Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen valores conocidos y desconocidos relacionados mediante operaciones matemáticas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad. Existen ecuaciones de primer grado, donde la variable no está elevada, y de segundo grado, que tienen dos soluciones.

1. Ecuación

2. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

4. La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

5. Ecuación de primer grado Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1. Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica: con a diferente de cero. Su solución es la más sencilla:

6. Resolución de ecuaciones de primer grado Dada la ecuación: 1- Transposición: Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que: Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía. En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

7. La ecuación quedará así: Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

8. 2- Simplificación: El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta. Realizamos la simplificación del primer miembro: Y simplificamos el segundo miembro: La ecuación simplificada será:

9. 3- Despejar: Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía. En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo). Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía. En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo). Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

10. Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar. Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado. En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

11. Por tanto, simplificando, la solución es:

12. Ecuaciones de segundo grado Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones: Ecuaciones de la forma ax² + c = 0 Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

13. Pasamos -16 al segundo miembro Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada La ecuación ya está resuelta Nota: si -c/a es un número real negativo, las raíces de la ecuación son imaginarias y pertenecerán al campo de los números complejos.

14. Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 Tengamos: En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

15. Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

16. Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.

17. Si tenemos la ecuación cuadrática: Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:

18. A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3 Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios. Método II También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo: Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:

19. es equivalente a: siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión. En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6. luego, la igualdad: es equivalente a:

20. Demostración Partiendo de la igualdad: operando, obtenemos: Luego, para a = 1, resulta: m y n son dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.