Enem em fascículos - Proporcionalidade no cotidiano

Enem em fascículos - 2012 4
Fascículo

Matemática e suas Tecnologias
Caro aluno,
O presente fascículo tem como objetivo geral o estudo da proporcionalidade voltada para situações-problema vivenciadas no cotidiano,
conforme se tem contemplado no Enem. Para uma melhor compreensão desse tema, dividiremos o assunto em três tópicos:
• Razões e Proporções;
• Proporcionalidade na Geometria;
• Função Afim (Linearidade).
Bom estudo para você!

Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pela
respectiva quantidade de gasolina consumida, temos:
I. Para o automóvel de Carlos:
introdução
Nº de km 240 km
= = 10 km / L
Nº de litros 24 L
(dez quilômetros por litro)
Os números soltos, isolados, para nada servem, mas,
embutidos de significados tudo explicam. Construir significados Isso significa que, em média, o automóvel de Carlos
para as razões, proporções e porcentagem é o foco principal do percorre 10 km para cada litro de combustível consumido.
texto seguinte. Para isso, você terá acesso a uma consistente II. Para o automóvel de Fabíola:
fundamentação teórica, acompanhada de situações-problema Nº de km 180 km
dentro das habilidades de Matriz de Referência de Matemática = = 9 km / L
Nº de litros 20 L
e suas Tecnologias, matriz essa que serve de base para o Enem.
(nove quilômetros por litro)
Isso significa que, em média, o automóvel de Fabíola
percorre 9 km para cada litro de combustível consumido.
O automóvel mais econômico é o que gasta menos
OBJETO DO CONHECIMENTO combustível para percorrer uma mesma distância. Observando
que o m.m.c. (10, 9) = 90, consideremos a distância de 90 km.
Como o automóvel de Carlos gasta, em média, 1 litro para
Razões e Proporções percorrer 10 km, então para percorrer 90 km ele gastaria
Na ficção ou na realidade, as razões e proporções apenas 90 : 10 = 9 litros, enquanto o automóvel de Fabíola
acompanham os seres. Afinal, tudo é uma questão de escala. gastaria 90 : 9 = 10 litros. Assim, o automóvel de Carlos é o mais
Vejamos dois questionamentos, sendo o primeiro fictício, nos econômico, economizando 10 – 9 = 1 litro de gasolina para cada
quais os conceitos de razão e proporção são fundamentais 10 litros consumidos pelo carro da Fabíola. Matematicamente,
temos:
para a compreensão e a elaboração das respectivas respostas.
Economia de Carlos 1L 1 10
= = = = 10%
1. O que aconteceria se alguém crescesse e se tornasse Consumo de Fabíola 10 L 10 100
grande como um gigante? (“1 para 10” ou “10 para 100” ou “dez por cento”).
Certamente cairia no chão com o fêmur quebrado ao dar
o primeiro passo. Entendeu? Se não, observe: a altura aumenta Isso nos diz que para cada 100 litros de gasolina
em uma direção, a área, em duas e o volume, em três. Se a consumidos pelo carro de Fabíola, o automóvel de Carlos
altura de uma mulher ficasse 10 vezes maior, a secção transversal gastaria 10 litros a menos, para fazer o mesmo percurso.
(área) do conjunto de ossos e músculos que a sustenta contra Se o amigo leitor teve dificuldade para compreender
a gravidade ficaria 10 · 10 = 100 vezes maior, já o seu volume alguma passagem nesses questionamentos, não se preocupe.
(e, portanto, a sua massa) ficaria 10 · 10 · 10 = 1000 vezes maior. Leia com atenção os tópicos a seguir e, depois, volte e reveja-as.
O resultado disso tudo é que os ossos destinados a mantê-
la erguida não suportariam o seu peso, sendo estilhaçados. Conceito de Razão
É por essas e outras que cada ser deve ter o tamanho certo, pois
mudanças quantitativas podem fazer imensas diferenças qualitativas. • A razão entre duas grandezas é o quociente entre elas.
Assim, por exemplo, se numa festa comparecerem 20 homens e
“Uma questão de escala”. In: O universo e a xícara de chá, K.C. 30 mulheres, dizemos que:
Cole – Adaptado.
I. A razão entre o número de homens e o de mulheres na
2. Qual é o automóvel mais econômico: o de Carlos que festa é:
consome 24 litros de gasolina para percorrer 240 km nº de homens 20 2
ou o de Fabíola que percorre 180 km com 20 litros de = = (lê -se: 2 para 3)
nº de mulheres 30 3
gasolina? Quantos por cento mais econômico?

Enem em fascículos 2012
Isso significa que para cada 2 homens existem 3 Uma escala pode ser representada graficamente. Nesse
mulheres. caso, usamos um segmento de reta graduado, em que cada
II. A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas graduação corresponde a 1 cm de comprimento no desenho.
na festa é: 0 km 300 km 600 km 900 km 1200 km
nº de mulheres 20 30 3
= = = (lê -se: 3 para 5)
nº total de pessoas 20 + 30 50 5
1 cm 1 cm
Escala E ou E 1:30.000.000
Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são 300 km 30.000.000 cm
são mulheres.
• As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de Observe que, sendo a escala (E) um quociente, quanto
espécies diferentes. Por exemplo, se na festa citada, as maior o divisor (o denominador D, a distância real), menor é
mulheres consumiram 120 salgadinhos e os homens seu valor.
consumiram 100, dizemos que:
I. A razão entre o número de salgados consumidos pelos Exemplo:
homens e o número de homens foi de: Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma
nº de salgados 100 salgados estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma
= = 5 salgados / homem
nº de homens 20 homens fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm2.
Nessas condições, a fotografia está na escala
(lê-se: 5 salgados por homem)
5 cm 5 cm , ou seja, E = 1
Isto significa que, em média, cada homem consumiu E= =
5 salgados. 12, 5 km 1.250.000 cm 250.000

II. A razão entre o número de salgados consumidos e o E = 1: 250.000. Essa escala nos diz que 1 cm na
número de pessoas foi de: fotografia corresponde a 250.000 cm (2,5 km), na realidade.
Assim, 9 cm 2 (área queimada na fotografia) corresponde a
nº de salgados (120 + 100) salgados 9 · (2,5 km)2 = 9 · (6,25 km)2 = 56,25 km2.
= = 4, 4 salgados / pessoa
nº de pessoas (30 + 20) pessoas
(lê-se: 4,4 salgados por pessoa) Proporção
Isto é, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados. Proporção é uma igualdade entre duas razões. Quando
Em geral, dados dois números reais a e b, com dizemos que os números reais a, b, c, d, não nulos, formam,
a
b ≠ 0 , usamos ou a : b para indicar a razão entre a e b , nessa ordem, uma proporção, significa que se tem a seguinte
b igualdade:
respectivamente.
a a c
Na razão (lê-se: a para b), o número a é chamado = ou a : b = c : d
b b d
de antecedente e o número b, de consequente.
(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)
a
Razão entre a e b =
b Observe, na última igualdade acima, que os termos a e
d ficaram nas extremidades (a e d são chamados de extremos
Porcentagem (ou percentagem) da proporção); já os termos b e c ficaram no meio (b e c são
os meios da proporção).
É a fração por cento de qualquer coisa, isto é, é a
quantidade correspondente a 100 coisas quaisquer.
Propriedades da proporção
p
P% = (lê-se: p por cento )
100 a c
Se = , com a, b, c, d, reais não nulos, temos:
b d
Exemplo:
a) Em um grupo de 100 estudantes, 13 falam inglês
fluentemente, isto é, 13% (lê-se: 13 por cento) do
a c
= =k⇒
b d
a = kb
c = kd {
(constante de proporcionalidade).
grupo fala inglês. Note:
falam inglês 3 Sendo assim, temos as seguintes propriedades:
= = 13% (lê-se: 13 por cento)
total 100 a c
I. = ⇒ ad bc (propriedade fundamental)
b d

Escalas numéricas (E) “Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto
É a razão entre um comprimento no desenho (d) e o seu dos extremos.”
correspondente comprimento no tamanho real (D), medidos a c a c a+ c
II. = ⇒ = =
numa mesma unidade. b d b d b+d
d
E= a c a c
D III. = ⇒ =
b d a+b c+d

2 Matemática e suas Tecnologias

Exemplo: Exemplo:
Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 anos,
nas proporções 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Julgando o 14 anos e 10 anos, respectivamente. Se o pai deles distribuir
suco da primeira “muito fraco” e o da segunda “muito forte”,
R$ 240,00 entre eles, em partes diretamente proporcionais às
Dona Benta resolveu juntar os conteúdos das duas jarras numa
vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco na proporção ideal idades, quanto receberá cada um?
de poupa de fruta e água. Considerando J o volume de uma Sendo k a constante de porporcionalidade, a parte de
jarra, podemos descobrir essa proporção ideal, utilizando as cada um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão
propriedades das proporções. Veja: 16k (João Victor), 14k (Gabriela) e 10k (Matheus)
Daí:
I. Na primeira jarra:
poupa 3 poupa 3 3 7 16 k = 16 · 6 = 96
= ⇒ = ⇒ poupa = ⋅ J e água = ⋅J 
água 7 (poupa + água) 3 + 7 10 10 16 k + 14 k + 10k = 240 ⇒ k = 6 ⇒ 14 k = 14 · 6 = 84
10 k = 10 · 6 = 60

Note: poupa + água = J (volume da jarra)

II. Na segunda jarra:
Sendo assim, temos que:
poupa 3 poupa 3 3 5
= ⇒ = ⇒ poupa = ⋅ J e água = ⋅ J João Victor, Gabriela e Matheus receberam,
água 5 (poupa + água) 3 + 5 8 8
respectivamente, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00.

III. Juntando-se as duas jarras, obteremos: Grandezas diretamente proporcionais
3 3 12J + 15J
⋅J+ ⋅J Observe na tabela seguinte as quantidades (Q) de
poupa 10 8 = 40 27
= = = 27 : 53 picolés comprados a R$ 3,00 reais cada um e os respectivos
água 7 5 28J + 25J 53
⋅J+ ⋅J valores pagos:
10 8 40
Daí, a proporção ideal consiste em 27 partes de poupa de
Valor (V) 3 6 15 24 18 36
fruta para 53 partes de água.
Quantidade (Q) 1 2 5 8 6 12

Números diretamente proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
x3 Note que as razões obtidas entre os respectivos
1ª sequência: (2, 6, 4, 10) elementos das sequências de valores (V) e de quantidades (Q)
são iguais.
x2
x3 V 3 6 15 36 V
= = = = ... = ⇒ =3
2ª sequência: (6, 18, 12, 30) Q 1 2 5 12 Q
x2 Coeficiente de
Nessas sequências, observe que elas crescem ou proporcionalidade
decrescem na mesma razão inversa, isto é, se um dado elemento
de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente desse Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são
elemento na outra sequência também triplica. Em outras diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra
palavras, os elementos correspondentes nas duas sequências
também aumenta na mesma proporção, isto é, quando as razões
estão na mesma razão. Veja:
obtidas entre os valores assumidos por uma das grandezas e os
6 = 3 ⋅ 2 respectivos valores assumidos pela outra forem iguais.
6 18 12 30 18 = 3 ⋅ 6
= = = = 3, isto é,  Em símbolos:
2 6 4 10 12 = 3 ⋅ 4
30 = 3 ⋅ 10 A
A∝B ⇔= k,
B
Em geral, dizemos que os números da sucessão onde k é a constante de proporcionalidade
numérica (a1, a2, a3, ..., an ) são diretamente proporcionais
(ou simplesmente proporcionais) aos números da sucessão Números inversamente proporcionais
(b1, b2, b3, ..., bn ) quando as razões entre seus respectivos
correspondentes forem iguais, ou seja: Considere as seguintes sequências numéricas:
1
x
a1 = k ⋅ b1 3

a1 a2 a3 an a = k ⋅ b2
= = = ... = = k 2 1 1 1 1 
b2 b2 b3 bn ................. 1ª sequência:  ; ; ;  formada pelos
 2 6 4 10 
an = k ⋅ bn
Esta razão constante k é chamada de fator de x
1
2
proporcionalidade e indica quantas vezes cada antecedente é
respectivos inversos de (2, 6, 4, 10).
maior que o respectivo consequente.

Matemática e suas Tecnologias 3

x 3

2ª sequência: (6, 18, 12, 30)
Numero de
2 3 4 5 6 10 30
x 2 amigos (A)

Nessas sequências, observe, elas crescem ou decrescem Bombons
30 20 15 12 10 6 2
recebidos (B)
na razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas
triplica, por exemplo, o correspondente deste elemento na outra
sequência reduz-se à sua terça parte.
Note que os inversos dos números da 1ª sequência são Note que os produtos obtidos entre os respectivos
diretamente proporcionais aos números da 2ª sequência. elementos das sequências “número de amigos” (A) e “número
x 3 de bombons recebidos“ (B) são iguais:
Inversos da 1ª sequência (2, 6, 4, 10) A ⋅ B = 2 ⋅ 30 = 3 ⋅ 20 = = 30 ⋅ 2 ⇒ A ⋅ B = 60
x 2
Em geral, dizemos que os números da sequência
(a1, a2, a3, ..., an) são inversamente proporcionais aos números Coeficiente de proporcionalidade
da sequência (b1, b2, b3, ..., bn) quando os números de uma Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são
delas forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra
inversos da outra, ou seja:
diminui na razão inversa, isto é, quando os produtos obtidos
multiplicando-se cada valor assumido por uma das grandezas
a1 b a a
= 2 = 3 = ... = n = k pelo respectivo valor assumido pela outra forem iguais.
1 1 1 1
b1 b2 b3 bn Em símbolos:
A
ou de outra forma: A∝B ⇔ = k,
B
a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = anbn = k onde k é a constante de proporcionalidade

Aqui, a constante k também é chamada de fator ou coeficiente Exemplo:
de proporcionalidade e indica o produto entre os respectivos Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de
elementos das sequências inversamente proporcionais. trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias, podemos
inferir em quantos dias 24 desses operários farão serviço
Exemplo:
Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias, idêntico. Para isso, note que as grandezas, “nº de operários”
no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias, (H) e “nº dias” (D) são inversamente proporcionais (note:
respectivamente. Se o diretor financeiro dessa fábrica dividir “quanto mais homens trabalhando, menos dias eles gastam”).
R$ 396, 00 entre os citados funcionários, em partes inversamente Daí, H · D = k, onde k é constante.
proporcionais às faltas, podemos calcular a parte de cada um.
Daí, para os dois serviços, devemos ter:
Veja:
As partes devem ser diretamente proporcionais aos H · D = 20 · 15 = 24 · x = k, onde x é o número de dias
 1 1 1 para a realização do outro serviço.
inversos dos números de faltas  , e  , respectivamente.
 8 5 2 20 · 15
Sendo k a constante de proporcionalidade, as partes Assim, x = = 12, 5 .
24
serão, então:
1 1 1
8
· k (Lucas ), · k (Raquel) e · k (Elias ).Daí:
5 2 Grandezas proporcionais a duas ou mais
1 1
 8 · k = 8 · 480 = 60
1
outras grandezas
k k k  1
+ + = 396 ⇒ 5k + 8k + 20k = 396 · 40 ⇒ k = 480 ⇒  · k = · 480 = 96
8 5 2 5 5 Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C,
 1 · k = 1 · 480 = 240 então A é proporcional ao produto B · C, isto é:

2 2

Sendo assim, temos que: A
= k,
Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, R$ 96,00 e B ⋅ C
R$ 240,00, respectivamente. onde k é constante

Essa propriedade se estende para mais de duas outras
Grandezas inversamente proporcionais grandezas. Por exemplo:
Matheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre a) A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. Então:
os amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os
X
possíveis números de amigos e as respectivas quantidades (B) = constante
Y ⋅ Z ⋅ W
de bombons recebidos por cada amigo:


b) A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas A Exemplo:
e B e inversamente proporcional à grandeza C. Então: Para analisar a transpiração das plantas, os botânicos
M ⋅ C precisam conhecer a área das suas folhas. Essa área pode ser
= constante
A ⋅ B obtida pelo seguinte processo: coloca-se a folha da planta sobre
uma cartolina e traça-se o seu contorno.
c) A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas P, Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado com
Q, R e diretamente proporcional à grandeza S. Então: 10 cm de lado, como mostram as figuras a seguir:
X ⋅ P ⋅ Q ⋅ R
= constante
S

Regra de sociedade 10 cm

Em uma sociedade, os lucros e os prejuízos devem ser
distribuídos entre os sócios em partes diretamente proporcionais 10 cm
aos capitais empregados pelos respectivos sócios e ao tempo
durante o qual esses capitais estiveram empregados na Após serem recortadas, as duas figuras são pesadas em
constituição da sociedade. É justo quem aplicou mais ganhar uma balança de alta precisão, que indica uma massa de 1,44 g
mais. É justo quem aplicou seu dinheiro por mais tempo ganhar para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando grandezas
mais. proporcionais, os botânicos podem determinar a área das folhas.
A regra de sociedade é uma aplicação prática da divisão Supondo que o botânico obteve a massa da figura da folha igual
a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte regra de três:
em partes proporcionais.
Área (cm2) Massa (g)
Lucro 100 1,44
= constante
(capital) ⋅ (tempo) x 3,24

Regra de três simples e regra de três composta Daí,
100 1, 44
= ⇒ 1, 44 x = 324 ⇒ x = 255
x 3, 24
Existe uma regra prática que nos permite relacionar dois
valores de uma grandeza A com dois valores, respectivamente, Logo, a área da folha é 225 cm2.
de outra ou outras grandezas proporcionais à grandeza A.
Essa regra pode ser resumida assim:
– 1º passo: Montamos uma tabela colocando em cada
coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza.
QUESTÃO COMENTADA C-1
H-3
– 2º passo: Escolhemos uma grandeza para servir de
referência, de preferência a que se quer saber o valor. Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
– 3º passo: À grandeza de referência, associamos uma seta
com sentido para baixo (é só uma convenção, poderia ser
para cima).
• (UFSM - Adaptado) Uma banana sem casca tem cerca de
– 4º passo: Comparamos esta grandeza de referência
70% de água e o restante de matéria sólida (que não se
cada uma das outras, isoladamente, identificando se perde no processo de secagem). Na produção de banana-
há proporcionalidade direta (setas no mesmo sentido) passa, a secagem deve ser feita em estufa, com circulação
ou inversa (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas de ar aquecido a 65 graus entre bandejas, onde as bananas
invertidas). são acomodadas uma ao lado da outra, em fileiras. O tempo
– 5º passo: Colocamos a razão da grandeza de referência de secagem é de aproximadamente 24 horas para atingir
isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos a outra o ponto de passa com 20% de umidade (isto é, o ponto
razão ou o produto das outras, caso tenha mais de uma em que a água represente 20% da massa total).
outra lembrando que se há proporcionalidade em relação à
Nessas condições, a porcentagem que a massa de banana-
grandeza de referência, devemos inverter os elementos da
passa obtida representa em relação à massa total inicial de
respectiva coluna e escrever a razão inversa no membro da
fruta é igual a:
igualdade formada.
a) 25%.
Se o problema envolve apenas duas grandezas b) 27,5%.
proporcionais, temos uma regra de três simples. Caso o problema c) 37,5%.
envolva mais de duas grandezas proporcionais, tratar-se-á de uma d) 40%.
regra de três composta. e) 42,5%.


Comentário
DE OLHO NO ENEM
Sendo x a massa inicial total da banana sem casca, temos:
70
i) Massa inicial de água = 70% de x = ⋅ x = 0,7x
100 O que é um quilate de ouro?
ii) Massa sólida (fixa) = x – 0,7x = 0,3x
Daí, A palavra “quilate” vem do grego keratio, significando
Massa sólida (fixa) = (100% - 20%) · (massa final) uma semente que era usada como unidade de peso na antiga
0,3x = 0,8 · (Massa final) n
Grécia. Uma joia é considerada de n quilates se de sua
0, 3x 24
Massa final = massa for de ouro, sendo n maior ou igual a 1 e menor ou
0, 8
Massa final = 0,375 · x igual a 24.
Ou seja: Assim, o ouro de um objeto com 18 partes de ouro e 6
Massa final = 37,5% · (massa inicial) de outro metal é de 18 quilates. Desta forma, o ouro 18 quilates
Resposta correta: c tem 75% de ouro, e os 25% restantes são ligas adicionadas para
garantir maior durabilidade e brilho à joia. Note que 18 quilates
= 18/24 = 75% de ouro (também chamado de ouro 750).
O ouro puro tem 24 quilates (contém 100% de ouro)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO e é denominado ouro 1000. Na realidade, o ouro nunca
H-11
Compreendendo a Habilidade tem uma pureza total, e a classificação mais alta cai para
C-3 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do
cotidiano.
999 pontos, na escala europeia, conforme mostra a tabela.

Conteúdo
Quilatagem Pureza
01. (Unicamp - Adaptado) A figura a seguir mostra um de Ouro
fragmento de mapa, em que se vê o trecho reto da
24 K 100% 999
estrada que liga as cidades de Paraguaçu e Piripiri.
Os números apresentados no mapa representam as 18 K 75% 750
distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto 14 K 58,3% 583
de início da estrada (que não aparece na figura). Os traços
perpendiculares à estrada estão uniformemente espaçados 10 K 41,6% 416
de 1 cm. Disponível em: http://pt.wikipedia.org - Adaptado.

Paraguaçu Posto Piripiri
13 47
introdução

Imagine que você tenha que reproduzir o mapa dado Caminhando em direção ao Enem, firmaremos neste
usando a escala 1 : 500.000. Se você fizer a figura em uma momento alguns conhecimentos de proporcionalidade
folha de papel, a distância, em centímetros, entre as cidades vinculados à geometria.
de Paraguaçu e Piripiri será de:
a) 5,6. b) 6,0. Nesta seção, nosso trabalho consistirá na fundamentação
c) 6,4. d) 6,8. das propriedades decorrentes da ampliação e redução de objetos,
e) 7,2. assegurando uma maior confiança na resolução dos quesitos
a seguir.
Compreendendo a Habilidade
H-16
C-4 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.

OBJETO DO CONHECIMENTO
02. Para a reforma do Ginásio de Esportes de certo colégio,
foram contratados 24 operários. Eles executaram 40% do
trabalho em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. No final
do 10º dia, 4 operários foram dispensados. No dia seguinte, Proporcionalidade na Geometria
os operários restantes retomaram o trabalho, trabalhando
6 horas por dia e concluíram a reforma. Sabendo-se que o A geometria surge a partir da necessidade de calcular
trabalho foi executado nos dois momentos sem folga em distâncias, medir superfícies, construir habitações, templos
nenhum dia, ao todo, a reforma foi realizada em: e outras coisas. Através dos tempos, os seus registros
a) 25 dias. b) 27 dias. estão presentes nos legados de todas as civilizações:
c) 29 dias. d) 31 dias. babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus,
e) 33 dias. árabes utilizaram as formas geométricas em seu dia a dia.


Atualmente, o projeto de construção de um edifício ou de uma As figuras abaixo são semelhantes.
aeronave, por exemplo, com frequência requer a produção de
modelos e maquetes em miniatura, com a mesma forma que o
objeto original, permitindo obter um amplo entendimento de
sua complexa estrutura. A ampliação ou redução fotográfica
é outro recurso utilizado para revelar com detalhes aspectos
de difícil visualização de certas situações, como a confecção
da planta de uma cidade, por exemplo. Trata-se de um
procedimento muito útil, pois preserva a forma dos objetos
fotografados. • Duas figuras são semelhantes quando os ângulos
correspondentes são congruentes e a medida do
comprimento dos segmentos que unem quaisquer dos
pontos de uma é proporcional à medida do comprimento
dos segmentos correspondentes na outra. Assim, duas
figuras são semelhantes se uma é ampliação ou redução
da outra ou se são congruentes.
• Numa ampliação todos os comprimentos são multiplicados
por um número maior do que 1 e, numa redução, todos os
comprimentos são multiplicados por um número positivo
É incontestável que o desconhecimento das formas menor do que 1.
geométricas e suas propriedades, indubitavelmente • Para relacionar as dimensões de figuras semelhantes
comprometerá a percepção, a compreensão e a capacidade define-se a razão de semelhança, r, que é o quociente entre
de raciocínio visual que a vida diária exige de nós. Através do as medidas dos comprimentos de qualquer segmento da
estudo da geometria é possível observar, analisar e refletir figura transformada e as medidas dos comprimentos do
sobre as propriedades do plano e do espaço. Neste sentido, segmento correspondente da figura inicial.
é importante que os estudantes adquiram a capacidade de Se r > 1, a figura semelhante é uma ampliação.
observar, reconhecer as formas geométricas e através de suas Se r < 1, a figura semelhante é uma redução.
propriedades, interpretar e solucionar situações-problema da Se r = 1, as figuras são congruentes ou geometricamente
vida cotidiana. iguais.
• O fator de escala entre duas figuras semelhantes é igual
Teorema de Tales (proporcionalidade) ao valor da razão de semelhança.

O Teorema de Tales garante que um feixe de paralelas
determina, em duas transversais quaisquer, segmentos
Semelhança de triângulos
proporcionais.
Dois triângulos dizem-se semelhantes quando têm seus
t t’ pares de lados correspondentes ordenadamente proporcionais
A A’ r e os ângulos correspondentes iguais.
a c A A’
B B’ s b b’
c c’
b d a’ C’
C B’
B a
C C’ v
Se os triângulos ABC e A’ B’ C’ são semelhantes, então:

r // s // v (paralelas) ˆ
 A = A’ˆ
t e t’ (transversais) ˆ ˆ ’ e c = a = b = k (razão de semelhança)
B = B
C = C’ c’ a’ b’
ˆ ˆ
Propriedade 

a c
= Casos de semelhança
b d
• Primeiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos
Semelhança são semelhantes quando têm dois ângulos ordenadamente
Um conceito muito utilizado em geometria é a ideia iguais.
de figuras semelhantes, que vem sendo utilizado desde • Segundo caso de semelhança de triângulos: dois
a Antiguidade. Uma ampliação, uma redução e até uma triângulos são semelhantes quando têm um ângulo igual,
congruência são exemplos claros de semelhança. compreendido entre dois lados proporcionais.
Entre as figuras geométricas planas que são sempre • Terceiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos
semelhantes, temos todos os círculos e quadrados, enquanto são semelhantes quando têm os três lados ordenadamente
na geometria tridimensional temos as esferas e os cubos. proporcionais.


Exemplo: Importantíssimo:
O ângulo sob o qual um observador vê o topo de um • k é chamado razão de semelhança.
prédio de 88 m de altura duplica quando esse observador se • Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade
aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se aproxima se mantém constante para quaisquer dois segmentos
mais 50 m. Neste instante, a distância entre o observador e o correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas,
prédio pode ser inferida, usando-se semelhança de triângulos. perímetros, inraios, circunraios etc.
• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com
razão de semelhança k, a razão entre as áreas é k².
• Uma extensão razoável dos resultados acima vemos
88 m que na geometria espacial quando se tem dois
sólidos semelhantes, dizemos que a razão entre os
A α 2α 3α volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da
110 m B 50 m C D razão de semelhança, isto é, k³.

Exemplo:
Um bolo em forma de pirâmide tem altura 30 cm e
Para isso, veja no modelo matemático seguinte que os área da base igual a 150 cm2. Usando semelhança de sólidos
triângulos AEC e EBC são semelhantes. geométricos, podemos determinar a área da secção superior do
E tronco da pirâmide obtida quando se corta o bolo paralelamente
à base e a 17 cm dela. Veja:
α
α
h

88
30
17

α 2α 3α
A 110 B 50 C x D
Ab = 150 cm2

CE 160
Daí, = ⇒ (CE)2 = 8000
50 CE Devido a secção ser paralela ao plano da base (secção
transversal), podemos concluir que:
Agora, usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
CDE, obtemos:
• h = 30 – 17 = 13 é a razão de semelhança da pirâmide
menor (acima do corte) e a maior (bolo completo) é
13
(CE)² = x² + 88² 8000 = x² + 7744 x = 16 m k= ;
30
Área da secção (pirâmide menor)
Semelhança de Polígonos • = k 2;
Área da base (pirâmide maior)
Dois polígonos são semelhantes se for possível Área da secção (pirâmide menor)  13
2

estabelecer uma correspondência entre vértices e lados de modo • Assim, =  .
 
150 30
que ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes e
lados correspondentes sejam proporcionais. Logo, a área da secção é aproximadamente igual a
28,2 cm2.
B’

b’
B
b a’ C’
a
C QUESTÃO COMENTADA C-3
H-12
c A’ c’
A Compreendendo a Habilidade
D D’ – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas..
c
d e’
d’
E
E’ • Um reservatório em forma cônica, totalmente cheio, de
altura 6 dm e raio da base 2 dm, está com o vértice A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
A = A’, B = B’, C = C’, D = D’,E = E’ voltado para baixo. Devido a um vazamento nesse vértice,

a b c d e  ⇒ ABCDE ~ A’B’C’D’E’ a altura da água passou a ser 3 dm, como mostra a fig.1.
= = = = =k  Para fazer o reparo, esse reservatório foi invertido, ficando
a’ b’ c’ d’ e’ 
com o vértice A voltado para cima.


2 dm A

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
H-9
C-2 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de
argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
6 dm

3 dm
03. Na mesma escala, temos na ilustração a seguir, a planta
de uma rede elétrica de um bairro. A reta r é um cabo de
A
alta tensão e deve ser anexado à rede nos pontos Q1, Q2 e
(Fig. 1) (Fig. 2)
Q3. As demais retas, sempre paralelas ou perpendiculares
entre si, representam as linhas normais de transmissão
A água depositada no fundo do recipiente, com essa
das ruas, sendo os postes seus pontos de interseção.
movimentação, conforme fig. 2, formou um tronco de
A circunferência de raio 3 cm, centrada no poste P1 , é uma
cone, cuja altura mede:
região de isolamento de segurança para o mesmo, e T seu
( )
a) 25 + 3 3 7 dm ponto de tangência com a reta r.

b) (12 + 3 7 ) dm
3 P2 r
Q3

c) (12 − 3 7 ) dm
3
Q2

d) (6 + 3 7 ) dm
3
T

e) (6 − 3 7 ) dm
3

Q1 P1

Comentário

2 dm
A
Se a distância entre os postes numa mesma reta é sempre
45
igual a cm, e TQ1 mede 4 cm, podemos concluir que
V1 4
6–h
V1 a medida da distância P2Q3 , em centímetros, é igual a:
6 dm a) 6,0 cm
V2
b) 7,8 cm
3 dm c) 10,0 cm
h
V2 d) 13,4 cm
e) 16,8 cm
A
(Fig. 1) (Fig. 2)

i) Em virtude do paralelismo entre a superfície do líquido H-14
C-3 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
e a base do reservatório (Fig. 1), podemos escrever: geométricos relacionados a grandezas e medidas.

3
V1 + V2  6 
=   = 8 → V1 = 7V2
V2  3 04. Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone circular
semelhança de sólidos
reto invertido, de eixo vertical, e está cheio até a boca
ii) Na fig. 2, aplicando raciocínio análogo, temos: (nível do solo) com 27000 litros de água e 37000 litros de
petróleo (o qual é menos denso que a água).
3 3
V1 + V2  6  8V2  6 
=  → 7V =  6 − h 
V1 6 −h 2  
Simplificando a sentença acima, concluímos:

3
8
=
6
7 6 −h
→
6
=
2
6−h 3 7
→ h = 6 − 3 3 7 dm. ( )
Resposta correta: e


Sabendo que a profundidade total do tanque é 8 metros
e que os dois líquidos não são miscíveis, podemos concluir
que a altura da camada de petróleo é:
a) 6 metros.
b) 2 metros. a

3 37
c) metros.
π
27
d) metros. b
16
37
e) metros.
16

Observe, no modelo matemático seguinte, que os
DE OLHO NO ENEM triângulos 1 e 2 são semelhantes.
b
Retângulo Áureo θ
T2
a–b
α
Diz-se que um retângulo ABCD qualquer é áureo quando a
apresenta a seguinte propriedade: se dele retira-se o quadrado α a
ABFE, o retângulo CDEF restante será semelhante ao retângulo
original. b
b T1
B a F b C
E F θ
a b

a b
b a−b
Assim, temos = , o que nos dá a = 1+ 5
D a C a b b 2
(número de ouro)
A E D
a F b C
E F

introdução
a b

a C
A ideia de proporcionalidade está naturalmente embutida
D
no raciocínio humano. Sua importância se dá pela sua ampla
E D perspectiva de aplicação no estabelecimento de relações em
Como os retângulos ABCD e CDEF são semelhantes,
todas as áreas do conhecimento. Diversas leis naturais, diversos
temos:
2
fenômenos físicos, biológicos ou sociais podem ser explicados e
a b a a quantificados através do conceito de proporcionalidade. Talvez
= ⇒ b2 + ab = a2 ⇒ 1 + =  
a+b a b b nenhuma outra função matemática expresse tão bem essa ideia

a quanto a função afim.
Daí, fazendo k = , obtemos k² = k + 1
b

a 1+ 5
Portanto, k = = (número de ouro)
b 2 OBJETO DO CONHECIMENTO
Provavelmente, você não sabe que os cartões de crédito
ou de débito que tanto usamos são retângulos áureos, ou seja,
Função afim
a razão entre seus lados é igual ao número de ouro:
Toda função f de R em R dada por uma lei da forma
a 1+ 5 f(x) = ax + b, em que a 0 e b são constantes reais, é dita função
=
b 2 afim ou função do 1º grau, cuja representação gráfica é uma reta.
Nessa função, o coeficiente de x (a) é chamado de coeficiente
angular e o termo independente de x (b), de coeficiente linear.


Observação
Para a > 0, o gráfico de f é uma reta crescente e para
a < 0, uma reta decrescente. QUESTÃO COMENTADA H-21
C-5
a>0 b>0 Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
b=0
y
b<0
• Dionísio possui R$ 600,00, e é o máximo que pode gastar
consumindo dois produtos A e B em quantidades x e y
respectivamente. O preço por unidade de A é R$ 20,00 e
o de B é R$ 30,00. Admite-se que as quantidades x e y
raiz sejam representadas por números reais não negativos e
x sabe-se que ele pretende gastar no máximo R$ 300,00 com
raiz raiz produto A. Nessas condições, o conjunto dos pares (x,y)
possíveis, representados no plano cartesiano, determinam
uma região cuja área é:
a) 195 b) 205
c) 215 d) 225
e) 235
b>0
a<0
Comentário
b=0
Das informações do enunciado, temos as seguintes
y
inequações:
b<0
 x y
20x + 30y ≤ 600  30 + 20 ≤ 1
 
20x ≤ 300 ⇒ 0 ≤ x ≤ 15
raiz  y ≥ 0
raiz
x x ≥ 0 e y ≥ 0
raiz 

Representado no plano cartesiano obtemos a seguinte
figura:
y

Taxa de variação
20
Sendo x1 e x2 dois elementos distintos do domínio de f,
tais que f( x1 ) = y1 e f( x2 ) = y2, temos:

f ( x 2 ) = ax 2 +b = y 2
 10

f ( x1 ) = ax1+b = y1

Subtraindo membro a membro essas igualdades,
15 30 x
obtemos:
y 2 − y1 (20 + 30)15
a( x2 – x1) = y2 – y1 a= A área da figura é: S = = 225
x 2 − x1 2
Resposta correta: d
Sendo assim, o coeficiente angular de f, a, pode ser
interpretado como sendo a taxa de variação de f(x) = y, em
relação a x, no intervalo fechado [x1, x2 ], isto é:

a=
f( x 2 ) − f( x1)
(constante)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
x 2 − x1 Compreendendo a Habilidade
H-21
Já calculando o valor numérico de f(0), obtemos: C-5 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
f(0) = a · 0 + b f(0) = b

Isso nos mostra que o coeficiente linear b representa 05. Por volta do século XIX, o cientista inglês William
o valor da função quando a variável assume o valor zero. Thompson, mais conhecido como Lorde Kelvin, percebeu,
Frequentemente, b está associado ao valor inicial da função (ou através de experimentação, que quando um gás a volume
constante era resfriado sua pressão diminuía linearmente.
valor fixo), enquanto que a está relacionado ao valor variável
Sendo a pressão do gás uma consequência da agitação
(ou unitário). térmica das partículas, Kelvin concluiu que a temperatura


deveria diminuir até que cessasse o movimento das
partículas, ou seja, o estado de agitação térmica das
partículas deveria ser nulo, e adotou esse conceito que DE OLHO NO ENEM
ficou conhecido como zero absoluto. No mundo físico
não há temperatura abaixo desse valor. O zero absoluto é Lei Dolbear
um estado térmico que existe teoricamente, mas na prática
nunca foi atingido. Na realidade, ele é inatingível.
Abaixo, temos um esquema em que a pressão de um gás,
mantido com volume constante, é medida através de uma
coluna de mercúrio.

373 mm
Certamente todos nós já passamos, em algum
273 mm
momento, pelo incômodo de ouvir o estridente “criquilar”
173 mm
de um grilo. E, provavelmente, tenhamos verificado que
73 mm num fim de tarde muito quente, os grilos “cantam” com uma
– 200 ºC – 100 ºC 0 ºC 100 ºC frequência maior do que à noite, com temperatura mais fresca.
Essa observação foi quantificada e publicada pela primeira
vez em 1897 pelo inventor americano E. A. Dolbear, em um
De acordo com os dados do experimento, podemos concluir
artigo chamado “O grilo como termômetro”, que forneceu a
que:
fórmula empírica:
a) o zero absoluto é inatingível.
N − 40
b) o zero absoluto é –100 °C. T = 10 +
c) o zero absoluto é –200 °C. 7
d) o zero absoluto é –273 °C. Essa fórmula, por vezes, é chamada de Lei de Dolbear, e
e) o zero absoluto é –273,15 °C. foi formulada originalmente em graus Fahrenheit (mas acima,
os valores estão em Celsius) e, é claro, varia de espécie para
Compreendendo a Habilidade espécie. De acordo com a fórmula acima, se os grilos cantarem
H-20
C-5 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
a uma taxa de 110 vezes por minuto, a temperatura é de
20 °C. Se cantarem 145 vezes por minuto, a temperatura é
de 25 °C. Cada estrilado é feito quando o grilo fricciona sua
06. Em uma sala de cateterismo cardíaco foram feitas várias asa dianteira direita contra sua asa dianteira esquerda, que é
tomadas de pressão sistólica do ventrículo esquerdo. Foram coberta de serras.
feitas várias medidas de pressão, em intervalos regulares Nesse processo, a criação do som ocorre de maneira
de tempo. Após 30 min de exame, foi feita uma injeção similar ao ato de passar sua unha sobre os dentes de um pente.
de contraste, fazendo com que a pressão se elevasse de A Em insetos, a esse comportamento dá-se o nome de estridulação,
para B, para depois cair de B para C. O intervalo de tempo
já às pessoas que fazem barulho com as unhas e os dentes de
decorrido a partir da injeção de contraste até a pressão
atingir 140 mmHg foi de (conforme o gráfico): um pente, dá-se apenas o nome de “chatos”.

P (mmHg)
B
155
exercÍCIOS PROPOSTOS
150
H-3
C C-1 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
140
A

130

D 01. (Unicamp - Adaptado) Sabe-se que uma molécula de água
120 é composta por dois átomos de hidrogênio e um átomo
de carbono, cujas massas atômicas são, respectivamente,
0 10 20 30 40 50 (min) 1 u e 16 u, aproximadamente, em que u representa a
unidade de massa atômica. O corpo humano é composto
a) 2,5 min b) 3,0 min majoritariamente por água, cuja porcentagem, em massa,
c) 3,5 min d) 4,0 min pode variar entre 80%, quando se nasce, e 50%, quando
e) 4,5 min se morre, ou seja, perde-se água enquanto se envelhece.


Considere que, aos 3 anos de idade, 75% do corpo humano Compreendendo a Habilidade
H-19
é água, e que todo o oxigênio do corpo humano seja o da C-5 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre
água aí presente. grandezas.
Nesse caso, pode-se afirmar que a proporção em
massa de oxigênio no corpo da criança de 3 anos é de
aproximadamente: 04. O tamanho de uma folha de papel é definido pela Norma
3 2 Internacional ISO 216.
a) b) Na série A, uma folha consiste em um retângulo construído
4 3 de forma a se manterem as razões entre o lado maior e o
lado menor, quando o papel se divide ao meio.
1 3 Assim, o papel A0, que tem 1 m2 de área, ao ser dividido
c) d)
2 5 ao meio, dá origem a duas folhas de papel A1, como você
pode ver na figura.
2
e)
5 x
papel A1
2
x papel A0
Compreendendo a Habilidade papel
H-16 x y
C-4 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta papel A1 A1
2
ou inversamente proporcionais.
x
y y
2

02. (UFRJ) Leia a tirinha. Cada folha de papel A1, por sua vez, dá origem a duas
folhas de papel A2.
OS BICHOS Cada folha de papel A2 dá origem a duas folhas de papel
Fred Wagner A3 e assim sucessivamente.
...o que implica
12 horas de O tamanho de papel mais utilizado pelas pessoas em casa
Se juntarmos trabalho, sem ...conseguiremos mon-
500 gravetos almoço... tar o ninho em duas ou e nos escritórios, é o tamanho A4, cuja menor dimensão
por dia... três semanas, querida!
é 21 cm.
A fórmula que expressa o valor de x a partir do valor de y e
a maior dimensão de uma folha A4 são, respectivamente:
(Use 2 ≈ 1,414)
Isso na melhor E aquela gaiola a) x = y 2 + 2 e 31,694 cm.
das hipóteses! vazia na casa Boa
do sítio? ideia! b) x = y 2 + 1 e 30,694 cm.
c) x = y 2 e 29,694 cm.
d) x = y 2 − 1 e 28,694 cm.
e) x = y 2 − 2 e 27,694 cm.

Admita que os pássaros levem exatamente três semanas
para construir seu ninho, nas condições apresentadas nos H-8
C-2 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de
quadrinhos. espaço e forma.
Se eles quiserem construir o ninho em apenas duas
semanas, trabalhando 9 horas diárias, deverão juntar, por
dia, a seguinte quantidade de gravetos: 05. A “divina proporção”, também conhecida como proporção
a) 600 áurea, foi usada por Leonardo da Vinci para pintar a
b) 800 Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras. Em vários
c) 900 pontos do quadro aparece o retângulo áureo, como
d) 1000 ilustrado na figura 1.
Na figura 2, os quadriláteros ABDF, CDFH, EFHJ, GHJK,
e) 1200
IJKL são retângulos áureos semelhantes e os quadriláteros
ABCH, CDEJ, EFGK, GHIL são quadrados.
H-16 F E D
C-4 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta
ou inversamente proporcionais.
G L
K
x
H x C
03. (Profmat-Sbm) Um fazendeiro possui ração suficiente para I J
alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias,
ele vendeu 4 vacas. Passando mais 15 dias ele compra 9
vacas. Depois desta última compra, a reserva de ração foi
suficiente para alimentar as vacas por mais:
a) 40 dias. b) 36 dias.
A B
c) 32 dias. d) 30 dias.
Figura 1: Mona Lisa e proporções Figura 2: Retângulos áureos
e) 28 dias.


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