Como resolver un sistema de ecuaciones mediante em método de Gauss

1. Método de Gauss Un joyero tiene tres clases de monedas A , B y C . Las monedas de tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo B tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre?

2. Método de Gauss a) Plantea un sistem a de ecuaciones lineales que permita determinar el número de monedas de cada tipo. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

3. Método de Gauss El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas, la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las 3 incógnitas.

4. Método de Gauss Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)

5. Método de Gauss Llamamos x al número de monedas que deben fundirse de tipo A , y a las de tipo B , y z a las de tipo C . El sistema será: 2 x + 6 y + 8 z = 44 x + 3 y + 4 z = 22 4 x + 4 y + 6 z = 44 2 x + 2 y + 3 z = 22 14 x + 10 y + 6 z = 112 7 x + 5 y + 3 z = 56 Simplificando por 2

6. Método de Gauss La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x . x + 3 y + 4 z = 22 2 x + 2 y + 3 z = 22 7 x + 5 y + 3 z = 56 2ª – 2 · 1ª 3ª – 7 · 1ª 2x + 2y + 3z = 22 7x + 5y + 3z = 56 - 2x – 6y – 8z = – 44 – 7x – 21y – 28z = - 154 - 4y – 5z = - 22 – 16y – 25z = - 98

7. Método de Gauss El sistema queda así: x + 3 y + 4 z = 22 - 4 y – 5 z = - 22 - 16 y – 25 z = - 98 Eliminamos ahora la y : 3ª – 4 · 2ª -16y – 25z = -98 +16y + 20z = +88 -5z = -10

9. x + 3y + 4z = 22

10. 4y + 5z = 22

11. 5z = 10

12. Despejando y sustituyendo, obtemos:

13. z = 2

14. x = 22 – 3y – 4z = 5

15. Método de Gauss Solución : Debe fundir 5 monedas de tipo A , 3 de tipo B y 2 de tipo C