Olasılık Teorisi ve Rastgele Değişkenler Matematiksel Eşitlikler ve Eşitsizlikler

1. MATEMATİKSEL EŞİTLİK ve EŞİTSİZLİKLER
TRİGONOMETRİ, SERİ AÇILIMLARI ve INTEGRALLER

2. Matematiksel Eşitlik ve Eşitsizlikler
TRİGONOMETRİK EŞİTLİKLER
𝑠𝑖𝑛2
(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 ± 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑦) ∓ 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) 𝑠𝑖𝑛
(𝑦)
𝑠𝑖𝑛 (𝑥 ± 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑦) ± 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑠𝑖𝑛 (𝑦)
𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑦) =
1
2
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦) +
1
2
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 𝑦)
𝑠𝑖𝑛 (𝑥) 𝑠𝑖𝑛 (𝑦) =
1
2
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 𝑦) −
1
2
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦)
𝑠𝑖𝑛 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑦) =
1
2
𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 𝑦) +
1
2
𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 𝑦)
𝑒𝑗𝑥
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 (𝑥)
𝑐𝑜𝑠 (𝑥) =
𝑒𝑗𝑥 + 𝑒−𝑗𝑥
2
𝑠𝑖𝑛 (𝑥) =
𝑒𝑗𝑥
− 𝑒−𝑗𝑥
2𝑗

3. Matematiksel Eşitlik ve Eşitsizlikler
SERİ AÇILIMLARI
𝑥 𝑘
∞
𝑘=0
=
1
1 − 𝑥
, 𝑥 < 1
𝑥 𝑘
𝑛
𝑘=0
=
1 − 𝑥 𝑛+1
1 − 𝑥
𝑘
𝑛
𝑥
𝑘−𝑛∞
𝑘=𝑛
=
𝑘 + 𝑛
𝑛
𝑥
𝑘∞
𝑘=0
=
1
(1 − 𝑥) 𝑛+1
, 𝑥 < 1
𝑛
𝑘
𝑥
𝑘
𝑦 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
= (𝑥 + 𝑦) 𝑛

4. Matematiksel Eşitlik ve Eşitsizlikler
SERİ AÇILIMLARI
1
𝑘!
𝑥
𝑘∞
𝑘=0
= 𝑒 𝑥
(−1) 𝑘
(2𝑘)!
𝑥
2𝑘∞
𝑘=0
= 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
(−1) 𝑘
(2𝑘 + 1)!
𝑥
2𝑘+1∞
𝑘=0
= 𝑠𝑖𝑛 (𝑥)
−
1
𝑘
𝑥
𝑘∞
𝑘=1
= 𝐼𝑛(1 − 𝑥) , 𝑥 < 1

5. Matematiksel Eşitlik ve Eşitsizlikler
INTEGRALLER (SONLU/ARALIK INTEGRALLERİ)
𝑥 𝑛 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = Γ 𝑛 + 1 = 𝑛!
∞
0
, 𝑛 ≥ 0
𝑒−𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥−1/2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
∞
0
= Γ 1/2 = 𝜋
∞
−∞
𝑥 𝑛−1/2
𝑒−𝑥
𝑑𝑥
∞
0
= Γ 𝑛 + 1/2 =
2𝑛 !
22𝑛
𝑛!
𝜋 , 𝑛 ≥ 1
𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
∞
0
= 1
∞
−∞

6. Matematiksel Eşitlik ve Eşitsizlikler
INTEGRALLER (SONLU/ARALIK INTEGRALLERİ)
1
2𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2𝜋
𝑠𝑖𝑛 𝑛
𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
0
=
0 𝑛 𝑡𝑒𝑘
𝑛
𝑘
1
2 𝑛 𝑛 ç𝑖𝑓𝑡
2𝜋
0
1
𝑥2 + 𝑎2 𝑑𝑥 = 2
1
𝑥2 + 𝑎2 𝑑𝑥
∞
0
= 𝜋/𝑎
∞
−∞
, 𝑎 > 0
1
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 = 2
1
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥
𝑎
0
= 𝜋
𝑎
−𝑎
, 𝑎 > 0

7. Matematiksel Eşitlik ve Eşitsizlikler
INTEGRALLER (GENEL)
𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
𝑛 ≠ −1
𝑙𝑛 (𝑥) 𝑛 = −1
𝑎 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) , 𝑎 ≠ 1
𝑙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥
𝑠𝑖𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥)

8. Matematiksel Eşitlik ve Eşitsizlikler
INTEGRALLER (GENEL)
𝑡𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑖𝑛ℎ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥)
𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛ℎ (𝑥)
𝑡𝑎𝑛ℎ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥)

9. Olasılık Teorisi ve Rastgele Değişkenler
(MATLAB Uygulamalı)
Seçkin Yayıncılık (www.seckin.com.tr)
2016 - Ankara
http://www.seckin.com.tr/kitap/n/141771974