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Ecuación general del círculo ,[object Object],4 3 5 Vamos a llamar  P(x, y)  a uno de los puntos del lugar geométrico. Entonces,  tenemos  que la distancia de este punto a  Q  debe ser 5, es decir  d(P, Q)=5
Que se escribe como  De donde,  Esta ecuación representa un círculo La forma canónica o estándar del círculo de radio  r   y con centro en  C(a, b)  es: C r a b
Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior x 2 -2xa+a 2 +y 2 -2yb+b 2 =x 2 +y 2 +(-2a)x+(-2b)y+a 2 +b 2 notamos que  a 2 +b 2 =r 2 Esta es la forma general de la ecuación del círculo. Si  D=-2a, E=-2b y F=a 2 +b 2 -r 2 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0
Problema individual: Encontrar el centro y radio del círculo cuya ecuación es 4x 2 +4y 2 -12x+40y+77=0 4(x 2 -3x)+4(y 2  +10y)= -77 (x 2 -3x)+(y 2  +10y)= -77/4 (x 2 -3x+9/4)+(y 2  +10y+25)= -77/4+9/5+25 (x-3/2) 2 +(y+5) 2 = 8 Entonces el centro es  (3/2, -5)  y el radio es    8=2  2
Ejercicio en equipo  Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos  (1,5), (-2,3), (2,1).  Resuelva de manera analítica y gráfica. Solución : Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma siguiente: x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos 1+25+D+5E+F=0 4+9-2D+3E+F=0 4+1+2D-E+F=0
Es decir,   D+5E+F=-26   -2D+3E+F=-13 2D-E+F=-5 Resolviendo el sistema tenemos, D=-9/5,  E=19/5,  F=-26/5 Por lo tanto la ecuación del círculo es:   5x 2 +5y 2 -9x-19y-26=0 El ejemplo anterior demuestra el empleo de la fórmula general para deducir la ecuación deseada.
Solución alterna Como los puntos  (1,5)  y  (-2,3)  se ubican en el círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del círculo que deseamos. (-2,3) (1,5) (2,-1) Para la cuerda que une a  (1,5)  con  (-2,3) , el punto medio es  (-1/2,4)  y la pendiente  m=2/3 .
Ejercicio en equipo ,[object Object],Recuerda : Una recta es tangente a un círculo si toca a éste en un solo punto. La recta tangente a un circulo tiene la propiedad de  ser  perpendicular al radio que une al centro del círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad es la que nos permite encontrar la ecuación de la recta tangente.
Solución: ,[object Object],[object Object],[object Object],6 -5 3 12
Ejercicio en equipo ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
[object Object],[object Object],[object Object],5 8 4 13

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Ecuacion general de la circunferencia

  • 1.
  • 2. Que se escribe como De donde, Esta ecuación representa un círculo La forma canónica o estándar del círculo de radio r y con centro en C(a, b) es: C r a b
  • 3. Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior x 2 -2xa+a 2 +y 2 -2yb+b 2 =x 2 +y 2 +(-2a)x+(-2b)y+a 2 +b 2 notamos que a 2 +b 2 =r 2 Esta es la forma general de la ecuación del círculo. Si D=-2a, E=-2b y F=a 2 +b 2 -r 2 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0
  • 4. Problema individual: Encontrar el centro y radio del círculo cuya ecuación es 4x 2 +4y 2 -12x+40y+77=0 4(x 2 -3x)+4(y 2 +10y)= -77 (x 2 -3x)+(y 2 +10y)= -77/4 (x 2 -3x+9/4)+(y 2 +10y+25)= -77/4+9/5+25 (x-3/2) 2 +(y+5) 2 = 8 Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es  8=2  2
  • 5. Ejercicio en equipo Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica. Solución : Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma siguiente: x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos 1+25+D+5E+F=0 4+9-2D+3E+F=0 4+1+2D-E+F=0
  • 6. Es decir, D+5E+F=-26 -2D+3E+F=-13 2D-E+F=-5 Resolviendo el sistema tenemos, D=-9/5, E=19/5, F=-26/5 Por lo tanto la ecuación del círculo es: 5x 2 +5y 2 -9x-19y-26=0 El ejemplo anterior demuestra el empleo de la fórmula general para deducir la ecuación deseada.
  • 7. Solución alterna Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del círculo que deseamos. (-2,3) (1,5) (2,-1) Para la cuerda que une a (1,5) con (-2,3) , el punto medio es (-1/2,4) y la pendiente m=2/3 .
  • 8.
  • 9.
  • 10.
  • 11.