) –20(x) (x ) + 15(x) (x ) – 6(x)(x ) + (x ) = x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6 4 2 1 E) z + 2 = (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4 z =z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8 6 3 x3 F) 4− = (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 + x 4 15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6 −24 729 −17 1215 −10 135 −3 135 4 9 11 1 18 = 729x − x + x − x + x − x + x 2 16 16 256 512 4096 -7-
8.
Resolución
2 Resolución 3 11 A) (2x – y)4 A) (x – y)11 ; t7 = t6+1 = x11−6 y6 6 4 1 coef(t2) = coef(t1+1) = 1 2 (−1) 3 ∴ t7 = 462x5y6 ∴ coef(t2) = – 32 21 B) (a + b)21 ; t5 = t4+1 = a21− 4b4 B) (3a + b)6 4 ∴ t5 = 5985 a17 b4 6 4 2 coef(t3) = (3 ) (4 ) = 19440 10 10 −9 9 2 1 1 10 1 −1 C) a − b ; t10 = t9+1 = b 9 a x 2 y2 10 C) − y x ∴ t10 = – 10a-1 b-9 10 10−8 8 2 2 7 7 2 7 − 7 −2 7 coef(t9) = coef(t8+1)= 10 (1) ( −1)8 = 45 D) x y − 2 xy ; t8 = t7+1 = 7 x y ( ) 2 xy 8 D) (–a + 12)5 ∴ t8 = –128x-7y-14 5 5−4 coef(t5) = coef(t4+1) = 4( −1) (12)4 = −5·124 10 10−10 E) (2a – b)10 ; t11 = t10+1 = 10 (2a ) ( −b )10 E) (p 2 v 2 –1)14 ∴ t11 = b10 14 coef(t8) = coef(t7+1) = 7 (1)14-7(–1)7 = –3432 4 1 1 4 4 −1 −1 F) 1− ; t2 = t1+1 = (1) xyz 1 xyz F) (2x2y + xy3)8 8 ∴ t2 = –4x-1y-1z-1 coef(t5) = (2)8-4 (1)4 = 1120 4 Resolución 4 5 2 1 ( ) 5 2 −1 3x − x = 3x − x 5 2 1 2 5 2 4 -1 2 3 -1 2 2 2 -1 3 2 -1 4 -1 5 3x − x = (3x ) – 5(3x ) (x ) + 10(3x ) (x ) – 10(3x ) (x ) + 5(3x )(x ) – (x ) 5 2 1 10 7 4 -2 -5 3x − x = 243x – 405x + 270x – 90x + 15x – x A) coef(t4) = –90 B) t3 C) No existe el término independiente de x: Resolución 5 Nos piden: 2 12 (x)3k-24 = x-3 3k – 24 = –3 k=7 3 2 − 3xy x y ( = 2x y −2 −1 − 3xy ) 3 12 Luego: tk+1 = t7+1 = t8 12−k 12 2 (−3xy3 ) k A) tk+1 = k 2 12 x y B) tk+1 = k (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12 12 (y)4k-12 = y12 4k – 12 = 12 k=6 tk+1 = k (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12 ∴ tk+1 = t6+1 = t7 -8-
9.
Quinto Año de
Secundaria 12 3 3 −k C) tk+1 = k (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12 = k (3 ) (−1)k (q)15−6k (x)3k-24 = x0 3k – 24 = 0 k=8 (q)15-6k = q9 15 – 6k = 9 k=1 ∴ tk+1 = t8+1 = t9 3 3 −1 1 15−6·1 t1+1 = (3 ) ( −1) (q) 12 1 D) tk+1 = k (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12 ∴ t2 = –27q9 y4k-12 = y0 4k – 12 = 0 k=3 Resolución 7 ∴ tk+1 = t3+1 = t4 ( ) 10 2x+ 3 Resolución 6 10 (2p + q)11 ( ) ( ) ( ) ( 3) A) 10 10 9 2 x+ 3 = 2x + 2x 11 1 tk+1 = k (2p)11-k(q)k 10 ( ) ( 3) 8 2 + 2x qk = q9 k=9 2 11 ( ) 10 tk+1 = t9+1 = t10 = 9 (2p)11-9(q)9 ∴ 2 x+ 3 = 32x10 + 160 6 x9 + 2160x8 + ... ∴ t10 = 220 p2q9 Resolución 8 10 1 B) q− (1 + 3x2)6 pq 6 (3x2 ) 6 k 6 −k k 2k 10 −1 k tk+1 = k (1) = (3 ) ( x ) tk+1 = q10−k k k pq 6 0 2·0 10 k −k 10− 2k t0+1 = 0 (3 ) (x ) t1 = 1 = (−1) (p ) (q) k (q)10-2k = q9 10 – 2k = 9 6 6 2·6 t6+1 = 6 (3) ( x ) t7 = 729x12 1 k= 2 Luego: t1 · t7 = 1· 729x12 Como k ∈ ∴ Producto de los coeficientes = 729 ∴ No existe el término C) (p2 – q3)7 NIVEL II 7 2 ( ) ( ) 7 −k k tk+1 = k p −q3 Resolución 1 7 k 14 −2k (x – 3y)5 = ( −1) (p ) (q)3k k 5 5− 5 (q)3k = q9 3k = 9 k=3 t6 = t5+1 = 5 (x ) (−3y )5 Luego: ∴ t6 = – 243y5 Rpta.: D 7 3 14− 2·3 t3+1 = 3 (−1) (p) (q)3·3 ∴ t4 = –35p8 q9 Resolución 2 3 (2 – x)11 5 1 D) 3q − 11 11− 7 q t8 = t7+1 = 7 (2) ( −x )7 k 3 ( ) 3 −k −1 tk+1 = 3q 5 t8 = –5280x7 k q ∴ Coeficiente = – 5280 Rpta.: D -9-
10.
Resolución
3 Resolución 8 n (2a + b)5 2 x + x 2 5 5−1 1 t2 = t1+1 = (2a ) (b ) = 80 a b 4 n−k K n 2 x n n− 2k 1 tk+1 = 2 = k ( 2) ( x )2k −n k x ∴ Coeficiente = 80 Rpta.: C Para el término independiente: (x)2k-n = x0 2k – n = 0 n = 2k Resolución 4 Pero: k + 1 = 4 k=3 7 Entonces: n = 2· 3 n=6 y 3x − Luego: tk+2 = t3+2 = t5 2 La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos 6 6−8 8−6 15 2 t5 = ( 2 ) (x ) = x ∴ No hay término central Rpta.: E 4 4 15 Resolución 5 ∴ coef(t5) = Rpta.: C 4 (2x – y)6 6 6− 3 Resolución 9 t4 = t3+1 = (2x ) ( −y )3 3 13 3 x2 1 ∴ t4 = –160x3 y3 Rpta.: D +5 2 x Resolución 6 ( ) (x ) 13 − k k tk + 1 = ( 13 ) 2 −1 x 3 4 2 1 − 1 5 x − 2 k x 26 13k k 13 k −13 − 4 4 −k −1 4 k 4 −3k tk+1 = ( 2) ( x ) 3 15 tk+1 = ( x ) 2 = ( −1) ( x ) k x k k Del dato: El término indenpendiente: 26 13k 4 − 0 26 13k x4-3k = x0 4 – 3k = 0 k= 3 (x ) 3 15 =x − =0 k = 10 3 15 Como k ∈ tk+1 = t10+1 = t11 ∴ No hay término independiente Nos piden el t10 k=9 26 13·9 Rpta.: E 13 9−13 − t10 = ( 2) (x ) 3 15 Resolución 7 9 (2x – 1)5 13 715 15 5 5 −k k 5 5 −k k 5 −k ∴ t10 = x Rpta.: A tk+1 = (2x ) ( −1) = (2 ) ( −1) ( x ) 16 k k Resolución 10 5 5− 2 2 5− 2 t3 = t2+1 = (2 ) ( −1) ( x ) = 80x 3 120 2 1 x + x 5 5−4 t5 = t4 + 1 = (2 ) ( −1)4 (x )5−4 = 10x 120 120−k 1 120 120−2k k 4 tk+1 = (x ) x = k x k t3 = 72 80x 3 Luego: = 72 t5 10x Como es de grado 100 ∴ Rpta.: C 120 – 2k = 100 k = 10 x = ±3 ∴ tk+1 = t10+1 = t11 Rpta.: E - 10 -
11.
Quinto Año de
Secundaria Resolución 11 Resolución 12 9 (1 + x)3n 2 0,5 0,4x + x 3n 3n−k k 3n k tk+1 = (1) (x ) = x 9 −k 0,5 k k k 9 ( tk+1= 0,4x k 2 ) x 3n k +1 tk+2 = x 9 9− 2k k − 9 18− 3k k + 1 = (2 ) (5 ) ( x ) k 3n 2k −4 t2k-3 = x Término independiente: 2k − 4 (x)18-3k = x0 18 – 3k = 0 k=6 Como los coeficientes son iguales se tiene: 9 9 −2·6 6 −9 18 −3·6 3n 3n Luego: t6+1 = ( 2) ( 5) ( x ) = (k + 1) + (2k – 4) = 3n 6 k + 1 2k − 4 3k – 3 = 3n t7 = 0,084 Rpta.: C ∴ k = n+1 Rpta.: A BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO Pág. 58 Resolución 5 1 1 1 2 2 − 1 2 − 2 1 t4 = 32x = 1 ⋅ 32x (1− 2x ) 5 1· 2· 3 16 1 1 t5 1 = T4 +1 = 5 (1)5 −4 ( −2x )4 = 5 4 4 4 16x ∴ t4 = 2x 1 1 1 1 Resolución 7 5 5 − 1 5 − 2 5 − 3 · 16x 4 1 2· 3· 4 · −3 E= 33 −21 4 E= ( −3)( −3 − 1)( −3 − 2)( −3 − 3).....( −3 − 32) = 16x 1 2· 3· 4· 5· ..... ·33 · 625 E= (−3 )( −4 )( −5 )(−6 ) · ..... · ( −35 ) = (−1)31 ( −34 )( −35 ) −336 4 1 2· 3· 4· 5 · ..... · 33 · 12 · ∴ t5 = x 625 ∴ E = –595 Resolución 6 Resolución 8 1 −15 −15 −15 1 2 E= + + 1 + x3 3 4 5 4 −15 + 1 −15 E= + 4 5 1 3 1 −3 1 1 2 1 2 3 2 −14 −15 E= + t4 = t3+1 = 4 3 x = 32x 3 4 5 E= (−14 )(−15)(−16 )(−17 ) 1 2· 3· 4 · - 11 -
12.
+
( −15)( −16 )( −17 )( −18 )( −19 ) Resolución 10 1 2· 3· 4· 5 · −2 1 −3 −9 ∴ E = – 9248 2x − x Resolución 9 k −2 −k 9 ( −2 ) −2 k + 2 6 − 3k − (2 ) ( x ) 2 tk +1 = 2−1x −3 1 x 2 = k (x 2 −3 ) 2 k Término indenpendiente: 1 1 1 3k 2 2 −2 t3 = t2+1 = x 2 ( ) −3 2 ( −3 )2 = 2 x ( 9 ) 2 6− 2 =0 k=4 1 1 Entonces: − 1 ( ) 2 2 −9 3·4 t3 = 9x −3 = 3 −2 4 +2 6− 1· 2 8x t4+1 = t5 = (2 ) (x ) 2 4 −9 ( −2)( −3 )( −4 )( −5) Si: x=3 t3 = (2)6 8· 33 t5 = 1 2· 3· 4 · ∴ t3 = (–24)-1 ∴ t5 = 320 CAPÍTULO 3 LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96) NIVEL I Resolución 5 5 Resolución 1 log x 2 = 0,4 2 log a = x 5 2 2 2 log x = logx = log 10a = log10 + loga = 1 + loga 5 5 5 ∴ log10a = 1 + x Rpta.: E ∴ logx = 1 Rpta.: B Resolución 2 Resolución 6 log p = x log p = q 1 p log 3 p = logp log = log p − log r 3 r x p ∴ log 3 p = Rpta.: D ∴ log = q − log r Rpta.: B 3 r Resolución 3 Resolución 7 loga = m ; logb = n 1 logx + log = logx + logx-2 = logx – 2logx x2 a 1 a 1 log = log = (loga − logb ) b 2 b 2 1 ∴ logx + log = –logx Rpta.: C x2 a m−n ∴ log = Rpta.: B b 2 Resolución 8 2 Resolución 4 2 2 log5 3 25 = log5 5 3 = log5 5 = · 1 3 3 log 103 = 3log10 = 3· 1 2 ∴ log 103 = 3 Rpta.: D ∴ log5 3 25 = Rpta.: D 3 - 12 -
13.
Quinto Año de
Secundaria Resolución 9 7 4 log 102 + log2 2 − log 5 5 logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103 = logx–log1000 2log 10 + 7log 2 − 4log 5 2 5 x 2+7–4 ∴ logx–3 = log Rpta.: E 5 Rpta.: B 1000 Resolución 10 Resolución 18 log2 a = x log0,01+ log 0,0081= log10-2 + log (0,3)4 0,3 0.3 x + 1 = log2 a + log2 2 = –2log10 + 4 log (0,3) ∴ x + 1 = log2 2a Rpta.: D (0,3) =–2+4= 2 Rpta.: C Resolución 11 Resolución 19 log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2) log 0,25 + log 0,125 − log 0,0625 2 2 2 log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2) log (0,25)(0,125) = log (0,03125) Rpta.: D 2 0,0625 2 (0,0625 ) Resolución 12 log (0,5) = log 2−1 = −1log 2 log(x2–x) = logx(x–1) 2 2 2 ∴ log(x2–x) = logx + log(x–1) =–1 Rpta.: E Rpta.: A Resolución 20 Resolución 13 1 1 1 log − log + log 5 125 11 3 2 11 12 2 16 3 81 log 216 6 = log 63 = : log6 6 12 3 5 36 5 36 65 log 2−4 − log 3−4 + log 5−3 2 3 5 55 = Rpta.: C −4log 2 + 4log 3 − 3log 5 36 2 3 5 –4+4–3 Resolución 14 ∴ –3 Rpta.: D log 0,064 = x log (0,4)3 = x 0,4 0,4 Resolución 21 3log 0,4 = x 0,4 log3 = 0,47 , log5 = 0,70 ∴ x=3 Rpta.: D log75 – log125 + log45 = 75 · 45 log = log27 = log33 = 3log3 Resolución 15 125 −2 = 3(0,47) 2 9 log x = −2 x= x= 2 3 4 =1,41 Rpta.: B 3 Rpta.: E Resolución 22 Resolución 16 log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70 2 log (a2 − 2ab + b2 ) = log (a − b) 35 (a −b) (a −b) log35 – log14 = log 14 = 2 log (a − b) = 2 Rpta.: E (a −b) 5 = log = log5 − log2 2 Resolución 17 log 35 – log14 = 0,70 – 0,30 log 100 + log 128 − log 625 2 5 ∴ log35 – log14 = 0,40 Rpta.: B - 13 -
14.
Resolución
23 Resolución 28 log 2 log 2 1 + 1 log 36 log 36 = log (2) + log (3) 36 36 243 3 = 35 ( ) 3 2 3 log 2 5·log 2 log 25 3 3 3 = log (2· 3) = log 6 243 = (3) = (3) = 25 36 36 log 2 1 ∴ 243 3 Rpta.: E = 32 1 2 = log (36) = log 36 36 2 36 Resolución 29 1 = Rpta.: C logx + log(x–3) = 1 2 logx (x–3) = log10 Resolución 24 x(x–3) = 10 log 3 = x ∴ x=5 Rpta.: C 2 log 64 = log 26 = 6log 2 24 24 24 Resolución 30 1 1 log x log3 = 6 = 6 10 − 10 = 2x − 5 log 24 2 log (8· 3) 2 x – 3 = 2x – 5 1 1 ∴ x=2 Rpta.: B = 6 = 6 log 8 + log 3 2 3log 2 + x 2 2 NIVEL II 6 = Rpta.: B Resolución 1 3+x 3x 1 1 ( ) x −4 2 log =x = 2 2 2 =2 Resolución 25 2 2 16 16 3 log (5x − 3) − log x = 1 −4 = x 2 2 2 (5x − 3) 8 log = log 2 ∴ x=− Rpta.: A 2 x 2 3 5x − 3 Resolución 2 =2 5x – 3 = 2x x ∴ x=1 Rpta.: B (I) log 32 = 5 32 = 25 ... (V) 2 Resolución 26 (II) log 1= 0 1=(2000)0 .... (V) 2000 log (2x + 21) − log x = 2 1 1 3 3 (III) log = −4 = 2−4 ... (V) 2 16 16 2x + 21 2 2x + 21 2 log = log3 3 =3 ∴ VVV Rpta.: D 3 x x 2x + 21 = 9x Resolución 3 ∴ x=3 Rpta.: A log 27 = a 12 Resolución 27 log2 24 4log2 2 log a + logb = log(a + b) log 16 = = 6 log2 2 + log2 3 log2 2 + log2 3 log a · b = log(a+b) a·b = a + b a(b–1) = b 4 ........................... (1) b log 16 = ∴ a= Rpta.: D 6 1 + log2 3 b −1 - 14 -
15.
Quinto Año de
Secundaria 3log2 3 Pero: log 27 = a =a 52 5 12 2log2 2 + log2 3 = log = 2log 2 22 2 2 3log2 3 2a =a log2 3 = 10 2 + log2 3 3−a = 2 log 2 = 2[log 10 − 2log 2] 2 2 2 2 Reemplazando en (1) 1 = 2 log 10 − 2 = 2 − 2 4 10x x log 16 = 6 2a 2 − 4x 1+ = 3−a Rpta.: D x 12 − 4a ∴ log 16 = Rpta.: E Resolución 8 6 3+a log y Resolución 4 (log5 x ) 5 =y log 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log 1024 log y log (log x ) 2 3 4 5 1023 5 = logy 5 log3 log4 log5 log1024 log6 · · · ..... log y log (log x ) = logy log2 log3 log4 log5 log1023 5 5 log (log x ) = log5 log x = 5 log1024 log210 5 5 = = 10 Rpta.: B log2 log2 x= 55 = 3125 ∴ ∑ cifras = 11 Rpta.: C Resolución 5 log2 = a ∧ log3 = b Resolución 9 log 4 + log 1 4 3 log 752 = 2 3 2 log75 = log 52 · 3 3 ( ) E= 2 2 = log2 22 + log −1 22 2 = 2 2 log52 + log3 = [2log5 + log3] log 243 + log 1 81 log 35 + log −1 34 3 3 3 3 ( ) 3 3 2 10 2−2 = E= 2log + log3 5−4 3 2 2 ∴ E=0 Rpta.: E = 2 (log10 − log2) + log3 3 Resolución 10 2 = 2 (1− a ) + b 3 log 2 = a ∧ log 3 = 2b 5 5 2 ∴ log 3 752 = 3 [b − 2a + 2] Rpta.: D log 5 1 2 5 1 300 = log 300 = log 102·3 2 5 ( ) 1 1 Resolución 6 = log 10 + log 3 = [2log 10 + log 3] 2 2 5 5 2 5 5 2 4 6 logx = + − 1 7+ 5 11 + 7 11 + 5 = 2 (log 5 + log 2 ) + log 3 2 5 5 5 0 = ( 7+ 5 )( 11 + 7 )( 11 + 5 ) = 1 2 2 (1 + a ) + 2b logx = 0 x = 100 ∴ x=1 Rpta.: B ∴ log 300 = a + b + 1 Rpta.: E 5 Resolución 7 Resolución 11 log2 = x 2 = 10x log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1 2,5 log 2,5 − log (0,4) = log log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10 2 2 2 0,4 - 15 -
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