Ruang vektor adalah himpunan benda yang memiliki operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Ruang vektor harus memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Sub ruang adalah ruang vektor yang merupakan bagian dari ruang vektor lain. Vektor bebas linier dan tak bebas linier mendefinisikan ketergantungan linier antar vektor. Kombinasi linier adalah vektor hasil penjumlahan vektor lain dengan skalar. Basis ruang vekt

1. 7 RUANG VEKTOR
7.1 Ruang Vektor Real
Definisi Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yaitu
penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan tersebut kita pahami
untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang
mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v, dengan perkalian skalar kita
artikan setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian
skalar u oleh k. Jika semua aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan
oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor dan benda – benda
pada V kita namakan vektor :
1. Jika u dan v adalah benda – benda pada V kita namakan vektor.
2. u + v = v + u
3. u + (v + w) = (u + v) + w
4. Ada vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V
5. Untuk setiap u di V, terdapat –u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
6. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di V, maka ku berada di V
7. k(u + v )= ku + kv
8. (k + l)u = ku + lu
9. k(lu) = l(ku)
10. 1u = u
7.2 Sub Ruang (Sub space)
Definisi Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jika
W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang
didefinisikan pada V.
7.3 Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier
Definisi Himpunan m buah vektor (u1, u2, … um) disebut tak bebas linier (linearly
dependent) bila terdapat skalar – skalar λ1, λ2, …, λm yang tidak semuanya nol sedemikian
hingga (u1, u2, … um)
Sebaliknya himpunan (u1, u2, … um) disebut bebas linier (linearly independent) jika λ1 u1 +
λ2 u2 + …+ λm um = 0 hanya dipenuhi oleh λ1= λ2 = …= λm = 0.

2. Catatan :
1. Jika m=1, maka :
a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier, karena λu = 0
λ0 = 0 terpenuhi juga untuk λ ≠ 0
b. Bila λ ≠ 0, akan bebas linier karena λu=0 hanya dipenuhi oleh λ =0
2. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2,…,0, … um) maka
himpunan itu tak bebas linier,
λ1 u1 + λ2 u2 + … + λi 0+ … + λm um = 0 dipenuhi juga oleh λI ≠ 0
3. Jika u dan v adalah 2 vektor yang berkelipatan, u = αv, maka mereka tak bebas
linier. Sebab u = αv 1u - αv = 0, artinya terdapat λ ≠ 0 pada λ1 v + λ2 u = 0
7.4 Kombinasi Linier
Definisi Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor – vektor (u1, u2, … um) bila
terdapat skalar – skalar λ1, λ2, …, λm sedemikian hingga v = λ1 u1 + λ2 u2 + …+ λm um.
Contoh 8.1
a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]
Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c
Kita hitung λ1, dan λ2 yang memenuhi [2, 1, 2] = λ1 [1, 0, 3] + λ2 [3, 1, 5]
2 = λ 1 + 3 λ2
1 = λ2
2 = 3 λ 1 + 5 λ2
Dengan substitusi, diperoleh λ1 = -1 dan λ2 = 1
Jadi penulisan yang diminta adalah a = -b + c
7.5 Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur
Kalau v kombinasi linier dari suatu vektor u, yaitu v = λu yang mana v adalah kelipatan dari
u dengan garis pembawanya sama (atau sejajar), v dan u disebut kolinier (segaris).
v kombinasi linier dari 2 vektor u1 dan u2, yaitu v = λ1u1 + λ2u2 maka v adalah diagonal
jajaran genjang yang sisi – sisinya λ1u1 dan λ2u2 . u1 dan u2 disebut koplanar (sebidang).
v kombinasi linier dari 3 vektor u1 , u2 dan u3, yang tidak sebidang, yaitu v = λ1u1 + λ2u2 +
λ3u3 maka v adalah diagonal paralelepipedum yang sisi – sisinya λ1u1, λ2u2 dan λ3u3.
Contoh 8.2
Tentukan apakah vektor merupakan kombinasi dari dua vektor berikut.
a. Apakah vector w = (-12,20) merupakan kombinasi linear dari vector v1 = (-1,2) dan v2 =
(4,-6)?
b. Apakah vector w = (4,20) merupakan kombinasi linear dari vector v1 = (2,10) dan
v2 = (-3,-15)?
c. Apakah vector w = (1,-4) merupakan kombinasi linear dari vector v1 = (2,10) dan
v2 = (-3,-15)?

3. Penyelesaian:
a. Pada masing-masing kasus ini kita akan membuat dan menyelesaikan persamaan berikut
w = c v1 + c v2
Buat dalam dua bentuk persamaan berikut
Solusi dari SPL tersebut adalah c1 = 4 dan c2 = -2. Oleh karena itu, w merupakan
kombinasi linier dari v1 dan v2 dan kita dapat tuliskan w = 4v1 - 2 v2
b. Pada masing-masing kasus ini kita akan membuat dan menyelesaikan persamaan berikut
w = c v1 + c v2
Buat dalam dua bentuk persamaan berikut
Solusi dari SPL tersebut adalah
t adalah bilangan real
Berikut adalah beberapa kombinasi liniernya.
c. Pada masing-masing kasus ini kita akan membuat dan menyelesaikan persamaan berikut
w = c v1 + c v2
Buat dalam dua bentuk persamaan berikut
Sistem tidak mempunyai solusi dan w bukan merupakan kombinasi linier dari v1 dan v2
7.6 Dimensi dan Basis
Definisi Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …, vr} merupakan himpunan
berhingga dari vektor – vektor pada S, maka S disebut basis untuk V jika : (i). S bebas
linier S merentang V
Definisi Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai
banyaknya vektor pada basis untuk V.

4. Contoh 8.3
Tentukan apakah masing-masing himpunan vector berikut adalah basis untuk R3?
Jawab
a. v1 = (1,-1,1), v2 = (0,1,2), dan v3 = (3,0,-1)
b. v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,0), dan v3 = (0,0,1)
c. v1 = (1,1,0) dan v2 = (-1,0,0)
d. v1 = (1,-1,1), v2 = (-1,2,-2), dan v3 = (-1,4,-4)
Penyelesaian:
a. v1 = (1,-1,1), v2 = (0,1,2), dan v3 = (3,0,-1)
Kita buat persamaan berikut
Dalam bentuk matriks
Determinan dari matriks
Det(A) = -10 det(A) ≠ 0
Dengan demikian vektor-vektor tersebut merupakan basis di R3
Contoh 8.2
Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :
a. p = [1, -2, 3, 1] dan q = [2, -4, 5, 2]
b. b.u = [5, 7, 11, 4] dan v = [10, 14, 22, 8]
Penyelesaian:

5. a. Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas linier. Berarti
dimensi = 2
b. Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun v ≠ 0, jadi keduanya merupakan sistem
pembentuk yang bebas linier. Berarti dimensi = 1
Latihan 7
1. Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh :
(i). a = [1, 1, 2], b= [1, 2, 5] , c = [5, 3, 4]
(ii). p = [1, 2, 2], q = [2, 4, 4] , r = [1, 0, 1]
(ii) u = [1, 0, 1], v = [3, 0, 3] , w = [2, 0, 2]
2. Apakah himpunan – himpunan vektor ini merupakan basis R-3 ?
(i). [1, 1, 1] , [1, -2, 3]
(ii). [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]
(iii). [1, 1, 2], [1, 2, 5], [5, 3, 4]
3. Diketahui L dibentuk oleh p = [1, 3, 1], q= [2, 1, 0], dan r = [ 4, x-2, 2]
Ditanya :
(i) Nilai x supaya L berdimensi 2
(ii) Nilai y supaya vektor a = [3, 2-y, 4] ∈ L{p,q,r}
(iii) Koordinat a di atas relative terhadap basis {p,q}

6. Pustaka
1. Anton, H. Aljabar Linier Elementer, Edisi kedelapan, Jakarta: Erlangga, 2000
2. Dawkins, P. Linear Algebra. http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx