Este documento fornece instruções sobre cônicas (elipses, hipérboles e parábolas). Explica como obter as equações reduzidas de cada cônica a partir de seus elementos geométricos, como focos, vértices e eixos. Também mostra como identificar o tipo de cônica a partir de sua equação.

1. RESUMEX - GASL
Considerações Iniciais
Quando eu fiz o RESUMEX - Distâncias, eu coloquei todas as deduções das
fórmulas. Com as Cônicas vamos fazer um pouco diferente. Isto se deve ao fato de que
nas fórmulas de distâncias eu quase não fazia contas. Era fundamental o APELO
GEOMÉTRICO.
Já para as Cônicas as contas são excessivas e quase nenhum apelo
geométrico, e digo mais: é muito mais fundamental que você (Aluno) saiba extrair
informações das equações, ou melhor, “fazer a equação abrir a boca”. Por isso, não vou
colocar a demonstração das equações. O foco será em, a partir do esboço da cônica,
montar a equação e vice-versa.
Sem mais delongas, vamos lá!
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2. I-Cônicas
I-a) Elipse
Definição: “A elipse é o conjunto de todos os pontos P do plano tais que
a SOMA das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (FOCOS) é constante (no
nosso caso, igual a 2a ).”
Ok, saber a definição é importante, mas eu julgo mais importante “enxergá-la”.
Aqui você encontra um video que com certeza vai clarear a sua mente:
http://www.youtube.com/watch?v=dboKThJ3aZw
(OBS: Não é de minha autoria!)
Agora que sabemos o que é uma Elipse vamos estudá-la.
i) Elipse com eixo maior paralelo ao eixo x
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a
b
c

3. Nesse caso, a equação reduzida da Elipse é dada por
Onde a2
= b2
+ c2
.
Vamos agora obter as coordenadas dos “pontos importantes” (Elementos ) em
função dos números a , b e c .
! ! Focos
Os focos são os pontos F1 e F2 .
Para obter suas coordenadas, note primeiramente que estes devem possuir a
mesma “coordenada y” que o ponto C(xc,yc ) . Para isto, basta ver o desenho acima. Na
verdade, pelo desenho acima fica bem simples concluir que as coordenadas dos focos
são:
F1 = (xc − c,yc )
F2 = (xc + c,yc )
! ! Vértices
Vamos primeiramente obter as coordenadas dos vértices B1 e B2 . Para isto
note primeiramente que estes deve possuir a mesma “coordenada x” que o ponto C(xc,yc )
(estão começando a entender como funciona né?). Na verdade, pelo desenho acima fica
bem simples concluir que as coordenadas dos vértices B1 e B2 são:
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(x − xc )2
a2
+
(y − yc )2
b2
= 1

4. B1 = (xc,yc + b)
B2 = (xc,yc − b)
Vamos agora obter as coordenadas dos vértices A1 e A2 . Este é o único caso
que não é imediato. Observe que:
d(A1,F1)+ d(A1,F2 ) = 2a
Por simetria, concluímos que
d(A1,F1) = d(F2,A2 )
Substituindo na equação de cima e reordenando obtemos:
d(A1,F2 )+ d(F2,A2 ) = 2a
Já sacou meu amigo? EXATAMENTE, d(A1,A2 ) = d(A1,F2 )+ d(F2,A2 ) = 2a !!
Assim, por simetria obtemos que d(C,A1) = d(C,A2 ) = a e de modo análogo ao
que foi feito com B1 e B2 obtemos que
A1 = (xc − a,yc )
A2 = (xc + a,yc )
Excentricidade:
É um número definido como o quociente e =
c
a
que representa quão esguia é a
elipse.
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5. Vamos esquematizar?
Elipse (eixo maior paralelo ao eixo dos x)Elipse (eixo maior paralelo ao eixo dos x)
Equação
(x − xc )2
a2
+
(y − yc )2
b2
= 1
Focos
Distância Focal
d(F1,F2 ) = 2c
F1 = (xc − c,yc )Focos
Distância Focal
d(F1,F2 ) = 2c
F2 = (xc + c,yc )
VérticesVértices
Eixo MAIOR
Distância entre os Vértices
d(A1,A2 ) = 2a
A1 = (xc − a,yc )Eixo MAIOR
Distância entre os Vértices
d(A1,A2 ) = 2a
A2 = (xc + a,yc )
Eixo MENOR
Distância entre os Vértices
d(B1,B2 ) = 2b
B1 = (xc,yc + b)Eixo MENOR
Distância entre os Vértices
d(B1,B2 ) = 2b
B2 = (xc,yc − b)
Relação entre a , b e c
a2
= b2
+ c2
Excentricidade
OBS: 0 < e <1
e =
c
a
ii) Elipse com eixo maior paralelo ao eixo y
Neste caso, as fórmulas são INTEIRAMENTE análogas. Um único detalhe
EXTREMAMENTE IMPORTANTE: a equação fica um pouco (MUITO POUCO) diferente:
(y − yc )2
a2
+
(x − xc )2
b2
= 1
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6. Percebeu? Isso mesmo!
A “parte que tem y” troca de lugar com a “parte que
tem x”.
Assim, eu pergunto para você: Dada a equação de uma elipse, como saber
sobre qual eixo é paralelo o eixo maior? Exatamente( Meus alunos imaginários são os
melhores que eu já tive...nunca erram nada!)!! Basta olhar para o denominador! Quem
tiver o denominador maior terá o eixo maior!
É um bom exercício tentar construir mentalmente uma tabela semelhante à que
fizemos para o caso anterior a partir do desenho abaixo.
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a
b
c

7. Elipse (eixo maior paralelo ao eixo dos y)Elipse (eixo maior paralelo ao eixo dos y)
Equação
(y − yc )2
a2
+
(x − xc )2
b2
= 1
Focos
Distância Focal
d(F1,F2 ) = 2c
F1 = (xc,yc − c)Focos
Distância Focal
d(F1,F2 ) = 2c
F2 = (xc,yc + c)
VérticesVértices
Eixo MAIOR
Distância entre os Vértices
d(A1,A2 ) = 2a
A1 = (xc,yc + a)Eixo MAIOR
Distância entre os Vértices
d(A1,A2 ) = 2a
A2 = (xc,yc − a)
Eixo MENOR
Distância entre os Vértices
d(B1,B2 ) = 2b
B1 = (xc − b,yc )Eixo MENOR
Distância entre os Vértices
d(B1,B2 ) = 2b
B2 = (xc + b,yc )
Relação entre a , b e c
a2
= b2
+ c2
Excentricidade
e =
c
a
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8. I - b) Hipérbole
Definição: “A hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano tais
que a DIFERENÇA das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (FOCOS) (em
módulo) é constante (no nosso caso, igual a 2a ).”
Sobre a hipérbole eu não achei nenhum vídeo. Assim, pensem um pouco e
tentem “ver” a definição no desenho abaixo. (Use uma régua)
i) Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x
Elementos:
a) Focos : São os pontos F1 e F2 .
b) Distância Focal : É a distância d(F1,F2 ) = 2c .
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b
a
c

9. c) Centro: É o ponto médio entre F1 e F2 denotado por C(xc,yc ).
d) Vértices: São os pontos V1 e V2 .
e) Eixo Real: É o segmento A1A2 de tamanho d(A1,A2 ) = 2a .
f) Assíntotas: são as retas que “limitam” a hipérbole. Note que “no infinito”
essas retas tangenciam a hipérbole
g) Excentricidade: É o quociente e =
c
a
. Representa o quão esguia é a
hipérbole.
Meus amigos, agora que vocês já estão craques não vou fazer a dedução dos
pontos. Fica como um exercício mental para vocês todas as informações da tabela abaixo
(Exceto a Equação... Esse pode acreditar apenas).
Hipérbole (Eixo Real paralelo ao eixo dos x)Hipérbole (Eixo Real paralelo ao eixo dos x)
Equação
(x − xc )2
a2
−
(y − yc )2
b2
= 1
Focos
Distância Focal
d(F1,F2 ) = 2c
F1 = (xc − c,yc )Focos
Distância Focal
d(F1,F2 ) = 2c
F2 = (xc + c,yc )
Vértices
Distância entre os Vértices
(Comprimento do Eixo Real)
d(A1,A2 ) = 2a
V1 = (xc − a,yc )Vértices
Distância entre os Vértices
(Comprimento do Eixo Real)
d(A1,A2 ) = 2a V2 = (xc + a,yc )
Relação entre a , b e c
c2
= b2
+ a2
Assíntotas
y = yc ±
b
a
(x − xc )
Excentricidade
OBS: 1< e
e =
c
a
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10. ii) Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y
Meus caros, obviamente os elementos continuam exatamente os mesmos.
Assim fica novamente como exercício mental concluir as informações da tabela abaixo
exceto a parte da equação. Sobre isto, note que dessa vez quem “está positivo” é a
PARTE QUE TEM Y.
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b
a
c

11. Hipérbole (Eixo Real paralelo ao eixo dos y)Hipérbole (Eixo Real paralelo ao eixo dos y)
Equação
(y − yc )2
a2
−
(x − xc )2
b2
= 1
Focos
Distância Focal
d(F1,F2 ) = 2c
F1 = (xc,yc − c)Focos
Distância Focal
d(F1,F2 ) = 2c
F2 = (xc,yc + c)
Vértices
Distância entre os Vértices
(Comprimento do Eixo Real)
d(A1,A2 ) = 2a
V1 = (xc,yc − a)Vértices
Distância entre os Vértices
(Comprimento do Eixo Real)
d(A1,A2 ) = 2a V2 = (xc,yc + a)
Relação entre a , b e c
c2
= b2
+ a2
Assíntotas
y = yc ±
a
b
(x − xc )
Excentricidade
OBS: 1< e
e =
c
a
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12. I-c) Parábola
Já está acabando! Última cônica! E essa você já viu na escola!
Definição: “A Parábola é o conjunto de todos os pontos P do plano
EQUIDISTANTES (no nosso caso, a distância é igual a p ) de um ponto fixo F
(FOCO) e uma reta fixa D (Diretriz).”
i) Parábola com eixo paralelo ao eixo dos x:
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pp

13. Elementos:
a) Foco: É o ponto F .
b) Diretriz: É a reta D .
c) Eixo: É a reta que passa por F e é perpendicular a D .
d) Vértice: É o ponto V(xv,yv ) de interseção da parábola com o seu eixo.
Adivinha? Isso mesmo, fica como exercício concluir as informações da tabela
abaixo.
Parábola (Eixo paralelo ao eixo dos x)Parábola (Eixo paralelo ao eixo dos x)
Equação
(x − xv )2
= 4 p(y − yv )
Foco
F = (xv + p,yv )
Diretriz
x = xv − p
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14. ii) Parábola com eixo paralelo ao eixo dos y:
Novamente os elementos continuam exatamente os mesmos. Adivinha? Tá
ficando experto hein?? Fica como exercício concluir as informações da tabela abaixo.
Parábola (Eixo paralelo ao eixo dos y)Parábola (Eixo paralelo ao eixo dos y)
Equação
(y − yv )2
= 4 p(x − xv )
Foco
F = (xv,yv + p)
Diretriz
y = yv − p
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p
p

15. ! ! Completando Quadrados
Meus caros, esta parte é só uma “ferramenta”. Assim, vou explicar resolvendo
um exemplo ok?
1) Identifique a cônica de equação 9x2
− 4y2
− 54x + 8y +113 = 0 e encontre sua
equação reduzida, focos, vértices, assíntotas (se for o caso) e excentricidade.
Sol:
Primeiramente devemos transformar a equação acima em um dos casos
conhecidos. Assim, vamos separar os termos que tem x e y .
9x2
− 54x − 4y2
+ 8y +113 = 0
Nas “equações básicas” os termos que acompanham x2
e y2
são sempre “1”.
Assim, temos que colocar em evidência:
9(x2
− 6x)− 4(y2
+ 2y)+113 = 0
Aqui que vem o “pulo do gato”. Note que queremos obter algo do tipo (x − xc )2
e (y − yc )2
.
Abrindo essas expressões obtemos
(x − xc )2
= x2
− 2x⋅ xc + xc
2
e (y − yc )2
= y2
− 2y⋅ yc + yc
2
.
Assim, a ideia é completar os quadrados perfeitos na equação da cônica!!
Comparando as equações obtemos que −2xc = −6 e −2yc = 2 , ou seja, xc = 3 e
yc = −1.
Agora vamos fazer o seguinte truque algébrico
9(x2
− 6x + 32
− 32
)− 4(y2
+ 2y + (−1)2
− (−1)2
)+113 = 0
Obtemos portanto que
9(x2
− 6x + 32
)− 9⋅32
− 4(y2
+ 2y + (−1)2
)+ 4 ⋅(−1)2
+113 = 0
ou seja
9(x − 3)2
− 81− 4(y − (−1))2
+ 4 +113 = 0 .
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16. Assim, a equação final é
(x − 3)2
4
−
(y − (−1))2
9
= 1
Sacou? A parte de obter os pontos e etc. fica como exercício para você!
Palavras Finais
Caros alunos, por falta de tempo não deu para “caprichar” tanto neste
RESUMEX mas mesmo assim acredito que será bastante útil. Espero que entendam (o
meu lado... o RESUMEX tenho certeza que entenderão). Estou terminando
simultaneamente um RESUMEX - Posições Relativas e Coordenadas Polares.Espero que
gostem e que façam bom proveito. Podem ter certeza de que vou ficar muito satisfeito se
este material ajudar na sua aprovação.
Como eu não tenho um editor que revisa tudo, é possível que encontrem erros
d e d i g i t a ç ã o . S e n d o a s s i m , p e ç o q u e m e e n c a m i n h e m u m e m a i l
(andre.maldonado@ufjf.edu.br) avisando, assim como para possíveis elogios, críticas e
sugestões.
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