1. UNIDAD 17
CIRCUNFERENCIA

2. 15. Circunferencia
Apuntes PSU 2011
Unidad 17
Circunferencia
Confeccionado, recopilado, diseñado, diagramado,
redactado, revisado, re-revisado y requete revisado por
César Fernández R.
y
Tatiana Sepúlveda O.
Queridos alumnos y alumnas:
Hemos hecho lo humanamente posible por evitar errores pasados. Si hay errores, estos son ¡completamente
nuevos! y te pedimos que nos avises.
Cada test incluye una sección en que tratamos de explicarte en qué te puedes haber equivocado al marcar
una alternativa. Sin embargo, hay alternativas que ni con la mejor voluntad del mundo hemos podido
explicar. Si tú, en un arranque de creatividad, marcaste una de las alternativas incorrectas y no está explicada
en el análisis de alternativas, por favor cuéntanos cómo lo hiciste para mejorar estos apuntes para el futuro.
Prometemos no reírnos de ti. O por lo menos no mucho.
Cualquier otra sugerencia que tengas, por favor háznosla saber. Estos apuntes van a seguir perfeccionándose
año a año.
Por último, esperamos y te deseamos que seas constante y riguroso a la hora de desarrollar los ejercicios y
los tests y al analizar tus errores. Sólo preparándote a conciencia y desde ahora ¡ya! lograrás los resultados
que esperas.
Este apunte de preparación para la PSU fue
confeccionado por el Departamento de Matemáticas del
Colegio Alemán de Santiago.
- 2010 -
Portada: Brian S. Chen, “Artificial Rain”, reproducida con permiso del autor. (www.brianschen.com)

3. 17. Circunferencia
1. Circunferencia
► CIRCUNFERENCIA: Línea curva cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto llamado CENTRO.
La región interior de la circunferencia se denomina Círculo. Circunferencia
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
►RADIO (r): Trazo que une el centro con un punto de la circunferencia. Círculo
Centro
►CUERDA: Trazo que une 2 puntos de la circunferencia Cuerda
►DIÁMETRO (d): Cuerda que pasa por el centro. Diámetro
El diámetro equivale a la medida de 2 radios. Radio
F
►ARCO: Parte de la circunferencia, limitada por 2 puntos de ella.
Dos puntos F y T determinan dos arcos diferentes: el arco menor TF y el arco mayor FT. T
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
►DISJUNTAS: ►TANGENTES: La recta toca a la circun- ► SECANTES:
La recta y la circunferencia no ferencia en un solo punto, llamado punto La recta y la circunferencia se
tienen punto de intersección. de tangencia. intersectan en 2 puntos.
El radio que une el centro con
el punto de tangencia es perpen-
dicular a la recta.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
►EXTERIORES: Los puntos de ► SECANTES: Las circunferencias ► INTERIORES: Todos los puntos
cada tienen dos puntos comunes. de una de ellas son interiores de la
circunferencia son exteriores a la otra.
otra.
►TANGENTES ► CONCÉNTRICAS:
► TANGENTES EXTERIORES: INTERIORMENTE: Las circunferencias tienen el centro
Las circunferencias tienen un Las circunferencias tienen un en común.
punto común y el resto de los punto común y todos los demás
puntos de una son exteriores a la puntos de una son interiores a la
otra. otra.
RELACIÓN ENTRE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA
►POLÍGONO INSCRITO A LA ►POLÍGONO CIRCUNSCRITO A LA
CIRCUNFERENCIA: CIRCUNFERENCIA:
Los vértices del polígono son puntos de la circun- Los lados del polígono son tangentes a la
ferencia y ésta queda circunscrita al polígono. circunferencia.
Los lados del polígono son cuerdas de la La circunferencia queda inscrita al polígono.
circunferencia.
2. Ángulos y Arcos en la Circunferencia
►ÁNGULO CENTRAL (o ÁNGULO DEL CENTRO): ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo.
Un ángulo del centro determina un arco de circunferencia. Se dice que el ángulo subtiende dicho arco. O
r
A B
1

4. 2. Lenguaje Algebraico
2πrα
Medida del arco AB =
360
►ÁNGULO INSCRITO: D
Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas. En la figura: ACB. C
► ÁNGULO SEMINSCRITO:
Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son una cuerda y una tangente O
a la circunferencia. En la figura: DCA y también DCB.
A B
TEOREMAS
► ÁNGULOS CENTRAL, INSCRITO y SEMINSCRITO
Si un ángulo inscrito, un ángulo seminscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco,
entonces: O
1) El ángulo inscrito y el seminscrito tienen la misma medida.
2) El ángulo del centro midel el doble que los otros dos: =2 .
► ANGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90º.
► IGUALDAD DE ÁNGULOS INSCRITOS:
Si dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco, entonces tienen la misma medida.
► ANGULO INTERNO: ► ANGULO EXTERIOR: ►TANGENTES A UNA
CIRCUNFERENCIA
α +β α -β
x= x= BA = BC ,  OBA  OBC
2 2
A
O x O B
x
O
C
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTEROS
►Cuadrilátero inscrito en una circunferencia ►cuadrilátero circunscrito en una circunferencia
A + C = 180º a+c=d+b
B + D = 180º D c
C
D
C d
A b
A
a
B B
Test 1: Circunferencia
1. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)
I) Tres puntos distintos y no colineales determinan una circunferencia
II) Un diámetro de una circunferencia determina una secante a la circunferencia
III) La recta que corta a una circunferencia en un punto, contiene una cuerda de dicha circunferencia.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
2

5. 17. Circunferencia
E) I, II y III
2. En la circunferencia de la figura, AB y CD son diámetros.
¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) AC BD
II) ACD ABD
III) AC // BD
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
3. Si O es el centro de la circunferencia de la figura, entonces el valor del ángulo x es:
A) 280º
B) 320º
C) 300º
D) 100º
E) Otro valor
4. Los puntos A, B, C, D, E y F dividen a la circunferencia de centro O de la figura
en seis arcos congruentes. Entonces el ángulo CAB mide :
A) 18º
B) 30º
C) 36º
D) 60º
E) 72º
5. En la circunferencia de la figura está inscrito el triángulo ABC y la recta PA es tangente en el punto A.
Si CAB = 50º y CAP = 72º, entonces ACB =
A) 94º
B) 18º
C) 72º
D) 58º
E) 54º
6. ¿Cuál de los ángulos inscritos en la circunferencia de la figura tiene
una medida distinta a los tres restantes?
A) a
B) b
C) c
D) r
E) Ninguno de ellos
7. En la circunferencia de la figura, AB es un diámetro de ella. Entonces x =
A) 20º
3

6. 2. Lenguaje Algebraico
B) 45º
C) 70º
D) 90º
E) No se puede determinar
8. En la circunferencia de centro O, BCD = 125º. Entonces BAD =
A) 55º
B) 60º
C) 45º
D) 65º
E) No se puede determinar
9. ABCD es un cuadrilátero inscrito en la circunferencia. Entonces x =
A) 60º
B) 70º
C) 80º
D) 100º
E) 120º
10. En la circunferencia de centro O de la figura, ABCD es un cuadrilátero inscrito cuyas diagonales son
AC y BD . Si CAD = 50º y ACB = 30º, entonces el valor de x – y es:
A) -10º
B) 60º
C) 40º
D) 20º
E) 0º
11. En la circunferencia de centro O de la figura, COD = 40º y AOB = 30º.
¿Cuánto mide el ángulo CHD?
A) 40º
B) 35º
C) 30º
D) 20º
E) 15º
12. En la circunferencia de centro O de la figura, BEA = 50º y AOB = 70º.
¿Cuánto mide el ángulo COD?
A) 70º
B) 60º
C) 50º
D) 30º
E) 25º
13. ¿Cuánto mide el ángulo exterior AEB en la circunferencia de centro O de la figura?
A) 60º
4

7. 17. Circunferencia
B) 65º
C) 30º
D) 35º
E) 25º
14. PA y PB son dos secantes a la circunferencia de centro O de la figura.
¿Cuánto mide el ángulo del centro COD?
A) 60º
B) 50º
C) 30º
D) 35º
E) 40º
15. AC y BD son diámetros de la circunferencia.
¿Cuánto mide el ángulo ABO, si el ángulo COD mide 100º?
A) 20º
B) 25º
C) 40º
D) 50º
E) 80º
16. ABCD es un rectángulo inscrito en la circunferencia de centro O,
OE AB y EOC = 130º. ¿Cuánto mide el ángulo ACD?
A) 20º
B) 40º
C) 45º
D) 50º
E) 65º
17. O es el centro de la circunferencia de la figura y QROP es cuadrado.
¿Cuánto mide el ángulo RSP?
A) 22,5º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 90º
18. La figura es una semicircunferencia de radio OB , en que CD AB .
Si ACD = 20º, entonces ABC =
A) 20º
B) 50º
C) 60º
D) 70º
E) 90º
19. En la figura, AC y BC son tangentes a la circunferencia de centro O.
Si ACB = 70º, entonces ABO =
A) 110º
5

8. 2. Lenguaje Algebraico
B) 70º
C) 35º
D) 55º
E) otro valor
20. En la circunferencia de centro O, AOB DBC. Luego el ángulo BDC se expresa como:
A) 180º - x
B) 180º - 2x
C) 180º - 3x
D) 180º - 4x
E) 180º - 6x
21. En la circunferencia de centro O y diámetro AC, ¿cuál es la medida del arco EA?
(1) DBE = 50º
(2) EBD es triángulo rectángulo E D
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola. A C
C) Ambas juntas, (1) y (2). O
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional B
22. EF , AB y CD son diámetros de la circunferencia de centro O.
Si AOC = 50º, ¿cuánto mide el  EOB?
D
B
(1)  FOD = 2  AOC
F
FOD + AOC O
(2)  EOB =
2
E
A) (1) por sí sola.
A
B) (2) por sí sola. C
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional
6

9. 17. Circunferencia
Respuestas:
1. C 2. E 3. A 4. B 5. D 6. E 7. A 8. A 9. C 10. C 11. B
12. D 13. C 14. E 15. C 16. B 17. C 18. D 19. C 20. C 21. E 22. B
Análisis de Alternativas
1. 7. 14.
Alternativa C: CORRECTA. III es falsa Alternativa A: CORRECTA. Alternativa E: CORRECTA.
Alternativa B: a+x=90º pero a x APB = CD BA : 2
 
3. Alternativa C: corresponde al valor de a
Alternativa A: CORRECTA. Alternativa D: imposible pues a+x=90º
Alternativa B: el ángulo del centro se 15.
consideró igual a 40º Alternativa C: CORRECTA.
8. Alternativa A: CORRECTA
Alternativa C: se consideró ángulo ΔAOB isósceles ,AO y OB radios
En el cuadrilátero inscrito A+ C=180º
completo igual a 380º
Alternativa D: se consideró ángulo 16.
9.
completo igual a 180º Alternativa A: Corresponde al arco DA
Alternativa C: CORRECTA.
Alternativa B: CORRECTA.
En el cuadrilátero inscrito D+ B=180º Alternativa C: Se consideró AC bisectriz
4.
Alternativa A: se consideró el arco BC = Alternativa D: Corresponde al ángulo ACB
10.
36º Alternativa A: x no es ángulo inscrito
Alternativa B: CORRECTA. 17.
Alternativa C: CORRECTA. Alternativa C: CORRECTA.
Alternativa C: se consideró el arco BC = Alternativa D: se consideró y =80º y x= 60º
72º PSR inscrito que subtiende el mismo arco
Alternativa E: se consideró y =80º
Alternativa D: corresponde al BOC que el ángulo del centro POR
11.
5. 18.
Alternativa B: CORRECTA.
Alternativa A: se consideró ABC= 72º Alternativa D: CORRECTA.
CHD = CD AB : 2
 
Alternativa B: se consideró el arco CB = DCA CAB
180º 12.
Alternativa C: corresponde al ABC Alternativa D: CORRECTA. 19.
Alternativa D: CORRECTA. COD = CD AB : 2
  Alternativa A: corresponde al ángulo BOA
Alternativa E: se consideró el arco CB = Alternativa B: faltó dividir por 2
180º Alternativa C: CORRECTA.
13. Alternativa D: corresponde al ángulo CBA
y arco CA = 72º Alternativa C: CORRECTA.
AEB = CD BA : 2
 
20.
6.
Alternativa E: CORRECTA. Alternativa C: CORRECTA.
Todos son ángulos inscritos que subtienden AOB = 2x
el mismo arco.
7

10. 2. Lenguaje Algebraico
Test 2: Circunferencia
1. 
En la circunferencia de centro O, PQ  
QR RP . ¿Cuánto mide el ángulo OQR?
A) 30º
B) 35º
C) 45º
D) 60º
E) 120º
2. En la circunferencia de centro O, AC = BC y AOB = 4 BAO. Entonces CBO =
A) 60º
B) 50º
C) 45º
D) 40º
E) 30º
3. En la circunferencia ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Si AB  
CD , entonces AB CD
II) Si AB // CD , entonces AB CD
III) Si AB CD , entonces AB // CD
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
4. En la circunferencia de centro O, OBA = BOC = 2 AOB. Entonces CBO =
A) 36º
B) 45º
C) 54º
D) 108º
E) 72º
5. En la circunferencia de centro O, QPO POQ. Luego x=
A) 270º
B) 120º
C) 315º
D) 330º
E) 300º
6. 
En la circunferencia de centro O, AB  
BC CA ¿Cuánto mide el ángulo BAO?
A) 30º
B) 35º
C) 45º
D) 60º
E) 120º
8

11. 17. Circunferencia
7. En la circunferencia de centro O, AOB = 2 DBA. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?
A) 22,5º
B) 30º
C) 40º
D) 45º
E) 90º
8. En la circunferencia de centro O, se ha inscrito un hexágono regular. ¿Cuánto mide el ángulo x?
A) 120º
B) 60º
C) 45º
D) 50º
E) 70º
9. En la circunferencia de centro O, OA AB . Si COB = 2 AOC, entonces BCO =
A) 40º
B) 50º
C) 60º
D) 80º
E) 90º
10. AO es radio de la circunferencia y OC CB . Si OCA = 80º, entonces AOC mide:
A) 40º
B) 50º
C) 60º
D) 100º
E) 20º
11. En la circunferencia de centro O, PQ OQ y RQO = 60º.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) PQ // OR II) OP QR III) RQP = 2 QPO
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
12. AB es diámetro de la circunferencia de centro O. Si CBO = 70º, entonces ACO =
A) 20º
B) 30º
C) 35º
D) 40º
E) 70º
9

12. 2. Lenguaje Algebraico
13. O es centro de la circunferencia, POQ QOR ROS y OSR = 72º.
¿Cuánto mide el ángulo PTQ?
A) 108º
B) 36º
C) 72º
D) 27º
E) 18º
14. Si en la circunferencia de centro O, OBA = 2 AOB, entonces ACB =
A) 18º
B) 36º
C) 54º
D) 72º
E) 108º
15. En la circunferencia de centro O, CD // AB . Si CDA = 20º, entonces x=
A) 160º
B) 120º
C) 150º
D) 140º
E) 100º

16. BC es un cuarto de la circunferencia con centro en A . Si BD AB , entonces DAC =
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 75º
17. AC y BE son diámetros de la circunferencia de la figura. Si AOB = 2 BOC,
entonces el BDC mide:
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 120º
E) No se puede determinar
18. Los tres triángulos de la figura tienen dos de sus vértices en la circunferencia y el tercero en el centro
de ella. ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera, si = 30º?
A) =
B) =2
C) =3
D) =2
E) =3
10

13. 17. Circunferencia
19. En la circunferencia de centro O, se puede determinar la medida del ángulo CBD, si:
(1) se conocen las medidas de los ángulos AOB y ACB.
(2) se conocen las medidas de los ángulos DEA y ACB.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
20. El triángulo ABC inscrito en la circunferencia de centro O es equilátero, si:
1
(1) ABO = CBO = AOB
4
(2) AC BC y BAO = 30º
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
21. AB es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo ABC?
(1) AB = 2 AC (2) COB = 2 AOC
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
22. En la circunferencia de centro O, se puede determinar la medida del ángulo CDO, si se sabe que:
(1) CD // AB (2) AOC DOB
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
11

14. 2. Lenguaje Algebraico
Respuestas:
1. A 2. E 3. A 4. C 5. E 6. A 7. D 8. A 9. D 10. C 11. E
12. A 13. E 14. A 15. D 16. B 17. A 18. D 19. B 20. D 21. D 22. E
Análisis de Alternativas
1. ΔPQO es equilátero. Alternativa B: corresponde al POQ
Alternativa A: CORRECTA. Alternativa C: se multiplicó en vez de
Alternativa B: error al restar 6. dividir por dos
Alternativa C: se consideró RO OQ Alternativa A: CORRECTA. Alternativa E: CORRECTA.
Alternativa D: faltó dividir por 2 ΔABC es equilátero.
Alternativa E: corresponde al ROQ 14.
7. Alternativa A: CORRECTA.
2. Alternativa D: CORRECTA. Alternativa B: faltó dividir por dos
Alternativa E: CORRECTA. 
AOB = 90º ACB = AB /2 Alternativa D: se multiplicó en vez de
OA OB ( radios) ACB = 60º dividir por dos
9.
3. Alternativa A: corresponde al COB 15.
Alternativa A: CORRECTA. Alternativa C: corresponde al CBO  
Alternativa D: CORRECTA. CA BD
II es falsa III es falsa Alternativa D: CORRECTA.
16.
10. Alternativa B: CORRECTA.
Alternativa A: corresponde al COB ΔABD es equilátero y CAB = 90º
Alternativa C: CORRECTA.
Alternativa D: corresponde al OCB 17.
4. Alternativa E: se consideró ΔACO isósceles Alternativa A: CORRECTA. BOC = 60º
Alternativa A: corresponde al AOB
Alternativa C: CORRECTA. 12. 18.
Alternativa D: faltó dividir por dos Alternativa A: CORRECTA. Alternativa D: CORRECTA.
Alternativa E: corresponde al BOC ΔABC es recto en C y AO OC Puedes resolver la siguiente ecuación:
6 +(180º-2 )·3=360º
5. 13.
Alternativa E: CORRECTA. Alternativa A: corresponde al POS
12